精品解析：山东省淄博第七中学2025-2026学年高三上学期学分认定（期中）考试数学试题

2025-2026学年第一学期高三学分认定考试 数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2. 设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：若，使，则两向量反向，夹角是，那么；若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数，使得，所以是充分而不必要条件，故选A. 【名师点睛】判断充分必要条件的方法：（1）根据定义，若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若，那么就是既不充分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知 ,若，那么是的充分不必要条件，同时是的必要不充分条件；若，那么，互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将是条件的判断，转化为是条件的判断. 3. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数相等的条件可求. 【详解】，而为实数，故， 故选：B. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 5. 已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若＞1，则( ) A. (a－1)(a－b)＜0 B. (a－1)(a－b)＞0 C. (b－1)(b－a)＜0 D. (b－1)(b－a)＞0 【答案】AD 【解析】 【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论即可﹒ 【详解】①当a＞1时，＞1＝，∴b＞a，∴b＞a＞1，∴(a－1)(a－b)＜0； ②当0＜a＜1时，＞1＝，∴b＜a，∴0＜b＜a＜1，∴b－1＜0，b－a＜0，∴(b－1)(b－a)＞0． 故选：AD﹒ 6. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得． 详解：由题可知 所以 由余弦定理 所以 故选C. 点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理． 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 8. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号）， 所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号）， （当时取等号）， 所以， 综上．故选A． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据奇函数特点即可判断；对B，利用代入求解即可；对C，举反例即可；对D，直接求导，根据极大值点判定方法即可判断. 【详解】对A，因为定义在上奇函数，则，故A正确； 对B，当时，，则，故B正确； 对C，， 故C错误； 对D，当时，，则， 令，解得或（舍去）， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则是极大值点，故D正确； 故选：ABD. 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 11. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 点的坐标为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】对于A：因为，，所以，正确； 对于B：依题意为线段的中点，则，则， 又，所以，正确； 对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点， 所以， 又，所以点的坐标为，正确； 对于D： ， ， 所以点的坐标为，错误. 故选：ABC 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 13. 已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则__________. 【答案】16 【解析】 【分析】由是公差不为0的等差数列，根据等差数列的通项公式将用和表示，由成等比数列，根据等比数列得到，代入，得到和的等式，将代入计算出，将用和表示，代入和得解. 【详解】是公差不为0的等差数列， ， 成等比数列， ， ， ， ， 或， ，，. 故答案为：16. 14. 已知利用三角变换，可知在时的取值范围是________ ，猜想在时的取值范围是__________ . 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合同角的三角函数关系和二倍角的正余弦分别计算 的取值范围，数学归纳，猜想对任意x时 的取值范围. 【详解】当 时， ； 当 时，  ， ； 当 时，  ，  ； 由以上规律可以猜想：当 时， 的取值范围是 ； 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数其中且 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最小正周期和单调递减区间. 【答案】(1). (2). 【解析】 【详解】分析：(1)将代入原式得出，（2）将原式化简： ，然后根据周期计算公式和正弦的递减区间求法即可得结论. 详解： （Ⅰ）由已知得， 又所以 （Ⅱ） 函数最小正周期 函数单调递减区间为. 点睛：考查三角函数的化简和基本性质，正确化简是解题关键，属于基础题. 16. 中， D为AB边中点，. （1）用表示 （2）若，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算求解即可； （2）应用数量积运算律计算求解. 【小问1详解】 如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 【小问2详解】 又因为，所以 ，所以 所以， 所以，① 因为，所以， 所以①． 17. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式； （2）结合题中条件和等比数列通项公式建立方程组，解得首项和公比，即可求得通项公式，从而求得数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则解得， 所以的通项公式为. 【小问2详解】 设等比数列的公比是， 由，得，解得， 所以的通项公式为，此时，， 满足，故. 结合（1）知， 所以数列的前项和. 18. 设的内角的对边分别为，已知. （1）若. （i）求； （ii）求； （2）求的最大值. 【答案】（1）（i）3；（ii） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由和差角公式化简等式，代入即可求得； （ii）由同角三角函数的关系求得，由和差角公式求得，然后由正弦定理求得边； （2）由正切的和差角公式和（i）中的关系化简，然后由基本不等式求得最大值. 【小问1详解】 （i），展开化简得： 所以； （ii）由，而为三角形内角，故， 所以， 由正弦定理，得. 【小问2详解】 由（1）可得，故均为锐角， 所以， 当且仅当时，取到最大值. 19. 已知函数 （1）求在区间的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调区间与极值； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析过程 （2）答案见解析过程 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，根据函数的单调性与最值的关系进行求解即可； （2）根据函数的单调性与导数的关系判断函数的单调性，再结合函数的极值定义进行求解即可； （3）根据任意性和存在性的定义，结合（1）（2）的结论，分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，在上单调递增， 当时，在单调递减， 所以， 因为，所以， 在区间的最大值和最小值分别是； 【小问2详解】 由，函数的定义域为全体正实数集， 当时，，函数是正实数集上的增函数，没有极值； 当时，当时，在上单调递增， 当时，上在单调递减， 该函数有极大值，无极小值， 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间，无极值； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，无极小值，有极大值； 【小问3详解】 问题对任意，总存在，使得不等式成立，等价于 在上的最小值与在上的最小值的差大于， 当时，则有，由（2）可知在上的最小值为， 由（1）可知在上的最小值为， 所以有； 当时，则有，由（2）可知：在上的最小值是中最小的数，因为， 所以当时，， 此时有； 当时，， 则有， 综上所述：实数m的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三学分认定考试 数学试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷 （选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2. 设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知a，b＞0且a≠1，b≠1，若＞1，则( ) A. (a－1)(a－b)＜0 B. (a－1)(a－b)＞0 C. (b－1)(b－a)＜0 D. (b－1)(b－a)＞0 6. 的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A. B. C. D. 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 3 8. 已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 是的极大值点 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 点的坐标为 第Ⅱ卷 （非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面向量若，则___________ 13. 已知是公差不为0的等差数列，，若成等比数列，则__________. 14. 已知利用三角变换，可知在时的取值范围是________ ，猜想在时的取值范围是__________ . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数其中且 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的最小正周期和单调递减区间. 16. 中， D为AB边中点，. （1）用表示 （2）若，求 17. 已知等差数列满足. （1）求的通项公式； （2）设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 18. 设的内角的对边分别为，已知. （1）若. （i）求； （ii）求； （2）求的最大值. 19. 已知函数 （1）求在区间的最大值和最小值； （2）讨论函数的单调区间与极值； （3）若，对任意，总存在，使得不等式成立，试求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $