精品解析：安徽省蚌埠市蚌山区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025—2026学年第一学期期中教学质量评估九年级数学学科试题 1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分． 3.请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的对称轴是（ ） A 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 3. 下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. C. D. 4. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5. 将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（　　） A. （5，4） B. （1，﹣2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣5，﹣2） 6. 二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于点，其部分图象如图所示，下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. 关于x的方程有两个不等的实数根 D. 当时， 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　） A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺 8. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（ ） A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. 5 10. 如图所示，在中，，相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ） A ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知，则值为_______． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号） 13. 如图，矩形顶点和对称中心在反比例函数的图象上，若矩形的面积为12，则的值为______． 14. 如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则______； （2）连接，交于点，则______． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 对于抛物线． （1）将抛物线的表达式化为顶点式． （2）填下表并在坐标系中画出此抛物线． ... ... ... ... （3）结合图象，当时，则y的取值范围是 ． 16. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 17. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长度为4，求m的值． 18. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 19. 如图，点D是外一点，，，求证：． 20. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 21. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由． 22. 如图①，四边形中，对角线和交于点，且，过点作，交于点，为的中点，连接，． （1）求证：； （2）如图②，若，连接交于点．求证：． 23. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． （1）求抛物线和直线的函数表达式： （2）过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值； （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中教学质量评估九年级数学学科试题 1.你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷”和“答题卡”两部分． 3.请务必在“答题卡”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列函数表达式中，一定为二次函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数进行分析． 【详解】解：、是一次函数，故本选项不符合题意； 、，当时不是二次函数，故本选项不符合题意； 、是二次函数，故本选项符合题意； 、，等式右边不是整式，故本选项不符合题意； 故选：． 2. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可直接进行求解． 【详解】解：由抛物线可知对称轴为直线； 故选C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 3. 下列各组不同长度的线段是成比例线段的是（ ） A. ，，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查线段成比例，熟练掌握线段成比例是解题的关键；因此此题可根据“若线段a、b、c、d，且满足，则这四条线段成比例”进行排除选项即可． 【详解】解：A、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； B、因为，所以，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； C、因为，所以，所以这四条线段成比例，故符合题意； D、，所以这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选C． 4. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵直线l1∥l2∥l3， ∴. ∵AB=5，BC=6，EF=4， ∴. ∴DE=. 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 5. 将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线的顶点坐标是（　　） A. （5，4） B. （1，﹣2） C. （﹣1，﹣2） D. （﹣5，﹣2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y＝2（x﹣3）2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 即可得到抛物线y＝2（x﹣3+2）2+1﹣3， 即y＝2（x﹣1）2﹣2． 其顶点坐标是(1，﹣2)． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键． 6. 二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于点，其部分图象如图所示，下列结论中不成立的是（ ） A. B. C. 关于x的方程有两个不等的实数根 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数与一元二次方程的关系，根据二次函数的图象逐一判断即可． 详解】解：A、抛物线开口向下，故，说法正确，不合题意； B、∵抛物线经过点， ∴当时， 观察图象可得，时，， ∴说法错误，符合题意． C、∵抛物线的图象与x轴有两个交点， ∴， ∴关于x的方程有两个不等的实数根， 说法正确，不合题意； D、∵抛物线图象关于直线对称，与x轴交于点， ∴与x轴；另一个交点为， ∴当时，， 说法正确，不合题意； 故选：B． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（　　） A. 五丈 B. 四丈五尺 C. 一丈 D. 五尺 【答案】B 【解析】 【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴， 解得x=45（尺）， 即竹竿的长为四丈五尺． 故选B 【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 8. 如图，为等边三角形，点，分别在边，上，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明，根据题意得出，进而即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（ ） A. 3.6 B. 4 C. 4.8 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】过点D作DH⊥BC交AB于点H，根据△AFE∽△ACD和△AEG∽△ADH可得DC=DH，再由△BDH∽△BCA，根据相似三角形的性质列出方程即可求出CD. 【详解】解：过点D作DH⊥BC交AB于点H， ∵EF⊥AC，∴EF∥BC， ∴△AFE∽△ACD，∴， ∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG， ∴△AEG∽△ADH，∴， ∴ ∵EF=EG， ∴DC=DH， 设DH=DC=x，则BD=12-x， 又∵△BDH∽△BCA， ∴，即， 解得：x=4，即CD=4， 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似的性质得到DC=DH是解题关键. 10. 如图所示，在中，，相交于点O，E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是（ ） A. ①②③④ B. ①④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，根据相似三角形的性质得到＝，等量代换得到，于是得到＝；故①正确；根据相似三角形的性质得到；故②正确；根据三角形的面积公式得到，故③正确；由于与只有一个角相等，于是得到与不一定相似，故④错误． 【详解】解：∵在中，则，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴＝， ∵， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，，， ∴， ∴与不一定相似，故④错误， 故选：D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 已知，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】令连等式的值为k，将a、b、c全部转化为用k表示的形式，进而得出比值． 【详解】令 则a=6k，b=5k，c=4k 则 故答案为：． 【点睛】本题考查连比式的应用，是一类比较常见的题型，需掌握这种解题方法． 12. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点（），如果的长度为，那么的长度为_______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，直接利用黄金分割的定义计算即可．解题的关键是掌握黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，黄金分割的比值是，即． 【详解】解：∵为的黄金分割点（），的长度为， ∴， ∴， ∴的长度为． 故答案：． 13. 如图，矩形的顶点和对称中心在反比例函数的图象上，若矩形的面积为12，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与矩形综合，熟练掌握反比例函数的图象与性质，矩形的性质是解题的关键．设，可得点的纵坐标，根据点在反比例函数图象上，可得点坐标，则可求出，再利用，即可列式求解． 【详解】解：设矩形的中心为，连接，， 根据题意，设， ∵为中点，点纵坐标为， ∴点的纵坐标为， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知中，，，以为直角边作等腰，且． （1）若，则______； （2）连接，交于点，则______． 【答案】 ①. ②. ##0.4 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）过点A作，利用等面积法得出，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 详解】（1）解：∵，， ∴， ∴在，， ∵以为直角边作等腰，且， ∴， 故答案为：； （2）过点A作于G，如图所示： ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 三、解答题：本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 对于抛物线． （1）将抛物线的表达式化为顶点式． （2）填下表并在坐标系中画出此抛物线． ... ... ... ... （3）结合图象，当时，则y的取值范围是 ． 【答案】（1）； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）利用配方法变形即可； （2）列表、描点、连线即可； （3）结合（2）中图象和表格即可得出结论． 【小问1详解】 ． ∴抛物线的顶点式为． 【小问2详解】 x … 0 1 2 3 4 … y … 3 0 0 3 … 函数图象如图所示： 【小问3详解】 根据函数图象可知，当时，y的取值范围是． 【点睛】此题考查的是二次函数解析式的变形、画二次函数的图象和根据自变量的取值范围，求函数值的取值范围，掌握配方法、画二次函数的图象的一般步骤和数形结合的数学思想是解决此题的关键． 16. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、B两点．垂直于y轴，垂足为D，连接． （1）求一次函数与反比例函数的解析式． （2）求的面积． （3）直接写出使反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接根据待定系数法求两个函数解析式即可； （2）求出点的坐标，则可知，然后得出边上的高根据三角形面积公式计算即可； （3）根据函数图像找出一次函数在反比例函数上方的部分即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， ∴将分别代入，， 得，即， ∴一次函数解析式为， 反比例函数解析式为； 【小问2详解】 联立， 即， 解得：，（即为点）， 经检验，，是原方程的解， ∴点， ∴，边上的高为， ∴； 【小问3详解】 根据函数图像可得反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围即为一次函数在反比例函数上方的部分， ∴反比例函数值小于一次函数值的x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集等知识点，熟练掌握反比例函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 17. 已知二次函数（m是常数）． （1）求证：无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； （2）若该二次函数的图象在x轴上截得的线段长度为4，求m的值． 【答案】（1）见解析 （2）或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式，一元二次方程的解法，二次函数性质； （1）令，可得关于的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可证得结论； （2）令，可得关于的一元二次方程，表示出方程的根，即可得到、两点的横坐标值，然后根据，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， ∴一元二次方程有实数根， ∴无论m为何值，该二次函数图象与x轴一定有交点； 【小问2详解】 解：设抛物线与x轴的两个交点分别为A和B， 当时，， 解得，， ， 或． 18. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N． （1）求证：△ABM∽△EFA； （2）若AB=12，BM=5，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）4.9 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得出AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，得出∠AMB=∠EAF，再由∠B=∠AFE，即可得出结论； （2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得出DE的长． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC， ∴∠AMB=∠EAF， 又∵EF⊥AM， ∴∠AFE=90°， ∴∠B=∠AFE， ∴△ABM∽△EFA； （2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5， ∴AM==13，AD=12， ∵F是AM的中点， ∴AF=AM=6.5， ∵△ABM∽△EFA， ∴， 即， ∴AE=16.9， ∴DE=AE－AD=4.9． 【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 19. 如图，点D是外一点，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，关键是先利用等角的补角相等得到，则可判断，所以，利用比例的性质得到，接着证明，从而可判断． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 即， ， 而， ． 20. 如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． 【小问2详解】 设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 21. 某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（元/千克） 50 60 70 销售量y（千克） 100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式； （2）设商品每天的总利润为W（元），则当售价x定为多少元时，厂商每天能获得最大利润？最大利润是多少？ （3）如果超市要获得每天不低于1350元的利润，且符合超市自己的规定，那么该商品每千克售价的取值范围是多少？请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣2x+200 （40≤x≤80）；（2）售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元；（3）55≤x≤80，理由见解析 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解可得； （2）根据“总利润＝每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况． （3）求得W＝1350时x的值，再根据二次函数的性质求得W≥1350时x的取值范围，继而根据“每千克售价不低于成本且不高于80元”得出答案． 【详解】（1）设y＝kx+b， 将（50，100）、（60，80）代入，得： ， 解得：， ∴y＝﹣2x+200 （40≤x≤80）； （2）W＝（x﹣40）（﹣2x+200） ＝﹣2x2+280x﹣8000 ＝﹣2（x﹣70）2+1800， ∴当x＝70时，W取得最大值为1800， 答：售价为70元时获得最大利润，最大利润是1800元． （3）当W＝1350时，得：﹣2x2+280x﹣8000＝1350， 解得：x＝55或x＝85， ∵该抛物线的开口向下， 所以当55≤x≤85时，W≥1350， 又∵每千克售价不低于成本，且不高于80元，即40≤x≤80， ∴该商品每千克售价的取值范围是55≤x≤80． 【点睛】考查二次函数的应用，解题关键是明确题意，列出相应的函数解析式，再利用二次函数的性质和二次函数的顶点式解答． 22. 如图①，四边形中，对角线和交于点，且，过点作，交于点，为的中点，连接，． （1）求证：； （2）如图②，若，连接交于点．求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的综合问题，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相似三角形的判定并性质以及直角三角形的性质是解题关键． （1）延长交于点，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，解答即可； （2）根据题意可先证明，利用其结论结合，即可证得，可得，且由题意可推出，，从而证明结论即可． 【小问1详解】 延长交于点，如图①： ，且点为中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图②， ，为中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ∴，， ． 23. 如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线经过点、，与y轴交于点C．顶点为点D．在线段下方的抛物线上有一动点P． （1）求抛物线和直线的函数表达式： （2）过点P作垂直于直线．交于点Q，求的最大值； （3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以A、C、M、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为 （2）的最大值为 （3）存在，满足条件的点G的坐标为或或 【解析】 【分析】1）先把点A 和点B的坐标代入，求出a和b的值，即可得出抛物线的解析式为，进而得出，再设直线的解析式为，将点A和点C的坐标代入求出k和b的值，即可得出直线的解析式为； （2）作轴交于点H，垂足为点M，通过证明，得出，则，设点，则，得出，则当时，取得最大值为，即可求出的最大值； （3）设，，然后根据平行四边形的性质进行分类讨论即可：当为平行四边形的边时；当为平行四边形的对角线时． 【小问1详解】 解∶∵抛物线经过点、， ∴， 解得 ∴抛物线的解析式为， 令，可得， ∴， 设直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，作轴交于点H，垂足为点M， ∵，， ∴，则， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴， 设点，则， ∴， ∵，． ∴当时，取得最大值为， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：存在． 理由∶抛物线的解析式为，对称轴为直线， 如图，设，． 当为平行四边形的边时，则有， 解得或， ∴ 或 ， 当为平行四边形的对角线时， ∴， ∴ ， 综上所述，满足条件的点G的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤；正确画出辅助线，构造相似三角形，掌握相似三角形对应边成比例，以及平行四边形对角线互相平分，平行四边形对边相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $