精品解析：陕西省宝鸡市陈仓区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量检测试题（卷）九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行排除选项即可． 【详解】解：A、由于二次项系数的取值不确定，当时，该方程不是一元二次方程，故不符合题意； B、是一元二次方程，故符合题意； C、不是一元二次方程，故不符合题意； D、不是一元二次方程，故不符合题意； 故选：B． 2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段的定义．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、，四条线段不是成比例线段，故A选项不符合题意； B、，四条线段不是成比例线段，故B选项不符合题意； C、，四条线段是成比例线段，故C选项符合题意； D、，四条线段不是成比例线段，故D选项不符合题意． 故选：C． 3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率估计概率的原理，摸到红球的频率稳定在，则红球的概率约为，由此可计算红球个数，进而得到黄球个数． 【详解】解：∵摸到红球的频率稳定在， ∴红球的概率约为， ∴红球个数约为（个）， ∴黄球个数约为（个）． 故选：D． 4. 如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 根据菱形的判定方法逐一进行分析即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，， 不能证明平行四边形是菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 【答案】A 【解析】 【分析】先由，求得的比，再由DE//BC，根据平行线分线段成比例定理，可得，然后由EF//AB，根据平行线分线段成比例定理，可得，则可求得答案． 【详解】解：， ， ∵DE//BC， ， ∵EF//AB， ． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，注意掌握比例线段的对应关系是解此题的关键． 6. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金比例求解即可． 【详解】解：∵一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为， ∴它的宽， 故选：D． 【点睛】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键． 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 40 B. 80 C. 160 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等．熟练掌握菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，是解题的关键． 由菱形的性质得，则，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积． 故选：B． 8. 已知是矩形对角线的交点，作，，相交于点，连接．下列说法正确的是( ) ①四边形为菱形；②；③；④若，则 A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先证明四边形DEAO是平行四边形，再根据四边形ABCD是矩形，可得OA＝OD，进而得出四边形DEAO为菱形，①正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，②错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，③错误；连接OE，求出OE＝OB＝OD，证明△DEO是等边三角形，可得∠ADB＝∠EBD＝30°，然后证明△ABD≌△EDB即可得出④正确． 【详解】解：①∵DEAC，AEBD， ∴四边形DEAO是平行四边形， ∵四边形ABCD是矩形， ∴OA＝OD， ∴四边形DEAO为菱形，故①正确； ②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误； ③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误； ④如图，连接OE， ∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点， ∴OE＝OB＝OD， ∵四边形DEAO为菱形， ∴DE＝OD， ∴△DEO是等边三角形， ∴∠EDO＝60°， ∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°， ∴∠ADB＝∠EBD， 又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB， ∴△ABD≌△EDB（AAS）， ∴AD＝BE，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，灵活运用各性质是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．由可设，再代入即可解答． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：6． 10. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 11. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是______． 【答案】0.78 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识：在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率．根据表格中的数据解答即可． 【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率大约是0.78． 故答案为：0.78． 12. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度为，则树高__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理求得，然后利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高． 【详解】解：在中，，， ∴， ，， ， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 13. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 三、解答题（共10小题，共81分） 14. 用配方法解方程：． 【答案】, 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解．据此解答即可． 【详解】解： 或 ∴，． 15. 用适当的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． 先移项，再利用因式分解—提公因式法解一元二次方程即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ∴或， 解得，． 16. 如图，在菱形中，过点作于点，过点作于点，求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形， ，． ，， ． 在与中， ． ． 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质．熟知菱形的性质证全等是解题的关键．根据菱形的性质和垂线的定义，证明即可解答． 【详解】略 17. 如图，在中，点是边上的中点，请用尺规作图的方法在上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点E即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图—相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定，根据作一个等于已知角的作图方法，在的内部，作，交于点，再由即可得到． 【详解】略 18. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 【答案】（1） 证明：在中，，于点， ，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先利用同角的余角相等证出，再利用两角判定法证得即可； （2）由（1）可得，再根据相似三角形的性质得到，然后将已知线段代入，即可求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ． 19. 2025年9月3日为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年在北京隆重举行了大阅兵．某学校开展“阅兵精神进校园”为主题的演讲比赛，有以下三个主题，分别是：A．抗战英雄事迹；B．阅兵装备科普；C．强军精神语录，主办方将三个主题分别写在三张卡片上（卡片除所写内容外完全相同），将卡片背面朝上，洗匀放好．参赛选手小明和小华需从中随机抽取一张卡片，卡片上所写的主题即为演讲主题． （1）小明抽到的主题是“阅兵装备科普”的概率为 ． （2）小明从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回，洗匀，小华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率． 【答案】（1） （2） 小明抽取后放回，两人的抽取结果（小明，小华）有如下表： A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录 A．抗战英雄事迹 B．阅兵装备科普 C．强军精神语录 由表格可得共9种等可能结果， 则找出“至少有一人抽到A”的结果有：、、、、，共5种， ∴小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率为． 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法求概率，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据题意直接利用概率公式可得答案； （2）用表格表示出两人的抽取结果，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，总共有3个主题卡片，“阅兵装备科普（B）”是其中1个， ∴小明抽到该主题的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方． 设彩色纸带的宽为，根据题目条件由面积公式列出方程，求出其解就可以． 【详解】解：设彩色纸带的宽为， 根据题意，得， 解方程，得，（不合题意，舍去)． 答：彩色纸带的宽为． 21. 某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量古塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，点在同一水平线上．请你求出古塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 【答案】凌霄塔的高度为40米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键． 先证明，求出的长，再证明即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，，， ， 由平面镜反射可知，， ， 米，米，米， ， 米， 米， 米， ，， ， ， ， ， 米， 凌霄塔的高度为40米． 22. 已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 【答案】（1） 证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）7． 【解析】 【分析】（1）先计算判别式，将结果写成完全平方形式，再根据判别式的意义得出结论． （2）运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵等腰三角形的底边长3，另两边长恰好是这个方程的两根， 即以3为底，则，为腰， ∴以3为底，，为腰能构成等腰三角形， ∴周长 ∴等腰三角形的周长为7． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，本题第二问，运用因式分解法求得到方程的两个根，根据等腰三角形性质，求出等腰三角形的周长． 23. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AB∥CD， 又∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AC＝BE， ∴BD＝BE； （2）24 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC＝BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC＝BE，从而得证； （2）如图，过点O作OF⊥CD于点F，根据平行四边形的性质得出AC＝BE，求出OF和EF的长，从而求得三角形的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点O作OF⊥CD于点F， ∵由（1）知：四边形ABEC为平行四边形， ∴AC＝BE， ∴BE＝BD＝10， ∵△BCD≌△BCE， ∴CD＝CE＝6， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝OB，∠BCD＝90°， ∵OF⊥CD， ∴OF∥BC， ∴CF＝DF＝CD＝3， ∴EF＝6+3＝9， 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC＝8， ∵OB＝OD， ∴OF为△BCD的中位线， ∴OF＝BC＝4． ∴△ODE的面积为DE•OF＝×12×4＝24． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键，题目综合性比较强，难度偏大． 24. “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到169亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低0.5元，每天可多售出25千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为 （2）销售单价应降低3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该基地 “户太八号”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2022年及2024年“户太八号”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，根据总利润=每千克的利润×销售数量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为x，由到2024年年底的种植面积达到169亩得：， 解得（舍去）， 答：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为； 【小问2详解】 解： 设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据每天可获利1750元得：， 整理得：， 解得：． 为了尽快减少库存，则销售单价应降低3元， 答：销售单价应降低3元． 25. 【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． （1）【提出问题】，，之间的数量关系为______； （2）【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 【答案】（1） （2） 解：成立，证明如下：延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ，， ，， ，， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，先证明≌，再证明从而得到、、之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系； （3）延长到点，使，连接，先证明，再证明，从而得到、、之间的数量关系，将的周长转化为的长． 【小问1详解】 解：延长到点，使，连接， 四边形是正方形， ，， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长到点，使，连接， 则， 与互补， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测试题（卷）九年级数学 （时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，一项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，， 3. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸到红球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数可能是（ ） A. 2 B. 6 C. 8 D. 12 4. 如图，平行四边形，对角线，交于点，添加下列条件，不能使平行四边形变为菱形的是（ ） A. B. C. 平分 D. 5. 如图，已知在中，点、、分别是边、、上的点，DE//BC，EF//AB，且，那么等于（ ） A. 5∶8 B. 3∶8 C. 3∶5 D. 2∶5 6. 一本书的宽与长之比为黄金比，书的长为14cm，则它的宽为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则菱形的面积为（ ） A. 40 B. 80 C. 160 D. 8. 已知是矩形对角线的交点，作，，相交于点，连接．下列说法正确的是( ) ①四边形为菱形；②；③；④若，则 A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ③④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若，则_____． 10. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 11. 在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下： 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “有2个人同月过生日”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “有2个人同月过生日”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是______． 12. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度为，则树高__________． 13. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 三、解答题（共10小题，共81分） 14. 用配方法解方程：． 15. 用适当的方法解方程：． 16. 如图，在菱形中，过点作于点，过点作于点，求证：． 17. 如图，在中，点是边上的中点，请用尺规作图的方法在上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，，于点． （1）求证：； （2）若，，求． 19. 2025年9月3日为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年在北京隆重举行了大阅兵．某学校开展“阅兵精神进校园”为主题的演讲比赛，有以下三个主题，分别是：A．抗战英雄事迹；B．阅兵装备科普；C．强军精神语录，主办方将三个主题分别写在三张卡片上（卡片除所写内容外完全相同），将卡片背面朝上，洗匀放好．参赛选手小明和小华需从中随机抽取一张卡片，卡片上所写的主题即为演讲主题． （1）小明抽到的主题是“阅兵装备科普”的概率为 ． （2）小明从中随机抽取一张，记下卡片上所写主题后放回，洗匀，小华再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求小明和小华至少有一人抽取的演讲主题是“抗战英雄事迹”的概率． 20. 造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明．这些发明对人类文明发展产生了深远的影响．某校科技节活动中，计划在如图所示的长，宽的展板上展出介绍四大发明的海报，每幅海报面积均为，若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为的彩色纸带，求彩色纸带的宽度． 21. 某数学兴趣小组要完成一个项目学习：测量古塔的高度．如图，塔前有一棵高4米的小树，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得米，D，E之间有一个花圃，距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米．已知，点在同一水平线上．请你求出古塔的高度．（平面镜的大小厚度忽略不计） 22. 已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 23. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E． （1）求证：BD＝BE； （2）若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积． 24. “户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到169亩． （1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率； （2）市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低0.5元，每天可多售出25千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？ 25. 【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型截长补短法是解决这类问题常用的方法． 如图，在正方形中，以为顶点的，，与，分别交于、两点，为了探究，，之间的数量关系，小明的证明思路如下： 如图，延长到点，使，连接，先证明≌，再证明，从而得到，，之间的数量关系． （1）【提出问题】，，之间的数量关系为______； （2）【知识应用】如图，，，以为顶点的，，，与，分别交于、两点，你认为（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）【知识拓展】如图，在四边形中，，，，，、与、分别交于、两点，且，请直接写出的周长______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $