精品解析：重庆市礼嘉中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

初三年级第三次定时作业 数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 注意守项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的意义：数轴上一个数所对应的点与原点（O点）的距离叫做该数的绝对值，绝对值只能为非负数； 即可得解． 【详解】解：在数轴上，数5所表示的点到原点0的距离是5； 故选A． 【点睛】本题考查了绝对值，解决本题的关键是一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 2. 下列符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是根据中心对称图形的定义，判断图形绕某点旋转后是否与原图形重合． 分别判断各选项图形绕某点旋转后的形状，若与原图形重合，则为中心对称图形． 【详解】解：A、符号“”绕某点旋转后，与原图形不重合，此选项不符合题意； B、符号“”绕某点旋转后，与原图形不重合，此选项不符合题意； C、符号“”绕某点旋转后，与原图形不重合，此选项不符合题意； D、符号“”绕其中心旋转后，与原图形重合，此选项符合题意； 故选：D． 3. 已知，则整数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解决本题的关键． 先将原不等式化简为 ，通过估算的范围，确定的取值范围，从而得到整数 ． 【详解】解：原不等式化简为 ， 由题意可知， 为  的整数部分， ，且 ， ， 则 ， 故整数 ， 故选：C． 4. 根据重庆市统计局数据，2022年重庆市GDP为2.91万亿元，2024年增至3.22万亿元．若2023年和2024年GDP保持相同的年平均增长率，设平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题的一元二次方程应用，解题的关键是掌握“增长后的量增长前的量（为增长次数）”的数量关系． 年为万亿元，年平均增长率为，则年为年为，结合年为万亿元列方程． 【详解】解：年为万亿元，经2次增长后年为，对应万亿元， ∴方程为， 故选：B． 5. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，通过将各点的x坐标代入反比例函数解析式，计算出对应的y值，然后比较大小． 【详解】解：∵点在上，∴； ∵点在上，∴； ∵点在上，∴； ∵ ∴， 故选：C． 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于弦 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆、矩形和平行四边形的性质．选项A错误，因为等弧需在同圆或等圆中；选项B错误，平分弦的直径不一定垂直于弦（当弦为直径时）；选项C正确，符合矩形性质；选项D错误，如等腰梯形满足条件但不是平行四边形． 【详解】解：长度相等的两条弧不一定是等弧，需在同圆或等圆中，故A错误； 平分弦的直径不一定垂直于弦，当弦为直径时，直径平分但不一定垂直，故B错误； 矩形的对角线相等且互相平分，这是矩形的性质，故C正确； 一组对边平行且另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故D错误． 故选：C． 7. 用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2颗棋子，第②个图案中有7颗棋子，第③个图案中有10颗棋子，第④个图案中有19颗棋子，……以此类推，第⑨个图案中棋子的个数是（ ） A. 82 B. 83 C. 84 D. 85 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形规律问题，总结出来图形规律是解题的关键． 根据图形的排列规律，以此类推即可解答． 【详解】解：∵第①个图案中棋子的个数为， 第②个图案中棋子的个数为， 第③个图案中棋子的个数为， 第④个图案中棋子的个数为， …… 故第奇数个图案的个数为平方数加1，偶数个图案的个数为平方数加3， 第⑨个图案中棋子的个数是． 故选：A ． 8. 如图，在中，为直径，、为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理（直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等），解题的关键是利用直径的性质得到直角，结合同弧圆周角相等推导角的关系． 由为直径得；同弧所对的；在中，计算． 【详解】解：∵为的直径， ∴（直径所对的圆周角为直角）． ∵与所对的弧均为， ∴（同弧所对的圆周角相等）． 在中， 故选：D． 9. 如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，连接，则的长度是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键． 连接，交于H，由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，由面积法可求，根据勾股定理可求的长，由三角形中位线定理即可得出结果． 【详解】解：如图，连接，交于H， ∵在正方形中，，E是的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折至， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键．根据已知条件（为自然数，为正整数），对n的可能取值进行分类讨论，分别计算不同n值下满足条件的整式M的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】∵，为自然数，为正整数，为自然数， ∴． 当时： ， 得， ∵， ∴，，整式为． 当时：， 得， ∵， ∴时，，整式； 时，，整式有、、． 当时：， 得， ∵， ∴时，，整式； 时，，整式、； 时，，整式、、． 当时：， 得， ∵， ∴时，，整式； 时，，整式； 时，，整式； 时，，整式． 当时：， 得，整式． ∴总整式个数为． 单项式（仅一项）有：、、、、（共5个）． 各对应整式个数：有1个，有4个，有6个，有4个，有1个，无恰好3个的情况． ①单项式有5个，非4个，错误； ②不存在使整式恰好有3个，正确； ③总整式有16个，非15个，错误． ∴正确个数为1． 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知函数是反比例函数，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义：一般形式转化为的形式．根据反比例函数的定义，则即可求解． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若是方程的根，则式子的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值．根据一元二次方程的解的定义，将 a 代入方程得到关系式，再通过代数式变形求值． 【详解】解：a是方程 的根， ，即， ， ． 故答案为：． 13. 小江要从“志存高远、厚积薄发、勤能补拙、博学笃行”4个词语中随机抽取2个组成标语，其中抽中“勤能补拙”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先列出表格，从中得出所有结果数与符合条件的结果数，再求出抽中“勤能补拙”的概率． 【详解】解：“志存高远、厚积薄发、勤能补拙、博学笃行”4个词语分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B C D A B C D 共有种等可能的结果，其中有“勤能补拙”6种， 其中抽中“勤能补拙”的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果不取近似值） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，扇形面积的计算，理解菱形的对称性是解题的关键．构造扇形，扇形，连接，通过两个公式：两个扇形组合构成的中间花瓣的面积，求解即可． 【详解】解：构造扇形，扇形，连接， 菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形， ， ， ， ， 在菱形中，， ， ， 令交于点， 在中，， ，， ，， ． 故答案为：． 15. 如图，已知为的直径，，与分别相切于点、，被平分，与交于点，与相交于点，连接．若，，则______，______． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】题目主要考查垂径定理、切线的性质，勾股定理解三角形，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键． 过E点作 的延长线于点H，连结，根据题意得出，确定，然后利用勾股定理得出，即可确定的长；根据矩形的判定和性质得出四边形为矩形，再由切线的性质得出，利用等面积法得出，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：过E点作 的延长线于点H，连结， 如图， 为的直径，被平分， ∴， ， ， ， 在 中， ， ， ， ∵与相切于点A， ∴四边形为矩形， ∵，与分别相切于点、， 设， ∵， 解得 ， 在 中， 故答案为：2， ． 16. 对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．如：四位数7311，，，7311是“天真数”；四位数8421，，8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为______；一个“天真数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，；若能被8整除，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 ①. 6200 ②. 9973 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，理解“天真数”的定义是解题关键．根据“天真数”的定义，千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，最小的天真数需千位和百位数字尽可能小，可得6200；对于能被8整除的条件，通过表达，并要求该值为8的倍数，从千位数字a最大开始验证，得到满足条件的最大M为9973． 【详解】解：设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d， 由定义知，且a为6至9的整数，b为2至9的整数，c、d为0至9的整数． 最小“天真数”：取，故； ， ， ， 能被8整除， 为整数且是8的倍数， 当时， ，需能被8整除， b为2至9的整数， ，， ， 经检验，其他a取值所得M均小于9973， 故满足条件的M最大值为9973． 故答案为：6200，9973． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 【答案】， 数轴表示如下： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组． 先分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示． 【详解】解：解： ， ， ， ； 解： ， ， ， ， ； ∴不等式组的解集为． 18. 已知：在中，为边上一点，平分，于点，于点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）若，求证：．请补全下面的证明过程． 证明：平分，，， （）， 是的垂直平分线， ，． 又， ∴， ，， ， 在和中，， ， ． 【答案】（1） 如图所示，即为所求： （2） 角平分线的性质；；（等量代换）；． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可； （2）根据角平分线的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，则可证明，再证明，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练运用分式的运算法则及运算顺序正确化简是解决问题的关键． 根据分式的混合运算法则把所给的分式化为最简分式，再化简a，最后代入求值即可． 【详解】解：由题意得， ， 由题意得， ， ∴ ． 20. 为纪念中国工农红军长征胜利89用年，某学校组织开展了以“重走长征路，奋进新征程”为主题的红色知识竞赛活动．从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A．，B．．C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：68，72，77，80，82，84，85，85，86，86，88，89，94，94，94，98，99，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 88 87 九年级 88 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有860名，九年级有940名学生参加了此次以“重走长征路，奋进新征程”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1）30；； （2）九年级学生的知识竞赛成绩更好，因为均值相同，九年级的中位数大于八年级的中位数．（答案不唯一） （3）估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，94出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占， ∴，共5名学生， 又20名学生竞赛成绩得中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：30；；． 【小问2详解】 解：九年级学生的知识竞赛成绩更好， 因为均值相同，九年级的中位数大于八年级的中位数． 【小问3详解】 解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有860名， 所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有940名， 所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． 21. 重庆某商铺在元旦前购进了奉节脐橙和江津广柑共千克，两种水果的进价均为每千克元．奉节脐橙以每千克元，江津广柑以每千克元的价格出售． （1）若商铺此次获利元，则购进奉节脐橙和江津广柑分别多少千克？ （2）临近“新春年货节”，商铺决定调整售价：脐橙售价下调元（降价后售价不低于进价），广柑售价上涨元；与（1）中的数据相比，脐橙销量上涨千克，广柑销量下降，利润增加了元，求的值． 【答案】（1）奉节脐橙千克，江津广柑千克 （2） 【解析】 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，营销问题(一元二次方程的应用) ，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设购进奉节脐橙 x千克，江津广柑 y千克，根据题中的等量关系列出方程组求解； （2）分别求出脐橙、广柑的新的销价与销量，再列出关于的一元二次方程求解． 【小问1详解】 解：设购进奉节脐橙 x千克，江津广柑 y千克， 则， 解得：， 答：奉节脐橙千克，江津广柑千克； 【小问2详解】 原销量：脐橙千克，广柑千克， 脐橙售价：元/千克，且即， 广柑售价：元/千克， 脐橙销量：千克， 广柑销量：下降， 即原千克变为千克， 新收入：， 新销量：， 新成本：， 新利润为：， 由题意得， 解得：或（舍去）， 所以的值为2． 22. 如图，在矩形中，，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动（不与、重合）．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 【答案】（1） （2） 函数、的图象如图： 函数的性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，一次函数与反比例函数图象的性质； （1）分两种情况当时和当时，写出一次函数解析式即可； （2）画出、函数图像并根据函数的图像写出一条函数的性质即可； （3）根据两个函数图像及交点坐标位置，直接写出不等式解集即可． 【小问1详解】 解： ∵矩形，，， ∴，， ∵点为边上的三等分点（）， ∴， ∵点的运动速度为每秒2个单位长度， ∴在上运动的时间为：秒， 在上运动的时间为：秒， 当时，， 当时，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由两个函数图像可知，当时的取值范围为或． 23. 近日，某高校“益路同行”志愿服务队受邀参加2025年全国青少年公益实践成果展．队员们将从学校南门集合点处出发，乘车前往展会主会场点处，开展为期两天的公益项目现场演示、互动体验活动与跨校志愿经验分享．出发前，家长志愿者协助查询了两条不同的出行线路，一条以城市快速路为主，全程无红绿灯干扰；另一条途经多个居民区，可顺路完成小型公益宣传预热．路线如图：①；②．经勘测，点在点的正南方向，且在点的北偏西30°方向；点在点的东南方向，在点的正东方向，且在点的东北方向12千米处；点在点的正东方向千米处． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）由于时间紧迫，受邀的志愿服务队成员决定选择一条较短的路线到达主会场，请通过计算说明他们应该选择线路①还是线路②？（参考数据：，，） 【答案】（1）千米 （2） 线路②，证明： 作交于， 由题意得：，千米， 四边形是矩形， 由（1）得：千米，千米， （千米），（千米）， （千米）， 根据题意得：， ， （千米）， 在中，， ∴（千米）， （千米）， 线路①的路程为：（千米）， 线路②的路程为：（千米）， ， 选择线路②． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形相关知识点是解题的关键． （1）作交于，由题意得：，， 千米，在中和在中，利用解直角三角形即可求解； （2）作交于，由题意得：，千米，由（1）得：千米，千米，进而可得（千米），根据矩形的性质及等腰三角形的性质、解直角三角形分别计算线路①和线路②的路程，再进行比较即可求解． 【小问1详解】 解：作交于，如图： 由题意得：，， 千米， ， ， 在中，， （千米）， 在中，， （千米）， （千米）． 【小问2详解】 略 24. 如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当四边形面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后经过点，新抛物线与直线另一个交点为，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，线段和的最小值问题，角度问题，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）利用待定系数法确定二次函数解析式即可得到答案； （2）根据面积可得，转化为三角形面积的最大值，过作轴交于，再根据求最值，得到，再设，连接，易得，再由求解即可； （3）由题意得，新抛物线由原抛物线先向左移4个单位，再向上平移2个单位得到，解得新抛物线方程为，再在上取点，且，作关于直线对称点，先证，进而得到要使，即，再根情况求解即可． 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以抛物线解析式为； 【小问2详解】 由（1）知， ， 又点关于对称，且， ，则，， 又， 所以四边形面积最大时，即三角形面积取最大值， 过作轴交于， 在抛物线，，， 直线的方程为，设， 则，， ， 当时，三角形面积取最大值，即四边形面积最大，此时， 设与轴交于点，在轴上取点，且在的左侧，使得，连接， 则,， 轴， ，， ， ， 所以此时，的最小值为； 【小问3详解】 由题意知，原抛物线点平移到新抛物线点， 所以新抛物线由原抛物线先向左移4个单位，再向上平移2个单位得到， 平移后为， 即新抛物线方程为， 如图，在上取点，且，作关于直线对称点， ∴， ， ，则， 又， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ，即， 故在延长线与新抛物线的交点上， 又，，， 所以直线的方程为，联立新抛物线， 整理得，解得或， 所以此时的坐标为； 关于直线对称， ，，又， ,点在延长线与新抛物线的交点上， 设，则①， ②， ①②得：，即③， 把③代入①得：， 解得或（舍去），则， 又，则， 所以直线的方程为，联立新抛物线， 整理得，解得或， 所以此时的坐标为； 综上，存在点，使，的坐标为或． 25. 正方形中，E为对角线上的动点，连接交边于点F． （1）如图1，若正方形边长为6，，求的面积． （2）如图2，G为边上一动点，以为斜边构造等腰直角，连接，当时，请用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． （3）如图3，将沿着直线翻折得到，点A的对应点为点P，连接线段并绕着点B顺时针旋转90°得到线段，记四边形的面积为，的面积为，当线段取最小时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） ， 证明：如图，连接，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， 由三角形外角的定义可知，， 又∵， ∴， ∵， ∴，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作交于点G，利用正方形的性质及勾股定理得出的长度，进而证得是等腰直角三角形，求出的长后并最终求得结果； （2）连接，，根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定证得，通过三角形的外角定义及角度的和差关系得出，进而推出，则，利用“”证明，得出，进而推导出与的关系； （3）要使最小，即为最小，当点B，P，D三点共线时，则最小，此时为正方形的对角线，设正方形的对角线与交点O，过点E作交于点F，证明出，得出和为等腰直角三角形，设，则，进而得出相关线段的表达式，再证明出，最后根据题意得出． 【小问1详解】 解：如图，过点E作交于点G， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴在中，由勾股定理得，， 又∵， ∴， ∵为正方形的对角线， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即，解得， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵沿着直线翻折得到， ∴，，，， 又∵线段绕着点B顺时针旋转得到线段， ∴， ∴要使最小，即为最小， 如图，当点B，P，D三点共线时，则最小，此时为正方形的对角线， 设正方形的对角线与交点O，过点E作交于点F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴和为等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∴，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在等腰中，，即正方形的边长为， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， 由题意知，，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，折叠的性质及动点最值问题等知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级第三次定时作业 数学试题 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 注意守项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效． 一、单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 5的绝对值是（ ） A. 5 B. ﹣5 C. D. 2. 下列符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则整数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 根据重庆市统计局数据，2022年重庆市GDP为2.91万亿元，2024年增至3.22万亿元．若2023年和2024年GDP保持相同的年平均增长率，设平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法中正确的是（ ） A. 长度相等的两条弧是等弧 B. 平分弦的直径一定垂直于弦 C. 矩形的对角线相等且互相平分 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 7. 用大小相同的棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2颗棋子，第②个图案中有7颗棋子，第③个图案中有10颗棋子，第④个图案中有19颗棋子，……以此类推，第⑨个图案中棋子的个数是（ ） A. 82 B. 83 C. 84 D. 85 8. 如图，在中，为直径，、为圆上的点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，，是的中点，将沿翻折至，连接，则的长度是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有4个单项式； ②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； ③满足条件的整式共有15个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 11. 已知函数是反比例函数，则的值为______． 12. 若是方程的根，则式子的值为______． 13. 小江要从“志存高远、厚积薄发、勤能补拙、博学笃行”4个词语中随机抽取2个组成标语，其中抽中“勤能补拙”的概率为______． 14. 如图，在菱形中，分别以点、为圆心，、长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为______．（结果不取近似值） 15. 如图，已知为的直径，，与分别相切于点、，被平分，与交于点，与相交于点，连接．若，，则______，______． 16. 对于一个四位自然数，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称为“天真数”．如：四位数7311，，，7311是“天真数”；四位数8421，，8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为______；一个“天真数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，；若能被8整除，则满足条件的的最大值为______． 三、解答题（本大题共9个小题，17、18每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来． 18. 已知：在中，为边上一点，平分，于点，于点． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接、（只保留作图痕迹，不写作法和结论）． （2）若，求证：．请补全下面的证明过程． 证明：平分，，， （）， 是的垂直平分线， ，． 又， ∴， ，， ， 在和中，， ， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为纪念中国工农红军长征胜利89用年，某学校组织开展了以“重走长征路，奋进新征程”为主题的红色知识竞赛活动．从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A．，B．．C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：68，72，77，80，82，84，85，85，86，86，88，89，94，94，94，98，99，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 88 87 九年级 88 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的 ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有860名，九年级有940名学生参加了此次以“重走长征路，奋进新征程”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 21. 重庆某商铺在元旦前购进了奉节脐橙和江津广柑共千克，两种水果的进价均为每千克元．奉节脐橙以每千克元，江津广柑以每千克元的价格出售． （1）若商铺此次获利元，则购进奉节脐橙和江津广柑分别多少千克？ （2）临近“新春年货节”，商铺决定调整售价：脐橙售价下调元（降价后售价不低于进价），广柑售价上涨元；与（1）中的数据相比，脐橙销量上涨千克，广柑销量下降，利润增加了元，求的值． 22. 如图，在矩形中，，，点为边上的三等分点（），动点从点出发，沿折线运动（不与、重合）．点的运动速度为每秒2个单位长度，设点运动时间为秒，的面积为． （1）请直接写出关于的函数解析式，并注明自变量的取值范围； （2）若函数，请在平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时的取值范围（保留一位小数，误差不超过0.2）． 23. 近日，某高校“益路同行”志愿服务队受邀参加2025年全国青少年公益实践成果展．队员们将从学校南门集合点处出发，乘车前往展会主会场点处，开展为期两天的公益项目现场演示、互动体验活动与跨校志愿经验分享．出发前，家长志愿者协助查询了两条不同的出行线路，一条以城市快速路为主，全程无红绿灯干扰；另一条途经多个居民区，可顺路完成小型公益宣传预热．路线如图：①；②．经勘测，点在点的正南方向，且在点的北偏西30°方向；点在点的东南方向，在点的正东方向，且在点的东北方向12千米处；点在点的正东方向千米处． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）由于时间紧迫，受邀的志愿服务队成员决定选择一条较短的路线到达主会场，请通过计算说明他们应该选择线路①还是线路②？（参考数据：，，） 24. 如图，抛物线与轴分别交于点、点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线解析式； （2）点为直线上方抛物线上一点，连接，，点为抛物线对称轴上一动点，轴，垂足为，连接，，当四边形面积最大时，求此时点的坐标及的最小值； （3）将抛物线沿射线方向平移后经过点，新抛物线与直线另一个交点为，在新抛物线上是否存在一点，使，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 正方形中，E为对角线上的动点，连接交边于点F． （1）如图1，若正方形边长为6，，求的面积． （2）如图2，G为边上一动点，以为斜边构造等腰直角，连接，当时，请用等式表示线段和之间的数量关系，并证明． （3）如图3，将沿着直线翻折得到，点A的对应点为点P，连接线段并绕着点B顺时针旋转90°得到线段，记四边形的面积为，的面积为，当线段取最小时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $