精品解析：江苏省无锡市湖滨中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

无锡市湖滨中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷 高二数学 2025年11月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. -60° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】先由两点求出斜率，再由斜率求出倾斜角. 【详解】因为直线过点，，所以， 设直线倾斜角为，则， 故选：C 2. 设向量，若向量与y轴垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量与y轴垂直列方程，化简求得正确答案. 【详解】， 由于向量与y轴垂直， 所以. 故选：B 3. 经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令圆心为，由圆所经过的点及两点距离公式列方程求出圆心坐标，即可写出圆的方程. 【详解】由题设，令圆心为，又圆经过原点和点， 所以，整理可得，故圆心为， 所以半径平方，则圆的方程为. 故选：D 4. 已知，，，若，，共面，则为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理设（），依题列出方程组，求解即得. 【详解】因，，共面，可设（）， 即， ，解得． 故选：C. 5. 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求椭圆方程为，依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程. 【详解】椭圆的焦点为或， 设所求椭圆方程为， 则，解得，所以椭圆方程为. 故选：D 6. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中点弦点差法可得弦中点和直线斜率得，进而可得. 【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是， 则，，直线的斜率. 由，得， 得，所以， 故椭圆的离心率. 故选：B. 7. 已知直三棱柱的所有棱长均为1，则直线与直线所成夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】直三棱柱的所有棱长均为1， 以为坐标原点，在平面内过作的垂线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，， ， 所以，， 设直线与直线夹角为， 则直线与直线夹角的余弦值为． 故选：C． 8. 已知关于x的方程有两个不同的解，则实数k的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把方程有两个解转化为两个函数有两个不同交点，结合图像可求 【详解】由题意得，半圆与直线有两个交点， 又直线过定点 ， 如图所示， 又点， 当直线过A点时，在AM位置时，斜率 当直线和半圆相切即在BM位置时，由半径，解得， 由图可得当时，半圆与直线有两个交点， 即方程有两个不同的实根， 综上所述： 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于直线：，下列说法正确的有（    ） A. 直线的斜率为 B. 经过点 C. 在轴上的截距为 D. 直线经过第二､三､四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线的特点一一分析即可. 【详解】因为直线：，令，可得，即直线经过点，故B正确； 由可得， 所以直线的斜率为，直线在轴上的截距为，直线经过第二､三､四象限， 故AC错误，D正确. 故选：BD. 10. 已知向量，，，则（ ） A. 向量，的夹角为 B. ∥ C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出，再根据向量夹角的定义判断即可；对于B，只需判断是否成立，即可判断；对于C，只需判断是否成立，即可判断；对于D，根据向量数量积的坐标运算，计算出的值，即可判断. 【详解】解：对于A，因为， 所以向量，的夹角为，故错误； 对于B，因为，， 所以，所以∥，故正确； 对于C，因为，， 所以，所以，故正确； 对于D，因为，， 所以，故错误. 故选：BC. 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为3 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对A，根据题意可得 ， 即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可． 【详解】对A，由题意，，故，，所以，故A正确； 对B，的周长为，故B错误； 对C，， ， 当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时最大，的最大值为，不成立，故C错误； 对D，由余弦定理 ，即， 解得，故，故D正确； 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示直接构造方程求解即可. 【详解】设，则， ，解得：，. 故答案为：. 13. 设，若直线与平行，则间的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行求得，根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 由于两直线平行，所以， 解得，所以两直线方程分别为：， 即， 所以间的距离是. 故答案为： 14. 若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意知两圆相交，即可利用圆心距与半径的关系列不等式求解. 【详解】若圆与圆有且仅有两条公切线时，则两圆相交， 因为圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 则，又，所以， 若两圆相交，则满足，即, 平方化简得，结合得， 即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为．（结果请写成直线方程的一般式） （1）求边AB和边AC所在直线的方程； （2）求边AC上的中线所在直线的方程； （3）求边AC的垂直平分线的方程． 【答案】（1）直线为；直线为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）计算，，代入点坐标得到答案. （2）确定中点坐标为，，得到答案. （3）边AC的垂直平分线的斜率，直线过点，计算得到答案. 【小问1详解】 ，故直线为：，即； ，故直线为：，即； 【小问2详解】 的中点，， 故直线为：，即. 【小问3详解】 边AC的垂直平分线的斜率，直线过点， 故垂直平分线为：，即. 16. 已知两圆和，求： （1）当取何值时两圆外切？ （2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 【答案】（1）41 （2）； 【解析】 【分析】（1）求出圆的标准方程，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【小问1详解】 和, 化简为标准方程分别为： ， 所以， 因为两圆外切，所以， 即， 所以； 【小问2详解】 当时，， 两圆相减得：， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为:， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 17. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标. 【答案】（1） （2）或或或. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合离心率可得，进而可得和方程； （2）设，根据面积可得，代入方程可得，即可得点的坐标. 【小问1详解】 由题意可知：，可得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设， 由题意可知：， 则，即， 又因为，即，解得， 所以点的坐标为或或或. 18. 如图，正四棱柱中，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接与相交于，连接， 由于、分别是、的中点，则， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接与相交于，连接，由三角形的中位线性质可得，再通过线面平行的定理即可得到平面； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示，求出，以及平面的法向量，设与平面所成角为，则有，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，则， 所以，，， 设是面的法向量，则，令，即， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1） 因为平面，四边形为矩形，因此两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， , , 因为， 所以，即 因为， 所以，即 又因为，平面，平面 因此平面 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直即可求解线线垂直，进而由线面垂直的判断求解， （2）利用法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以为平面的一个法向量 由（1）知为平面的一个法向量. 显然二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市湖滨中学2025-2026学年第一学期期中考试试卷 高二数学 2025年11月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 过，两点的直线的倾斜角为（ ） A. -60° B. 60° C. 120° D. 150° 2. 设向量，若向量与y轴垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为 （ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，若，，共面，则为（ ） A. B. 3 C. D. 9 5. 过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知直三棱柱的所有棱长均为1，则直线与直线所成夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程有两个不同的解，则实数k的取值范围是（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 关于直线：，下列说法正确的有（    ） A. 直线的斜率为 B. 经过点 C. 在轴上的截距为 D. 直线经过第二､三､四象限 10. 已知向量，，，则（ ） A. 向量，的夹角为 B. ∥ C. D. 11. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为3 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，点的坐标为，则点的坐标为___________． 13. 设，若直线与平行，则间的距离是__________． 14. 若圆与圆恰有2条公切线，则的取值范围为______. 四、解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为．（结果请写成直线方程的一般式） （1）求边AB和边AC所在直线的方程； （2）求边AC上的中线所在直线的方程； （3）求边AC的垂直平分线的方程． 16. 已知两圆和，求： （1）当取何值时两圆外切？ （2）当时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 17. 已知椭圆的一个焦点为，且离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）已知是椭圆上的一点，且以点及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点的坐标. 18. 如图，正四棱柱中，，为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $