8.5 平行线的性质定理 导学案2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

该初中数学导学案聚焦平行线的性质定理，通过知识回顾平行线判定定理，结合课前预习中图形的同位角、内错角、同旁内角关系问题，搭建从判定到性质的逻辑支架，帮助学生衔接前后知识。 导学案注重推理能力与几何直观培养，课中通过规范证明步骤、例题解析及易错点辨析引导逻辑推理，思维提升环节设计添辅助线、折叠问题等，结合探照灯实例，让学生用数学思维解决实际问题，培养创新意识与应用能力。

8.5平行线的性质定理 【学习目标】 1．进一步了解证明的基本步骤和书写格式. 2．会证明平行线的性质定理，并能简单应用这些结论. 【知识回顾】 你还记得平行线的判定定理吗？ 【课前预习】 阅读课本第48至50页的内容，思考并解答下列问题： 1.如图：a∥b，写出相等的同位角 2.写出相等的内错角 3.写出互补的同旁内角 . 平行线的性质1：_________________________________ 平行线的性质1：_________________________________ 平行线的性质1：_________________________________ 练一练 如图2：a∥b，∠1=68°，那么∠2的度数为 图2 【课中实施】 1.已知a∥b 求证:∠1=∠2 你证明的命题用文字叙述为 可以简单地叙述为 2.尝试证明“两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.” 提示： 1）根据上述定理的文字叙述，你能作出相关图形吗？ 2）你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 3）你能说说证明的思路吗？ 证明的步骤：①理解题意，画出图形。②根据题意，找到命题的条件(已知),结论。③分析题意，探索证明思路。 易错 如图所示，直线a，b被直线c所截，则①∠4＝∠5；②∠1＝∠2；③∠1＝∠3；④∠1＋∠4＝180°，其中结论一定正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 例1.已知：如图，AD∥BC，∠ABD＝∠D. 求证：BD平分∠ABC. 例2.已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，∠B+∠1=180°，∠2=∠3． 求证：∠B+∠F=180° 例3.完成下面证明过程并写出推理根据： 已知：如图所示，∠BAP与∠APD互补，∠1=∠2．  求证：∠E=∠F． 证明： ∵∠BAP与∠APD互补(已知)，即∠BAP+∠APD=180°， ∴ ∥ ( )， ∴∠BAP=∠APC ( )． 又∵∠1=∠2， ∴∠BAP−∠1=∠APC−∠2((等式的性质)， 即∠3=∠4， ∴ ∥ ( )， ∴∠E=∠F( ) 归纳： 平行线的性质与平行线的判定有什么区别？ __________________________ __________________________ 探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关。如图，从点O照射到抛物线上的光线OB，OC等反射以后沿着与POQ平行的方向射击.图中如果∠BOP＝45°，∠QOC＝88°，那么∠ABO和∠DCO各是多少度？ *【思维提升】 题型一：巧添平行线解题 如图所示，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数. 【当堂达标】(共10分) 1.(2分)如图1所示AB∥CD，∠C=1150，∠A= 250，则∠E的度数为（ ） A．700 B．800 C．900 D．1000 2.(2分)如图2所示a∥b，∠1=1050，∠2=1400 则∠3的度数为（ ） A．750 B．650 C．550 D．500 3.(2分)将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，下列结论：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2＋∠4＝90°；④∠4＋∠5＝180°.其中正确的个数有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．(2分)一条公路两次转弯后又回到原来的方向(即AB∥CD，如图所示)，如果第一次转弯时的∠B＝140°，那么∠C应是_____． 5.(2分)已知：如图，AB∥CD，AD∥BC. 求证：∠A＝∠C，∠B＝∠D. 【课堂小结】 ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ *【思维提升】 题型二：平行线的性质在折叠问题中的运用 如图所示，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于多少度？ 承先启后：你能否通过平行公理，验证“三角形内角和为180°”？ 学案答案 例1．已知：如图，，．求证：BD平分． 解：∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴BD平分（角平分线的定义）． 例2．已知：如图，直线、、被直线所截，，．求证：． 解：∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 例3： 证明：∵与互补（已知），即， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴（等式的性质）， 即， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． 4． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 5．如图所示，已知，求的度数. 方法1： 延长ED交BC于M.因为AB∥DE，∠ABC＝80°，所以∠BMD＝∠ABC＝80°，因为∠CDE＝140°，所以∠MDC＝180°－140°＝40°.在△CDM中，∠BMD＝∠C＋∠MDC，所以∠BCD＝∠BMD－∠MDC＝80°－40°＝40°. 方法2： 过C点 作CF∥AB 则∠BCF=∠B=80°（两直线平行，内错角相等）． ∵∠BCD=40°， ∴∠DCF=∠BCF-∠BCD =80°-40° =40°． 又∵∠CDE=140°， ∴∠DCF+∠CDE=40°+140°=180°． ∴DE∥CF(同旁内角互补，两直线平行) ∴AB∥DE(平行于同一条直线的两条直线平行)． 【当堂达标】 C B D 140° 5. AB∥CD，AD∥BC. 求证：∠A＝∠C，∠B＝∠D. ∵AB∥CD ∴∠A+∠D=180° ∵AD∥BC. ∴∠A+∠B=180° ∴∠A＝∠C 同理：∠B＝∠D 题型二．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处若∠AGE＝32°，则∠GHC等于多少度？ ∵∠AGE=32°， ∴∠DGE=148°， 由折叠可得：∠DGH∠DGE=74°． ∵AD∥BC， ∴∠GHC=180°﹣∠DGH=106°． 已知：如图任意画一个． 求证：． 证明：如图，过点作直线， ， ，， ， ，即三角形内角和等于． 学科网（北京）股份有限公司 $