精品解析：山西省晋中市左权县等3地2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中学业水平质量监测八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列可以作为直角三角形三边长的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 8，16，17 D. 12，18，22 2. 下列是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 左权秋天的枫叶绚烂多彩，如图，将一片秋天的枫叶放在平面直角坐标系中，点M的坐标是，则与点M关于x轴对称的点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 要使式子有意义，则x可取的数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知正比例函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 6. 太原南站作为山西省的重要交通枢纽，每日迎送着数以万计的旅客．如图，将太原南站示意图放入平面直角坐标系中，若“自助取票机”所在位置的坐标为，“太原南站”所在位置的坐标为，则“东进站口”所在位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（ ） A. 25 B. 9 C. 16 D. 5 8. 对于一次函数，下列判断错误的是（ ） A. 该函数的图象经过第二、三、四象限 B. 该函数的图象中随的增大而减小 C. 自变量的值每增加1，函数的值减小2 D. 该函数的图象与轴交于点 9. 如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A. 甲乙均对 B. 甲乙均错 C. 甲对乙错 D. 甲错乙对 10. 一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（ ） A. 3.1米 B. 3米 C. 2.9米 D. 2.8米 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 实数4的算术平方根为_____． 12. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且点到轴的距离为2，则点的坐标是______． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，轴，且，则点N的坐标为___________． 14. 我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如下表： 温度 100 150 200 250 … 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 … 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为______℃． 15. 如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）写出各顶点的坐标：______，______，______； （3）的面积为______． 18. 在左权县的智慧交通建设中，当地交管部门引入了智能测速与紧急制动预警系统．该系统基于滑行距离公式，其中s表示紧急刹车后的滑行距离（单位：），v表示刹车前的速度（单位：），结合车载传感器实时采集的车速v（），可自动计算紧急刹车后的滑行距离s（），并通过车联网技术提前向驾驶员预警安全车距． （1）当时，请算出紧急刹车后的滑行距离______； （2）若某车辆监测到前方障碍物需紧急制动，当系统显示滑行距离时，求此时的车速．（，结果精确到1） 19. 在山西平遥古城的遥控赛车趣味赛中，终点为点A．小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于10米时，遥控信号会相互干扰，米，米．出发5秒钟时，遥控信号是否会相互干扰？ 20. 为节约用水，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． （1）当时，y与x之间的函数关系式为______，当时，y与x之间的函数关系式为______； （2）该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； （3）该市一户某月缴水费23.9元，求该户这个月的用水量． 21. 【阅读材料】 在二次根式的计算中，，，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号化去转化为有理数的过程）．例如： ，． 【解决问题】 （1）化简：①______， ②______； （2）已知，，化简，得______，______，直接写出的值． 22. 阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线： （1）请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； （2）根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． （3）若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 23. 综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中学业水平质量监测八年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列可以作为直角三角形三边长的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. 5，12，13 C. 8，16，17 D. 12，18，22 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，即如果一个三角形的三边满足两条较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形是直角三角形． 通过计算各选项的平方和进行判断． 【详解】解：A、，，，∴2，3，4不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； B、，，，∴5，12，13可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； C、，，，∴8，16，17不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、，，，∴12，18，22不能作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，无理数是无限不循环小数，不能表示为分数．选项A、B、D均为有理数（整数或有限小数），选项C中π是无理数，也为无理数． 【详解】解：A、 ，为整数，是有理数，不符合题意； B、 ，为有限小数，是有理数，不符合题意； C、，π是无理数，11是有理数，其乘积为无理数，符合题意； D、，为整数，是有理数，不符合题意． 故选：C． 3. 左权秋天的枫叶绚烂多彩，如图，将一片秋天的枫叶放在平面直角坐标系中，点M的坐标是，则与点M关于x轴对称的点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于x轴对称的点的坐标特点．根据关于x轴对称的点的坐标特点横坐标不变，纵坐标互为相反数即可求解． 【详解】解：∵点M的坐标是， ∴点M关于x轴对称的点N的坐标为， 故选：A． 4. 要使式子有意义，则x可取的数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方式是非负数列式求解即可 【详解】由题意得 x-4≥0， ∴x≥4， ∴x可取的数是4 故选D 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键 5. 已知正比例函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正比例函数的图象与性质，由点A在函数图象上，直接代入解析式求值． 【详解】解：∵在函数的图象上， ∴ 故选：B． 6. 太原南站作为山西省的重要交通枢纽，每日迎送着数以万计的旅客．如图，将太原南站示意图放入平面直角坐标系中，若“自助取票机”所在位置的坐标为，“太原南站”所在位置的坐标为，则“东进站口”所在位置的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标确定位置，建立平面直角坐标系，直接利用已知点坐标得出原点位置，进而得出答案． 【详解】解：如图，所示：“东进站口”所在位置的坐标为， 故选：D． 7. 中国清代学者华衡芳和英国人傅兰雅合译英国瓦里斯的《代数学》，卷首有“代数之法，无论何数，皆可以任何记号代之”，说明了所谓“代数”，就是用符号来代表数的一种方法．若一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是（ ） A. 25 B. 9 C. 16 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可列出关于m的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴， 解得， ∴平方根为 和， ∴这个正数为 ． 故选：A． 8. 对于一次函数，下列判断错误的是（ ） A. 该函数的图象经过第二、三、四象限 B. 该函数的图象中随的增大而减小 C. 自变量的值每增加1，函数的值减小2 D. 该函数的图象与轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与x轴的交点进行分析判断． 【详解】解：函数中，，，∴图象经过第二、三、四象限，A正确； ∵，∴ y随x增大而减小，B正确； ∵，∴ x每增加1，y减小2，C正确； 设，则，解得，∴与x轴交点为， D错误． 故选：D． 9. 如图，数轴上点A、B表示的数分别是和1，，垂足为B，，以点A为圆心，长为半径在右边作弧，交数轴于点 甲说：点D表示的数为； 乙说：点D表示的数在1和2之间． 则下列判断正确的是（　　） A. 甲乙均对 B. 甲乙均错 C. 甲对乙错 D. 甲错乙对 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握勾股定理和两点间的距离公式．先根据已知条件和勾股定理求出AC，从而求出AD，再设点D表示的数为x，再根据两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x，再估算x的值，从而进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ， ， 由勾股定理得：， 设点D表示的数为x， ∴， ， ， 或， 甲的说法错误， ， ， ， 乙的说法正确， 故选：D ． 10. 一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（隧道下方为长方形，上方为半圆形拱门），则卡车的外形不得高于（ ） A. 3.1米 B. 3米 C. 2.9米 D. 2.8米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的半径与勾股定理的实际应用，涉及知识点：半圆的半径性质、勾股定理求线段长度．先确定半圆半径，结合卡车宽度得水平距离，用勾股定理求半圆内的垂直高度，再与长方形高度相加得卡车最大允许高度． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ， ， ， 解得：， ， （米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 实数4的算术平方根为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，即可求解． 【详解】解：∵， ∴4的算术平方根是2． 12. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且点到轴的距离为2，则点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标和解一元一次方程等知识点，根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值求出m，进而即可得解， 熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值是解此题的关键． 【详解】∵点在第二象限，且到x轴的距离为2， ∴， ∴， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，轴，且，则点N的坐标为___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】根据平行于的直线上的点横坐标相同，然后分情况讨论即可． 【详解】解：∵，轴， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或， ∴点N的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，熟知平行于的直线上的点横坐标相同是解本题的关键． 14. 我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率与温度的关系如下表： 温度 100 150 200 250 … 导热率K（） 0.15 0.2 0.25 0.3 … 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为______℃． 【答案】500 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据表格中两个变量T、K的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：由表格可得，温度每增加，导热率增加， ∴当导热率为时，温度为： ， 故答案为：500． 15. 如图，三角形纸片中，，，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， 即的长是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，推理过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）3 （4）5 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算 ， 对于（1），根据二次根式的加减法计算； 对于（2），先求出算术平方根，立方根，再计算； 对于（3），根据二次根式的乘除法计算； 对于（4），先根据完全平方公式和二次根式的乘法计算，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式； 【小问3详解】 解：原式； 【小问4详解】 解：原式． 17. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中画出关于y轴对称的； （2）写出各顶点的坐标：______，______，______； （3）的面积为______． 【答案】（1） 所作如图所示： （2），， （3）7.5 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，写出平面直角坐标系中点的坐标，求三角形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据作轴对称图形的步骤，画出，即可解题； （2）根据坐标系直接写出，，的坐标，即可解题； （3）利用三角形面积公式求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由上图可知，各顶点的坐标为：，，， 故答案为：，，． 【小问3详解】 解：的面积为； 故答案为：7.5． 18. 在左权县的智慧交通建设中，当地交管部门引入了智能测速与紧急制动预警系统．该系统基于滑行距离公式，其中s表示紧急刹车后的滑行距离（单位：），v表示刹车前的速度（单位：），结合车载传感器实时采集的车速v（），可自动计算紧急刹车后的滑行距离s（），并通过车联网技术提前向驾驶员预警安全车距． （1）当时，请算出紧急刹车后的滑行距离______； （2）若某车辆监测到前方障碍物需紧急制动，当系统显示滑行距离时，求此时的车速．（，结果精确到1） 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，以及二次根式的应用． （1）将代入中求解，即可解题； （2）将代入中求解，即可解题． 【小问1详解】 解：当时，． 故答案为：12． 【小问2详解】 解：当时，． 因为，所以． 答：此时的车速约为． 19. 在山西平遥古城的遥控赛车趣味赛中，终点为点A．小王的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶．已知赛车之间的距离小于或等于10米时，遥控信号会相互干扰，米，米．出发5秒钟时，遥控信号是否会相互干扰？ 【答案】不会， 理由：设出发5秒钟时两个赛车分别到达点，，如图所示， 此时（米），（米） 因为米，米， 所以（米），（米）． 所以（米） 因为， 所以出发5秒钟时，遥控信号不会相互干扰． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，将实际问题转化为数学问题是解答本题的关键． 根据题意可分别求出出发5秒钟时小王和小林的赛车行驶的路程，从而可分别求出他们的赛车距离终点的距离，再结合勾股定理即可求出出发5秒钟时他们赛车的距离，和遥控信号会产生相互干扰的距离小于或等于10米作比较即可得出答案． 【详解】略 20. 为节约用水，某市制定了以下用水收费标准：每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费．现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元． （1）当时，y与x之间的函数关系式为______，当时，y与x之间的函数关系式为______； （2）该市一户某月若用水立方米时，求应缴水费； （3）该市一户某月缴水费23.9元，求该户这个月的用水量． 【答案】（1）； （2）15.8元 （3）13立方米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，建立函数关系式是解题的关键． （1）根据所给的收费标准列出函数关系式即可； （2）根据（1）所求关系式代入求解即可； （3）先判断该户这月用水量大于8吨，然后把代入（1）所求式子求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：当时，； 当时，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：因为，所以． 所以当用水量为10立方米时，应缴水费15.8元． 【小问3详解】 解：因为， 所以该用户这个月的用水量超过了8立方米． 所以， 解得． 所以该户这个月的用水量为13立方米． 21. 【阅读材料】 在二次根式的计算中，，，，它们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号化去转化为有理数的过程）．例如： ，． 【解决问题】 （1）化简：①______， ②______； （2）已知，，化简，得______，______，直接写出的值． 【答案】（1）① ② （2）；；56 【解析】 【分析】本题主要考查分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用分母有理化进行计算，即可解答； （2）先进行分母有理化，然后再进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：①； ②； 故答案为：①② 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴． 故答案为：；． 22. 阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线： （1）请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； （2）根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． （3）若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 【答案】（1） 填表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … 描点，连线得， （2）①0；；②时，y随x的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查画一次函数的图象，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键． （1）根据题目要求解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据图象解答即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，； 【小问2详解】 解：①当时，y有最小值为； 故答案为：0；； ②请写出该函数的一条性质：时，y随x的增大而减小； 故答案为：时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：由图象可知，当时，的图象与直线没有交点， 故答案为：． 23. 综合与实践 【材料一】“最短路径问题”是数学中一类具有挑战性的问题，古希腊学者海伦，他精通数理．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图①，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为使马走的路程最短，应该让马在什么地方饮水？海伦认为以河边为对称轴，画出甲地的对称点，然后连接乙地和甲地的对称点，会与河边相交于一点P，这个点P就是马饮水的地方，能使马走的路程最短． 【材料二】我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成图②所示的图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法（）得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：． 【小试牛刀】 （1）把两个全等的直角三角形如图③放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用含a，b，c的代数式分别表示出梯形，的面积：______，______，已知，再探究梯形，四边形，面积之间的关系，则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理； 【知识运用】 （2）如图④，河道上A，B两点（看作直线上的两点）相距160米，C，D为两个菜园（看作两个点），，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短，求该最短距离； 【知识迁移】 （3）借助上面的思考过程，请直接写出当时，代数式的最小值为______． 【答案】（1）；；；（2）200米；（3）41 【解析】 【分析】（1）根据梯形、三角形面积公式列代数式即可； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F，由轴对称的性质得，利用勾股定理解即可求解； （3）构造和，令，，当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长． 【详解】解：（1）， ， ，， ； 故答案为：；；； （2）作点D关于的对称点E，连接与交于点P，作于点F， 由轴对称得，， ， 如图，当点P在上时，取最小值， ，，， ，， ， 在中，， 即抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短为； （3）如图，，，，，，， 设，则， 由勾股定理得，， ， 当A，E，D三点共线时，取最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为41， 故答案为：41． 【点睛】本题考查最短路径问题，勾股定理，列代数式等，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $