精品解析：湖南常德芷兰实验学校2025--2026学年上学期八年级数学期中考试试卷

2025年下学期期中考试八年级数学试卷 总分：115分5分；考试时间：120分钟； 一、选择题．（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 在、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 6个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 如果把的与（，均为正数）都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的5倍 C. 扩大到原来的10倍 D. 缩小到原来的 6. 学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 7. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 二、填空题．（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 氧是地壳中分布最广的元素，也是构成生物界与非生物界最重要的元素，在地壳的含量为，单质氧在大气中占，一个氧原子的半径为．数据用科学记数法表示为_____． 10. 使分式的值为0，这时x=_____． 11. 已知，，则______． 12. 若多项式可分解为则______，______． 13. 若计算的结果为a，则这个数a落在了数轴上的______段． 14. 若关于x的方程无解，则m的值为_____ ． 15. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：______写出一个即可． 16. 下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为_____． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中 21. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 22. 中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 23. 图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 24. 阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化． 例如： 材料三：因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）的有理化因式为_________，的有理化因式为________．（均写一个即可）________． （2）计算：（要求写出计算过程） （3）利用上述方法：若，求的值． 25. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． （1）判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（ ）②（ ） （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； （3）若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期期中考试八年级数学试卷 总分：115分5分；考试时间：120分钟； 一、选择题．（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 已知则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，有理数大小比较，根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算法则进行计算，从而作出比较． 【详解】解：，， ， 故选：D． 2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的意义可得，求解即可，理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此逐项判断即可． 【详解】A、对于，提取公因式后得到，是把多项式化成了整式的积的形式，符合因式分解的定义，故本选项符合题意． B、这是平方差公式的展开过程，是把整式乘积的形式化成了多项式的形式，是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意． C、与等式左边不成立，该等式错误，故本选项不符合题意． D、左边是单项式，而因式分解的对象是多项式，因此不符合定义，故本选项不符合题意． 故选A． 4. 在、、、、、中，分式的个数有（ ） A. 6个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的概念，分式的关键特征是分母中含有字母；根据分式的概念判断即可． 【详解】解：：分母含x，是分式； ：分母为常数2，不是分式； ：分母为常数2，不是分式； ：分母π为常数，不是分式； ：分母含x和y，是分式； ：分母含m，是分式； ∴ 分式共有3个； 故选：B． 5. 如果把的与（，均为正数）都扩大到原来的5倍，那么分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大到原来的5倍 C. 扩大到原来的10倍 D. 缩小到原来的 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质， 将x，y值都扩大5倍，并化简可得答案. 【详解】解：， ∴分式的值扩大到原来的5倍. 故选：B. 6. 学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】解：由可得，小丽出现错误； 由可得，小红出现错误； 故选：D． 7. 若可以用完全平方式来分解因式，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式即可得解． 【详解】解：∵可以用完全平方式来分解因式， ， 即， ，解得或． 故选：D ． 8. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴的性质、二次根式的性质、绝对值的性质及整式的加减运算，根据数轴上a、b、c的位置，确定它们的正负性及绝对值关系，然后利用绝对值和根号的性质化简给定的表达式即可． 【详解】解：由数轴可知，，，，且， ∴，，， ∴原式． 故选：C． 二、填空题．（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9. 氧是地壳中分布最广的元素，也是构成生物界与非生物界最重要的元素，在地壳的含量为，单质氧在大气中占，一个氧原子的半径为．数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据科学记数法表示较小的数一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 使分式的值为0，这时x=_____． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得＝0， 所以x2-1=0且x+1≠0， 解之得x=1， 故答案为：1． 11. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的乘法性质及化简，熟练应用二次根式的乘法性质是解题关键． 根据，利用二次根式的乘法性质求解． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 若多项式可分解为则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 13. 若计算的结果为a，则这个数a落在了数轴上的______段． 【答案】④ 【解析】 【分析】本题考查二次根式的计算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算和无理数的估算是解题的关键，利用二次根式的运算将式子化简，得到的值，再通过对无理数的估算，得到的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， ∵， ∴， ∴a落在了数轴上的④段， 故答案为：④． 14. 若关于x的方程无解，则m的值为_____ ． 【答案】或0 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分两种情况，一是化为整式方程，该整式方程无解，二是方程有增根，据此分两种情况求解即可． 【详解】解：将方程化成整式方程为：， 即， 增根为：， ∴， ∴． 当时，方程无解， 故答案为：或0 15. 在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是：______写出一个即可． 【答案】或或 【解析】 【分析】把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可． 【详解】解：， 当，时，；；， 用上述方法产生的密码是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力． 16. 下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律： ①；②；③；…… 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律，分析所给的等式的形式进行总结即可． 【详解】解：， ， ， 用含的式子表示为：， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，整式的四则混合运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先算乘方和负整数的指数幂，然后进行整式的乘除即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的方法，正确的计算是解决本题的关键． （1）根据提公因式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案； （2）先化分式方程为整式方程，解之求出x的值，再检验即可得出答案； 【小问1详解】 解：， 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 20. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值． 先根据分式混合运算法则算到最简，再代入求值即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 21. 如图，李明家有一块长方形空地，长为，宽为．现要在空地中挖一个长方形的水池（图中阴影部分），其余部分种植草莓．其中长方形水池的长为，宽为． （1）求长方形空地的周长． （2）已知李明家种植的草莓售价为8元/kg，且可产草莓．若李明家将所种的草莓全部销售完，则销售收入为多少元？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可； （2）先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可． 【小问1详解】 解：长方形空地的周长为 ． 答：长方形空地的周长为． 【小问2详解】 解：由题意，得种草莓的面积为 ， ∴销售收入为（元）． 答：销售收入为元． 22. 中国是全球电动汽车最大市场，2025年9月全球电动汽车销量210万辆中，中国占比约三分之二（约130万辆），同比增长．中国汽车在2025年前9个月累计销售2436.3万辆，同比增长．其中，新能源汽车（包括纯电动和插电式混合动力）销量占比显著提升．小静家将燃油汽车置换为一辆新的纯电动汽车，原来驾驶燃油汽车从A地到B地所需油费是108元，现在驾驶纯电动汽车所需电费27元．已知每行驶1千米，原来燃油汽车所需油费比纯电动汽车所需的电费多元，求新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费． 【答案】元 【解析】 【分析】本题考查了分式的方程的应用，设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元，根据行驶的路程相等列出方程即可解决问题，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为元，则燃油汽车所需油费元， 由题意列方程得：， 解方程得，， 经检验，是原方程得解，且符合实际意义， 答：新置换的纯电动汽车每行驶1千米所需的电费为0.18元． 23. 图形是一种重要的数学语言，能有效地表示一些数量关系，请利用数形结合的思想解答下列问题： （1）用两种不同方法表示图①中大长方形的面积，可得等式为 ． （2）如图②，一张大长方形纸按图中线分割成9块，其中2块是边长为m cm的大正方形，2块是边长为n cm的小正方形，5块是长为m cm、宽为n cm的全等的小长方形． ①观察图形，代数式可以因式分解为 ． ②若阴影部分图形的面积为，大长方形纸的周长为42cm，求图②中空白部分图形的面积． 【答案】（1） （2）①；②图②中空白部分图形的面积为 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，解题的关键是求出的长． （1）观察图形将图①中的大正方形拆分成不同的小正方形和长方形，得出表示的面积式子，再通过图①中的大长方形的长与宽表示出面积的式子，此时两个式子相等； （2）①即为大长方形的面积，然后观察出大长方形的长和宽，根据面积相等得到因式分解的结果； ②根据题中条件得出，的值，通过完全平方公式变形求出最终面积． 【小问1详解】 解：由题意知，将图①中的大长方形拆分成不同的小正方形和长方形，此时表示的面积为，已知图①大长方形的长为，宽为，则面积为， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：①由图②可知，， 故答案为：． ②由题意知，阴影面积表示为， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴图②中空白部分图形的面积为． 24. 阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化． 例如： 材料三：因为，所以． 所以，所以，所以， 所以，所以 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）的有理化因式为_________，的有理化因式为________．（均写一个即可）________． （2）计算：（要求写出计算过程） （3）利用上述方法：若，求的值． 【答案】（1），， （2）9 （3）7 【解析】 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行合并即可； （3）先进行分母有理化，再代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴的有理化因式为，的有理化因式为； ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． （1）判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（ ）②（ ） （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，∴，∴．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； （3）若与是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】（1）①√；②× （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （1）根据互动分式的定义进行判断； （2）仿照题目中给到的方法进行求解； （3）根据（2）找规律求出；再根据分式方程解的情况求出，求出代数式，再对代数式配方求解即可． 【小问1详解】 解：①∵， ， ∴， ∴是分式的“互动分式”， ②∵， ， ∴， ∴不是分式的“互动分式”， 故答案为：①√；②×． 【小问2详解】 解：设的“互动分式”为， 则， ∴， 即， ∴． 所以分式的“互动分式”为； 【小问3详解】 解：∵设与为“互动分式”， ∴，或， ∴，或 解得：，或， ∵是的“互动分式”， ∴且，，或且，， ∴，或， 解得，或， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义， 当时，，， ∴， ∴ ∴与不是“互动分式”，故舍去； 当时，，， ∴，， ∴． ∴与是“互动分式”， ， 当时的最大值是． 综上所述：最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $