3.4圆心角与圆周角的关系 同步达标测试题 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2025-2026学年北师大版九年级数学下册《3.4圆心角与圆周角的关系》 同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．如图，在中，若，的直径等于4，则的长为（   ） A． B．2 C． D． 2．在中，弦所对的圆心角的度数为，则弦所对的圆周角的度数为（    ） A．或 B． C． D．或 3．如图，四边形是的内接四边形，连接、，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．如图，是的直径，点C，D是圆上两点，连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是直径，C是上一点，连接，，过点O作于点E，交于点D，连接，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，为半圆的直径，点为半圆上一点，连结、．按下列要求作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点、；②分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交半圆于点．连结，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折，交于点，连接．若点与圆心不重合，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，四边形内接于⊙O，对角线与相交于点E、F在上，，，下列结论：①线段为的直径；②；③；④，其中正确的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题（满分24分） 9．如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 10．如图，点A，B，C，D，E都在上，连接．若所对圆心角的度数为，则 ． 11．如图，是的内接三角形，是的直径，，的平分线交于点，则的度数是 ． 12．如图，点A，B，C是上的点，且，在这个图中，仅用无刻度的直尺能准确画出的圆周角的度数是 ．（除外，请写出全部可能的结果） 13．如图，是的直径，，在上，若，则的度数为 （度）． 14．如图，是的直径，C为圆上一点是弧的中点，与交于点E，若E是的中点，则的长为 ． 15．如图，弦在以为直径的半圆上滑动，是的中点，于点若弦始终保持与半圆的半径相等，则的度数为 ． 16．如图，已知A、B两点的坐标分别为，，P是外接圆上的一动点，若，则点P的坐标为 ．    三、解答题（满分72分） 17．如图，是的直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 18．如图，在中，点是弦的中点，过点，作直径，连接，过点作交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)已知，求的半径． 19．如图，在中，，是边上一点，以为直径的圆经过点，是直径上一点（不与点，重合），连接并延长交圆于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，则________． 20．如图，点A、B、C在上，是直径，的角平分线与交于点D，与交于点M，且，连接，交于点N． (1)证明：； (2)试猜想与之间的数量关系，并证明． 21．如图，等腰内接于，，将劣弧沿翻折，与交于，连接. (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的半径. 22．如图，是的直径，弦，是延长线上的一点，连接交于点，连接． (1)试说明：； (2)求证：平分； (3)若，，且经过圆心，求的长． 23．【课本再现】在人教版九年级上册课本第88页，利用圆周角定理研究了关于圆内接四边形的一个性质，圆内接四边形的对角互补． 【问题探究】完成上述性质的证明过程： （1）如图①，已知点A，B，C，D在上，求证：． 【解决问题】 （2）如图②，已知点A，B，C，D在上，若的半径为4． ①求BD的长； ②连接CA．若CA平分，如图③，请判断BC，CD，AC之间有怎样的数量关系，并说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查圆周角的性质及含直角三角形的性质，熟练掌握圆周角的性质及含直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵的直径等于4， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故选B． 2．A 【分析】根据圆周角定理，弦所对的圆周角等于其所对圆心角的一半，但需考虑顶点在优弧或劣弧上两种情况． 【详解】解：∵弦所对的圆心角为， ∴劣弧的度数为，优弧的度数为． 当圆周角顶点在优弧上时，圆周角所对的弧为劣弧， ∴圆周角； 当圆周角顶点在劣弧上时，圆周角所对的弧为优弧， ∴圆周角． 因此，弦所对的圆周角的度数为或． 故选A． 3．C 【分析】本题考查了圆内接四边形的知识，圆周角定理．利用圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 4．C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴. 故选：C． 5．C 【分析】本题主要考查垂径定理，圆周角的性质及勾股定理，熟练掌握垂径定理，圆周角的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，则有，，由垂径定理可得，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 6．D 【分析】本题主要考查角平分线的尺规作图及圆周角的性质，熟练掌握角平分线的尺规作图及圆周角的性质是解题的关键；由题意易得，，然后根据同弧所对圆周角相等可进行求解． 【详解】解：∵为半圆的直径， ∴， ∵， ∴， 由尺规作图可知：平分， ∴， ∴； 故选：D． 7．C 【分析】本题考查圆内接四边形，圆周角定理，折叠的性质，三角形的外角，熟练掌握相关知识点是解题的关键，设点关于的对称点为，连接，圆周角定理得到，圆内接四边形的性质，得到，进而求出的度数，三角形的外角求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：设点关于的对称点为，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴， ∴； 故选C 8．D 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先结合以及圆周角定理得，再运用三角形内角和性质，得出，，则线段不为的直径，过F作，根据，，则，得，则．结合等腰三角形的三线合一，得平分，G为中点，再证明，故，结合，，，即． 【详解】解：①∵ ∴，． ∵ ∴， ∵ ∴， ∴． ∴． ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴线段不为的直径， ∴①不符合题意，②符合题意； ③过F作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴平分，G为中点， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， 故③符合题意； ④∵，，， ∴， 故④符合题意， 其中正确的个数为3个． 故选：D． 9． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角的性质，以及直径所对的圆周角为直角，解决本题的关键是判断出是等腰直角三角形． 作出辅助线，由圆周角的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，由此可求解． 【详解】解：连接，如图， 则， ， ， 是圆的直径， ， 是等腰直角三角形． ． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，作辅助线构造圆内接四边形是解题关键． 连接，由圆周角定理可得，由于四边形为的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接． 所对圆心角的度数为， ． 点都在上， ∴四边形为的内接四边形， ， ． 故答案为：． 11． 【分析】此题主要考查了直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．根据直径所对的圆周角是直角得，由角平分线定义得，进而得，，由此可得的度数． 【详解】解：是的直径， ， ，平分， ，， ， ， 故答案为：． 12．、、 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，半圆（直径）所对的圆周角是直角，用无刻度的直尺作直径，连接，，由圆内接四边形的对角互补可得，由直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：用无刻度的直尺作直径，连接，， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 即可以画出圆周角的度数是、、． 故答案为： 、、 13．110 【分析】本题考查了圆的半径性质、等腰三角形的性质以及圆内接四边形的性质，解题的关键是通过连接辅助线，利用等腰三角形求出相关角的度数，再借助圆内接四边形对角互补推导结果． 连接，由（圆的半径相等）可知为等腰三角形，结合的度数求出；再根据圆内接四边形对角互补的性质，结合与的关系求出． 【详解】解：连接， ∵的半径）， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， 又∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 14．2 【分析】本题主要考查垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质，熟练掌握垂径定理的推论、勾股定理、全等三角形的性质与判定及圆周角的性质是解题的关键；连接，交于点F，由题意易得，则有，然后可得，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，交于点F，如图所示： ∵点D是弧的中点，是的半径， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， 解得：，负值舍去， ∴． 故答案为：2． 15． 【分析】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出C、M、O、E四点共圆，且为圆的直径，为圆的一条弦，圆周角定理及直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图，连接，，， ，是的中点， ， ， ，，，四点共圆，且为圆的直径，为圆的一条弦． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查的是圆周角定理及等腰直角三角形的性质．作轴于H，连接PA、PB，由A、B两点的坐标可求出，由和都为等腰直角三角形，得出，，设，在中，运用勾股定理求出t的值，即可得出点P的坐标． 【详解】解：如图，作轴于H，连接、，   ， 为外接圆的直径， ， 、B两点的坐标分别为、， ，， ， ， ， 和都为等腰直角三角形， ，， 设，则，， 在中， ，即， 解得，（舍去）， 点坐标为． 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，垂直平分线的判定与性质，作出适当的辅助线是解题的关键． （1）连接，首先证明，推出，即可解决问题； （2）连接，根据，所以只要求出的度数即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径， ，即， ， 垂直平分． ． ． ， ． ； （2）解：如图，连接， ， ． ． 是的直径， ． ． 18．（1）证明：∵为的直径，点E是弦的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵点E是弦的中点， ∴ 设半径为， 在中，由勾股定理得， 解得． 19．（1）证明：∵， ∴（等边对等角）， 又∵， ∴（等量代换）． （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 20．（1）证明：∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：猜想 ． ∵，， ∴． ∵，， ∴是的中位线， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 21．（1）解：在上取点D关于的对称点E，连接，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∵四边形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示： 由（1）及折叠的性质可知：，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的半径为2． 22．（1）解： 是的直径，弦， 由垂径定理可得， ； （2）证明： 是的直径，弦， 由垂径定理可得， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 即平分； （3）解：如图所示： 是的直径，弦， 由垂径定理可得， 经过圆心，即为的直径， ， 在中，由勾股定理可得， ， ， 在中，由勾股定理可得， 是的直径， ， 在中，由勾股定理可得． 23．解：（1）证明：连接OD，OB，如图①． ，， ． （2）①由（1）可知． ， ． 连接OB，OD，过点O作于点M，如图②． ， ， 则， ． ②．理由如下： 延长CB至点N，使，连接AN，如图③． 平分， ． 由（1）可知， ， ． 点在上， ． ． 在和中， ， ． 又， 为等边三角形， ． 即． 学科网（北京）股份有限公司 $