精品解析：甘肃省定西市漳县第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷

甘肃省漳县第一中学2025-2026学年第一学期期中考试 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第1章～第3章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列图形能表示函数图像的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 5. 已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为 A. B. C. D. 7. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，若，则实数的值可以为（ ） A. 2 B. C. D. 0 10. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时， C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的真子集的个数是__________． 13. 已知，则的最小值是__________. 14. 已知函数，且，则的值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，，． （1）求； （2）求和． 16. 设函数． （1）将函数写成分段函数的形式并画出其图象； （2）写出函数的单调区间和值域． 17. （1）试比较与的大小； （2）解关于的不等式． 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省漳县第一中学2025-2026学年第一学期期中考试 高一数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，请将答题卡上交． 4.本卷主要命题范围：湘教版必修第一册第1章～第3章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称命题，即可得解. 【详解】根据存在量词命题的否定可得，命题的否定为. 故选：B 2. 下列图形能表示函数图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念进行判断. 【详解】解：根据函数的定义：任意垂直于x轴的直线与函数图像至多有一个交点， 只有C正确． 故选：C． 3. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数解析式有意义，列出不等式组求解即可. 【详解】由，解得且， 故函数的定义域为． 故选：B． 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件重题 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求解，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】由， 则“”不能推出“”，反之成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：C 5. 已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题中阴影部分表示的集合为，再根据交集，并集个补集的运算即可得解. 【详解】解：， 阴影部分表示的集合为或． 故选：D． 6. 函数的部分图象大致为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再根据特殊函数值即可求出． 【详解】因为，所以，即为偶函数，排除B，D. 取，，排除C. 故选A. 【点睛】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性，以及函数值的变化情况是关键，属于基础题. 7. 若“，”为真命题，“，”为假命题，则集合M可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由“，”为假命题，可得“”， ，为真命题，可知A，B，D不正确，即可得出答案. 【详解】若“，”为假命题，所以“”， ，为真命题， 所以A，B，D不正确 ，排除A，B，D． 故选：C． 8. 已知函数的定义域为，且，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过消去的方法来求得，再利用换元法，结合基本不等式来求得正确答案. 【详解】由，得， 所以，所以， 所以，又， 时，，所以要使取得最大值， 则，令， 所以， 当且仅当，即，即时等号成立，所以函数的最大值为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，若，则实数的值可以为（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出集合，再由可知，由此讨论集合B中元素的可能性，即可判断出答案. 【详解】集合，，， 又， 所以， 当时，，符合题意， 当时，则，所以或， 解得或， 综上所述，或或, 故选： 10. 如果，，那么下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式性质可判断AC正确，取特殊值可知B错误；利用作差法可知D正确. 【详解】由题知，，所以，故A正确﹔ 取，，则，，故B不正确﹔ 因为，，所以，故C正确； 因为，故，故D正确， 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 函数为偶函数 B. 当时， C. 函数的值域为 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用奇偶性定义可判断A选项；直接计算可判断B选项；由，根据可得函数的值域可判断C选项；判断出的单调性，根据单调性可得，两边平方解不等式可判断D选项. 【详解】对于A，，由， 可得函数为偶函数，故A选项正确； 对于B，由， 可得，故B选项正确； 对于C，由，又由，有， 有，可得函数的值域为，故C选项错误； 对于D，当时，由，可得函数在上单调递增， 又由函数为偶函数，可得函数的减区间为，增区间为， 若，有，不等式两边平方后可解得或，故D选项正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 集合的真子集的个数是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】．先根据题意写出集合的具体元素，再利将其真子集的个数给求出来即可. 【详解】因为， 则的元素个数为，故A有个真子集． 故答案为：. 13. 已知，则的最小值是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将函数化为，进而根据基本不等式求得答案. 【详解】，当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 14. 已知函数，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式可知，函数为奇函数，有，计算即可. 【详解】，令，函数定义域为R， ∵，∴为奇函数，∴． 则，． 故答案为：-10 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知全集，，． （1）求； （2）求和． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）求出集合，利用并集的定义可求得集合； （2）求出集合，利用交集、补集和并集的定义可求得所求集合. 【小问1详解】 解：对于函数，有，即，解得， 所以，，因此，. 【小问2详解】 解：，则，， 因此，. 16. 设函数． （1）将函数写成分段函数的形式并画出其图象； （2）写出函数的单调区间和值域． 【答案】（1），图象： （2）单调递增区间为，单调递减区间为，值域为 【解析】 【分析】（1）去掉绝对值符号将函数写成分段函数，再画出函数图象； （2）结合函数图象得到函数的单调区间与最小值，即可求出函数的值域. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以的图象如下所示： 【小问2详解】 由（1）中函数图象可知，的单调递增区间为，单调递减区间为， 又，所以的值域为. 17. （1）试比较与的大小； （2）解关于的不等式． 【答案】（1）； （2）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1），，比较分母大小即可得到两者大小； （2）因式分解得，分，和讨论即可. 【详解】（1），， ， ，. （2）， . 当时，无解； 当时，，解集为； 当时，，解集为， 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1）， （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【解析】 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【小问1详解】 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 19. 已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2）由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. 【小问1详解】 因为，代入得：即， 解得：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $