4 比 课时22 比的应用-找不变量（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

本讲义聚焦“比的应用-找不变量”核心知识点，系统梳理通过统一份数解决问题的方法，涵盖单量不变、和不变、差不变三种不变量形式。学习支架从铺垫题巩固比的统一基础，到单量不变（如艾迪加钱后比的变化）、和/差不变（如两班人数转移）等例题，再到综合练习题，形成递进式学习路径。 资料亮点在于梯度化情境设计与核心素养融合。铺垫题培养抽象能力（数学眼光），例题以生活情境（工资分配、糖果数量）引导推理与运算（数学思维），练习题结合实际问题（三国谋士收纳）强化模型意识（数学语言）。课中助力分层教学，课后多样题型巩固不变量类型，有效查漏补缺。

课时22 比的应用-找不变量 知识剖析 找不变量 ：不变量统一 份数 不变量的形式： 1. 单量不变； 2. 和不变； 3. 差不变．   例题 艾迪、薇儿、大宽给地主家做长工，已知艾迪和薇儿一个月的工资之比是，薇儿和大宽一个月的工资之比是．地主每个月给他们一共元钱的工资，他们三个每人的工资应该是多少呢？ 【答案】 艾迪元，薇儿元，大宽元． 【解析】 薇儿是不变量，得到艾迪，薇儿，大宽三人工资的比为，所以艾迪得到元，薇儿得到元，大宽得到元． 铺垫 如果,,则          . A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 无解析 例题 艾迪和薇儿身上的钱数之比为，妈妈又给艾迪元钱后，艾迪与薇儿的钱数之比变成，则薇儿身上有多少钱? 【答案】元． 【解析】 方法一：艾迪得到元钱后，薇儿的钱数不改变．因此可以统一薇儿的钱数．，；，即份为元．薇儿有份，所以薇儿有(元)． 方法二：出现两个比的应用题中，将一个比设成未知数，利用另一个比列出比例方程是一种万能的方法． 设艾迪原来的钱数为元．则薇儿的钱数为元． ，解得，因此薇儿的钱数为2×20=40（元）． 探索 明明有两包糖果，如果他把第一包的一些糖果放进第二包里，那么两包糖果的           ，如果他从两包糖里各拿走块糖，那么，两包糖的           ． A.单量不变 B.和不变 C.差不变 D.全部都变了 【答案】 BC 【解析】 给来给去，内部交换，和不变，同增同减差不变，因此第一个空选择，第二个空选择． 铺垫 ,,如果,则          . 【答案】 【解析】 无解析 例题 1 .五年级甲乙两班人数比为，甲班转给乙班名同学后，两班人数比为，问甲乙两班原来各有多少人？ 【答案】，． 【解析】 设原来甲班有人，乙班有人．根据题意列出方程：，解得，故甲班原有（人），乙班原有（人）． 2 .有甲乙两桶油，称得它们的质量比是，将乙桶中的油倒入甲桶千克后，再称发现质量比变为，已知桶的质量都是千克，原来两桶里面油（不含桶）的质量比为           ． 【答案】 【解析】 变化前后两桶油的总质量不变，把总份数统一得到，，因此乙倒入甲份，因此原来甲桶和油共重千克，乙桶和油共重千克．所以两桶里面油的质量比为． 故答案为：． 3 .艾迪和薇儿家里的课外书之比为，大宽问艾迪和薇儿各借了本课外书后，艾迪和薇儿的课外书之比变成了，则艾迪和薇儿原来的课外书共有多少本？ 【答案】本． 【解析】 两人都减少了本，差不变．原来两人的份数差为份，后来变成份．，将变成，可看出前后两人都减少了份，即份为本，两人原有课外书：(本)． 课时22 练习题 1 .艾迪和薇儿各有一些巧克力，原来他们的数目之比为，后来薇儿吃了块巧克力后，两人的数目之比变成了，那么两人原来各有多少块巧克力？ 【答案】；． 【解析】 艾迪的巧克力数目不变． 艾迪薇儿． 艾迪薇儿． 一份为（块）， 艾迪原来有（块），薇儿原来有（块）． 2 .盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数比是，红球个数与白球个数比是，已知三种颜色的球共有个，问红球有多少个？ 【答案】 【解析】 由“黄球个数与红球个数的比是，红球个数与白球个数的比是”可推出黄、红、白球之比为，然后求出三种球分别占总数的几分之几，再根据乘法的意义，列式解答即可． 黄、红、白球之比：：， ， （个）． 答：红球有个． 3 .东汉末年，天下三分，一代枭雄曹操挟天子以令诸侯，帐下能人无数，武将、谋士人数之比为，共人．后来又收纳若干名谋士，这时武将、谋士人数之比变成了，那么新收纳进的谋士人数为           ． 【答案】 【解析】 原来总人数共（份），共人，所以一份人数为（人）. 武将人数不变，谋士人数多了份，所以新收纳的谋士为（人）． 故答案为：． 4 .请回答下列各题： ( 1 )艾迪、薇儿和大宽一共有块糖，艾迪和大宽各送给薇儿块糖之后，艾迪、薇儿和大宽三人糖数之比变为，那么艾迪原来有           块糖，薇儿原来有           块糖，大宽原来有           块糖． ( 2 )艾迪、薇儿和大宽一共有块糖，艾迪和大宽各吃掉块糖之后，艾迪、薇儿和大宽三人糖数之比为，那么艾迪原来有           块糖，薇儿原来有           块糖，大宽原来有           块糖． 【答案】 (1) (2) 【解析】 (1)总糖数前后没变过，都是块；最后三人的糖数分别为： （块），（块），（块）； 故原来三人的糖数分别是（块），（块），（块）． (2)薇儿的糖前后没变过，有（块）， 艾迪有（块）， 大宽有（块）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时22 比的应用-找不变量 知识剖析 找不变量 ：不变量统一 份数 不变量的形式： 1. 单量不变； 2. 和不变； 3. 差不变．   例题 艾迪、薇儿、大宽给地主家做长工，已知艾迪和薇儿一个月的工资之比是，薇儿和大宽一个月的工资之比是．地主每个月给他们一共元钱的工资，他们三个每人的工资应该是多少呢？ 铺垫 如果,,则          . A. B. C. D. 例题 艾迪和薇儿身上的钱数之比为，妈妈又给艾迪元钱后，艾迪与薇儿的钱数之比变成，则薇儿身上有多少钱? 探索 明明有两包糖果，如果他把第一包的一些糖果放进第二包里，那么两包糖果的           ，如果他从两包糖里各拿走块糖，那么，两包糖的           ． A.单量不变 B.和不变 C.差不变 D.全部都变了 铺垫 ,,如果,则          . 例题 1 .五年级甲乙两班人数比为，甲班转给乙班名同学后，两班人数比为，问甲乙两班原来各有多少人？ 2 .有甲乙两桶油，称得它们的质量比是，将乙桶中的油倒入甲桶千克后，再称发现质量比变为，已知桶的质量都是千克，原来两桶里面油（不含桶）的质量比为           ． 3 .艾迪和薇儿家里的课外书之比为，大宽问艾迪和薇儿各借了本课外书后，艾迪和薇儿的课外书之比变成了，则艾迪和薇儿原来的课外书共有多少本？ 课时22 练习题 1 .艾迪和薇儿各有一些巧克力，原来他们的数目之比为，后来薇儿吃了块巧克力后，两人的数目之比变成了，那么两人原来各有多少块巧克力？ 2 .盒子里有三种颜色的球，黄球个数与红球个数比是，红球个数与白球个数比是，已知三种颜色的球共有个，问红球有多少个？ 3 .东汉末年，天下三分，一代枭雄曹操挟天子以令诸侯，帐下能人无数，武将、谋士人数之比为，共人．后来又收纳若干名谋士，这时武将、谋士人数之比变成了，那么新收纳进的谋士人数为           ． 4 .请回答下列各题： ( 1 )艾迪、薇儿和大宽一共有块糖，艾迪和大宽各送给薇儿块糖之后，艾迪、薇儿和大宽三人糖数之比变为，那么艾迪原来有           块糖，薇儿原来有           块糖，大宽原来有           块糖． ( 2 )艾迪、薇儿和大宽一共有块糖，艾迪和大宽各吃掉块糖之后，艾迪、薇儿和大宽三人糖数之比为，那么艾迪原来有           块糖，薇儿原来有           块糖，大宽原来有           块糖． 1 学科网（北京）股份有限公司 $