8.5 《平行线的性质定理》 课 件 2024－2025学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

8.5 平行线的性质定理 1.会证明平行线的性质定理，并能应用这些结论解决问题. 2.进一步了解证明的基本步骤和书写格式. 3.初步了解反证法，发展学生逻辑思维。 两直线平行 1.同位角相等 2.内错角相等 3.同旁内角互补 问题 平行线的判定方法是什么？ 思考与回忆 我们在六年级下册第七章《相交线与平行线》中已经探索过平行线的性质，同学们还记得它们吗？ 温故知新 如何证明它们？ 讲授新课 平行线的性质 问题1：根据上述定理的文字叙述.你能作出相关的图形吗？ 定理 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等 A B C D E F M N 1 2 （ （ 问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？ 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 文字语言 符号语言 A B C D E F M N 1 2 （ （ 已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1=∠2. 问题3：你能说说证明的思路吗？ A B C D E F M N G H 1 2 证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD. 又因为AB ∥ CD， 这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2. 如果∠1 ≠ ∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 一般地，平行线具有如下性质： 定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. b 1 2 a c ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） ∵a∥b（已知） 几何语言: 总结归纳 （ （ 利用上述定理，你能证明平行线其它的性质吗？ 两直线平行，内错角相等. 两直线平行，同旁内角互补. 尝试来证明一下 议一议 定理2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 1 2 b c 3 a 已知：直线a∥b，∠1和∠2是 直线a，b被直线c截出的内错角. 求证： ∠1=∠2. 证明：∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等) ∵∠1＝∠3(对顶角相等)， ∴∠1=∠2(等量代换) （ （ （ ∴∠1=∠2 （两直线平行，内错角相等） ∵a∥b（已知） 几何语言: 定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直 线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证： ∠1+∠2=180°. 证明：∵a∥b (已知)， ∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等)， ∵∠1+∠3 =180°(平角的定义)， ∴∠1+∠2=180°(等量代换). 1 2 b c 3 a （ （ （ ∴∠1+∠2=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∵a∥b（已知） 几何语言: 平行线的性质 定理1:两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 定理2:两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 定理3:两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 . a b c 2 1 a b c 1 2 a b c 1 2 总结归纳 （ （ （ （ （ （ A B C D E F M N G H 1 2 证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD. 又因为AB ∥ CD， 这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 说明∠1 ≠ ∠2假设不成立，所以∠1 =∠2. 如果∠1 ≠ ∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 探究新知 （ （ 已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角. 求证：∠1=∠2. 一般地，平行线具有如下性质： 定理1：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） ∵a∥b（已知） 几何语言: b 1 2 a c （ （ 归纳总结 定理2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 1 2 b c 3 a 已知：直线a∥b，∠1和∠2是 直线a，b被直线c截出的内错角. 求证： ∠1=∠2. 证明：∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等) ∵∠1＝∠3(对顶角相等)， ∴∠1=∠2(等量代换) （ （ ∴∠1=∠2 （两直线平行，内错角相等） ∵a∥b（已知） 几何语言: （ 探究新知 定理3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直 线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证： ∠1+∠2=180°. 证明：∵a∥b (已知)， ∴∠2＝∠3 (两直线平行，同位角相等)， ∵∠1+∠3 =180°(平角的定义)， ∴∠1+∠2=180°(等量代换). ∴∠1+∠2=180° （两直线平行，同旁内角互补） ∵a∥b（已知） 几何语言: 1 2 b c 3 a （ （ 探究新知 （ 平行线的性质 定理1:两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 定理2:两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 定理3:两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 . a b c 2 1 a b c 1 2 a b c 1 2 （ （ （ （ （ （ （ 总结归纳 A D C B 例：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC. 证法一： ∵AB∥DC（已知） ∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠B=∠D（已知） ∴∠D+∠C=180°（等量代换） ∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行） A D C B ）1 例2：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC. 证法二： 如图，延长BA（构造一组同位角） ∵AB∥CD（已知） ∴∠1=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠B=∠D（已知） ∴∠1=∠B（等量代换） ∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行） A D C B 1 2 3 4 例：已知，如图，AB∥CD，∠B=∠D，求证：AD∥BC. 证法三： 如图，连接BD（构造一组内错角） ∵AB∥CD（已知） ∴∠1=∠4（两直线平行，内错角相等） ∵∠B=∠D（已知） ∴∠B－∠1=∠D－∠4（等式的性质） ∴∠2=∠3 ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行） 总结归纳 b 1 2 a c （ （ 1 2 b c 3 a （ （ （ 1 2 b c 3 a （ （ （ 平行线的性质 公理:两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理1:两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 性质定理2:两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 . 对比平行线判定与性质 1 判定定理 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。如∠1=∠2，则a//b。 2 性质定理 两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。若a//b，则∠1=∠2。 3 区别联系 判定是由角的关系推线的平行，性质是由线的平行推角的关系。它们互为逆命题。 4 例题对比 判定例题：已知∠1=∠2，求证AB//CD；性质例题：已知AB//CD，求∠1与∠2的关系。 如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 ∠1=110o可以知道∠2 是多少度,为什么？ 2 3 E 4 A B D C 1 解：(1)∠2=110o ∵两直线行，内错角相等； （2）∠3=110o ∵两直线平行, 同位角相等； （3）∠4=70o ∵两直线平行,同旁内角互补. （ （ （ （ (2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度,为什么？ (3)从 ∠1=110o可以知道∠4 是多少度,为什么？ 及时练习 证明：∵a∥b， ∴∠1=∠2， ∵c∥b, ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴a∥c. 定理：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 已知：如图，直线a,b,c被直线d所截，且a∥b,c∥b. 求证：a∥c. （ 1 （ 2 （ 3 b c a d 归纳总结 证明一个命题的一般步骤： (1)弄清题设和结论； (2)根据题意画出相应的图形； (3)根据题设和结论写出已知,求证； (4)分析证明思路,写出证明过程. 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 线的关系 角的关系 性质 角的关系 线的关系 判定 讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？ 平行线的判定与性质 1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( ) B 当堂练习 2.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行.第一次拐的∠B是142o，第二次拐的∠C是多少度？为什么？ B C 解：∠C=142° ∵两直线平行,内错角相等. 解：∵BD平分∠ABC，（ ） ∴∠4=∠1=25°， ∠ABC=2∠1=50°（ ） ∵ED∥BC，（ ） ∴∠2=∠4=25°，（ ） ∠3=∠ABC=50°.（ ） 已知 3.如图，BD平分∠ABC，ED∥BC，∠1=25°.求∠2，∠3的度数. 角平分线的性质 已知 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同位角相等 1 2 3 4 解：∵CE⊥AB， DF⊥AB ∴DF//EC ∴∠BDF=∠1，∠EDF=∠3 ∵ED//AC， 又CE平分∠ACB 4.如图，在∆ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF，请说明理由. ∴∠3=∠2 ∴∠BDF=∠EDF. 解: ∠A =∠D. 理由： ∵ AB∥DE( ) ∴∠A=_____ ( ) ∵AC∥DF( ) ∴∠D=_____ ( ) ∴∠A=∠D ( ) 5.如图,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由. P F C E B A D 已知 ∠CPE 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行,同位角相等 等量代换 F C E B A D P 解: ∠A+∠D=180o. 理由： ∵ AB∥DE( 　) ∴∠A=_____ ( ) ∵AC∥DF( ) ∴∠D+_____=180o ( ) ∴∠A+∠D=180o（ ） 已知 ∠CPD 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行,同旁内角互补 等量代换 $$