精品解析：江苏省南京市鼓楼区三校联考2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

江苏省南京市鼓楼区三校联考2025-2026学年八年级上学期期中数学试题（原卷版） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1. 下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 握手 B. 您好 C. 拜托 D. 谢谢 2. 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ） A. B. 13 C. 或13 D. 14 3. 在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（ ） A. B. C. D. 不确定 4. 如图，长为16cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm 至D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 2cm 5. 甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地，如图所示，先要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ①②③ 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 7. 在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是_________________． 8. 已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为_________． 9. 如图，两车从路段的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达，两地，使得，两地到路段的距离相等，请添加一个条件______，使得和全等（写出一个即可）． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，连接，则的长度为 ___________． 11. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 12. 如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的周长为 _______． 13. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________． 14. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为2，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为_____． 15. 如图，在中，，以为边分别作正方形和正方形，若图中阴影部分的面积为16，，则的长为______． 16. 如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则 ____________________． 三、解答题（本大题共10小题，共86分） 17. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的周长． 18. （1）作出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标：_____________； （2）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． （3）求的面积． 19. 如图，四边形纸片，．经测得，，，． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 20. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在中，，求证：． 法一：如图1，在上取一点，使得，接． 法二：如图2，延长到，使得，连接． 图1 图2 你选择方法_______ 证明： 21. 我们知道在任意直角三角形中有一个重量级定理——勾股定理！即如图一，在直角三角形中，，，，则有：．为了论证这个定理，数学家脑洞大开，用四个这样全等的直角三角形拼成图二，请同学们完成下列提问． （1）求证：四边形和四边形都是正方形； （2）利用图二，求证：． 22. 已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． （1）如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； （2）在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； （3）如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 23. 已知一个等腰三角形的底边长a，底边上的高长b． （1）求作等腰三角形，底边上的高为（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）若，则的长为______． 24. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长至点，连接交于点，若，求． 25. 已知等腰三角形的一边长为10，面积为30，求该等腰三角形的另两边长． 26. 已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点． （1）当点在对角线上时． ①如图1，连接，，求证：． ②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长． （2）如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市鼓楼区三校联考2025-2026学年八年级上学期期中数学试题（原卷版） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 1. 下列四幅七巧板拼成的“人形”图形中，是轴对称图形的是（ ） A. 握手 B. 您好 C. 拜托 D. 谢谢 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 若5，a，12是一组勾股数，则a的值为（ ） A. B. 13 C. 或13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】分a为最长边，12为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：①a为最长边，a=，三边是整数，能构成勾股数，符合题意； ②12为最长边，a=，不是正整数，不符合题意． 故选：B． 【点睛】考查了勾股数的定义，解答此题要用到勾股数的定义及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形． 3. 在网格中，三角形的顶点在格点上，求的值（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了勾股定理和勾股定理逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理和勾股定理逆定理得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，长为16cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升6cm 至D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A. 6cm B. 5cm C. 4cm D. 2cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知：AB=16cm，DC垂直平分AB，DC=6cm，从而得到：AC=8cm，AD=BD，利用勾股定理即可求出AD的长，从而求出橡皮筋被拉长了的长度. 【详解】解：由题意可知：AB=16cm，DC垂直平分AB，DC=6cm ∴AC=AB=8cm，AD=BD 根据勾股定理可得：AD=cm ∴橡皮筋被拉长了：AD＋BD－AB=10＋10－16=4cm 故选C. 【点睛】此题考查的是垂直平分线的性质和勾股定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等和用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键. 5. 甲、乙、丙、丁四位同学解决以下问题，请你选出正确的作图是（　　） 问题：某旅游景区内有一块三角形绿地，如图所示，先要在道路边上建一个休息点，使它到和两边的距离相等，在图中确定休息点的位置 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到和两边的距离相等，可得点在的角平分线上，据此判断即可． 【详解】解：∵点到和两边的距离相等， ∴点在的角平分线上， 甲图所作为和的角平分线的交点，点不在边上，不符合题意； 乙图与没有相交，不符合题意； 丙图所作为的角平分线与交于点，符合题意； 丁图所作为线段的垂直平分线，不能使到和两边的距离相等，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了尺规作图，作角平分线以及垂直平分线，熟练掌握尺规作图作角平分线以及垂直平分线是解本题的关键． 6. 如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点及点，都是格点，与格线交于点，与交于点．则有以下四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①④ C. ③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理得出，，即可判断①；连接、，则，，证明，由相似三角形的性质即可判断②；取格点、，连接、、，则，，证明，得出，求出，结合，得出，即可判断③；由勾股定理逆定理得出是直角三角形，且，推出，即可判断④． 【详解】解：由勾股定理可得：，， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接、，则，， ， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 取格点、，连接、、，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； 取格点、，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 7. 在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，对称轴最多的图形是_________________． 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】分别找出各图形的对称轴条数，进行判断即可填空． 【详解】解：在“线段、角、直角三角形、等边三角形”这四个图形中，直角三角形不是轴对称图形，是轴对称图形的有线段、角、等边三角形；角有一条对称轴，线段有两条对称轴，等边三角形有3条对称轴， 所以对称轴最多的是：等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【点睛】本题考查了轴对称的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 8. 已知等腰三角形的顶角为，则底角的度数为_________． 【答案】40度## 【解析】 【分析】此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和，掌握等边对等角和三角形的内角和定理是解决此题的关键． 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角为， ∴这个等腰三角形的底角的度数为， 故答案为：． 9. 如图，两车从路段的两端同时出发，沿着某个方向行驶一段时间后分别到达，两地，使得，两地到路段的距离相等，请添加一个条件______，使得和全等（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握基本判定方法是解题关键．结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 添加一个条件为， ，，， ， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，，点E是的中点，连接，则的长度为 ___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边的中线性质，勾股定理，掌握菱形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质和直角三角形的性质求出的长，再根据勾股定理求出的长，最后利用直角三角形的性质求的长． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O，， ∴， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：5． 11. 如图，已知，以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别与、相交于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点，作射线．分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，作直线分别与，相交于点，．若，，则到的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，证明，，，再证明，再结合勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，过作于， 由作图可得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴到的距离为； 故答案为： 【点睛】本题考查了作图−复杂作图：基本作图，三角形的内角和定理的应用，勾股定理的应用，等腰三角形的判定，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质，逐步操作． 12. 如图，在中，，的垂直平分线交于M，交于E，的垂直平分线交于N，交于F，则的周长为 _______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式即可得解，熟记：“线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等”是解题的关键． 【详解】解：的垂直平分线交于M， ， 同理可得：， 则的周长， 故答案为：10． 13. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案． 【详解】解：如图，先标注点与角， 由对折可得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键． 14. 如图，图1是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成．若图1中大正方形的面积为22，小正方形的面积为2，现将这四个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为_____． 【答案】42 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用和勾股定理的应用，解题的关键是理解题意． 设直角三角形的两直角边为，斜边为，根据图1，结合已知条件得到，，进而求出的值，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为，斜边为， ∵图1中大正方形的面积是22， ， ∵小正方形的面积是2， ， ， ∴图2中最大的正方形的面积， 故答案为：42． 15. 如图，在中，，以为边分别作正方形和正方形，若图中阴影部分的面积为16，，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式求线段长，涉及直角三角形面积、正方形面积公式、完全平方和公式等知识，由题中直角三角形面积、正方形面积列式，最后结合完全平方和公式代值求解即可得到答案，熟练掌握完全平方和公式是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 图中阴影部分的面积为16， ， ，解得， ， 故答案为：． 16. 如图所示，在等腰中，，点为射线上的动点，，且，与所在的直线交于点，若，则 ____________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，分情况①点在上，②点在的延长线上，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：①点在上， 作，交的延长线于， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 根据题意知，， 设，则， ， ， ∴； ②如图，点在的延长线上，作于， 用①中同样的解法可以得到，， 设，，， ， ∴． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共10小题，共86分） 17. 如图，在四边形中，，，，垂足分别为，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：，， ， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．解题关键在于通过证明三角形全等得出边平行关系以判定平行四边形；利用勾股定理结合已知线段长度求出平行四边形的边长，进而求出周长． （1）由，通过，得到 ，再结合，利用“”（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）定理证明 ．全等三角形对应角相等，得到 ，根据内错角相等两直线平行，推出 ，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，从而得证． （2）先求出的长度为 ．在中，已知， ，根据勾股定理（其中为斜边，、为两直角边）求出的长度．因为，在中，再根据勾股定理求出的长度．由于四边形是平行四边形，平行四边形对边相等，得出， ，最后根据平行四边形周长公式求出周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ，， ， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形的周长为． 18. （1）作出关于轴对称的图形，并写出点、的坐标：_____________； （2）在轴上找一点，使得最小（画出图形，找到点的位置）． （3）求的面积． 【答案】（1）如图，即为所求； ；； （2）如图，点即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）作出△三个顶点关于轴的对称点，依次连接即可； （2）连接，与轴的交点即为所求点，即根据两点之间线段最短，得； （3）利用割补法即可求解． 本题考查了作轴对称图形，两点间线段最短，割补法求图形面积； 【详解】（1）略 （2）略 （3）． 19. 如图，四边形纸片，．经测得，，，． （1）求A、C两点之间的距离． （2）求这张纸片的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． （1）由勾股定理可直接求得结论； （2）根据勾股定理逆定理证得，由于四边形纸片的面积，根据三角形的面积公式即可求得结论． 【小问1详解】 解：连接，如图． 在中，，，，， ∴， 解得（负值舍去） 即A、C两点之间的距离为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴四边形纸片的面积 ． 20. 同学们在做题时，经常用到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这个定理，下面是两种添加辅助线的证明方法，请你选择一种进行证明． 已知在中，，求证：． 法一：如图1，在上取一点，使得，接． 法二：如图2，延长到，使得，连接． 图1 图2 你选择方法_______ 证明： 【答案】 解：法一：在上取一点D，使得，连接， ∵， ， 是等边三角形， ，， ， ， ; 法二：延长到D，使得，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵在中，，， ， 是等边三角形， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质； 法一：在上取一点D，使得，连接，推出是等边三角形，再利用等角对等边证明，据此即可证明； 法二：延长到D，使得，连接，推出垂直平分，证明是等边三角形，据此即可证明． 【详解】略 21. 我们知道在任意直角三角形中有一个重量级定理——勾股定理！即如图一，在直角三角形中，，，，则有：．为了论证这个定理，数学家脑洞大开，用四个这样全等的直角三角形拼成图二，请同学们完成下列提问． （1）求证：四边形和四边形都是正方形； （2）利用图二，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形； （2） 证明：∵， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的证明，正方形的判定，熟记正方形的判定方法是关键； （1）由全等三角形的性质证明四边形和四边形都是菱形，再证明有一个内角是直角即可； （2）利用等面积法证明即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． （1）如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； （2）在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ； （3）如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵点P为平分线上一点，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴； （2） （3）32 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，可证明，可得，再证明，可得，从而得到，再由四边形的面积为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 23. 已知一个等腰三角形的底边长a，底边上的高长b． （1）求作等腰三角形，底边上的高为（请用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．） （2）若，则的长为______． 【答案】（1） 为所作； （2） 【解析】 【分析】（1）先在射线上截取，再作的垂直平分线，垂足为点，然后在垂直平分线上截取，则满足条件； （2）根据等腰三角形的“三线合一”得到平分，则，所以为等边三角形，从而得到． 【小问1详解】 解：先在射线上截取，再作的垂直平分线，垂足为点，接着截取， 【小问2详解】 ，， 平分， ， 为等边三角形， ． 【点睛】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质及等边三角形点判定与性质． 24. 如图，在四边形中，，，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）延长至点，连接交于点，若，求． 【答案】（1） 证明：在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据即可证明四边形是菱形； （2）过点作，交于点，则，得到，再由菱形的性质和勾股定理得，则，证明，得到，然后证明，得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，，，， ，，， 如图，过点作，交于点， 则， ， 四边形是菱形， ，互相垂直平分， 在中, ，， ，， ， ， ，， ， ， 点、、在同一条直线上， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握菱形的判定与性质． 25. 已知等腰三角形的一边长为10，面积为30，求该等腰三角形的另两边长． 【答案】，或或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 分类讨论，再分别画出图形并利用等腰三角形的性质及勾股定理分析求解即可． 【详解】解：设中，，过点C作于点D， ∴，即， 解得：． 分三种情况： ①如图所示： 当为底边时，， ∴； ∴等腰三角形的另两边长为，； ②如图所示： 当为腰且三角形为锐角三角形时， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴等腰三角形的另两边长为； ③如图所示： 当为腰且三角形为钝角三角形时， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴等腰三角形的另两边长为； 答：等腰三角形的另两边长为，或或． 26. 已知正方形的边长是7，点为正方形内一动点． （1）当点在对角线上时． ①如图1，连接，，求证：． ②若，点是正方形边上一点，当时，求线段的长． （2）如图2，若，点是线段上一点，当时，求的最小值． 【答案】（1） ①证明：∵是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②，或 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质，利用证明，即可得到结论； ②分为点与点重合时，则；然后根据点F在或上或点F在或上两种情况画图，分别构造等腰三角形，利用股定理解题即可． （2）在上截取，连接，则有，即，可以得到当点D，E，Q共线时，最小，即长，然后利用勾股定理解题即可． 【小问1详解】 ①略 ②如图，当点与点重合时，则； 当点F在或上时，由（1）可得长相等， 过点作交，于点G，H， 则为矩形， ∴， 又∵， ∴ 设，则则， 则有，即， 解得：或（舍去）， 又∵ ∴， ∴； 当点F在或上时，可得长相等，即长相等， 则， ∴； 综上所述，长为，或； 【小问2详解】 解：在上截取，连接， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，E，Q共线时，最小，即长， 这时，， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $