3.3.3比例、配套及工程问题 课件 -2025-2026学年沪科版 数学七年级上册

该初中数学课件聚焦一次方程与方程组中的比例、配套及工程问题，通过抢收小麦、中成药配料等实际情境导入，以“设每份为x”为学习支架，衔接一元一次方程知识，引导学生用方程解决实际问题。 其亮点在于情境化与结构化结合，以农机收割、投壶游戏等真实问题培养数学眼光，通过间接设元法发展抽象能力与模型意识，分层练习（基础到考试考法）提升应用意识。助力学生建立数学与生活联系，为教师提供高效教学资源。

沪科版（新教材）数学七年级上册 第3章 一次方程与方程组 3.3.3比例、配套及工程问题 例5：三支农机服务队共同为某镇抢收小麦300 hm2. 如果三支服务队收割小麦的面积之比为4∶5∶6，求他们分别收割小麦多少公顷. 【教材P106 例5】 分析：小麦面积共有4+5+6=15份，总计300 hm2. 怎样设未知数，说说你的想法. 3.3.3 一元一次方程的应用——比例、配套及工程问题 教案 一、教学基本信息 1. 授课年级：七年级上册 2. 课时安排：1课时（45分钟） 3. 授课内容：运用一元一次方程解决比例分配问题、产品配套问题及工程问题，掌握三类问题的核心建模思路 4. 授课教师：[教师姓名] 二、教学目标 （一）知识与技能 1. 理解比例分配问题的特征，掌握“设每份为未知数”的建模方法，能准确列方程求解按比例分配的实际问题。 2. 明确产品配套问题的核心等量关系（部件数量成比例），能根据配套比例建立方程解决问题。 3. 掌握工程问题的基本数量关系（工作量=工作效率×工作时间），能处理“单人单工程”“多人合作”等工程问题的方程建模。 4. 进一步强化“审、设、列、解、验、答”的解题流程，提升一元一次方程的综合应用能力。 （二）过程与方法 1. 通过实例分析、小组合作，经历“识别问题类型—提炼核心关系—建立数学模型—求解验证”的过程，培养数据分析和逻辑推理能力。 2. 在对比三类问题的解题思路中，总结“找比例关系”“抓配套比”“定工作量”的共性方法，提升知识迁移能力。 （三）情感态度与价值观 1. 感受一元一次方程在解决生产、分配等实际问题中的工具性作用，体会数学与生活、生产的紧密联系。 2. 在解决复杂问题的过程中，培养耐心细致的思维品质和团队协作意识，增强应用数学的信心。 三、教学重难点 1. 教学重点：比例问题中“设每份为x”的技巧；配套问题中“部件数量比与配套比一致”的等量关系；工程问题中“工作量”的合理设定（尤其是总工作量设为1的方法）。 2. 教学难点：配套问题中多部件、多环节的数量关系梳理；工程问题中“多人不同时工作”“工作效率变化”等复杂情境的建模；三类问题的类型识别与方法选择。 四、教学准备 多媒体课件（含工厂配套场景、工程施工示意图）、三类问题的核心关系卡片、练习题单 五、教学过程 （一）情境导入，分类引题（5分钟） 1. 呈现三个生活生产情境： （1）比例情境：学校将360本图书按3:4:5的比例分给七、八、九年级，三个年级各分得多少本？ （2）配套情境：某车间生产螺栓和螺母，1个螺栓需配2个螺母，现有工人每天能生产螺栓15个或螺母20个，如何安排工人才能使每天生产的螺栓和螺母刚好配套？ （3）工程情境：一项道路维修工程，甲队单独做需10天完成，乙队单独做需15天完成，两队合作几天能完成这项工程？ 2. 引导提问：“这三个问题分别对应生活中的分配、生产、施工场景，它们的数量关系有什么特点？都能用一元一次方程解决吗？” 3. 引出课题：今天我们就来系统学习一元一次方程在比例、配套及工程问题中的应用，掌握这三类问题的解题技巧。 （二）探究新知一：比例分配问题（8分钟） 1. 核心方法：设每份为未知数 回顾比例的基本性质：若量A与量B的比为m:n，则可设A为mx，B为nx（x为每份的量），通过“各部分量之和=总量”列方程。 2. 典型例题讲解 例1：某农场计划将840亩耕地按4:5:7的比例种植玉米、小麦和大豆，三种作物各应种植多少亩？ 引导学生按流程分析： ① 审：已知总量840亩，比例4:5:7，未知三种作物的种植面积。 ② 设：设每份为x亩，则玉米种植4x亩，小麦种植5x亩，大豆种植7x亩。 ③ 列：根据“玉米面积+小麦面积+大豆面积=总耕地面积”列方程：4x + 5x + 7x = 840。 ④ 解：16x = 840 → x = 52.5。则玉米：4×52.5=210亩，小麦：5×52.5=262.5亩，大豆：7×52.5=367.5亩。 ⑤ 验：210+262.5+367.5=840亩，比例210:262.5:367.5=4:5:7，符合题意。 ⑥ 答：玉米应种植210亩，小麦262.5亩，大豆367.5亩。 3. 即时小练 某班共有48名学生，男生与女生人数的比为5:3，求该班男生和女生的人数。（学生口述解题思路，教师点评） （三）探究新知二：产品配套问题（12分钟） 1. 核心关系：部件数量比=配套比 明确配套问题的本质：生产的不同部件需按固定比例组合才能成为完整产品，因此“相关部件的数量比必须等于规定的配套比”，这是列方程的关键等量关系。 2. 典型例题讲解 例2：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母。1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？ 引导梳理数量关系： ① 设变量：设安排x名工人生产螺钉，则(22 - x)名工人生产螺母。 ② 算产量：每天生产螺钉1200x个，生产螺母2000(22 - x)个。 ③ 找等量：螺母数量=2×螺钉数量（1个螺钉配2个螺母，螺母是螺钉的2倍）。 解题步骤： ① 设：设安排x名工人生产螺钉，则(22 - x)名工人生产螺母。 ② 列：2000(22 - x) = 2×1200x。 ③ 解：44000 - 2000x = 2400x → 4400x = 44000 → x = 10。则生产螺母的工人：22 - 10 = 12名。 ④ 验：螺钉产量1200×10=12000个，螺母产量2000×12=24000个，24000=2×12000，刚好配套。 ⑤ 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。 3. 变式练习：多部件配套 例3：某服装厂生产校服，一套校服需1件上衣和2条裤子，现有工人每天能生产上衣30件或裤子40条，现有50名工人，如何安排才能使每天生产的上衣和裤子刚好配套？ 引导分析：设x名工人生产上衣，则(50 - x)名生产裤子，等量关系：裤子数量=2×上衣数量，方程：40(50 - x) = 2×30x，解得x=20，生产裤子工人30名。 （四）探究新知三：工程问题（12分钟） 1. 核心公式与设定 出示核心关系卡片：工作量=工作效率×工作时间；工作效率=工作量÷工作时间；工作时间=工作量÷工作效率。 强调：当工作总量未明确给出时，通常设总工作量为“1”，此时工作效率=1÷单独完成工作的时间（如甲队单独做需10天完成，则甲的工作效率为1/10）。 2. 典型例题1：单人单工程与合作工程 例4：一项工程，甲队单独施工需要15天完成，乙队单独施工需要20天完成，两队合作5天后，甲队因另有任务离开，剩下的工程由乙队单独完成，乙队还需多少天才能完成这项工程？ 引导分步分析： ① 设总工作量为1，甲效率=1/15，乙效率=1/20。 ② 两队合作5天的工作量：5×(1/15 + 1/20)。 ③ 设乙队还需x天完成，剩余工作量：x×(1/20)。 ④ 等量关系：合作工作量+剩余工作量=总工作量1。 解题步骤： ① 设：设乙队还需x天才能完成这项工程。 ② 列：5×(1/15 + 1/20) + (1/20)x = 1。 ③ 解：5×(7/60) + x/20 = 1 → 7/12 + x/20 = 1 → x/20 = 5/12 → x = 25/3 ≈ 8.33（根据实际保留整数为9天，或用分数表示25/3天）。 ④ 答：乙队还需25/3天（或9天）才能完成这项工程。 3. 典型例题2：工作效率变化问题 例5：某工人原计划10小时完成的工作，实际8小时就完成了，该工人的工作效率提高了百分之几？ 引导分析：设总工作量为1，原效率=1/10，实际效率=1/8，效率提高量=实际效率-原效率，提高百分比=（提高量/原效率）×100%。计算：(1/8 - 1/10)÷(1/10)×100% = 25%。 （五）巩固练习，强化提升（5分钟） 1. 比例题：甲、乙、丙三数之和为90，且甲:乙=2:3，乙:丙=3:4，求三数分别是多少？ 2. 配套题：某工厂生产一种零件，需要经过两道工序，第一道工序每人每天可做100个，第二道工序每人每天可做150个，现有10名工人，如何安排两道工序的人数，才能使每天生产的零件刚好通过两道工序？ 3. 工程题：一项工作，甲单独做需8天，乙单独做需12天，丙单独做需24天，现甲、乙合作3天后，甲因事离开，由乙、丙合作完成剩下的工作，还需几天完成？ 学生独立完成，指名汇报，集体订正时重点讲解比例统一、多工序配套、多人合作的等量关系梳理。 （六）课堂小结，梳理方法（2分钟） 1. 比例问题：按比例设每份为x，利用“各部分和=总量”列方程。 2. 配套问题：找准配套比，建立“部件数量比=配套比”的等量关系。 3. 工程问题：总工作量设为1，核心“工作量=效率×时间”，合作效率=各效率之和。 4. 通用步骤：审→设→列→解→验→答，关键是找准问题的核心数量关系。 （七）布置作业，拓展延伸（1分钟） 1. 必做题：教材对应习题，巩固三类问题的方程求解。 2. 选做题：结合生活实际，编写一道比例、配套或工程问题，写出题目、解题过程及等量关系分析，与同学交换批改。 六、板书设计 3.3.3 比例、配套及工程问题 一、比例问题 1. 方法：设每份为x 2. 例1：4x+5x+7x=840→x=52.5→各量为210,262.5,367.5 二、配套问题 1. 核心：部件数量比=配套比 2. 例2：2000(22-x)=2×1200x→x=10（螺钉），12（螺母） 三、工程问题 1. 核心：工作量=效率×时间，总工作量设为1 2. 例4：5×(1/15+1/20)+x/20=1→x=25/3 四、通用步骤：审→设→列→解→验→答 七、教学反思 本节课通过三类典型问题的分类探究，结合实例梳理核心关系，帮助学生建立了清晰的建模思路。比例问题中“设每份为x”的技巧的讲解，有效降低了学生的设元难度；配套问题通过工人数量与产量的关联分析，突破了“找配套比”的难点；工程问题中“总工作量设为1”的设定，让抽象的效率问题变得具体。但课堂反馈显示，部分学生在多部件配套（如三道工序）和多人多阶段工程问题中，仍存在数量关系混淆的问题。后续教学中，需增加“情境拆解”训练，引导学生将复杂问题分解为单一环节，同时强化“画图梳理关系”的方法，让学生通过直观图示提升等量关系提炼的准确性。此外，可增加生活化的综合应用题，提升学生的类型识别能力和知识综合运用能力。 探究新知 探索新知 例5：三支农机服务队共同为某镇抢收小麦300 hm2. 如果三支服务队收割小麦的面积之比为4∶5∶6，求他们分别收割小麦多少公顷. 【教材P106 例5】 解：设收割小麦的面积每份为x hm2，三支服务队收割面积分别为4x hm2，5x hm2，6x hm2． 根据题意，得4x+5x+6x=300. 解方程，得x=20. 4x=80，5x=100，6x=120. 答：三支服务队分别收割小麦80 hm2，100 hm2，120 hm2. 间接设未知数法 比例应用题特征：设每一份为x较为方便. 探究新知 某种中成药需要用到甘草、党参、 苏叶三种材料，其中甘草、党参、苏叶三种材料的质量之比 为1∶2∶4. 求生产210kg这种中成药，需要用到甘草、党参、 苏叶的质量分别是多少千克? 练一练 探究新知 解：设需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是x kg，2x kg，4x kg. 根据题意，得x+2x+4x=210. 解得x=30. 所以2x=60，4x=120. 答：需要用到甘草、党参、苏叶的质量分别是30kg，60kg，120kg. 探究新知 1.为鼓励学生参加体育锻炼，学校计划购买一批篮球和排球.已知篮球和排球的单价之比为4∶3，单价之和为84元，则篮球的单价为_____元，排球的单价为_____元. 48 36 课堂练习 2.长方形的长与宽之比为5∶2，周长为56 cm，求这个长方形的面积. 【教材P106 练习 第1题】 解：设长方形的长为5x cm，则宽为2x cm. 根据题意，得2(5x+2x)=56. 解方程，得x=4. 5x=20，2x=8. 故长方形的面积为20×8=160(cm2). 课堂练习 3.兄弟两人合伙从事经营，哥哥入股250000元，弟弟入股200000元，一年后盈利83520元. 按入股的资金比例分配盈利，兄弟两人各应分得多少元? 【教材P106 练习 第2题】 解：哥哥、弟弟入股的资金比例为250000∶ 200000= 5∶4. 设哥哥应分得盈利5x元，则弟弟应分得盈利4x元. 根据题意，得5x+4x=83520. 解方程，得x=9280. 5x=46400，4x=37120. 答：兄弟两人各应分得46400元和37120元. 课堂练习 4.今年元旦，小颖在如图所示的一张长方形宣纸上的四个正方形格子中写下了“元旦快乐”的毛笔书法作品，已知宣纸的长为108cm，正方形格子的边长相等，正方形格子与纸边之间的边空宽相等，相邻两个字的字距相等，且边空宽、字宽、字距之比为 3∶6∶2，则这张长方形宣纸的面积为_________cm2. 2个边空宽+4个字宽+3个字距=宣纸长 3888 课堂练习 知识点1 比例问题 1.一条绳子长，需按 的比例截成4段，求每段 绳子长多少米.若设每份长为 ，则第一段绳子的长为 ，其余三段绳子的长分别为___________________，可 列方程为________________________. ，， 考试考法 10 2.教材改编题 有某种三色冰激凌 ，咖啡色、红色和白色 配料的比是 ，这种三色冰激凌中咖啡色配料有( ) A A. B. C. D. 考试考法 11 3.甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了24万元，乙投资 了20万元，丙投资了28万元，年终时，共赚得利润27万元，甲、 乙、丙三人按出资比例进行分配，甲可以分得利润___万元. 9 考试考法 12 知识点2 配套问题 主题情境 某中学七年级在操场上举办了趣味运动会，1班和2班负责投 壶游戏里的道具和奖品，请完成<m></m>题. 考试考法 4.已知1个投壶和6支羽箭配成一套道具，其中一个投壶15元， 一支羽箭3元，两个班在投壶道具上的经费是132元，请问如 何分配经费使购买的道具刚好配套呢？设 元购买投壶，则 所列方程正确的是( ) C A. B. C. D. 考试考法 14 5.从两个班中选出28名学生制作长方体礼盒，用来装奖品， 每人每小时可做6个侧面或9个底面，一个礼盒由1个侧面和2 个底面组成，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配 ____名学生做侧面，____名学生做底面. 12 16 考试考法 15 知识点3 工程问题 6.某工程甲队单独完成要25天，乙队单独完成要20天.若乙队 先单独干10天，剩下的由甲队单独完成，设一共用 天完成， 则可列方程为( ) B A. B. C. D. 考试考法 16 7.［2025·合肥月考］某工程队修一条公路，第一天修了全程 的，第二天修了余下的，还剩下 没修，则这条 公路长_______ . 考试考法 17 8.(8分) 真实情境 [2025年1月连云港期末] 某工厂承接一批 太阳能电池板生产任务，请你根据甲、乙两名工人的对话内 容(如图)，解决下列问题. 考试考法 18 (1)问甲、乙两名工人单独加工完这批零件，各需要多少天？ 考试考法 19 解：设甲单独加工完这批零件需要 天，则乙单独加工完这 批零件需要 天，由题意得 ，解得，所以 . 答：甲单独加工完这批零件需要15天，乙单独加工完这批零 件需要10天. 考试考法 20 (2)这批零件先由乙单独加工5天，剩下的部分由甲、乙合作 完成，那么加工完这批零件，甲、乙各获得多少报酬？ 考试考法 21 设剩下的部分由甲、乙合作 天完成， 由题意得，解得 . (元)， (元). 答：加工完这批零件，甲获得480元的报酬，乙获得1 920元 的报酬. 考试考法 22 在比例问题中，合理设未知数是解题的关键，常利用参数法间接设未知数. 如：若甲、乙的配比为m∶n，常常设“每一份”为x，即设甲为mx，则乙可表示为nx，然后根据等量关系建立方程模型. 课堂小结 谢谢观看！ $