第二十一章 一元二次方程 练习课件2025-2026学年 人教版九年级数学上册

该初中数学课件围绕“一元二次方程”核心内容，系统呈现概念、一般形式及根的定义。通过课前自主学习明确三个条件、ax²+bx+c=0(a≠0)结构及根的意义，搭建从整式方程、一元一次方程到一元二次方程的知识支架，帮助学生衔接前后知识。 其特色在于分层递进的练习设计，课时达标演练夯实概念（如参数m取值范围推理），速效提能集训提升综合应用（如代数式求值），中考真题体验对接升学需求（如根代入求参数）。融入抽象能力（符号意识强化a≠0）、推理能力（参数判断）与模型意识（根的实际应用），助力学生巩固基础并提升解题能力，也为教师提供现成分层教学资源，提高备课效率。

第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方程 第二课时　配方法 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.a2±2ab＋________＝(a±_______)2. 2.通过配成_____________形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法. 3.配方法解一元二次方程的一般步骤是： (1)移项；(2)二次项系数化为1；(3)方程两边加同一常数，使左边配成_________________(写式子)的形式；(4)左边写成______________形式；(5)降次；(6)解一次方程；(7)写出一元二次方程的根. 课前自主学习 b2 b 完全平方 x2＋2bx＋b2 完全平方 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.完成下列配方过程： (1)x2＋12x＋________＝(x＋6)2； (2)x2－12x＋________＝(x－_______)2； (3)x2－_______＋＝； 　　　 (4)x2－2x＋_______＝(x－)2. 课时达标演练 36 36 6 　x　 2　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的是 (　　) A.(x＋3)2＝1 B.(x－3)2＝1 C.(x＋3)2＝19 D.(x－3)2＝19 课时达标演练 D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.用配方法解下列方程： (1)x2－4x－4＝0； 课时达标演练 x1＝2＋2，x2＝2－2 (2)x2－6x－4＝0； 　　　　　　　 x1＝3＋，x2＝3－ (3)x2＋x＋3＝0. x1＝－2，x2＝－ 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 4.用配方法解下列方程： (1)3x2－12x－3＝0； 　　(2)5x2－25x＋5＝0. 课时达标演练 x1＝2＋，x2＝2－ x1＝，x2＝ 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 5.用配方法解方程x2＋3x＝5，应在方程的两边同时 (　　) A.加上 B.加上 C.减去 D.减去 速效提能集训 B 6.已知某三角形的两边长分别为2和4，第三边的长是方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长为_______. 　9　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.用配方法解一元二次方程： (1)； 　　　　　 (2)4x2－6x－1＝0； 速效提能集训 解：原方程配方得＝1，解得x1＝，x2＝－. 解：原方程配方得＝，解得x1＝，x2＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (3)2x2－4x＋5＝0；　　　　　　 速效提能集训 解：原方程配方得(x－1)2＝－＜0，原方程没有实数根. (4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3＝0. 解：原方程配方得(x＋2)2＝4，解得x1＝0，x2＝－4. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 8.用配方法证明2x2－4x＋7的值恒大于零. 速效提能集训 证明：配方得原式＝2(x－1)2＋5. ∵2(x－1)2≥0， ∴2(x－1)2＋5＞0. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2023·内蒙古赤峰)用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是(　　) A.(x＋2)2＝3 B.(x＋2)2＝17 C.(x－2)2＝5 D.(x－2)2＝17 2.(2023·新疆)用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是(　　) A.(x＋6)2＝28 B.(x－6)2＝28 C.(x＋3)2＝1 D.(x－3)2＝1 中考真题体验 C D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.(2024·青海节选)解一元二次方程：x2－4x＋3＝0. 中考真题体验 解：x2－4x＋3＝0， ∴(x－2)2＝1， ∴x1＝1，x2＝3. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方程 第六课时　解一元二次方程习题课 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 速效提能集训 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.若关于x的方程ax2－3x＋4＝0是一元二次方程，则 (　　) A.a＞0 B.a≠0 C.a＝1 D.a≥0 2.一元二次方程x(x－2)＝0的解是 (　　) A.x＝0 B.x＝2 C.x1＝0，x2＝2 D.x1＝0，x2＝－2 课前自主学习 B C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为 (　　) A.(x＋4)2＝17 B.(x＋4)2＝15 C.(x－4)2＝17 D.(x－4)2＝15 4.方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是 (　　) A.x＝2 B.x＝3 C.x1＝－1，x2＝2 D.x1＝－1，x2＝3 课前自主学习 C D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 5.一个等腰三角形的两条边的边长分别是方程x2－11x＋18＝0的两根，则该等腰三角形的周长是 (　　) A.13 B.20 C.13或20 D.18 6.若x为任意实数，则代数式x2＋4x＋2的最小值是_________. 课前自主学习 B －2 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.用适当的方法解方程： (1)x2＋6x－7＝0；　　　 　 课前自主学习 x1＝1，x2＝－7 (2)(x＋3)2＝2； 　　　　　　　 x1＝－1，x2＝－5 (3)x(x－6)＝2x－12. x1＝2，x2＝6 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 8.已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2＋αβ＋β2的值为 (　　) A.－1 B.9 C.23 D.27 速效提能集训 D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 9.黄金比又称黄金分割数，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较小部分与较大部分之比等于较大部分与整体之比.如图，点C将线段AB＝1分为两部分，使得BC与AB之比、AC与BC之比 均为黄金分割数，则线段BC的长为________(结果保留根号). 速效提能集训 (第9题) 　　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 10.已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0. (1)当m＝3时，判断方程的根的情况； 速效提能集训 解：当m＝3时， Δ＝22－4×1×3＝－8＜0. ∴此时原方程没有实数根. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)当m＝－3时，求方程的根. 速效提能集训 解：当m＝－3时， 原方程为x2＋2x－3＝0， 解得x1＝－3，x2＝1. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 11.已知关于x的一元二次方程2mx2－(5m－1)x＋3m－1＝0. (1)求证：无论m为任何实数，方程总有实数根； 速效提能集训 证明：∵Δ＝b2－4ac＝(5m－1)2－8m(3m－1)＝(m－1)2≥0， ∴无论m为任何实数，方程总有实数根. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)如果这个方程的根的判别式的值等于1，求m的值. 速效提能集训 解：由题意，得Δ＝b2－4ac＝(m－1)2＝1. 解得m1＝0，m2＝2. ∵m≠0，∴m＝2. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 12.已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根. (1)求实数k的取值范围； 速效提能集训 解：∵关于x的一元二次方程x2＋3x＋k－2＝0有实数根， ∴Δ＝32－4×1×(k－2)≥0. 解得k≤. ∴实数k的取值范围是k≤. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求k的值. 速效提能集训 解：∵方程x2＋3x＋k－2＝0的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1＋x2＝－3，x1x2＝k－2. ∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－1. ∴k－2＋(－3)＋1＝－1. 解得k＝3.∴k的值是3. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方程 第四课时　因式分解法 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.因式分解：7x2－6x＝_____________；y2－16＝_________________；4x2－4x＋1＝______________. 2.关于x的一元二次方程(x＋3)(x－1)＝0的根是____________________. 3.解一元二次方程时，先因式分解，使其化为______________________的形式，再使___________________________，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 课前自主学习 4.解一元二次方程的基本思路是：_______________________________. x(7x－6) 　(y＋4)(y－4) (2x－1)2 x1＝－3，x2＝1　 两个一次式的乘积等于0 这两个一次式分别等于0 将二次方程化为一次方程，即降次　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：用提公因式法解一元二次方程 1.一元二次方程x2－2x＝0的根是__________________. 2.方程(x＋2)(x－4)＝x＋2的根是____________________. 3.方程x(x－2)＋x－2＝0的根为 (　　) A.x＝2 B.x1＝2，x2＝1 C.x＝－1 D.x1＝2，x2＝－1 课时达标演练 D x1＝0，x2＝2 x1＝－2，x2＝5　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 4.用提公因式法解一元二次方程： (1) x(x－3)＝2(x－3)；　　 课时达标演练 x1＝2，x2＝3 (2)(x＋5)2＝3x＋15；　　 x1＝－5，x2＝－2 (3) 2(x－4)＝x(4－x). x1＝4，x2＝－2 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：用平方差、完全平方公式解一元二次方程 5.一元二次方程x2－4＝0的根是 (　　) A.x1＝2，x2＝－2 B.x＝－2 C.x＝2 D.x1＝2，x2＝0 6.方程x2－8x＝16的根是____________________________. 课时达标演练 A x1＝4－4，x2＝4＋4 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.用平方差公式解方程： (1)4x2－225＝0；　　 课时达标演练 x1＝，x2＝－ (2)(3x－1)2＝(x＋2)2；　　　 x1＝－，x2＝ (3)(y＋2)2＝(3y－1)2. y1＝－，y2＝ 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 8.用完全平方公式解方程： (1)x2＋8x＋16＝0； 课时达标演练 (2)4x2－4x＋3＝2. x1＝x2＝－4 x1＝x2＝ 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 9.若方程x2－x＝0的两个根分别为x1，x2(x1＜x2)，则 x2－x1＝_______. 10.方程(x＋1)(x－2)＝0的根是 (　　) A.x1＝－1，x2＝－2　 B.x1＝1，x2＝－2 　 C.x1＝－1，x2＝2　 D.x1＝1，x2＝2 速效提能集训 C 　1　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 11.若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根为3，－6，则二次三项式x2＋px＋q可分解为(　　) A.(x－3)(x－6) B.(x－3)(x＋6) C.(x＋3)(x－6) D.(x＋3)(x＋6) 速效提能集训 B 12.方程(x＋4)(x－5)＝1的根为 (　　) A.x＝－4 B.x＝5 C.x1＝－4，x2＝5 D.以上都不对 D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 13.阅读材料：解方程x2＋2x－35＝0，我们可以按下面的方法解答. 速效提能集训 (1)分解因式x2＋2x－35. ①“竖分”二次项与常数项： x2＝x·x，－35＝－5×7. ②交叉相乘，验中项： ③横向写出两因式：x2＋2x－35＝ (x－5)(x＋7). (2)根据乘法原理，若ab＝0，则a＝0或b＝0.故方程x2＋2x－35＝0可以这样求解： 方程左边因式分解，得 (x－5)(x＋7)＝0. x－5＝0或x＋7＝0. x1＝5，x2＝－7. 7x－5x＝2x. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 试用上述的方法解下列方程： (1)x2＋5x＋4＝0； 　　　　　 速效提能集训 解：(x＋4)(x＋1)＝0，x＋4＝0或x＋1＝0， 原方程的解为x1＝－4，x2＝－1. (2)x2＋3x－10＝0. 解：(x－2)(x＋5)＝0，x－2＝0或x＋5＝0， 原方程的解为x1＝2，x2＝－5. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 (2023·广东广州)解方程：x2－6x＋5＝0. 中考真题体验 解：分解因式，得(x－1)(x－5)＝0， ∴x－1＝0或x－5＝0. ∴x1＝1，x2＝5. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十一章 一元二次方程 21.3　实际问题与一元二次方程 第一课时　传播、握手、增长率问题 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： (1)“设”，即设____________，方法有直接设和间接设两种； (2)“列”，即根据题中__________关系列方程； (3)“解”，即求出所列方程的________； (4)“检验”，即检验所得解是否符合题意； (5)“答”，即回答题目中要解决的问题. 课前自主学习 未知数 等量　 　解　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：传播问题 1.某种细菌，1个细菌经过两轮繁殖后，共有256个细菌，每轮繁殖中平均1个细菌繁殖了多少个细菌？ 课时达标演练 解：设每轮繁殖中平均1个细菌繁殖了x个细菌. 根据题意，得1＋x＋x(x＋1)＝256. 解得x1＝15，x2＝－17(不合题意，舍去). 答：每轮繁殖中平均1个细菌繁殖了15个细菌. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.某种植物的一个主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支.若主干、支干和小分支的总数是43，则每个支干长出多少个小分支？ 课时达标演练 解：设每个支干长出x个小分支. 根据题意，得x2＋x＋1＝43. 解得x1＝6，x2＝－7(不合题意，舍去). 答：每个支干长出6个小分支. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：握手问题 3.一个小组有若干人，元旦时，若每人给小组的其他成员赠送一张贺卡，则全组所送贺卡共有72张.此小组的人数为 (　　) A.7 人 B.8 人 C.9 人 D.10 人 课时达标演练 C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 4.某市青少年校园足球联赛采用单循环赛，每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，整个单循环比赛共计进行28场，则参加校园足球联赛的球队共有(　　) A.7支 B.8支 C.9支 D.10支 课时达标演练 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点3：增长率问题 5.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个.设该厂八、九月份平均每月生产零件数的增长率为x，那么x满足的方程是 (　　) A.50(1＋x)2＝196 B.50＋50(1＋x)2＝196 C.50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196 D.50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196 课时达标演练 C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 6.我国新能源汽车的生产技术不断提升.今年7月至9月，市场上某款新能源汽车的售价由260 000元/辆下降到210 600元/辆，则该款汽车售价的月平均下降率是(　　) A.5％ B.10％ C.15％ D.20％ 课时达标演练 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.某商场2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10％，5月份的营业额达到了633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率. 课时达标演练 解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x. 根据题意，得400(1＋10％)(1＋x)2＝633.6. 解得x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去).∴x＝0.2＝20％. 答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20％. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 8.近年来某县加大了对教育经费的投入，2022年投入2 500万元，2024年投入3 500万元.假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是 (　　) A.2 500x2＝3 500 B.2 500(1＋x)2＝3 500 C.2 500(1＋x％)2＝3 500 D.2 500(1＋x)＋2 500(1＋x)2＝3 500 速效提能集训 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 9.某地区进行足球预选赛，并实行主客场制的循环赛，即每两支球队都要在自己的主场和客场踢一场，共举行比赛210场，则参加比赛的球队共有________支. 速效提能集训 15 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 10.某图书店在2024年国庆节期间举行促销活动，某课外阅读书进货价为每本8元，标价为每本15元. (1)该图书店举行了国庆大回馈活动，连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每本9.6元的价格售出，求图书店每次降价的百分率. 速效提能集训 解：设图书店每次降价的百分率为x，由题意，得15(1－x)2＝9.6. 解得x1＝0.2＝20％，x2＝1.8(不合题意，舍去). 答：图书店每次降价的百分率为20％. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)在九月底图书店老板去进货，购进该书500本，按照(1)中两次降价后的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现该书的进货价上涨了a％，进货量比九月底增加3a％，以标价的八折全部售出后，比国庆节的总利润多 1 200元，求a％的值. 速效提能集训 解：国庆节的总利润为500×(9.6－8)＝800(元)，国庆节后的进货量为[500(1＋3a％)]本，进货价为[8×(1＋a％)]元，售价为15×0.8＝12(元). 由题意，得500(1＋3a％)[12－8(1＋a％)]＝800＋1 200. 解得a％＝或a％＝0(不合题意，舍去).∴a％＝. 答：a％的值为. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2023·黑龙江)毕业前夕，班主任王老师让每一位同学为班级的其他同学发送祝福短信，全班一共发送870条，这个班级的学生总人数是(　　) A.40 B.30 C.29 D.39 中考真题体验 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.(2024·内江)某市2021年底森林覆盖率为64％，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69％.如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是 (　　) A.0.64(1＋x)＝0.69 B.0.64(1＋x)2＝0.69 C.0.64(1＋2x)＝0.69 D.0.64(1＋2x)2＝0.69 中考真题体验 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.(2023·浙江衢州)某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程(　　) A.x＋(1＋x)＝36 B.2(1＋x)＝36 C.1＋x＋x(1＋x)＝36 D.1＋x＋x2＝36 中考真题体验 C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 4.(2024·绵阳)超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元.因销量持续攀升，商家在3月份提价20％，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价.已知5月份礼盒的售价为486元，则r＝ __________. 中考真题体验 10％ 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 5.(2024·淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高，某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增多到2023年的50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年平均增长率； 中考真题体验 解：设该市参加健身运动人数的年平均增长率为x， 由题意，得32(1＋x)2＝50. 解得x1＝0.25＝25％，x2＝－2.25(不合题意，舍去). 答：该市参加健身运动人数的年平均增长率为25％. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1 600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1 000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数. 中考真题体验 解：设购买的这种健身器材的套数为m套， ∵240 000÷1 600＝150(套)，∴m＞100. 由题意，得m(1 600－×40)＝240 000. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 整理，得m2－500m＋60 000＝0.解得m1＝200，m2＝300. 当m＝200时，1 600－×40＝1 600－400＝1 200＞1 000，符合题意； 当m＝300时，1 600－×40＝1 600－800＝800＜1 000，不符合题意，舍去. 答：购买的这种健身器材的套数为200套. 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方程 第一课时　直接开平方法 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.36的平方根是_________；0.25的算术平方根是_________. 2.若x2＝16，则x＝____________；若2x2＝3，则x＝_____________. 课前自主学习 ±6　 　0.5 4或－4 　或－　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：解形如ax2＝c 的一元二次方程 1.如果关于x的方程(x－9)2＝m＋4可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是 (　　) A.m＞3 B.m≥3 C.m＞－4 D.m≥－4 课时达标演练 D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.用直接开平方法解方程(2x－3)2＝4时，可以将其转化为2x－3＝2或 2x－3＝－2，其依据的数学知识是 (　　) A.完全平方公式 　　　　　　　　　 B.平方根的意义 C.等式的性质 　　　　　　　　　 D.一元二次方程的求根公式 课时达标演练 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.解方程： (1)x2－2＝0； 　　　　 课时达标演练 x1＝，x2＝－ (2)16x2－25＝0； 　　　　　　　　　　 x1＝，x2＝－ (3) 2a2＝8. a1＝2，a2＝－2 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：解形如a(x－b)2＝c 的一元二次方程 4.解方程： (1)5(x－3)2＝125；　　 课时达标演练 x1＝8，x2＝－2 (2)(2y－5)2＝49； y1＝6，y2＝－1 (3)4(x－1)2＝25. x1＝，x2＝－ 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 5.若4x2－16＝0，则x的值是____________. 6.若关于x 的一元二次方程ax2＝c(ac＞0)的一个根为－2，则方程的另一个根为 _______. 7.在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b＝a2－b2.若(4☆3) ☆x＝24，则x＝___________. 速效提能集训 2或－2　 2　 5或－5　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 8.已知一元二次方程mx2＋n＝0(m≠0)，若方程有解，则必须满足的条件是 (　　) A.n＝0 B.n＝0或m，n异号 C.n是m的整数倍 D.m，n同号 速效提能集训 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 9.解方程： (1)(x－1)2＝4； (2)4(x－1)2＝1； (3)2(x－1)2－＝0； (4)(3x－1)2＝(x＋1)2. 速效提能集训 x1＝3，x2＝－1 x1＝，x2＝ x1＝，x2＝－ x1＝1，x2＝0 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 (2024·攀枝花)解方程：(x＋1)2－4＝0. 中考真题体验 解：(x＋1)2＝4， x＋1＝±2， 所以x1＝1，x2＝－3. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十一章 一元二次方程 21.1　一元二次方程 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.一元二次方程满足三个条件：___________________、_____________ ___________、________________. 2.一元二次方程的一般形式是_________________________.其中______是二次项，_____是二次项系数；______是一次项，_______是一次项系数；_______是常数项. 3.使一元二次方程左右两边__________的未知数的值，叫做这个一元二次方程的解，也叫做这个一元二次方程的根. 课前自主学习 只含有一个未知数 未知数的最高 次数是2 是整式方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ax2 a 　bx b c　 相等 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：一元二次方程的概念及一般形式 1.下列方程中，一定是一元二次方程的是 (　　) A.x2＋－1＝0　　 B.5x3－5y－3＝0 C.ax2－x＋2＝0 D.6x2－2x－1＝0 课时达标演练 D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.若方程(m－1)x2＋x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 (　　) A.m≠1 B.m≥0 C.m≥0且m≠1 D.m为任意实数 课时达标演练 C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.关于x的方程(m2－4)x2－(m－2)x－1＝0，当m______________时，它是一元二次方程；当m___________时，它是一元一次方程. 4.一元二次方程(x＋5)2＝4x＋16的一般形式是__________________，二次项系数是_______，一次项系数是_______，常数项是_______. 课时达标演练 ≠2或－2　 　＝－2　 x2＋6x＋9＝0　 1 　6　 9 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：一元二次方程的根 5.若关于x的方程x2＋2x＋k－1＝0的一个根是0，则k＝_______. 6.已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：_________________________. 课时达标演练 1 x2＝1(答案合理即可) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.写出下列方程的根： (1)x2＝25：____________________； 　　　　　　　　　 (2)x2－9＝0：____________________. 8.在－1，0，1，2中，__________是方程x2－3x＋2＝0的根. 课时达标演练 x1＝5，x2＝－5　 　x1＝3，x2＝－3　 1，2 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 9.当k_________时，关于x的方程kx2＋2x＝x2＋3是一元二次方程. 10.方程(m＋2)＋3mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为___. 11.已知2y2＋y－3的值为3，则4y2＋2y＋2的值为________. 12.已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则m2－m＝_______. 13.关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为0，则a的值为_________. 速效提能集训 ≠1 2 14 　1　 －2　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 14.关于x的一元二次方程(x－1)2＝2(x＋m)－3的一个根是－2. (1)求m的值； 速效提能集训 解：将x＝－2代入原方程， 可得 (－2－1)2＝2(－2＋m)－3， 解得m＝8. (2)将方程化为一般形式，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：由(1)可得原方程的一般形式为x2－4x－12＝0， 所以二次项系数为1， 一次项系数为－4，常数项为－12. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 15.已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是1，且a，b满足等式b＝＋－1，求此一元二次方程. 速效提能集训 解：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根是1， ∴将x＝1代入方程， 得a＋b＋c＝0.① 又由题中等式知a－2≥0，2－a≥0， ∴a＝2. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ∴b＝＋－1＝0＋0－1＝－1. ∴把a＝2，b＝－1代入①，得c＝－1. ∴所求的一元二次方程为2x2－x－1＝0. 速效提能集训 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2024·深圳)一元二次方程x2－4x＋a＝0的一个解为x＝1，则a＝_______. 2.(2023·山东枣庄)若x＝3是关于x的方程ax2－bx＝6的解，则2 023－6a＋2b的值为___________. 3.(2024·南充)已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为 _________. 中考真题体验 3 2 019　 －4 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方程 第五课时　一元二次方程的根与系数的关系 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.一元二次方程的根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1和x2，那么 x1＋x2＝_______，x1x2＝____. 2.若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1和x2，则x1＋x2＝_________，x1x2＝_______. 课前自主学习 　－　 　　 －p q 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：一元二次方程的根与系数的关系 1.若方程3x2－6x－9＝0的两个根分别是x1，x2，则x1＋x2＝_______，x1x2＝_________. 2.已知方程x2＋ax＋b＝0的两个根分别是2与3，则a＝_____，b＝____. 课时达标演练 　2　 －3　 －5 6　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.已知a，b是一元二次方程x2－5x－2＝0的两根，那么 ＋ 的值为 (　　) A.　　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.－ D. － 课时达标演练 D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：运用根与系数的关系解决问题 4.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______. 5.已知一元二次方程的两根之和为6，两根之积为8，则这个方程为________________________________. 课时达标演练 　3 x2－6x＋8＝0(答案合理即可) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 6.设x1和x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)＋；　　　　　(2)＋；　　　　　(3)(x1－x2)2. 课时达标演练 7 　 10 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.已知关于x的一元二次方程x2－(k－1)x＋k2＋1＝0有两个实数根. (1)求k的取值范围. 课时达标演练 解：Δ＝[－(k－1)]2－4＝k2－2k＋1－k2－4＝－2k－3， 又∵方程有两个实数根，∴－2k－3≥0.解得k≤－. ∴k的取值范围是k≤－. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)若方程的两个根m，n满足(m－1)(n－1)＝11，则k的值为多少？ 课时达标演练 解：根据根与系数的关系，得m＋n＝k－1，mn＝k2＋1. ∵(m－1)(n－1)＝11，∴mn－(m＋n)＋1＝11，即k2＋1－(k－1)＋1＝11. 整理，得k2－4k－32＝0.解得k1＝－4，k2＝8. 由(1)知k≤－，∴k＝8应舍去.∴k＝－4. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 8.一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是3＋ 和3－，则p＝_________，q＝_______. 9.已知方程x2－mx－2＝0的两根互为相反数，则m＝_______. 10.已知方程2x2－3x＋k＝0的两根之差为 ，则 k＝_________. 速效提能集训 －6 　4 　0　 －2　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 11.设关于x的方程x2－6x＋k＝0的两个根分别是m和n，且3m＋2n＝20，则k＝__________. 12.关于x的一元二次方程x2－mx＋2m－1＝0的两个实数根分别是x1，x2，且＋＝7，则m的值是_________. 速效提能集训 －16 －1 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 13.已知关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2＝0有两个实数根x1，x2. (1)求k的取值范围； 速效提能集训 解：依题意，得Δ≥0，即[－2(k－1)]2－4k2≥0. 解得k≤. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)若＝x1x2－1，求k的值. 速效提能集训 解：依题意，得x1＋x2＝2(k－1)，x1x2＝k2. 由(1)可知k≤.∴2(k－1)＜0，即x1＋x2＜0. 又＝x1x2－1，∴－2(k－1)＝k2－1， 解得k1＝1，k2＝－3. 又∵k≤，∴k＝－3. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2024·日照)已知实数x1，x2(x1≠x2)是关于x的方程kx2＋2kx＋1＝0(k≠0)的两个根.若＋＝2，则k的值为 (　　) A.1 B.－1 C. D.－ 中考真题体验 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.(2024·泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是 ________. 3.(2024·烟台)若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为 _______. 中考真题体验 14　 6　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十一章 一元二次方程 21.3　实际问题与一元二次方程 第二课时　面积、数字、销售、动点问题 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.一个直角三角形的两条直角边长的和是28 cm，面积是96 cm2.设这个直角三角形的一条直角边长为x cm，依题意，可列出方程为 (　　) A.x(14－x)＝96 B.x(14－x)＝96 C.x(28－x)＝96 D.x(28－x)＝96 课前自主学习 C 2.从正方形的铁片上，沿正方形边长截去3 cm宽的一个长方形，余下面积为40 cm2，则原来的正方形铁片的面积是 ________cm2. 64 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：面积问题 1.学校课外生物小组的试验园地是长35 m，宽20 m的矩形，为便于管理，现要在试验园地中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图)，要使种植面积为600 m2，求小道的宽.若设小道的宽为x m，则可列方程为____________________________________. 课时达标演练 (第1题) (35－2x)(20－x)＝600(答案合理即可)　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长 5.5 m)的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC的长为 (　　) A.5 m或6 m　　 B.2.5 m或3 m　　 C.5 m　　 D.3 m 课时达标演练 C (第2题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.如图，在某工厂直角墙角处，用建筑材料围成一个矩形堆货场地，用同样的材料在中间把该场地分隔成两间.已知所用建筑材料共可建成 60 m长的围墙，问AB为多长时，所围成的矩形面积是450 m2？ 课时达标演练 解：设AB的长为x m，则BC＝(60－2x) m. 根据题意，得x(60－2x)＝450.解得x1＝x2＝15， 即AB＝15 m. 答：当AB为15 m时，所围成的矩形面积是450 m2. (第3题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：数字问题 4.两个连续偶数的积是120，求这两个数.设其中一个较大的偶数为x，可列方程为_________________，化为一般式为____________________. 课时达标演练 x(x－2)＝120 x2－2x－120＝0　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 5.读诗词，列方程：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符.(诗词大意：周瑜英年早逝，逝世时的年龄是一个两位数，十位数字比个位数字小3，个位数字的平方刚好是周瑜逝世时的年龄).设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则可列方程为 _____________________. 课时达标演练 10(x－3)＋x＝x2 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 6.某两位数的十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原两位数的乘积为736，原来的两位数是____________. 课时达标演练 23或32 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点3：销售问题 7.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？ 课时达标演练 解：设每件衬衫应降价x元.根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1 200. 整理，得x2－30x＋200＝0.解得x1＝10，x2＝20. ∵要尽快减少库存，∴x＝20. 答：每件衬衫应降价20元. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 8.公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销售量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同. 课时达标演练 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； 课时达标演练 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得50(1＋x)2＝72， 解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20％； 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)若该品牌头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8 000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 课时达标演练 解：设该品牌头盔每个售价应定为y元， 依题意，得(y－30)[500－10(y－40)]＝8 000， 整理，得y2－120y＋3 500＝0，解得y1＝50，y2＝70， ∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y＝70不合题意，舍去.∴y＝50. 答：该品牌头盔每个售价应定为50元. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点4：动点问题 9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始移动，点P的速度为1 cm/s，点Q的速度为 2 cm/s，点Q移动到点C后停止运动，点P也随之停止运动.下列时间中，能使△PBQ的面积为15 cm2的是(　　) A.2 s B.3 s C.4 s D.5 s 课时达标演练 B (第9题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 10.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2 cm/s的速度向点D移动.当PB＞QC时，P，Q两点从出发开始到几秒时，PQ的长为10 cm？ 课时达标演练 解：设P，Q两点从出发开始到 x s时，PQ的长为10 cm. 则AP＝3x cm，QC＝2x cm，PB＝(16－3x) cm. ∵PB＞QC，∴16－3x＞2x. (第10题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ∴0＜x＜.过Q作QE⊥AB，垂足为E(图略). 在Rt△PEQ中，PQ2＝PE2＋EQ2. 即(16－5x)2＋62＝102. 解得x＝或x＝(舍去). 答：P，Q两点从出发开始到 s时，PQ的长为10 cm. 课时达标演练 (第10题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 11.如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地的一边减少了 2 m，另一边减少了3 m ，剩余一块面积为20 m 2的矩形空地，则原正方形空地的边长是 (　　) A.7 m B.8 m C.9 m D.10 m 速效提能集训 A (第11题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 12.若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两位数是 (　　) A.23 B.34 C.23或34 D.－23或－34 速效提能集训 A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 13.我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，以方程x2＋5x－14＝0，即x(x＋5)＝14为例说明，如图所示的大正方形的面积是(x＋x＋5)2，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×14＋52，解得x＝2.小明用此方法解关于x的方程x2＋6x－n＝0时，构造出同样的图形，已知矩形的面积为16，则大正方形的面积S和n的值分别为 (　　) A.S＝81，n＝36 B.S＝64，n＝16 C.S＝100，n＝16 D.S＝64，n＝36 速效提能集训 C (第13题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 14.某单位组织员工去一风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27 000元.如图是旅行社的旅游费用标准.请问该单位这次共有多少个员工去该风景区旅游？ 速效提能集训 解：设该单位这次共有x个员工去该风景区旅游. ∵1 000×25＝25 000＜27 000， ∴员工人数一定超过25人. (第14题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 可得方程[1 000－20(x－25)]x＝27 000.解得x1＝45，x2＝30. 当x＝45时，1 000－20(x－25)＝600＜700，故舍去x1； 当x＝30时，1 000－20(x－25)＝900＞700，符合题意. 答：该单位这次共有30个员工去该风景区旅游. 速效提能集训 (第14题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 15.如图，用77 m长的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形羊圈都有一个1 m的门，墙的最大可用长度为30 m. (1)如果羊圈的总面积为300 m2，求边AB的长. 速效提能集训 解：设边AB的长为x m， 则AD＝77－4x＋3＝(80－4x) m， 根据题意，得x(80－4x)＝300，解得x1＝5，x2＝15. ∵墙的最大可用长度为30 m，且当x＝5时，AD＝80－4×5＝60(m)，不合题意，∴x＝15 m. 答：边AB的长为15 m ； (第15题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)请问羊圈的总面积能为440 m2吗？若能，请求出边AB的长；若不能，请说明理由. 速效提能集训 解：若羊圈的总面积能为440 m2，则结合(1)可得x(80－4x)＝440， 整理，得x2－20x＋110＝0. ∵Δ＝(－20)2－4×1×110＝－40＜0， ∴羊圈的总面积不能为440 m2. (第15题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 16.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm.点P从点A开始，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动.如果点P，Q同时出发，当点Q移动到点C后停止运动，点P也随之停止运动.问： 速效提能集训 (第16题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (1)经过几秒后，P，Q两点间的距离为2 cm？ 速效提能集训 解：设经过x s后，P，Q两点间的距离为2 cm. 由勾股定理，得(8－x)2＋(2x)2＝(2)2. 解得x＝2或x＝. 答：经过2 s或 s后，P，Q两点间的距离为2 cm. (第16题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)经过几秒后，四边形APQC的面积是9 cm2？ 速效提能集训 解：设经过t s后，四边形APQC的面积是9 cm2， 由题意，得×8×6－×(8－t)×2t＝9. 解得t＝3或t＝5(不合题意，舍去). ∴t＝3. 答：经过3 s后，四边形APQC的面积是9 cm2. (第16题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2024·西宁)如图，小区物业规划在一个长60 m ，宽22 m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽 x m的道路，中间是宽2x m的道路.如果阴影部分的总面积是600 m 2，那么x满足的方程是 (　　) A.x2－41x＋180＝0 B.x2－41x＋225＝0 C.x2－41x＋30＝0 D.x2－41x－270＝0 中考真题体验 A (第1题) 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.(2024·青岛)如图，某小区要在长为16 m，宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路的宽为 _______m. 中考真题体验 (第2题) 2 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.(2024·辽宁)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(单位：件)与每件售价x(单位：元)之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 中考真题体验 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围). 中考真题体验 解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b， 又结合表格数据知函数图象过(45，55)，(55，45)， ∴ ∴ ∴所求函数关系式为y＝－x＋100. 每件售价x/元 … 45 55 65 … 日销售量y/件 … 55 45 35 … 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 (2)该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由. 解：由题意得，销售额＝x(－x＋100)＝－x2＋100x， 又∵销售额是2 600元， ∴2 600＝－x2＋100x.∴x2－100x＋2 600＝0. ∴Δ＝(－100)2－4×2 600＝10 000－10 400＝－400＜0. ∴方程没有解. 故该商品日销售额不能达到2 600元. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方程 第三课时　公式法 学考精练·数学·八年级下册·配北师大版 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 课时达标演练 速效提能集训 中考真题体验 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课前自主学习 1.一元二次方程根的判别式Δ＝_____________： 当Δ＞0时，方程有________________的实数根；当Δ＝0时，方程有______________的实数根；当Δ＜0时，方程__________实数根；当Δ≥0时，方程________实数根. 2.当Δ≥0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为________ ____________.把____________直接代入求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 课前自主学习 b2－4ac 两个不相等 两个相等 没有　 有 　 各系数 x＝ 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.一元二次方程2x2＋6x＋1＝0根的情况是 (　　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 课前自主学习 A 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 课时达标演练 ◆知识点1：用b2－4ac判断一元二次方程根的情况 1.已知一元二次方程 x2＋0.1x－2＝0，下列判断正确的是 (　　) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 课时达标演练 B 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.若关于x的方程x2＋x－a＋＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 (　　) A.a≥2 B.a≤2 C.a＞2 D.a＜2 课时达标演练 C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 3.若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是 (　　) A.m＜ B.m＜且m≠1 C.m≤ D.m≤且m≠1 课时达标演练 D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 ◆知识点2：用求根公式解一元二次方程 4.用公式法解一元二次方程3x2－4x＝8时，化方程为一般式，当中的a，b，c可以为(　　) A.3，－4，8 B.3，4，8 C.3，4，－8 D.3，－4，－8 课时达标演练 D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 5.用公式法解下列方程： (1)2x2－8x＋6＝0；　　　 课时达标演练 x1＝1，x2＝3　 (2)9x2＋6x＋1＝0； x1＝x2＝－ x2＋2x＋6＝0. 原方程无实数根 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 速效提能集训 6.若x＝是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是(　　) A.3x2＋2x－1＝0 B.2x2＋4x－1＝0 C.－x2－2x＋3＝0 D.3x2－2x－1＝0 速效提能集训 D 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 7.已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是 (　　) A.当k＝0时，方程无实数根 B.当k＝1时，方程有一个实数根 C.当k＝－1时，方程有两个相等的实数根 D.当k≠0时，方程总有两个不相等的实数根 速效提能集训 C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 8.已知关于x的一元二次方程－x2＋(2m＋1)x＋1－m2＝0无实数根，则m的取值范围是___________. 速效提能集训 　m＜－　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 9.解方程： (1)x2－6x＋3＝0； 速效提能集训 解：x2－6x＋3＝0. ∵a＝1，b＝－6，c＝3， ∴Δ＝(－6)2－4×1×3＝24， x＝， ∴x1＝3＋，x2＝3－.　　　　　　　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)2x2－3x－1＝0. 速效提能集训 解：2x2－3x－1＝0. ∵a＝2，b＝－3，c＝－1， ∴Δ＝(－3)2－4×2×(－1)＝17， x＝， ∴x1＝，x2＝. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 10.已知关于x的一元二次方程mx2＋nx－2＝0(m≠0). (1)若方程有两个相等的实数根，求出m，n的关系； 速效提能集训 解：由题意，得Δ＝n2－4m·(－2)＝n2＋8m. ∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0. ∴n2＋8m＝0.∴n2＝－8m. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 (2)求证：当n＝m－2时，方程总有两个实数根. 速效提能集训 证明：当n＝m－2时， Δ＝(m－2)2＋8m＝m2＋4m＋4， ∵m2＋4m＋4＝(m＋2)2≥0， ∴方程总有两个实数根. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 11.已知关于x的一元二次方程(x－1)(x－2k)＋k(k－1)＝0.求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根. 速效提能集训 证明：(x－1)(x－2k)＋k(k－1)＝0， 整理得x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. ∵a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝k2＋k， ∴Δ＝b2－4ac＝(2k＋1)2－4×1×(k2＋k)＝1＞0. ∴该一元二次方程总有两个不相等的实数根. 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 12.阅读下面的例题，请参照例题解方程x2－－1＝0. 例：解方程x2－－2＝0. 解：①当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0， 解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)； ②当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0， 解得x3＝1(不合题意，舍去)，x4＝－2. ∴原方程的解是x1＝2，x2＝－2. 速效提能集训 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 解：①当x－1≥0，即x≥1时，原方程化为x2－(x－1)－1＝0， 解得x1＝1，x2＝0(不合题意，舍去)； ②当x－1＜0，即x＜1时，原方程化为x2＋(x－1)－1＝0. 解得x3＝1(不合题意，舍去)，x4＝－2. ∴原方程的解是x1＝1，x2＝－2. 速效提能集训 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 中考真题体验 1.(2024·山东潍坊)已知关于x的一元二次方程x2－mx－n2＋mn＋1＝0，其中m，n满足m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是 (　　) A.无实数根 　　　　　　　　　　 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 　　　　 D.无法确定 中考真题体验 C 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 2.(2024·广东)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋c＝0有两个相等的实数根，则c＝_______. 3.(2024·广州节选)关于x的方程x2－2x＋4－m＝0有两个不相等的实数根.求m的取值范围. 中考真题体验 m＞3 1　 学考精练·数学·九年级全一册·配人教版 $