1.6 利用三角函数测高 教学课件 2025--2026学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“利用三角函数测高”，系统涵盖测倾器构造与使用、底部可到达物体高度测量（h=l·tanα+a）及底部不可到达物体高度测量（两次测仰角公式），通过“测量佛像高度”等实际问题导入，以新知探究（操作步骤、分组活动）构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于情境化与实践性融合，如“测量南山大佛高度”案例，结合分组合作与多次测量取平均值培养数据意识。通过推导测高公式发展数学思维，用规范解题过程（如例2主楼高度计算）强化模型意识，助力学生提升应用与探究能力，教师可依托系统案例与分层训练优化教学效率。

第二章 直角三角形的边角关系 利用三角函数测高 ？ α tanα= 对边（佛像高度） 邻边（测量距离） 学习目标 如何测量倾斜角？ 1.了解测倾器的构造及使用方法，会设计简单的活动方案； 2.掌握测量底部可以到达的物体高度的方法； 3.掌握测量底部不可以到达的物体高度的方法. 如何根据测量数据计算物体高度？ 有些物体的底部无法到达，该怎么办呢？ 新知探究 知识点 测量倾斜角 1 测量倾斜角可以用测倾器. 测倾器：简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成. 度盘 铅锤 支杆 4 如何使用测倾器？ 新知探究 把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置. 转动度盘，使度盘的直径对准目标M，记下此时铅垂线所指的度数. M P Q α 仰角 1 2 1.测仰角：“同角的余角相等” 2.测俯角：“对顶角相等”“同角的余角相等” 我学会了！ 例1. 如图所示，某同学自制了一个测角仪：等腰直角三角板的底边和量角器直径平行．若重锤线OF与ON的夹角为55°，那么被测物体表面的倾斜角∠ACB的度数为( ) A．25° B．35° C．45° D．55° B 应用巩固 新知探究 知识点 测量底部可以到达的物体的高度 2 所谓“底部可以到达” ，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.如图，要测量物体MN的高度，你能设计一个方案测量底部可以到达的物体的高度吗？ M N 分组活动、小组合作： 1.需要测量哪些数据？ 2.需要用到哪些工具？ 3.如何根据测量数据计算物体的高度？ 小颖说我们可以通过正切计算高度，我还不是很明白，你能帮我设计一个方案吗？ 7 新知探究 M N 在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α. A α C 量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l. l 量出测倾器的高度AC=a （即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离） a 3 2 1 P Q 根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由. E 知识点二：测量底部可以到达的物体的高度 测量底部可以到达的物体时所得到的数学模型如图所示，这时物高h满足的关系式为_____________________． h＝l·tan α＋a 新知探究 例2:如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m). C A B E D 30° 应用巩固 感谢大家的帮助，我明白啦，在实地测量大佛之前，让我们先在学校里试试看吧？ C A B E D 30° 解:如图，作EM垂直CD于M点. ∠DEM=30°, M 根据题意，可知 CM=BE=1.4m BC=EM=30m, 在Rt△DEM中， DM=EMtan30°≈30×0.577 =17.32(m)， CD=DM+CM=17.32+1.4≈18.72(m). ∴学校主楼的高度约为18.72m. 应用巩固 新知探究 知识点 测量底部不可以到达的物体的高度 3 所谓“底部不可以到达” ，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离. M N tanα= 对边（所求高度） 邻边（测量距离） × × 可是大佛的底部无法到达，测得的长度数据不完整，该怎么办呢？ α 新知探究 在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α. 在测点A与物体之间B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β. 量出测倾器的高度AC=BD=a， 以及测点A，B之间的距离AB=b. 3 2 1 根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗？说说你的理由. M N A α C B D β a E b 知识点三：测量底部不可以到达的物体的高度 测量底部不可以到达的物体时所得到的数学模型如图所示，这时物高h满足的关系式为_____________________． 新知探究 例3. 如图所示，在山脚C处测得山顶A仰角为30°，沿着水平地面向前300米到达点D，在D点测得山顶A的仰角为60°，则山高AB为__________米(结果保留根号). 应用巩固 课题 在平面上测量南山大佛的高度AB 测量示意图 测得数据 (测倾器高度为1m) 测量项目 ∠α ∠β CD的长 第一次 30° 16' 45° 35' 28.11m 第二次 29° 44' 44° 25’' 27.89m 平均值 情境再现 例4:下表是小明所填实习报告的部分内容，请根据数据求大佛的高. C E D F A G B α β 30° 45° 28m 为什么要多次测量取平均值？ 课堂小结 测倾器的认识及使用 测量底部可以到达的物体的高度 （一次测量仰角） 测量底部不可以到达的物体的高度 （两次测量仰角） 利用解三角形的知识，求出物体的高度 课堂训练 1．如图，为测量建筑物CD的高度，在点A测得建筑物顶部D点的仰角是22°，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为58°（A，B，C在同一直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数.参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60） 课堂训练 解：设建筑物CD的高度为xm； 由tan58°=DCBC, ∴BC=x1.60, 由tan22°=DCAC, ∴DC=0.40AC, ∴x=0.40(30+x1.60) 解得：x=16. 答：CD的高度是16米． 课堂训练 2.如图所示，在一个坡度i=1:2的山坡CB的顶端B处竖直立着一个电视发射塔AB．为测得电视发射塔的高度，小明站在山脚的平地D处测得电视发射塔的顶端A的仰角为40°，若测得斜坡BC长为1005米，点C到点D的水平距离CD=20米，求电视发射塔AB的高度．（参考数值：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数） 应用巩固 作AB⊥DC交DC的延长线于点E， 在Rt△BCE中，∵i=BE:CE=1:2，设BE=x，则CE=2x， ∵ BC=1005， ∴ 根据勾股定理得x2+2x2=10052， 解得x=100， ∴BE=100（米），CE=200（米）， ∴DE=CE+CD=220（米）， 在Rt△ADE中， ∵tan40°=AEDE， ∴AE≈220×0.84=184.8， ∴AB=AE−BE≈184.8−100=84.8≈85（米）， 答：电视发射塔AB的高度约为85米． 课堂训练 3．如图，为了测量某电子厂AB的高度，小明用高1.8m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°，小军在小明的前面5m处用高1.5m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°，则电子厂AB的高度为多少米？ （参考数据：sin53°≈45，cos53°≈35，tan53°≈43）   课堂训练 解：由题意得：EF=BM=1.8m，CD=BN=1.5m，EM=FB，BD=CN，DF=5m， 设BD=CN=xm，则EM=FB=(x+5)m， 在Rt△ACN中，∠ACN=53°， ∴AN=CN⋅tan53°≈43xm， 在Rt△AEM中，∠AEM=45°， ∴AM=EM⋅tan45°=(x+5)m， ∵AM+BM=AN+BN， ∴x+5+1.8=43x+1.5， 解得：x=15.9， ∴AM=x+5=20.9m， ∴AB=AM+BM=20.9+1.8=22.7m， ∴图书馆AB的高度为22.7m． 课堂训练 4．数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E处测得旗杆顶部A的仰角α为45°，旗杆底部B的俯角β为60°．室外测量组测得BF的长度为5米，求旗杆AB的高度． 课堂训练 解：过点E作PE⊥AB于点P， 在Rt△APE中 ∠APE=90°，tan∠α=APEP，∠α=45°，PE=BF=5， ∴AP=EP×tan∠α=5×tan45°=5 在Rt△PEB中，∠β=60°，tan∠β=PBEP， ∴PB=EP×tan∠60°=5×3= 53 ∴AB=AP+BP=5+53米． 课堂训练 5．如图，在楼房MN前有两棵树与楼房在同一直线上，且垂直于地面，为了测量树AB、CD的高度，小明爬到楼房顶部M处，光线恰好可以经过树CD的顶站C点到达树AB的底部B点，俯角为37°，此时小亮测得太阳光线恰好经过树CD的顶部C点到达楼房的底部N点，与地面的夹角为30°，树CD的影长DN为15米，请求出树AB和楼房MN的高度．（3≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果精确到0.1m） 课堂训练 解：在Rt△CDN中， ∵tan30°=CDDN， ∴CD=tan30°·DN=53≈8.65， ∵∠CBD=37°， ∴BD=CDtan37°≈11.53， ∴BN=DN+BD=11.53+15=26.53， 在Rt△ABN中，tan30°=ABBN， ∴AB=tan30°·BN=33×26.53≈15.3（米）， 在Rt△MNB中，MN=BN·tan37°=0.75×26.53≈19.9（米） ∴树高AB是15.3米，楼房MN的高度是19.9米． 得分 得分 一组 五组 二组 六组 三组 七组 四组 八组 小组评比台 课后作业 基础：练习册基础巩固+拓展提高 提升：导学案后两道思考题 谢谢观看！ null 36324.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 3504.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 1584.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 5904.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 5616.0 Audio generated by ttsmaker.cn null 4392.0 h＝a＋ eq \f(b tan αtan β,tan β－tan α) 150 eq \r(3) Audio generated by ttsmaker.cn null 3120.0 $