上海市普陀区2024-2025学年高三下学期质量调研（二）数学试卷

上海市普陀区2024-2025学年高三下学期质量调研（二）数学试卷 2025.5 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2.本考试分试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1. 设集合，则__________. 2. 不等式的解集为____________. 3. 已知是虚数单位，是纯虚数，则实数的值为__________. 4. 若圆柱的底面半径与高均为1，则其侧面积为________． 5. 的二项展开式的常数项为_______ 6. 若正数x、y满足，则的最大值为________． 7. 已知，如果，那么实数的值为______. 8. 已知，关于的方程的解___________． 9. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是__________． 10. 某地要建造一个市民休闲公园长方形，如图，边，边，其中区域开挖成一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且、位于圆心的正北方向，位于圆心的北偏东60°方向．拟定在圆弧处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公园的边、开设两个门、，修建步行道、通往渔人码头，且、，则步行道、长度之和的最小值是__________．（精确到0.001） 11. 已知空间中三个单位向量、、，，为空间中一点，且满足，，，则点个数的最大值为__________． 12. 已知在复数集中，等式对任意复数恒成立，复数，，，在复平面上对应的4个点为某个单位圆内接正方形的4个顶点，，则满足条件的不同集合个数为__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件. 14. 若从正方体八个顶点中任取四个顶点分别记为A、B、C、D，则直线AB与CD所成角的大小不可能为（ ） A. B. C. D. 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（    ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为互斥事件 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 16. 设函数，的定义域均为，值域分别为、，且．若集合S满足以下两个条件：（1）；（2）是有限集，则称和是S-互补函数．给出以下两个命题：①存在函数，使得和是-互补函数；②存在函数，使得和是-互补函数．则（ ） A. ①②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 设函数. （1）求函数的单调区间； （2）求不等式的解集. 18. 如图，在正方体中，E是的中点． （1）求证：平面； （2）求直线DE与平面ABCD所成角的大小． 19. 机器人竞技是继电子竞技之后热门的科技竞技项目.某区为了参加市机器人竞技总决赛，开展了区内选拔赛，其中、、、四人进入区内个人组决赛，按照规则每人与其他三人各进行一场比赛，且这三场比赛互相独立.下表统计的是在近期热身中分别与、、三人比赛的情况. 比赛的次数 12 10 15 获胜的次数 4 5 12 （1）根据表格中的数据，试估计在区内决赛中至少获胜一场的概率； （2）根据表格中的数据，请给、、三人设计一个出场顺序，使得在这三场比赛中连胜两场的概率最大，并说明理由. 20. 已知椭圆，点、分别是椭圆的下焦点和上焦点，过点的直线与椭圆交于A、B两点． （1）若直线平行于轴，求线段AB的长； （2）若点A在y轴左侧，且，求直线l的方程； （3）已知椭圆上的点C满足，是否存在直线l使得的重心在x轴上？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由． 21. 过曲线上一点作其切线，若恰有两条，则称为的“类点”；过曲线外一点作其切线，若恰有三条，则称为的“类点”；若点为的“类点”或“类点”，且过存在两条相互垂直的切线，则称为的“类点”． （1）设，判断点是否为的“类点”，并说明理由； （2）设，若点为的“类点”，且过点的三条切线的切点横坐标可构成等差数列，求实数的值； （3）设，证明：轴上不存在的“类点”． 上海市普陀区2024-2025学年高三下学期质量调研（二）数学试卷 2025.5 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2.本考试分试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】20 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】4 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】1.172 【11题答案】 【答案】8 【12题答案】 【答案】10 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13－14题每题4分，第15－16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 【17题答案】 【答案】（1）严格单调增区间为 和 ，严格单调减区间为 和 . （2） 【18题答案】 【答案】（1） 证明：连接，在正方体中，E是的中点， 所以E是的中点，且，即， 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面. （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2）或 【20题答案】 【答案】（1）3 （2）或 （3）存在，或或 【21题答案】 【答案】（1） 函数，，点在上，求导得， 设切点为，切线方程为，即， 由切线过，得，,解得或， 因此切线方程为，所以点为的“类点”. （2）2； （3） 假设轴上存在函数的“类点”，记为，设坐标为， 求导得，设切点为，切线方程为， 即，由切线过，得，此方程至少有两个不同解， 设，则，由，得或， 当时，，函数是上的严格减函数， 当时，为上的严格增函数， 函数的极小值，极大值，又， 当或时，方程有两个不同解，当时，方程有三个不同解， 当时，在上，其余情况下在外，则， 设两垂直切线的斜率为，对应方程的两根为， 则，由， 得，则有， 由，得异号，不妨设， 由均值不等式知，， 则，与矛盾，即不存在， 所以轴上不存在的“类点”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $