2026年广东省中考数学二轮复习课件：几何证明与计算题

该初中数学中考复习课件聚焦几何证明与计算核心考点，严格对接中考要求，精选2025年长春、福建、广安等多省市中考真题，系统梳理三角形、四边形、圆等模块考点分布，归纳证明与计算两类常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼”模式，通过全等三角形证明、圆切线判定等典型题，培养学生几何直观与推理能力，详解辅助线添加、模型应用等方法，助力学生掌握得分技巧，为教师中考复习教学提供系统实战素材，提升冲刺效率。

几何证明与计算题 题型一：与三角形有关的证明与计算 【例1】（2025∙长春节选）如图2－37－1，在△ABC中， ∠C=90°，AC=BC=4，D为边AC的中点，E为边AB上一动点，连接 DE，将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段FE． （1）线段AB的长为 ⁠； 4 （2）解：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4， ∴∠A=∠B=45°． ∵D为边AC的中点， ∴AD= AC=2. 如答图2－37－1，当EF∥AC，得 ∠FEB=∠A=45°． ∵线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段EF， ∴∠DEF=45°． ∴∠DEB=∠DEF＋∠FEB=90°． ∴∠AED=90°．∴AE=AD∙ cos A=2× cos 45°= ． （2）当EF∥AC时，求AE的长； 答图2－37－1　 （3）当点F在边BC上时，求证：△ADE≌△BEF． （3）证明：∵将线段DE绕点E顺时针旋转45°得到线段FE， ∴DE=EF，∠DEF=45°． 如答图2－37－2，当点F在边BC上时， ∠DEB=∠DEF＋∠BEF=45°＋∠BEF． ∵∠DEB=∠A＋∠ADE=45°＋∠ADE， ∴∠ADE=∠BEF． 又∵∠A=∠B=45°，DE=EF， ∴△ADE≌△BEF（AAS）． 答图2－37－2 1. （2025∙福建）如图2－37－2，△ABC是等边三角形，D是AB的 中点，CE⊥BC，垂足为C，EF是由CD沿CE方向平移得到的．已 知EF过点A，BE交CD于点G． （1）求∠DCE的大小； （1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°． ∵D是AB的中点， ∴∠DCB=∠DCA= ∠ACB=30°． ∵CE⊥BC， ∴∠BCE=90°． ∴∠DCE=∠BCE－∠DCB=60°． （2）求证：△CEG是等边三角形． （2）证明：由平移可知CD∥EF， ∴∠EAC=∠DCA=30°． 又∵∠ECA=∠BCE－∠ACB=30°， ∴∠EAC=∠ECA． ∴AE=CE． 又∵AB=CB， ∴BE垂直平分AC． ∴∠GEC=90°－∠ACE=60°． 由（1）知∠GCE=60°， ∴△CEG是等边三角形． 题型二：与四边形有关的证明与计算 【例2】 （2025∙广安）如图2－37－3，E，F是正方形ABCD的对 角线BD上的两点，BD=10，DE=BF，连接AE，AF，CE，CF． （1）求证：△ADE≌△CBF； （1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴AD=BC，∠ADE=∠CBF=45°． 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SAS）． （2）若四边形AECF的周长为4 ，求EF的长． （2）解：如答图2－37－3，连接AC交BD于点O． ∵四边形ABCD为正方形，BD=10， ∴BD垂直平分AC，OA=OC=OB=OD= BD=5. ∴AF=CF，AE=CE． 由（1）知△ADE≌△CBF，∴AE=CF． ∴AF=CF=AE=CE． ∴四边形AECF是菱形． ∴OF=OE，即EF=2OF． 　答图2－37－3 ∵四边形AECF的周长为4AF=4 ， ∴AF= ． 在Rt△AOF中，由勾股定理，得 OF= = =3. ∴EF=2OF=6，即EF的长为6. 　答图2－37－3 2. （2025∙长沙）如图2－37－4，正方形ABCD中，点E，F分别在 AB，CD上，且BE=DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，AB=CD． ∵BE=DF， ∴AB－BE=CD－DF， 即AE=CF． 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． （2）连接EF，若BC=12，BE=5，求EF的长． （2）解：如答图2－37－4，过点E作EH⊥CD于点H． ∵四边形ABCD是正方形，BC=12， ∴CD=BC=12，∠B=∠BCD=90°． 又∵EH⊥CD，即∠EHC=90°， ∴四边形EBCH是矩形． ∴CH=BE=5，EH=BC=12. 又∵DF=BE=5， ∴HF=CD－DF－CH=12－5－5=2. 在Rt△EHF中，由勾股定理，得 EF= = =2 ． 答图2－37－4 题型三：与圆有关的证明与计算 【例3】（2025∙兰州）如图2－37－5，⊙O是△ABC的外接圆，AB 是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延 长，交⊙O于点E，连接AE，CE． （1）求证：∠ADB=∠AEC； （1）证明：∵BD为⊙O的切线， ∴AB⊥BD，即∠ABD=90°． ∴∠ADB＋∠BAD=90°． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°． ∴∠ABC＋∠BAD=90°．∴∠ADB=∠ABC． 又∵∠ABC=∠AEC，∴∠ADB=∠AEC． （2）若AB=4， cos ∠AEC= ，求OD的长． 　图2－37－5 （2）解：由（1）知∠ADB=∠AEC， ∴ cos ∠ADB= cos ∠AEC= ． 在Rt△ABD中， cos ∠ADB= = ， ∴设BD= x，则AD=3x． ∴AB= =2x． ∵AB=4，∴2x=4. 解得x=2.∴BD=2 ． 在Rt△OBD中，OB= AB=2，BD=2 ， ∴OD= = =2 ． 3. （2025∙苏州）如图2－37－6，在四边形ABCD中，BD=CD， ∠C=∠BAD． 以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E， 连接AE，BE． （1）求证：BC为⊙O的切线； （1）证明：∵BD=CD， ∴∠DBC=∠C． 又∵∠C=∠BAD，∴∠BAD=∠DBC． ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°． ∴∠BAD＋∠DBA=90°． ∴∠DBC＋∠DBA=90°，即∠CBA=90°． ∴AB⊥BC． 又∵OB为⊙O的半径， ∴BC为⊙O的切线． （2）若AB= ， sin ∠AED= ，求BE的长． （2）解：如答图2－37－5，过点D作DF⊥BC于点F． ∵∠ABD=∠AED， ∴ sin ∠ABD= sin ∠AED= ． 在Rt△ABD中，AB= ， 　答图2－37－5 ∴AD=AB∙ sin ∠ABD= × =1. ∴BD= =3. ∵AB⊥BC，DF⊥BC， ∴AB∥DF． ∴∠BDF=∠ABD． ∴ sin ∠BDF= sin ∠ABD= ． 在Rt△BDF中，BF=BD∙ sin ∠BDF=3× = ． ∵BD=CD，DF⊥BC， 　答图2－37－5 ∴BC=2BF= ． ∵四边形ABED内接于⊙O， ∴∠BAD＋∠BED=180°． ∵∠BEC＋∠BED=180°， ∴∠BEC=∠BAD． 又∵∠C=∠BAD， ∴∠BEC=∠C． ∴BE=BC= ． 　答图2－37－5 4. （2024∙宁夏）综合与实践 如图2－37－7①，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线 交外角∠CAM的平分线于点E． 【发现结论】 结论1：∠AEB= ∠ACB； 结论2：当图2－37－7①中∠ACB=90°时，如图2－37－7②所 示，延长BC交AE于点F，过点E作AF的垂线交BF于点G，交AC的 延长线于点H，则AE与EG的数量关系是 ⁠； ​ AE=EG 【应用结论】 （1）求证：AH=GF； 【应用结论】证明：（1）∵∠ACB=90°，EH⊥AF， ∴∠ACF=90°，∠AEH=∠FEH=90°． ∴在Rt△AFC中，∠EFG＋∠EAH=90°； 在Rt△AEH中，∠AHE＋∠EAH=90°． ∴∠EFG=∠EHA． 由结论2可知，AE=EG． 在△EHA和△EFG中， ∴△EHA≌△EFG（AAS）． ∴AH=GF． （2）在图2－37－7②中连接FH，AG，延长AG交FH于点N，补全 图形，求证：FN=NH＋ AE． 证明：（2）补全图形如答图2－37－6所示．在Rt△AEG中， ∠AEG=90°，AE=EG，∴∠EAG=∠AGE=45°， AG= AE． ∴∠NGH=∠AGE=45°．∵△EFG≌△EHA， ∴EF=EH． 答图2－37－6 ∵∠FEH=90°，∴∠EFH=∠EHF=45°． ∴∠AFN=∠FAN=45°，∠NGH=∠NHG=45°． ∴FN=AN，GN=HN． 又∵AN=GN＋AG， ∴FN=HN＋ AE． 5. （2025∙扬州）如图2－37－8，在▱ABCD中，对角线AC的垂直 平分线与边AD，BC分别相交于点E，F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠AEO=∠CFO． ∵EF垂直平分AC， ∴AO=CO，EA=EC． 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（AAS）．∴AE=CF． ∵AE∥CF，∴四边形AFCE是平行四边形． 又∵EA=EC，∴四边形AFCE是菱形． （2）若AB=3，BC=5，CE平分∠ACD，求DE的长． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=3， BC=5， ∴CD=AB=3，∠D=∠B． ∵四边形AFCE是菱形，∴∠ACB=∠ACE． ∵CE平分∠ACD，∴∠DCE=∠ACE． ∴∠DCE=∠ACB． 又∵∠D=∠B， ∴△CDE∽△CBA．∴ = ，即 = ． 解得DE= ．∴DE的长为 ． 6. （2025∙青岛）如图2－37－9，在▱ABCD中，E为AB的中点， F为ED延长线上一点，连接AF，BF，过点B作BG∥AF交FE的延 长线于点G，连接AG． （1）求证：△AEF≌△BEG； （1）证明：∵BG∥AF， ∴∠AFE=∠BGE， ∠FAE=∠GBE． ∵E为AB的中点， ∴EA=EB． ∴△AEF≌△BEG（AAS）． （2）已知 ⁠（从以下两个条件中选择一个作为已 知，填写序号），请判断四边形AGBF的形状，并证明你的结论． 条件①：EF= CD； 条件②：EF⊥CD． （注：如果选择条件①条件②分别进行解答， 按第一个解答计分） ①（或②） （2）解：若选择条件①，则四边形AGBF为矩形． 理由：∵△AEF≌△BEG，∴EF=EG． ∵EA=EB， ∴四边形AGBF为平行四边形． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD． ∵EF= CD，∴EF= AB． ∵EF=EG，∴EF= FG． ∴AB=FG． ∴四边形AGBF为矩形． 若选择条件②，则四边形AGBF为菱形． 理由：∵△AEF≌△BEG， ∴EF=EG． ∵EA=EB， ∴四边形AGBF为平行四边形． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD． ∵EF⊥CD， ∴EF⊥AB． ∴四边形AGBF为菱形． 7. （2025∙辽宁）如图2－37－10，在△ABC中，AC=BC，以AB为 直径作⊙O，与AC相交于点D． 连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图2－37－10①，连接DE，求∠ADE的度数； 解：（1）如答图2－37－7，连接BE． ∵AC=BC，OA=OB， ∴OC⊥AB，即∠AOE=90°． ∴∠ABE= ∠AOE=45°． ∵四边形ABED内接于⊙O， ∴∠ADE=180°－∠ABE=180°－45°=135°． 答图2－37－7 （2）如图2－37－10②，若D为AC的中点，且AC=6，求 的 长． 解：（2）如答图2－37－8，连接OD． ∵∠AOE=90°，D为AC的中点， ∴OD=AD= AC= ×6=3. ∴OD=OA=AD=3. ∴△ADO为等边三角形． ∴∠AOD=60°． ∴∠DOE=∠AOE－∠AOD=90°－60°=30°． ∴ 的长为 = π． 答图2－37－8 $