精品解析：江苏省无锡市大桥实验学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 2. 已知椭圆的短轴长为4，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分焦点在轴与轴两种情况进行求解. 【详解】由的短轴长为4，得，即，则． 若，则，显然矛盾； 若，则． 故选：B. 3. 在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. 60° B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出可得,根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、， 矩形中，， ，可得，因此； 正三棱柱中，平面平面， 平面平面，，平面， 平面，平面，可得. ，平面， 平面，又平面， 所以，即与所成角的大小为， 故选：C． 4. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化为抛物线的标准方程即可得解. 【详解】由抛物线化为标准方程得， 则抛物线的焦点到准线的距离为， 故选：A. 5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得双曲线的方程，得出焦点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 可得，解得，即双曲线， 则双曲线的右焦点为，其中一条渐近线方程为，即， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 故选：A. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设、的夹角为，根据同角三角函数的基本关系求出的值，利用已知条件和双曲线的定义求出、，再利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值. 【详解】如下图所示： 设、的夹角为，则，解得， 因为，由双曲线的定义可得，故， 由余弦定理可得， 即，可得，故. 故选：D. 7. 在平行六面体中，，为的中点，则其中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算判断A；根据A的结果计算数量积可判断B；利用基底表示，再代入向量数量积运算求模可判断C；根据几何图形可判断D. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，因为， 所以 ，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D，， 所以平行六面体六个面全等，所以， 即为正三角形，故，故D正确. 故选：C 8. 我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍，即，利用两点间的距离公式，可求出，即判断点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部，令，即，令直线的方程为，利用点到直线距离公式可求出点到直线的距离，对直线与圆相交或相切进行分类讨论，可求出的取值范围，即可求出的最大值，即可得解. 【详解】 已知， 因为动点符合， 所以动点到定点的距离不大于定点到定点的距离的倍， 即动点到定点的距离小于等于定点到定点的距离的倍， 所以， 所以1， 即， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆及内部， 令，即， 令直线的方程为， 要求的最大值，即为求当直线与圆相交或相切时的最大值， 又点到直线的距离为， 平移直线与圆相切时，点到直线的距离等于圆的半径， 即，即，解得或， 当直线与圆相交时，点到直线的距离大于等于0小于1， 即 ，即，即，解得， 综上所述，可得，即， 所以，即， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆和直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定有公共点 C. 圆与圆只有一条公切线 D. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线过的定点判断A；判断定点与圆的位置关系判断B；判断圆与圆的位置关系判断C；求出圆心到直线距离判断D． 【详解】对于A，直线的方程为，由，得， 直线过定点，故A正确； 对于B，，又， 所以定点在圆C内，则直线与圆C相交，有两个交点，故B正确； 对于C，圆化为， 圆的圆心为，半径为4， 两圆圆心距为，所以两圆相交， 因此它们有两条公切线，故C错误； 对于D，当时，直线，圆心到直线l的距离为， 而圆C半径为2，且，因此恰有2个点到直线的距离等于1，故D正确． 故选：ABD． 10. 设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（ ） A. B. 的坐标为 C. D. 直线的方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意得焦点为，准线为，设的坐标为，由中点坐标公式得，，即.由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 即可判断选项A；故抛物线方程为，，则，求出和的值，即可判断选项B；根据三角形面积公式即可判断选项C；根据直线的点斜式方程化简即可判断选项D. 【详解】如图，由题意得焦点为，准线为， 设的坐标为，由为的中点得，，即. 由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 故选项A正确； 由选项A知抛物线方程为，，则，故，， 所以点的坐标为或.故选项B错误； 的面积为.故选项C不正确； 由，或知， 直线的方程为，即.故选项D正确. 故选：AD 11. 在正方体中，，点满足，则（ ） A. 直线与一定为异面直线 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 四面体体积为2 D. 当时，的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用向量的坐标运算求得F坐标，确定F点位置，结合异面直线的概念即可判断A；根据空间角的向量求法可判断B；根据棱锥的体积公式判断C；将绕翻折到和四边形到同一平面内，将转化为线段的长，求得其最小值判断D． 【详解】由题意在正方体中，，， 即E为的中点； 以D为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 则， 则， 由得， 则点，由于，则， 故点F在四边形的内部， 而在平面内，故和平面相交， 而平面，直线，故直线与一定为异面直线，A正确； 设平面的法向量为，， 则，令，则， 又，故， 设线与平面所成角为， 故，B正确； 由于点F在四边形的内部，故F到平面的距离为2， 则四面体的体积, 即四面体的体积为定值，C错误； 当时，，此时点F在上（不含端点）， 如图将绕翻折到和四边形到同一平面内， 连接交即为F点，则的最小值为的长； 由题意可知， 故 ， 故，即的最小值为，D正确， 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量的坐标为___________； 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，代入即可求解. 【详解】直线l的方向向量为和， 可得， 则向量直线l上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方程与曲线具有两个公共点，联立方程进行求解. 【详解】直线过点，， 联立方程 则 ， 即，故， 根据图象的交点，可得， 故. 故答案为：. 14. 已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是___________ 【答案】3 【解析】 【分析】求出焦点，准线，作出辅助线，设动点直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到. 【详解】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，即时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直线与垂直，求直线的方程，再与直线方程联立，解方程组可得点坐标. （2）根据点在直线上，设出点坐标，利用为中点，表示点坐标，再根据点在直线上，可求的值，可确定点坐标，进而得直线的方程. 【小问1详解】 如图： 因为边上的高所在直线方程为， ，且， 的顶点， 直线的方程：，即. 联立方程 ，解得. 顶点的坐标为. 【小问2详解】 因为所在直线方程为， 故设点的坐标为， 是的中点，， . 在所在直线上， ，解得， 点坐标为， 由知点的坐标为， 故直线的方程为，即. 16. 已知点，，均在圆上． （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆相交于两点，试问，是否存在直线，使得恰好平分的外接圆？若存在，求出直线的方程．若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据圆的对称性可设圆心，利用圆的半径可构造方程求得，进而确定圆的方程； （2）根据题意可知为的直径，可得；讨论知直线斜率不为，可设，将直线与圆方程联立可得韦达定理的结论，结合垂直关系的向量表示可构造方程求得的值，进而得到直线方程. 【小问1详解】 线段垂直平分线的方程为，圆的圆心可设为， 又在线段垂直平分线上，圆的半径， 又，，解得：， 圆心，半径， 圆的方程为：. 【小问2详解】 恰好平分的外接圆，为其直径，， 当直线斜率为，即时，即为点，此时显然不成立； 直线斜率不为，可设，，， 由得：， 恒成立， ，， ，， ，解得：或， 直线的方程为：或； 综上所述：存在直线或，使得恰好平分的外接圆. 17. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 【答案】（1） （2） ①由，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为，，，， 联立，得， 则，，， 所以， 又因为，所以，， 所以， . ②由①可知，，所以， 作关于轴的对称点，则，，三点共线， 又，，设， 则直线方程即为直线方程， 又直线方程为， 作差可得， 所以， 所以，， 又，得出， 又因为， 所以， 即，即， 所以点在以，为焦点，1为实轴长的双曲线的左支上运动， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可知点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程. （2）①设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦达定理，即可得到，再由斜率公式计算可得； ②作关于轴的对称点，则，，三点共线，设，表示出直线、的方程，即可得到，，代入椭圆方程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明. 【小问1详解】 由，， 所以点在以，为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设椭圆方程为， 焦距为，则，， 所以， 所以C的方程为. 【小问2详解】 略 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 【答案】（1） 取BD中点，连接PO， 是BM的中点，，且， 在线段CD上取点，使，连接OF，QF， ，，且， ，四边形POFQ为平行四边形，， 又平面平面，平面. （2） （3）点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处 【解析】 【分析】（1）利用中位线定与与平行线的传递性，结合线面平行的判定定理即可得证； （2）利用勾股定理与线面垂直的性质定理建立空间直角坐标系，再分别求得平面与平面的法向量，利用空间向量法求面面角的方法即可得解； （3）先利用线面平行的性质定理分析得在上，假设，再利用线面角的空间向量法分析得与平面所成的角时的值，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则，， 取BD中点，则，又平面，平面BCD， 以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 则，，， ，所以， 故， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM， ， 点为内动点且平面QGM， 又平面ABD，平面平面， ，故点在OM上， 设，又，，， 则， ， 易知平面的一个法向量为， 设QG与平面所成角为，则最大时，最大， ， 所以当时，最大，此时最大， 即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 19. 已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． （1）求双曲线的方程； （2）若，求点的坐标； （3）设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）直线与直线的交点在一条定直线上上. 【解析】 【分析】（1）根据等轴双曲线的概念，结合，可求的值，得双曲线的方程. （2）先判断点在圆上，列方程，解方程组可得点坐标. （3）设直线的方程为，与双曲线方程联立，消去，利用韦达定理表示出，，再表示出直线与，探索两直线交点的横坐标是不是定值即可. 【小问1详解】 由题意：. 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 因为，所以在以为圆心，以为半径的圆上. 由或. 所以或. 【小问3详解】 如图： 因为与不重合，所以直线的斜率不为0， 故可设直线的方程为，，. 因为点在双曲线的左支上，故或. 联立得：. . 故，， 则，故. 易得，， 则，所以直线的方程为， ，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：，显然， 由题意得：，， 则， 则. 故点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的短轴长为4，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 2或4 3. 在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（ ） A. 60° B. C. D. 4. 已知抛物线，则抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，的右支上一点满足，且与的夹角的正切值为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，，为的中点，则其中错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 我们把平面内到定点的距离不大于定点到的距离的倍的动点的集合称为关于的阶亲密点域，记为动点符合．已知，动点符合，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆和直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆一定有公共点 C. 圆与圆只有一条公切线 D. 当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 10. 设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（ ） A. B. 的坐标为 C. D. 直线的方程为 11. 在正方体中，，点满足，则（ ） A. 直线与一定为异面直线 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 四面体体积为2 D. 当时，的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知直线l的方向向量为，则向量在直线l上的投影向量的坐标为___________； 13. 已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 14. 已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是___________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为. （1）求顶点的坐标； （2）求直线的方程. 16. 已知点，，均在圆上． （1）求圆的方程； （2）设过点的直线与圆相交于两点，试问，是否存在直线，使得恰好平分的外接圆？若存在，求出直线的方程．若不存在，请说明理由． 17. 在平面直角坐标系中，点，动点P满足，记点P的轨迹为C． （1）求C的方程； （2）过点Q且斜率不为0的直线l与C相交于两点E，F（E在F的左侧）．设直线AE，AF的斜率分别为． ①求证：为定值； ②设直线AF，BE相交于点M，求证：为定值． 18. 如图，在四面体中，平面，M，P分别是线段，的中点，点Q在线段上，且. （1）求证：平面； （2）当，时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成的角最大，试确定点G的位置. 19. 已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点． （1）求双曲线的方程； （2）若，求点的坐标； （3）设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $