山东省济宁市曲阜市2025-2026学年九年级上学期数学期中测试题 人教版第21-24章（切线部分）

2025～2026学年度第一学期期中教学质量监测考试 九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时长为120分钟；考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2.答题前，考生用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题纸相应位置． 3.考生用0.5毫米黑色签字笔直接将选择题、填空题答案填写在答题纸上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能判定 4. 下列说法：①三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③同圆或等圆中，等弧所对的弦相等；④长度相等的弧称为等弧；⑤平分弦的直径垂直于弦．其中正确的个数共有（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 当时，y随x增大而增大 C. 对称轴是直线 D. y有最小值是3 6. 、是方程的两个根，则（ ） A. 4 B. 10 C. D. 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，，将逆时针旋转，得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是的直径，是上的一点，连接，，过点作交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线（a，b，c为常数，）与x轴交于点，对称轴为直线，下列结论中（ ） ①；②；③是抛物线上两点，则； ④若关于x的一元二次方程没有实数根，则； ⑤对于任意实数m，总有． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为______． 13. 如图，可由旋转而成，点的对应点是，点的对应点是，在平面直角坐标系中，三点坐标为，则旋转中心的坐标为______． 14. 如图，矩形中，，，以为圆心，2为半径画圆，是上一动点，是上的一动点，则的最小值是_____． 15. 如图，点为抛物线对称轴上的点，点，在对称轴右侧抛物线上，若为等腰直角三角形，，则______． 三、解答题：本题共8小题，共75分． 16. 解下列方程： （1）； （2） 17. 如图，已知各顶点的坐标为，． （1）作出关于坐标原点成中心对称的； （2）以点为旋转中心，将绕点顺时针旋转得，作出； （3）若在内有一点，将按照（2）中的方式旋转后的对应点为点，则点的坐标为______． 18. 如图，点O是等边三角形内一点，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的度数． 19. 如图，点在上，过点，分别与交于，过作于． （1）求证：是的切线； （2）若与相切于点，求的半径． 20. 新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． （1）某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润最大．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，若该款汽车销售单价为正整数，将该款汽车销售单价定为多少万元时，该店每周的汽车销售利润最大？最大利润是多少万元？ 21. 探究与应用 【知识定义】密码学是数学的重要应用之一．在密码学中，有一种简单的加密方法是将数字信息转化为用一元二次方程的根重新组成一个数．现在，这样定义：若一元二次方程的两个实数根均为正整数，且满足，则称该方程为“密码方程”，其根组成的数（较大的根在左，较小的根在右）称为“密码数”． 【知识理解】例如：对于方程，两根和均为正整数，且满足，所以此方程为“密码方程”，“密码数”是121；对于方程，由于，所以此方程不是“密码方程”；对于方程，两个根分别为，（不是正整数），所以此方程不是“密码方程”． 【问题解决】根据以上信息，请回答以下问题： （1）请判断以下两个方程是否为“密码方程”，请说明理由，如是，并写出其“密码数”； ①； ②． （2）已知方程是“密码方程”，“密码数”是31，求和的值； （3）在（2）的情况下，方程的“密码数”刚好是另一个“密码方程”的根，求和的值． 22. 如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线 经过点B，C，且与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式． （2）点G是抛物线上的一点，且满足，求点G的坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得 是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 【问题提出】 我们知道：同弧或等弧所对的圆周角都相等，且等于这条弧所对的圆心角的一半，那在一个圆内同一条弦所对的圆周角与圆心角之间又有什么关系呢？ 【初步思考】 （1）如图1，是的弦，，点、分别是优弧和劣弧上的点，则_______°，_______°． （2）如图2，是的弦，圆心角，点P是上不与A、B重合的一点，求弦所对的圆周角的度数（用m的代数式表示）_______． 【问题解决】 （3）如图3，已知线段，点C在所在直线的上方，且，用尺规作图的方法作出满足条件的点C所组成的图形（不写作法，保留作图痕迹）． 【实际应用】 （4）如图4，在边长为12的等边三角形中，点E、F分别是边上的动点，连接，交于点P，若始终保持，在点E从点A运动到点C过程中，的最小值是_______． 2025～2026学年度第一学期期中教学质量监测考试 九年级数学试题 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分．考试时长为120分钟；考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回． 2.答题前，考生用0.5毫米黑色签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题纸相应位置． 3.考生用0.5毫米黑色签字笔直接将选择题、填空题答案填写在答题纸上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】A 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】B 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】8 【15题答案】 【答案】 三、解答题：本题共8小题，共75分． 【16题答案】 【答案】（1）， （2）， 【17题答案】 【答案】（1）即为所求； （2） 即为所求； （3） 【18题答案】 【答案】（1）证明：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，，... 在和中， ，，， ∴， ∴ （2） 【19题答案】 【答案】（1） 证明：连接，则． ． ， ． ． ． ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）3 【20题答案】 【答案】（1） （2）将该款汽车销售单价定为20万元时，该店每周的汽车销售利润最大，最大利润是144万元 【21题答案】 【答案】（1） ①解得，0不是正整数，故不是“密码方程”； ②解得，两根均为正整数． 又∵， ∴是“密码方程”，密码数是71； （2） （3） 【22题答案】 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）点G的坐标为或 （3）存在，点Q的坐标为或 【23题答案】 【答案】(1)50，130 (2)或 (3)如图3， (4) 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $