第二章分式与分式方程单元复习题2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

第二章分式与分式方程单元复习题 一、单选题 1．代数式，，，，，中，属于分式的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．若分式的值为0，则实数x应满足的条件是（    ） A． B． C． D．或 3．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 5．下列分式中，最简分式的是（   ） A． B． C． D． 6．下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 7．下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程有整数解，则符合条件的整数所有值的和为（    ） A．4 B．3 C．8 D．7 10．一艘轮船在静水中的速度为，它沿江顺流航行与逆流航行所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 11．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 12．某学校准备改造面积为的旧操场，现有甲乙两个工程队都想承建这项工程，经协商后得知，甲工程队单独改造完这个操场比乙工程队多用14天，甲工程队每天比乙工程队少改造．以下说法正确的是（   ） A．甲工程队每天比乙工程队多改造 B．乙工程队每天比甲工程队多改造 C．甲乙两个工程队合作需要20天改造完 D．甲工程队单独改造完成需要50天，乙工程队单独改造完成需要36天 13．已知，，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 14．若将分式与通分，则分式的分子应变为（   ） A． B． C． D． 15．李老师在多媒体上展示了一个关于x的方程，甲、乙、丙同学分别提出了自己的结论： 甲：当时，此方程的解为； 乙：若此方程有增根，则； 丙：当此方程的解是非负数时，k的取值范围是． 下列判断正确的是（   ） A．甲乙对，丙错 B．甲丙对，乙错 C．乙丙对，甲错 D．甲乙丙都对 16．已知为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 17．若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 18．如图①，“惠民1号”玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的出水沟剩下的部分；如图②，“惠民2号”玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆剩下的部分，两块试验田都收获了的玉米．“惠民1号”玉米试验田的单位面积产量是“惠民2号”玉米试验田的 倍． 19．定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有 （只填序号）． 20．已知，则 ． 21．若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 22．若，则 ． 三、解答题 23．计算： (1)； (2)． 24．已知关于的分式方程． (1)若，求分式方程的根； (2)若分式方程的根为正数，求的取值范围． 25．据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象；表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某文创店准备购进、两款哪吒玩偶，两款玩偶的进价和利润如表（单位：元） A款 B款 单个进价 单个利润 2 3 (1)已知花费400元购进款哪吒玩偶的数量和花费800元购进款哪吒玩偶的数量相等，求的值； (2)该店准备拿出2000元全部用来购进这两种哪吒玩偶，且购进款的数量不超过款数量的4倍，若玩偶能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？ 26．先化简，再求值：其中 27．解方程： (1) (2) (3) 28．某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第二章分式与分式方程单元复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D A D A C A D A 题号 11 12 13 14 15 16 答案 D B B A A D 1．B 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式是分式，逐一检查每个代数式即可． 【详解】解：代数式，，，，，中，属于分式的有，，，共个， 故选：B． 2．B 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，熟记分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ∴． 故选：B． 3．D 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 4．A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴x，y都扩大到原来的5倍，分式的值不变． 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了最简分式的判断，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查每个选项的分子和分母是否有公因式，即可判断； 【详解】解：∵ A：，分子分母有公因式2，可约分为，不是最简分式； B：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； C：  ，分子分母有公因式，可约分为，不是最简分式； D：，分母在实数范围内不可因式分解，与分子无公因式，是最简分式； 故选：D 6．A 【分析】本题考查了约分，根据分式约分的法则逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、不能约分，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 7．C 【分析】本题考查分式的乘方运算，熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项式子不成立，不符合题意； B、，故此选项式子不成立，不符合题意； C、，故此选项式子成立，符合题意； D、，故此选项式子不成立，不符合题意； 故选：C． 8．A 【分析】本题考查分式化简求值．由已知条件可得，即．将所求表达式的分子和分母分别用表示，并代入化简． 【详解】解：∵， ∴，即 ， 所求表达式为 ， 分子：， 分母：， ∴， 故选：A． 9．D 【分析】本题考查分式方程的解，根据分式方程解的情况求字母的值；先去分母化简分式方程，再求解关于的方程，根据为整数且分母不为零的条件，确定的取值，最后求和. 【详解】解：， ， 两边同乘（）， ， ， 整理得：， ， ∵为整数且， ∴为的约数，即或或或， 当即，则， 当即，则（舍去）， 当即，则， 当即，则， ∴或4或0， 其和为. 故选：D. 10．A 【分析】本题考查了根据实际问题列分式方程．根据顺流速度和逆流速度与静水速度的关系，顺流速度为静水速度加水流速度，逆流速度为静水速度减水流速度，再根据时间相等列方程． 【详解】解：∵顺流速度，逆流速度， 顺流时间，逆流时间， ∵时间相等， ∴． 故选：A． 11．D 【分析】本题考查分式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算每个选项的分式运算，判断其正确性． 【详解】解：A：∵ ，∴错误． B：∵ ，∴错误． C：∵ ，∴错误． D：∵ ，∴正确． 故选：D． 12．B 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，利用甲工程队单独改造这个操场比乙工程队多用14天，进而用同一未知数表示出甲乙两个工程队每天各改造操场面积，进而求出甲工程队每天改造的操场面积，分别求出甲、乙、以及两队合作所用的天数，进而比较即可． 【详解】解：设乙工程队每天改造操场x平方米，则甲每天改造平方米，根据题意可得： ， 解得：， 经检验，是方程的解，且符合题意， 故（平方米）， ∴乙工程队每天改造操场40平方米，甲工程队每天改造操场30平方米； ∴乙工程队每天比甲工程队多改造10m2，故A不符合题意，B符合题意； 甲单独改造需（天）， 乙单独改造需（天）， 甲乙两个工程队合作需要（天）． 故C不符合题意，D不符合题意； 故选：B． 13．B 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据分式的运算逐一排除即可． 【详解】解：，， 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 、，原选项错误，不符合题意； 故选：． 14．A 【分析】本题考查了通分，需掌握最简公分母的求法：取各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积．通分的关键是确定最简公分母，分式和的公分母为 ，据此计算即可． 【详解】解：∵最简公分母为：， ∴分式的分子和分母需同乘， ∴分子变为． 故选：A． 15．A 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．首先将原方程化简，得到解 ，且需满足 （即 ）．然后分别验证甲、乙、丙的结论：甲当 时解为 ，正确；乙方程有增根时 ，正确；丙解为非负数时需 且 ，但丙只给出 ，错误． 【详解】解：原方程： ， 两边同乘 ， ， 简化得 ， ∴ ， ∴ ，且 即， ∴； 验证甲：当 时，，且 ，正确． 验证乙：增根为 ，代入解得 ， ∴ ，正确； 验证丙：解为非负数时 ，即 ， ∴ ，但需排除 （增根），丙未排除，错误； ∴ 甲乙对，丙错． 故选：A． 16．D 【分析】本题考查了分式的规律性问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，每项的乘积为常数，总项数为，恰好是的倍数，因此总乘积为的奇数次幂，结果为． 【详解】∵， ， ， ， ∴序列周期为， 每项乘积：， ∵， ∴． 故选：D． 17． 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零得，然后求解即可，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了圆的面积公式以及分式的运算相关知识点，掌握圆的面积公式以及分式的除法运算是解题的关键． 本题根据圆的面积公式分别得出两个试验田的面积；再结合“单位面积产量 = 总产量面积”，得出两个试验田的单位面积产量；最后通过分式除法运算即可解决倍数的问题． 【详解】解：“惠民1号”试验田的面积：， “惠民2号”试验田的面积：， ∵两块试验田都收获了kg玉米， ∴“惠民1号”试验田的单位面积产量：， “惠民2号”试验田的单位面积产量：， ， ， ， ． 故答案为：． 19．②③ 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 20．1 【分析】本题考查根据分式恒等式求解参数，二元一次方程组的应用；将等式右边通分后与左边比较分子，得到关于m和n的方程，通过比较系数建立方程组，求解m和n后计算差值； 【详解】解：右边通分得： 与左边比较分子得： 展开左边得： ∴ 比较系数得： 解得： ∴. 故答案为：1. 21． 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，先将方程中的分式化简，利用分母互为相反数的关系合并分式，然后求解关于的方程，得到解的表达形式，根据解为负数的条件列出不等式，同时考虑分母不为零的约束，排除使解为1的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 去分母可得：， 解得：， ∵解为负数， ∴， 解得：， 同时，分母不为零要求，即， 解得， 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 22．119 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过将两边同时平方，利用完全平方公式得到的值，再将看作一个整体，再次利用完全平方公式求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：119． 23．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算，熟练掌握因式分解和分式乘除运算法则是解题的关键． （1）先对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． （2）先利用平方差公式对因式分解，再将除法转化为乘法，通过约分计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．(1) (2)且 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． （1）利用解分式方程的步骤进行求解即可； （2）整理出方程的根，然后解一元一次不等式即可． 【详解】（1）解：当时，分式方程为 ， 经检验，当时，， ∴是原分式方程的根； （2）解： ， ∵分式方程的根为正数， ∴，且，即 解得且． 25．(1)的值为5 (2)该文创店购进A款266个，B款67个时，能使利润最大，最大利润是733元 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）根据表格信息可得，再进一步解方程并检验即可得到答案． （2）设利润为元，A款购进个，则B款购进个，利用总价单价数量，可找出w关于x的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则的值为5． （2）解：由（1）知，A款单个进价为5元，B款单个进价为10元， 设利润为元，A款购进个，则B款购进个， ， ， 随的增大而增大， 购进A款的数量不超过B款数量的4倍， ， 解得， 为正整数， 当时，取得最大值，最大值733， 此时，B款有个， 答：该文创店购进A款266个，B款67个时，能使利润最大，最大利润是733元． 26．，5 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 27．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．按照解分式方程的基本步骤求解即可，包括去分母、去括号、移项、合并同类项并检验． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴是原方程的解． （2）解： ， 经检验，是原方程的解， ∴是原方程的解． （3）解： ， ， 经检验，是原方程的解， ∴是分式方程的解． 28．(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $