精品解析：山东省泰安市高新技术产业开发区2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试初二数学练习题 （考试时间120分钟，满分150分） 本试题分Ⅰ、Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分．全卷满分150分． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A. B. C. D. 3. 在中，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形 C. 如果，那么是直角三角形且 D. 如果，那么是直角三角形 4. 如图，，，，下列条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 5. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，，且．若的长度为，则此时、两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一张长方形纸片对折，再对折，然后沿第三个图中的虚线剪下，将剪下的三角形纸片（一条直角边长，斜边长）展开，得到一个四边形，这个四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为，下列说法正确的是（ ） A. 点是的中点 B. 的垂直平分线一定不经过点 C. 点到三边距离相等 D. 点到三个顶点距离相等 9. 如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题，110分） 二、填空题（本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是_____． 12. 若等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰长是______cm． 13. 如图，，点D在边上，，则的度数为______°． 14. 把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则______用含m的式子表示 15. 如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是_____． 三、解答题（共8小题，满分90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，小明设计如下方案：从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取，过点D作，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，说明他设计的道理． 17. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线与分别相交于E和D，连接． （1）若，求的度数． （2）若，的周长为，求的周长． 18. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点都在小正方形的顶点上， （1）在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点； （2）求四边形的面积． 20. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 21. 在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 22. 如图所示，在和中，，，． （1）求证：； （2）若的延长线交于点F，交于点G，，，，求的度数． 23. 问题情境： 在学习课本“问题解决策略：特殊化”后，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动． 【探究发现】兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并如图①绕点O旋转，初步探究：猜想线段与的关系，并加以证明； 【类比探究】如图②，四边形和四边形都是正方形，将顶点A与顶点E重合，正方形绕点A逆时针方向旋转，连接，．试猜想线段与的关系，并加以证明： 【拓展提升】 如图③，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试初二数学练习题 （考试时间120分钟，满分150分） 本试题分Ⅰ、Ⅱ卷，第Ⅰ卷为选择题，40分；第Ⅱ卷为非选择题，110分．全卷满分150分． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分） 1. 下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就画出一个与原三角形形状大小完全一样（即全等）的三角形，这两个三角形全等的依据为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 由图形可知三角形的两角和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边，小明所画的三角形与原来三角形全等， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：C． 3. 在中，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形 C. 如果，那么是直角三角形且 D. 如果，那么是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，故是直角三角形，结论正确，不符合题意； B、，则：，故是直角三角形，结论正确，不符合题意； C、如果，那么是直角三角形且，原结论错误，符合题意； D、如果，则：，故，故，那么是直角三角形，结论正确，不符合题意； 故选C． 4. 如图，，，，下列条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，如图，设交于点，延长交于点，先利用平行线的性质得到，根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．解题的关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、（仅用于直角三角形全等的判定）并能根据情况选用适当的方法进行全等的判定． 【详解】解：如图，设交于点，延长交于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，根据可判断，故选项A不符合题意； 当时，这是“两边及一边的对角对应相等”的形式，不能判断，故选项B符合题意； 当时，根据可判断，故选项C不符合题意； 当时，， ∵， ∴， ∴，根据可判断，故选项D不符合题意． 故选：B． 5. 《九章算术》“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为 ． 故选：D 6. 如图是某种落地灯的简易示意图，已知悬杆与支杆，，且．若的长度为，则此时、两点之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定方法．连接，证明为等边三角形，得出即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴． 故选：C． 7. 如图，将一张长方形纸片对折，再对折，然后沿第三个图中的虚线剪下，将剪下的三角形纸片（一条直角边长，斜边长）展开，得到一个四边形，这个四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意可知，这个四边形是由四个完全相同的直角三角形组成的，利用勾股定理求出这个三角形纸片的另一直角边的长即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得剪下的三角形纸片的另一直角边的长为， ∵这个四边形是由四个完全相同的直角三角形组成的， ∴这个四边形的面积是， 故选：A． 8. 在中，小明的作图痕迹如图所示，他作出的两条线的交点为，下列说法正确的是（ ） A. 点是的中点 B. 的垂直平分线一定不经过点 C. 点到三边距离相等 D. 点到三个顶点距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、尺规作图，由尺规作图可知是的平分线，是的垂直平分线，根据角平分线的性质和垂直平分线的性质判断即可． 【详解】解：由作图可知是的平分线，是的垂直平分线， ， ， 点不是的中点， 故A选项不正确； ，是的平分线， 是的垂直平分线， ， 点在的垂直平分线上， 故B选项不正确； 、不是、的平分线， 点到三边的距离不一定相等， 故C选项不正确； 、分别是、的垂直平分线， 点到三个顶点距离相等， 故D选项正确． 故选：D． 9. 如图，在中，，点D，E，F分别是三边的中点，，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，根据矩形的性质与判定求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明四边形是矩形，再根据矩形面积公式求解即可． 【详解】解：∵在中，点D，E，F分别是三边的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴，， ∴四边形的面积是()， 故选：B． 10. 如图，在中，，的角平分线、相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故结论②正确； ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故结论③错误； 又∵， ∴， 即，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题，110分） 二、填空题（本大题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分） 11. 如图所示，在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是_____． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形稳定性的知识，理解三角形的稳定性是解题关键．根据三角形的稳定性，即可获得答案． 【详解】解：在杭州亚运会上一名中国运动员在跪姿射击时是由左手、左肘、左肩、右肩构成两个三角形，这样做的数学依据是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 12. 若等腰三角形的周长为20cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的腰长是______cm． 【答案】7.5 【解析】 【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（20-5）÷2=7.5（cm），能够组成三角形； 当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是20-5×2=10（cm），不能够组成三角形． 故答案为7.5． 【点睛】此题考查等腰三角形性质，三角形的三边关系定理的应用，解题关键在于利用分类讨论的思想方法． 13. 如图，，点D在边上，，则的度数为______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的性质及等边对等角是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，由等边对等角可得，由三角形的内角和定理可得，最后根据即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 把两个相同的含有角的直角三角尺像如图所示那样放置，其中M是与的交点，，若，则______用含m的式子表示 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，列代数式，关键是由角平分线的性质推出． 过M作于H，由角平分线的性质推出，于是得到． 【详解】解：过M作于H， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在等腰中，，，于，点、分别是线段、上的动点，则的最小值是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题．作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值． ，是边上的中点， 是的平分线， ， 是点到直线的最短距离（垂线段最短）， ，，是边上的中点， ， ， 故的最小值是：3， 故答案为：3． 三、解答题（共8小题，满分90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，小明设计如下方案：从点B出发沿河岸画一条射线BF，在BF上截取，过点D作，取点E使E，C，A在同一条直线上，则DE的长就是A，B之间的距离，说明他设计的道理． 【答案】 解：， ， 在和中， ， ， ， 即的长就是、两点之间的距离． 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等解答； 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 17. 如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，直线与分别相交于E和D，连接． （1）若，求的度数． （2）若，的周长为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图： （1）由作法得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再根据三角形的内角和定理以及外角的性质，即可求解； （2）根据的周长为，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：由作法得垂直平分， ∴， ， ∵， ， 又， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为， 即，， ∴， 即， ∴的周长为． 18. 如图，是的高线，E为边上的一点，连接交于点F，． （1）求的度数； （2）若平分，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的定义和性质，三角形有关的线段： （1）由三角形外角的定义及性质可得再由三角形内角和定理结合对顶角相等得出 最后再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得 再由三角形内角和定理计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵是的高线， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∴． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点都在小正方形的顶点上， （1）在图中画出，使与关于所在直线对称，点与点是对称点； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：． 20. 如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【解析】 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 21. 在中，；在中，．证明： ①； ②连接交于点，求的度数． 【答案】 ①证明：∵， ∴，即 在和中， ， ∴， ∴； ② 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． ①先证明，再证明，即可证明； ②先由三角形内角和定理得到，再导角证明，据此可得答案． 【详解】证明：①略； ②∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图所示，在和中，，，． （1）求证：； （2）若的延长线交于点F，交于点G，，，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，由三角形内角和定理求出的度数，再根据角的和差关系可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 问题情境： 在学习课本“问题解决策略：特殊化”后，同学们以“正方形的旋转”为主题开展活动． 【探究发现】兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并如图①绕点O旋转，初步探究：猜想线段与的关系，并加以证明； 【类比探究】如图②，四边形和四边形都是正方形，将顶点A与顶点E重合，正方形绕点A逆时针方向旋转，连接，．试猜想线段与的关系，并加以证明： 【拓展提升】 如图③，将两个大小一样的正六边形按照一个正六边形的顶点与另一个的中心重合的方式摆放．探究重叠部分的面积和一个正六边形面积之间的数量关系，请求出探究结果． 【答案】 【探究发现】； 证明：∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴． [类比探究]：证明：如图1， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【拓展提升】 【解析】 【分析】[探究发现]根据余角性质得，结合，，可得，即得； [类比探究]由余角性质得，由，，得，即得； [拓展提升]连接OA，OB，证明，由，，得，即得． 【详解】[探究发现]：略 ] [类比探究]： 略 [拓展提升]：如图，连接OA，OB， 由题意得，，， ∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积．即． 【点睛】本题主要考查了正多边形旋转，熟练掌握正方形和正六边形性质，旋转性质，余角性质，角的和差性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $