精品解析：四川省广安市前锋区2025-2026学年高二上学期第一阶段学业水平评估（11月期中）数学试题

2025—2026学年上期高2027届第一阶段学业水平评估 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本次考试范围：必修第二册与选择性必修第一册. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（ ） A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 0 D. 不存在 3. 学校要举行书画、摄影展，某班甲同学报送了3个书法作品和2个摄影作品，乙同学报送了3个书法作品和4个摄影作品，班委会准备从甲、乙两位同学所报送的作品中挑选3个书法作品和3个摄影作品代表班级参展，则甲同学所报送的5个作品中至少有2个作品被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 圆 与圆 的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 内切 D. 外切 5. 管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ） A. 2800 B. 1800 C. 1400 D. 1200 6. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 7. 已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 8. 已知直线与抛物线交于点，为的中点，为抛物线上的一个动点，若满足，则下列一定成立的是（ ）． A. B. ，其中是抛物线过点的切线 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 C. 已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知为坐标原点，向量，，，则点不能构成三角形 10. 如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ） A. 关于轴对称 B. 上的点到原点的距离最小值 C. 与轴围成的图形的面积等于 D. 截直线所得弦长为 11. 在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ） A. 曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点） B. 曲线夹在直线和直线之间 C. 曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍 D. 曲线上任意两点距离都不超过 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为______. 13. 已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为__________. 14. 已知空间三点，，，若，且分别与垂直，向量的坐标为________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD的边AB所在的直线为旋转轴旋转得到的，. （1） 求这个几何体的体积； （2） 这个几何体的表面积. 16. 已知直线，. （1）若，求a； （2）若在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求a； （3）若，求与之间的距离. 17. 新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示.根据以上数据，绘制了散点图. 天数 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平 5 10 26 50 96 195 （1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； （3）从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，求其中的y值大于50的天数为1的概率. 参考数据：其中. 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；. 18. 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． （1）求该圆台的侧面积； （2）若是线段的中点，求证：直线平面； （3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 19. 已知双曲线的右焦点为，离心率为． （1）求的标准方程； （2）设的右顶点为，过点的直线与的右支交于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值； （3）已知点是上任意一点，直线：是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上期高2027届第一阶段学业水平评估 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本次考试范围：必修第二册与选择性必修第一册. 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求. 1. 若用长为4cm，宽为2cm的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（ ） A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 【答案】D 【解析】 【分析】我们可以分圆柱的底面周长为4，高为2和圆柱的底面周长为2，高为4，两种情况进行讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案． 【详解】若圆柱的底面周长为4cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积， 若圆柱的底面周长为2cm，则底面半径，， 此时圆柱的体积 ∴圆柱的最大体积为cm3. 故选：D． 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. 0 D. 不存在 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程即可求解. 【详解】由方程，可知直线与轴平行， 倾斜角为0， 故选：C 3. 学校要举行书画、摄影展，某班甲同学报送了3个书法作品和2个摄影作品，乙同学报送了3个书法作品和4个摄影作品，班委会准备从甲、乙两位同学所报送的作品中挑选3个书法作品和3个摄影作品代表班级参展，则甲同学所报送的5个作品中至少有2个作品被选中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用所求事件的对立事件，并用古典概型的公式来计算. 【详解】用A表示事件“甲同学所报送的5个作品中至少有2个作品被选中”， 则事件A的对立事件为“甲同学所报送的5个作品中恰有0个或恰有1个作品被选中”， 则． 故选：C. 4. 圆 与圆 的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 内切 D. 外切 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心距离和半径之间的关系，判断两圆的位置关系即可. 【详解】有题意可得圆，则 圆 与圆的圆心分别为，半径分别为， 因为，，，所以，，所以两圆相交． 故选：B. 5. 管理人员从一池塘内随机捞出40条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内随机捞出70条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内鱼的总条数是（ ） A. 2800 B. 1800 C. 1400 D. 1200 【答案】C 【解析】 【分析】由从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条，可得所有池塘中有标记的鱼的概率，结合池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼，按照比例即得解. 【详解】设估计该池塘内鱼的总条数为， 由题意，得从池塘内捞出70条鱼，其中有标记的有2条， 所有池塘中有标记的鱼的概率为：， 又因为池塘内具有标记的鱼一共有40条鱼， 所以，解得， 即估计该池塘内共有条鱼. 故选：C. 6. 在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（ ） A. 为 B. 为的中点 C. 的轨迹长度为 D. 为的中点 【答案】D 【解析】 【分析】取线段的中点，求证平面平面，即可逐一分析选项. 【详解】取线段的中点，连接，则， 因点分别是棱的中点，则，则， 因平面，平面，则平面， 因，，，，则，， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 故欲使在正方形（包括边界）内，且平面， 则点必在线段上； A选项：当为时，无法得出平面，故A错误； B选项：当为的中点，无法得出平面，故B错误； C选项：的轨迹长度为，无法说明点在线段上， 但若平面，则的轨迹长度为， 则的轨迹长度为是平面的必要不充分条件，故C错误； D选项：为的中点，即点重合时，必有平面， 但平面时，不一定为的中点， 故为的中点是平面的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 7. 已知焦点在轴上的椭圆，其右焦点与上顶点和左顶点构成面积为的三角形，则椭圆的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合图形及三角形的面积公式列方程求出，利用离心率公式计算即可. 【详解】椭圆的长半轴长，设半焦距为c，则，， 因此的面积为，解得， 所以椭圆的离心率为. 故选：C 8. 已知直线与抛物线交于点，为的中点，为抛物线上的一个动点，若满足，则下列一定成立的是（ ）． A. B. ，其中是抛物线过点的切线 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法1：化简得，依题要使最小，需使最小，此时，其中是抛物线过点的切线确定选项；解法2：依题意得，结合条件，利用向量的线性运算和数量积运算推得，即得结果. 【详解】解法1：如图，因为的中点，则 ． 因为给定，要使最小，只需最小，此时，其中是抛物线过点的切线， 故B正确，其它选项无从推得. 解法2：由可得 ， 即， 因 为的中点，则得，即，也即， 即为抛物线上到点距离最近的点，此时以为圆心、为半径的圆与抛物线内切， 故B正确，其它选项无从推得. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若是空间任意四点，则有 B. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于 C. 已知是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D. 已知为坐标原点，向量，，，则点不能构成三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量加法的运算法则，线面角的定义，结合空间向量基底的性质、向量共线的意义可逐项判断即可. 【详解】对于A，由向量加法的三角形法则得，故A正确； 对于B，注意线面角的范围是，因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角为， 所以直线与平面所成的角为； 与两向量夹角的差为，即，故B错误； 对于C，假设不是空间一个基底， 那么存在实数使得成立． 因为是空间的一个基底，所以，该方程组没有实数解， 因此假设不成立，所以也是空间的一个基底, 故C正确； 对于D，由题意得，，则共线， 故点不能构成三角形，故D正确． 故选：ACD. 10. 如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ） A. 关于轴对称 B. 上的点到原点的距离最小值 C. 与轴围成的图形的面积等于 D. 截直线所得弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的性质，结合图象，可得AB的正误；根据圆的标准方程以及弦长公式，可得CD的正误. 【详解】对于A：由图可知，曲线关于轴对称，A选项正确； 对于B：明显是，到原点的距离最小，最小值为，所以B正确； 对于C：，，所在的圆的方程分别为，，. 曲线与轴围成的图形是一个半圆，一个矩形和两个圆，其面积为，故C错误； 对于D：由对称性知：Ω截直线所得弦长可由所在的圆截得的弦长加上一个矩形的长2， 而所在的圆的方程为，圆心， 圆心到直线的距离，截得的弦长为，则所求弦长为，故D正确. 故选：ABD. 11. 在数学中有“四瓣花”系列曲线，下列结论正确的有（ ） A. 曲线恰好经过9个竖点（即横、纵坐标均为整数的点） B. 曲线夹在直线和直线之间 C. 曲线所围成区域面积是所围成区域面积的5倍 D. 曲线上任意两点距离都不超过 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，分别就的正负进行分类讨论，画出表示的图形，找到9个整点，A正确；B选项，分别就的正负进行分类讨论，画出表示的图象，得到B正确；C选项，在A选项的基础上，求出和表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆，求出所围成的区域面积，得到C正确；D选项，分别就的正负进行分类讨论，画出的图形，数形结合，连接两圆心并延长，求出，D错误. 【详解】A选项，，，有， ，，有， ，时，有， ，时，， 画出图形，如下： 经过的整点有：，，，，，，，，，共9个，故A正确； B选项，曲线， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 画出图形，如下： 其中，， 故，则， 故曲线由四个弓形组成，弓形的弓高为， 是夹在直线和直线之间，又因为，，故B正确. C选项，由A选项知，表示的图形可以分解为一个正方形和四个半圆， 其中正方形边长为，半圆半径为，故其面积为， 同理，曲线也可以分解为一个正方形和四个半圆， 其中正方形边长为，半圆半径为，其面积为， 所围成区域面积为所围成的区域面积的9倍，C错误； D选项，当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 当，，有，即， 画出图形，如下： 连接两圆心并延长，分别与两圆交于， 则，D错误. 故选：AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知三角形的三个顶点分别为，，，则的中点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用中点坐标公式求出结果. 【详解】由点，点，可知的中点坐标为，即. 故答案为： 13. 已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，即可计算离心率. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为，由于一条渐近线过点， 可得，则. 故答案为：. 14. 已知空间三点，，，若，且分别与垂直，向量的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量垂直关系和模长坐标表示可构造方程组求得向量的坐标. 【详解】设，则， ，，得，即， 由，解得或， 或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．其中 15 题 13 分，16—17 题各 15 分，18—19 题各 17 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图所示的几何体是圆柱的一部分，它由矩形ABCD的边AB所在的直线为旋转轴旋转得到的，. （1） 求这个几何体的体积； （2） 这个几何体的表面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出矩形旋转一周所得圆柱的体积，根据几何体与圆柱体积比求其体积即可； （2）分别求出几何体外侧曲面、上下底面、两个矩形的面积，进而加总即可得结果. 【小问1详解】 由题设，若将矩形旋转一周所得圆柱的体积为， 其中为底面积，且，故， 因为几何体是矩形旋转得到，故几何体体积为. 【小问2详解】 由题设，则几何体外侧曲面的面积为， 上下底面的面积和为，矩形的面积和为， 综上，几何体的表面积为. 16. 已知直线，. （1）若，求a； （2）若在x轴上的截距与在y轴上的截距相等，求a； （3）若，求与之间的距离. 【答案】（1） （2）. （3）. 【解析】 【分析】（1）由垂直的充要条件列出关于a的方程即可求解； （2）由截距定义求出两截距即可求解； （3）先由平行充要条件求出a，再由平行线距离公式计算求解. 【小问1详解】 由题意得，得. 【小问2详解】 易得.对，令，则，得. 对，令，则，得. 所以由题意得，得. 【小问3详解】 由题意得，解得， 则：，可化为， 所以与之间的距离为. 17. 新冠肺炎疫情发生以来，我国某科研机构开展应急科研攻关，研制了一种新型冠状病毒疫苗，并已进入二期临床试验.根据普遍规律，志愿者接种疫苗后体内会产生抗体，人体中检测到抗体，说明有抵御病毒的能力.通过检测，用表示注射疫苗后的天数，表示人体中抗体含量水平（单位：，即：百万国际单位/毫升），现测得某志愿者的相关数据如下表所示.根据以上数据，绘制了散点图. 天数 1 2 3 4 5 6 抗体含量水平 5 10 26 50 96 195 （1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为大于0的实数）哪一个更适宜作为描述y与x关系的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （2）根据（1）的判断结果求出y关于x的回归方程，并预测该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值； （3）从这位志愿者的前6天的检测数据中随机抽取4天的数据作进一步的分析，求其中的y值大于50的天数为1的概率. 参考数据：其中. 3.50 63.67 3.49 17.50 9.49 12.95 519.01 4023.87 参考公式：用最小二乘法求经过点，，，，的线性回归方程的系数公式，；. 【答案】（1）更适合 （2），4023.87miu/mL （3） 【解析】 【分析】（1）根据散点图这些点的分布情况结合所学函数图象特点即可求解； （2）由（1）知该问题为变量之间的关系为非线性，先将非线性转化为线性关系，结合题目给出数据求出回归直线的相关系数，进而求出回归直线方程，在代入换 为y关于x的回归方程，将代入方程中即可求出预报值. （3）根据古典概型的计算公式即可求解. 【小问1详解】 根据散点图可知这些点分布在一条曲线的附近，所以更适合作为描述y与x关系的回归方程类型. 【小问2详解】 设，变换后可得，设，建立关于x的回归方程， ，所以 所以关于x的回归方程为，所以， 当时，， 即该志愿者在注射疫苗后的第10天的抗体含量水平值约为4023.87miu/mL. 【小问3详解】 由表格数据可知，第5，6天的y值大于50，天数为1的概率 18. 如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点． （1）求该圆台的侧面积； （2）若是线段的中点，求证：直线平面； （3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解； （2）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明； （3）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可. 【小问1详解】 因为， 所以圆台的侧面积为； 【小问2详解】 取中点，连接，如图， 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； 【小问3详解】 延长交于点，作直线， 因为两点分别在平面与平面内， 所以直线即为直线， 又平面， 所以点，即为点， ，则， 以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 在等腰梯形中，， 此梯形的高为， 因为，所以为的中位线， 则， 所以， 设，则， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得， 则有：， 令，则， 当时，，此时， 当时，， 当且仅当，即时取等号， 综上所述，的最大值为. 19. 已知双曲线的右焦点为，离心率为． （1）求的标准方程； （2）设的右顶点为，过点的直线与的右支交于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值； （3）已知点是上任意一点，直线：是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比． 【答案】（1） （2）由（1）知，由题意知的斜率不为0， 设的方程为，，， 联立方程，得，得， 所以， ，， 所以 ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线右焦点坐标得出的值，再结合离心率公式求出的值，进而求出的值，得到双曲线的标准方程.  （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和与两根之积，进而求出两条直线斜率之积.  （3）先求出双曲线在点处的切线方程以及直线的斜率，设出直线的方程，通过联立方程组求出点的坐标，进而得到，再联立直线与双曲线方程，利用韦达定理求出，最后求出的值. 【小问1详解】 因为双曲线的右焦点为，所以， 所以的离心率为，所以，， 故的标准方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意知， 所以在点处的切线方程为． 易知直线的斜率， 可设直线的方程为，，． 由方程组，解得， 所以点的坐标为，所以． 由方程组，消去可得， 则， 所以，， 所以， 同理可得， 所以 ， 所以，即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $