5.6.1 匀速圆周运动的数学模型课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

这是一份高中数学同步教学课件，聚焦匀速圆周运动的数学模型，通过新课导入明确数学建模流程，结合筒车实例抽象运动要素，推导高度与时间的三角函数关系，辅以摩天轮例题剖析及课堂总结，构建完整学习支架。 资料特色突出核心素养培养，以筒车（古代科技）和摩天轮（生活情境）为载体，引导学生用数学眼光观察周期性运动，通过参数分析与函数推导发展数学思维，最终用三角函数模型表达高度关系体现数学语言，助力学生理解建模过程，为教师提供情境化教学范例。高一学生正处于抽象思维发展关键期，需从具体实例入手理解数学建模，本资料通过生活化情境降低抽象难度，帮助学生逐步形成从实际问题中抽象数学模型的能力，适应高中数学学习要求。

5.6.1 匀速圆周运动的数学模型 作者编号：32006 学习目标 1. 经历匀速圆周运动数学建模的过程，了解正弦型函数的现实背景，体会三角函数与现实世界的紧密联系. 2. 掌握匀速圆周运动的数学模型，会用其解决相关的实际建模问题，进一步巩固三角函数的图像与性质. 作者编号：32006 新课导入 数学模型是将现实问题转化为数学语言进行描述和分析的工具，通过抽象简化复杂现象，建立数学表达式或逻辑框架，便于研究规律、预测结果或优化决策。数学模型的核心在于对现实问题的数学抽象。 实际问题 数学语言 数学模型 解决 根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解、检验、分析，再利用该数学模型去解决实际问题，叫做数学建模 作者编号：32006 新课导入 我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数刻画. 对于一个一般匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？ ？ 作者编号：32006 新课学习 筒车又称 “天车” 、“竹车” 、“水轮”、“水车”，是中国古代发明的一种灌溉工具，它省时、省力，环保、经济. 明朝科学家徐光启在《农政全书》用图画描绘了筒车的工作原理 作者编号：32006 作者编号：32006 新课学习 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.你能用一个合适的函数模型来刻画盛水桶（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？ 因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律. 水面 作者编号：32006 思考 与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？ ？ 将筒车抽象为一个几何图形，设经过后，盛水筒从点运动到点． 水面 作者编号：32006 由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H，由以下量所决定： 新课学习 水面 筒车转轮的中心到水面的距离，筒车的半径， 筒转动的角速度，盛水筒的初始位置以及所经过的时间． 以为原点，以与水面平行的直线为轴建立直角坐标系. 设时，盛水筒位于，以为始边，为终边的角为， 经过后运动到点则为终边的角为 作者编号：32006 水面 新课学习 所以. ① 所以，盛水筒距离水面的高度 与时间的关系是 ② 函数②就是要建立的数学模型. 作者编号：32006 例题剖析 例1 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距地面高度为，转盘直径为，设置有个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到离地面最近的位置进舱，转一周大约需要． （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； 作者编号：32006 （2）求游客甲在开始转动后离地面的高度； （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差关于的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）. 例题剖析 分析：摩天轮上的座舱运动可以近似的看作是质点在圆周上做匀速旋转.在旋转过程中，游客距离地面的高度呈现周而复始的变化，因此可以考虑用三角函数来刻画. 作者编号：32006 解：设座舱距离地面最近的位置为点以轴心为原点，与地面平行的直线为轴建立直角坐标系 A B (1)设时，游客甲位于点，以为终边的角为； 根据摩天轮转一周大约需要30，可知座舱转动的角速度约为，由题意可得：. (2)当时，. 所以，游客甲在开始转动后离地面的高度约为37.5 (3)甲、乙两人的位置分别用点A,B表示，则∠.经过后甲距离地面高度为，点B相对于点A始终落后，乙距离地面高度为. 作者编号：32006 例题剖析 甲、乙距离地面的高度差 利用,得 ，. 当的最大值为110. 所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为7.2. 作者编号：32006 课堂总结 转化 构建 匀速圆周运的 数学模型 作者编号：32006 数学 问题 三角函数模型 求解三角函数问题 解决实际问题 实际 问题 $