精品解析：四川省巴中市普通高中2025-2026学年高三上学期9月零诊考试数学试题

巴中市普通高中2023级“零诊”考试 数学试题 （满分150分120分钟完卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置. 2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效. 3.考试结束后，考生将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的结果有，即可得参数范围. 【详解】由，知，则. 故选：A 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数及复数模的性质求. 【详解】由. 故选：D 3. 的展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 60 C. 160 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】先写出的二项展开式的通项，令，求出值，再代入通项中，计算即可得解. 【详解】因为的二项展开式的通项为 ， 令，解得，所以， 所以的展开式中的系数为60. 故选：B 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合辅助角公式化简即可得解. 【详解】由正弦定理可得， 又，所以， 因为，所以，故， 即，即 因为，所以，所以，即. 故选：B 5. 已知，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：C 6. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据样本空间法，结合古典概型概率公式，即可求解. 【详解】由条件可知，满足条件的点数之和为，，， 点数之和为3的情况有和，共2种情况， 点数之和为7的情况有，，，，， ，共6种情况， 点数之和为11的情况有，，共2种情况， 所以满足条件的概率. 故选：C 7. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若.则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用等差、等比数列的性质，求得，得到的值，进而得到，结合两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】由数列是等比数列，数列是等差数列，且， 可得，解得， 又由等差数列与等比数列的性质，可得， 所以. 故选：D. 8. 在四面体中，为上一点且，是的中点，在线段上存在一点，使得平面，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】取中点，连接，先根据线面平行的判定定理证明平面，再根据面面平行的判定定理证明平面平面，再利用面面平行的性质定理证明，在中，再利用平行线的性质即可得解. 【详解】 如图所示，取的中点，连接. 为的中点，是的中点，. 又平面，平面，平面， 又平面，，平面， 平面平面.又平面， 平面平面，平面平面，. 在中，. 故选：B 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是的对称轴 B. 是的周期 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】通过辅助角公式将化简，再通过正弦函数的周期性、单调性、对称性以及最值，即可求解. 【详解】因为，通过辅助角公式可以得到， 对于选项A，的对称轴条件：，解得，不含，所以选项A错误； 对于选项B，，所以，所以是的周期，所以选项B正确； 对于选项C，令，解得，所以在区间上单调递减，所以选项C正确； 对于选项D，函数的最大值为1，因此的最大值为，所以选项D错误. 故选：BC. 10. 已知椭圆方程为分别为椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则（ ） A. 的周长为8 B. 弦的长的最小值为 C. 若，则的面积为 D. 平分交于为的内心，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆方程及椭圆的定义，即可判定A的正误；设出直线AB方程为，与椭圆联立，结合韦达定理，弦长公式，可得的表达式，分析即可判断B的正误；根据条件，结合余弦定理，面积公式，计算即可判断C的正误；根据角分线的性质，可得，根据三角形相似，结合内心的性质，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：因为椭圆方程为， 所以，则， 根据椭圆的定义可得： 的周长等于，故A正确； 选项B：当直线AB平行x轴时，因为过， 所以方程为，此时， 当直线AB不平行x轴时，设方程为， 与椭圆联立可得，可得， 设，又， 所以， 所以 =， 所以当m=0时，即AB垂直x轴时，的最小值为3，故B错误； 选项C：由题意，则， 所以，， 因为， 由余弦定理得， 所以， 所以， 所以的面积，故C正确； 选项D：因为平分交于， 所以， 因为I为的内心， 过M做平行线，交延长线于N，如图所示， 因为， 所以， 因为I为内心， 所以为的平分线， 所以，即， 所以， 因为，， 所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 11. 在中，角均不为直角，角的对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则过的垂心 C. 若，则过的重心 D. 若，则过的外心 【答案】AB 【解析】 【分析】利用余弦定理结合向量数量积的定义计算可判断A；利用向量数量积的运算律计算得，可说明，即可判断B；假设过的重心，可设，根据平面向量基本定理计算化简可得，此式不一定成立，由此可判断C；将原式变形为，可得过的内心，即可判断D. 【详解】对于A，根据余弦定理，， 则，故A正确； 对于B， ， 即，则过垂心，故B正确； 对于C，假设过的重心，则与边上的中线共线，可设， ， 则，由正弦定理可得，即，此式不一定成立， 所以不一定过的重心，故C错误； 对于D，， 其中表示角的平分线所在向量，所以过的内心，故D错误. 故选：AB. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中有__________项. 【答案】24 【解析】 【分析】根据分步乘法原理求解即可. 【详解】解：要得到项数分三步： 第一步，从第一个因式中取一个因子，有2种取法； 第二步，从第二个因式中取一个因子，有3种取法； 第三步，从第三个因式中取一个因子，有4种取法. 由分步计数原理知，共有2×3×4＝24(项). 故答案为：24 13. 若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先应用换元法结合同角三角函数关系得出函数解析式，最后代入求解计算. 【详解】因为，令，， 则，即， 所以， 则. 故答案为：. 14. 已知函数，若存在，且，则的取值范围__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过分析分段函数的单调性求得每一段的值域，设，得出，再用来表示，得到关于的函数，利用函数的单调性求出值域即可. 【详解】由题意，时，，值域， 时，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 时，取得最大值，且时，， 时，的值域为. 若存在，且，设，则， 且，即， ， 当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 所以，的取值范围是. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【小问1详解】 在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 16. 如图所示，直三棱柱. （1）求证：； （2）若为中点，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理证明即可； （2）由两两互相垂直，故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，分别求出平面和平面的法向量，根据求解即可 【小问1详解】 在直三棱柱中，平面面， 则 又，即，又，平面，平面， 所以平面 又平面，所以 在直三棱柱中，，则四边形为正方形 所以，又，平面，平面， 所以平面 又平面，所以 小问2详解】 由（1）知两两互相垂直， 故以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由于，设，则， 设平面的法向量为 则：，取，则，得， 由（1）知平面，则平面的一个法向量为 由图可知二面角的平面角为锐角，记为. 则：， 即二面角的余弦值为. 17. 从某校高二年级获取了容量为120的有放回简单随机样本，将所得数学和语文入学考试成绩的部分样本观测数据整理如下： 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 优秀 48 36 不优秀 24 合计 120 （1）请将题中表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩与语文成绩有关联； （2）在数学成绩优秀的学生中，采用按比例分配分层随机抽样的方法选取7人，再从7人中随机抽取3人进行座谈，用表示语文成绩优秀的人数，求的分布列､数学期望､方差. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）表格见解析，认为数学成绩与语文成绩无关联 （2）分布列见解析，数学期望为：，方差为： 【解析】 【分析】（1）通过列联表中已知数据补全表格并计算出的值，然后对照表格数据作答； （2）由分层抽样确定的可能取值，利用超几何分布概率公式计算各概率、列出的分布列，进而求得数学期望､方差. 【小问1详解】 表中数据如下： 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 优秀 48 36 84 不优秀 24 12 36 合计 72 48 120 零假设为：数学成绩与语文成绩无关联； 根据表中数据，计算得到. 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出不成立， 因此可以认为成立，即认为数学成绩与语文成绩无关联； 【小问2详解】 由题意得分层随机抽样比为，则语文成绩不优秀､优秀的学生分别抽取4人，3人. 的取值可能为 . 则X的分布列为： 0 1 2 3 数学期望为： 方差为：. 18. 函数，且在和处取得极值. （1）求和的值. （2）若在上的最大值为M，最小值为，且，求正实数的值. （3）设.若在上单调递减，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用极值点的定义求解即可； （2）利用导数求出函数的最值，然后列方程求解即可； （3）利用导数和函数单调性的联系，转化为在上恒成立，再求最值，问题即得解. 【小问1详解】 ， 由已知得：，得：. 此时，， 令，得：或；，得：或； 在处取得极大值；在处取得极小值，符合题意， 故. 【小问2详解】 由（1）知：，则， 易得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ， ， ， 又因为，即：， 又，所以. 【小问3详解】 因为在上单调递减，则在上， 即在上恒成立. 设， 则， 故在单调递减，单调递增， 且， 故存在，使， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增， 所以，故， 即的取值范围为. 19. 双曲线，渐近线方程为，焦距为，设直线与交于两点. （1）求双曲线的方程； （2）若且，求的值； （3）若，过分别作双曲线的切线，且相交于点，求点的轨迹方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用双曲线的几何性质，列出方程组，求得的值，即可得到曲线的方程； （2）由，得到直线方程为，联立方程组，利用，求得或，再由弦长公式，列出方程，求得的值； （3）设，设处的切线方程为，联立方程组，根据，求得，得到在处的切线方程，同理得到在处的切线方程，结合为两切线的交点，得到都在上，结合恒过定点，求得，即可得到答案. 【小问1详解】 解：由双曲线，渐近线方程为，焦距为， 可得，解得：，所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 解：因为，所以直线方程为， 联立方程组，整理得， 由，解得或， 设，可得， 又由， 可得， 整理得，解得，此时满足，所以. 【小问3详解】 解：设 设在处的切线方程为，且， 代入，可得， 令，整理得， 解关于的二次方程，其中， 则，所以曲线在处的切线方程为， 又因为，所以在点处的切线方程为， 同理可得，曲线在处的切线方程为， 因为为两切线的交点，则满足， 即都在直线上， 又因为，可得都在直线上， 因为恒过定点，可得，解得， 综上可得，点的轨迹方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巴中市普通高中2023级“零诊”考试 数学试题 （满分150分120分钟完卷） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡规定的位置. 2.答选择题时请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题答题时必须用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置，在规定的答题区域以外答题无效，在试题卷上答题无效. 3.考试结束后，考生将答题卡交回. 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中的系数为（ ） A. 12 B. 60 C. 160 D. 240 4. 中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 6. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，则两次向上的点数之和除以4的余数为3的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若.则值为（ ） A. B. C. D. 8. 在四面体中，为上一点且，是的中点，在线段上存在一点，使得平面，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 是的对称轴 B. 是的周期 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为2 10. 已知椭圆方程为分别为椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则（ ） A. 的周长为8 B. 弦的长的最小值为 C. 若，则的面积为 D. 平分交于为的内心，则 11. 在中，角均不为直角，角对边分别为，是一动点，则下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则过的垂心 C. 若，则过的重心 D. 若，则过的外心 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中有__________项. 13. 若，则__________. 14. 已知函数，若存在，且，则的取值范围__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 16. 如图所示，直三棱柱. （1）求证：； （2）若为中点，求二面角的余弦值. 17. 从某校高二年级获取了容量为120的有放回简单随机样本，将所得数学和语文入学考试成绩的部分样本观测数据整理如下： 数学成绩 语文成绩 合计 不优秀 优秀 优秀 48 36 不优秀 24 合计 120 （1）请将题中表格补充完整，依据小概率值的独立性检验，是否认为数学成绩与语文成绩有关联； （2）在数学成绩优秀的学生中，采用按比例分配分层随机抽样的方法选取7人，再从7人中随机抽取3人进行座谈，用表示语文成绩优秀的人数，求的分布列､数学期望､方差. 附：，其中. 0.010 0.005 0.001 6635 7.879 10.828 18. 函数，且在和处取得极值. （1）求和的值. （2）若在上的最大值为M，最小值为，且，求正实数的值. （3）设.若在上单调递减，求的取值范围. 19. 双曲线，渐近线方程为，焦距为，设直线与交于两点. （1）求双曲线的方程； （2）若且，求的值； （3）若，过分别作双曲线的切线，且相交于点，求点的轨迹方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $