第24章 圆（复习讲义）数学沪科版九年级下册

该初中数学圆单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了旋转与圆的知识体系，涵盖旋转概念、圆的基本性质、位置关系、与多边形关系及相关计算，将垂径定理、切线判定等重难点按“概念-定理-应用”逻辑串联，呈现知识内在联系。 讲义亮点在于27个分层题型设计，从生活实例（如风力发电机叶片旋转）到实际应用（石拱桥拱高计算），培养几何直观与应用意识。综合题如圆与三角形结合题，提升推理能力，基础巩固与能力提升练习满足分层需求，助力教师精准教学与学生自主复习。

第24章 圆（复习讲义） 1. 掌握圆的基本概念，理解垂径定理、圆周角定理及推论的核心内涵，能准确表述并直接运用. 2. 熟练判断直线与圆，掌握切线的判定定理和性质定理，能规范书写相关证明过程. 3. 牢记弧长、扇形面积及圆锥侧面积公式，能结合图形条件计算相关长度、面积，解决简单实际问题. 4. 了解三角形外接圆、内切圆的概念，能初步运用圆的性质解决与三角形、四边形结合的综合题. ●一、旋转的相关概念 1、旋转 ◆定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等. 2、旋转对称图形 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度：（0°<0<360°）后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心. 3、中心对称 ◆中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. ◆中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形. ◆中心对称图形：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. ●二、圆的基本概念及性质 1、圆的基本概念 ◆圆的定义： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. ◆弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径. ◆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧. 能够重合的两个圆叫做等圆. 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧. 2、垂径定理及其推论： ◆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◆推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 3、圆心角、弧、弦的关系： ◆定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． ◆推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧.两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等． 4、圆周角及其推论： ◆定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ◆推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． ◆推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． ◆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角． ●三、与圆有关的位置关系 1、点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP = d，则有： 点P在圆外⇔d > r ； 点P在圆上⇔d = r ； 点P在圆内⇔d < r ． 性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2、 直线与圆的位置关系 ◆位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有： 直线l和⊙O相交⇔d < r ； 直线l和⊙O相切⇔d = r ； 直线l和⊙O相离⇔d > r ◆切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． ◆切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ◆切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ●四、圆与多边形的关系 1、三角形的外接圆与外心 ◆定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心． ◆外心的性质：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等. 2、三角形的内切圆与内心 ◆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心. ◆内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等. 3、正多边形与圆 ◆定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． ◆性质：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. ●五、圆的有关计算 1、弧长：n°的圆心角所对的弧长l为：. 2、扇形面积：圆心角为n°的扇形面积S为：或. 3、圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为 ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有． 圆锥与侧面展开图的等量关系：，. 题型一 生活中的旋转现象 【例1】（2025秋·昆明期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A.地下水位逐年下降 B.传送带的移动 C.升国旗的过程 D.工作中的风力发电机叶片 【变式1-1】（2024秋·浦东新区校级期末）下列说法中，正确的是（ ） A.“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B.能够互相重合的两个图形成轴对称 C.“小明在荡秋千”属于旋转现象 D.“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【变式1-2】（2025秋·中山市期中）小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（　　）图标. A.（放大） B.（缩小） C.（顺时针旋转90°） D.（逆时针旋转90°） 题型二 旋转的性质 【例2】（2022·浙江丽水·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为 ． 【变式2-1】（2025秋·老城区期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB'C'，连接BB'，若BC=2,，则线段BB'的长为（ ） A. B.4 C. D. 【变式2-2】 （2023·天津红桥·一模）如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E．当的延长线经过点C时，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型三 中心对称图形的判断 【例3】（2024·广东江门·模拟预测）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【变式3-1】（2025·北京西城·一模）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·山东日照·一模）下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 题型四 旋转对称图形 【例4】（2025·福建省·莆田市·期中考试）风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　）  就 A.45                   B.60                        C.90                         D.120 【变式4-1】（2024·河南省·焦作市）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心每次旋转________度形成的． 【变式4-2】（2023·浙江省·金华市）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合,其中旋转角度最小的是（ ） A.等边三角形 B.平行四边形 C.正八边形 D.圆及其一条弦 题型五 旋转中的坐标变化 【例5】（2025年·内蒙古自治区·包头市月考）已知P（3，4），将P绕坐标原点顺时针旋转90°后得到P1，则P1的坐标为（　　） A.P1（-3，4） B.P1（4，3） C.P1（4，-3） D.P1（3，-4） 【变式5-1】（2025年·江苏省·无锡市月考）平面直角坐标系中，将点A（3，4）绕点B（1，0）旋转90°，得到点A的对应点A'的坐标为_________． 【变式5-2】（2024·广东省·期中考试）如图，将△ABC绕点C(0，-1)旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为(a，b)，则点A的坐标为（ ） A. (-a，-b) B. (−a，-b-1) C. (−a，-b+1) D. (-a，-b-2) 题型六 作图-旋转变换 【例6】（2025·广西壮族自治区·南宁市·期中考试）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2． 【变式6-1】（2023·安徽合肥·一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)作出关于x轴对称的； (2)将绕O点逆时针旋转，画出旋转后的． 【变式6-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，三个顶点坐标分别为、、请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： (1)以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出． (2)画出关于坐标原点O成中心对称的． (3)若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为 ． 题型七 利用旋转设计图案 【例7】（2024年·云南省·月考）如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（ ） A. B. C. D. 【变式7-1】（2024·江苏省·苏州市·月考）下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案（ ）    A.4个             B.3个           C.2个           D.1个 【变式7-2】（2025年·江苏省·月考）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． 题型八 旋转的规律问题 【例8】（2025·四川省·宜宾市·期中测试）如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，…，按此规律继续旋转，直到得到点P2020为止，则AP2020= ______ . 【变式8-1】（2025·陕西省·同步练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0），点B（0，4），对△OAB连续旋转，依次得到①，②，③，④…，那么旋转26次的三角形的直角顶点的坐标为（    ）． A.（96，0）     B.（100，0）     C.（103.2，2.4）    D.（105.2，2.4） 【变式8-2】（2025年·重庆市·市辖区·期中测试）如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形△AOB，∠OAB=90°，直角边AO 在x轴上，且AO=2，将 Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1，将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形 A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2024OB2024，则点B2024的坐标为________ ． 题型九 圆的认识 【例9】（2022·河北省·张家口市·单元测试）如图所示是一个圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（ ） A.1cm B.2cm C.4cm D.πcm 【变式9-1】（2025·广东省·惠州市·月考）下列说法中, 不正确的是（ ） A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B.圆有无数条对称轴 C.圆的每一条直径都是它的对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心 【变式9-2】（2025·江苏省·无锡市·月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型十 垂径定理的概念 【例10】（18-19九年级·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 【变式10-1】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）下列命题正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．不在同一直线上的三点确定一个圆 D．圆内接三角形一定是等边三角形 【变式10-2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，⊙O中，CD是直径，且CD⊥AB于P，则下列结论中不一定正确的是（　　） A.AP=PB B. C.∠AOB=4∠ACD D.PO=PD 题型十一 有关垂径定理的计算 【例11】（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是 ．    【变式11-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的半径长为5，弦，则的弦心距为 ． 【变式11-2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，为的直径，弦于点，若，则的长为 ． 题型十二 垂径定理的实际应用 【例12】（20-21九年级上·浙江绍兴·期中）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨径（）为24米，拱的半径为13米，则拱高（）为（    ） A．9米 B．8米 C．7米 D．5米 【变式12-1】（25-26九年级上·广西柳州·期中）如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 【变式12-2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于（  ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 题型十三 垂径定理的几何应用 【例13】（20-21九年级上·浙江绍兴·期中）直径为8的圆内一点M到圆心O的距离是3，则过点M的弦中，长度为整数的条数有（ ）条 A.3 B.4 C.5 D.6 【变式13-1】（2025年·湖北省·襄阳市·期中测试）O的直径为10，弦AB平行弦CD，这两弦长分别为6和8，它们之间的距离为 ． 【变式13-2】（2023年·浙江省·同步练习）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（    ） A.5 B.  C.  D. 题型十四 圆心角、弧、弦的关系 【例14】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，请添上一个条件： ，使得． 【变式14-1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为 ． 【变式14-2】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点，，，在在中，若，求证：．    题型十五 点与圆的位置关系判断 【例15】（2025年·江苏无锡·期中）已知⊙O的半径是6,点P到圆心O的距离是5,则点P与⊙O的位置关系是（  ） A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外 【变式15-1】 （24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知点P不在半径为8的内，如果设，那么x的取值范围是 ． 【变式15-2】（22-23九年级上·云南玉溪·期中）以坐标原点为圆心，10为半径画圆，则点与的位置关系是（    ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 题型十六 圆周角定理 【例16】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，连结，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式16-1】（2024·安徽蚌埠·二模）如图，是的外接圆，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【变式16-2】（2024·山东滨州·二模）如图所示，在中，是直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 题型十七 直线与圆的位置关系判断 【例17】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【变式17-1】（23-24九年级上·江苏·周测）已知的直径为10，直线l与圆心O的距离为8，那么直线l与公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式17-2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如当时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有4个到直线l的距离等于1的点，即，由此可知： （1）当时， ． （2）当时，d的取值范围是 ． 题型十八 切线的性质 【例18】（2025年·浙江省·宁波市·一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC=35°，则∠ACB的大小为（　　） ​​​​​​ A.35° B.45° C.55° D.65° 【变式18-1】（2025年·上海市·月考）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ） A.55° B.45° C.35° D.25 【变式18-2】（23-24年·浙江省·台州市·期中）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（ ） A.76° B.56° C.54° D.52° 题型十九 切线的判定 【例19】（2024年·浙江省·同步练习）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点 （点E ，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O 相切的是（    ） A. OP=5                  B.OE=OF C.O到直线EF的距离是4          D.OP⊥EF 【变式19-1】（2024年·福建省·泉州市·期末）如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心、3cm为半径作⊙M．当OM＝____cm时，⊙M与OA相切．     【变式19-2】（2025年·江苏省·阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，过点A作直线DE ，要使得直线DE与⊙O相切，则∠BAE （    ） A.  B.               C.               D. 题型二十 切线长定理 【例20】（2025年·云南省·期中测试）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB=7，AC=4，则BD的长为（ ） A.3 B.2 C.2.5 D.1.5 【变式20-1】 （2025年·江苏省无锡市·同步练习）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA=1，则△PDE的周长为（） A. B.2 C.3 D.6 【变式20-2】（2025年·新疆维吾尔自治区·单元测试）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB=35°，则∠ABP= ． 题型二十一 三角形的内切圆与内心 【例21】（2025年·江苏省·南京市·月考）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆的半径为________． 【变式21-1】（2025年·广东省·同步练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．求△ABC的内切圆半径r． 【变式21-2】（2025年·四川省·同步练习）设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（    ） A.h=R+r               B.R=2r              C.                D.    题型二十二 正多边形与圆的关系 【例22】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C．3 D． 【变式22-1】（2025·安徽合肥·三模）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【变式22-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 题型二十三 正多边形的计算 【例23】（2025年·海南省·海口市·期末）把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，AB是正六边形的对角线，则∠α等于（ ） A.72° B.84° C.88°              D.90° 【变式23-1】（2025年·黑龙江省·佳木斯市·月考）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AC= ______ ． 【变式23-2】（2025年·江苏省·徐州市·月考）正六边形的周长为6，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 题型二十四 弧长的计算 【例24】（23-24九年级上·浙江·开学考试）在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（   ） A． B． C． D． 【变式24-1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【变式24-2】（2025·广东韶关·一模）制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为（   ） A． B． C． D． 题型二十五 扇形面积的计算 【例25】（22-23九年级上·福建莆田·期末）中国扇文化有着深厚的民族文化底蕴．如图，一扇形纸扇长为，贴画部分的宽为．该纸扇完全打开后，扇子外侧和所成的角为，则贴画一面的面积为 （结果保留）．    【变式25-1】（2023·云南昆明·二模）如图，已知正五边形的边长为，则阴影部分的面积为 ． 【变式25-2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 题型二十六 圆锥的计算 【例26】（2025年·湖北省·黄冈市·月考）已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（ ） A.10π    B.14π    C.20π    D.28π 【变式26-1】（2025年·河南省·月考）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15 cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 【变式26-2】（23-24·黑龙江省·绥化市·期中测试）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 题型二十七 圆的综合应用 【例27】（2025年·江苏省·无锡市·月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，E是⊙O上的动点(不与点C重合)，F为CE的中点，若AD＝2，CD＝4，则DF的最大值为(　　) A.2　　   B.  2　　   C.  5　　   D.  10 【变式27-1】（2024年•广东省月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（    ） A. B.1 C. D. 【变式27-2】（2024春•青云谱区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF． （1）求证：∠E＝∠C； （2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数； （3）设DE交AB于点G，若DF＝4，，E是的中点，求EG·ED的值． 基础巩固通关测 1.（2025年·黑龙江省·模拟题）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.（2025年·西藏自治区·期中考试）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是(    ) A. B. C. D. 3.下列语句中，不正确的有(    ) 相等的圆心角所对的弧相等平分弦的直径垂直于弦圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴长度相等的两条弧是等弧三点确定一个圆． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4.（2025年·浙江省·期中考试）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上不与点，点重合，与交于点设，，则(    ) A. B. C. D. 5.（2025年·安徽省·模拟题）如图，是的直径，，是的弦，过点作交于点，连接，若，则劣弧的长为(    ) A. B. C. D. 6.（2024年·安徽省·模拟题）如图是半径为的的内接正六边形，则圆心到边的距离是(    ) A. B. C. D. 7.（2025年·安徽省·单元测试）如图，内切于，切点分别为，且，则           ． 8.（2025年·江苏省·月考）如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为          ． 9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点依此类推，则点的坐标为          ． 10.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是、、绕原点逆时针旋转，得到，向右平移个单位，再向上平移个单位得到． 画出和； 是的边上一点，经旋转平移后得到的对应点为，请直接出的坐标． 11.如图是一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． 求桥拱所在圆的半径． 现有一艘宽，顶部截面为长方形且高出水面的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗请说明理由． 12.（2025年·广西壮族自治区·同步练习）某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔，，通告所有船只不要进入以为弦的弓形区域阴影部分内含边界以免触礁，如图所示现有一艘货轮正向暗礁区域靠近，当多大时，才能避开暗礁 13.（2025年·浙江省·期中考试）如图，四边形内接于， 为直径，平分， 若，，求的长； 求证： ． 14.如图，在中．，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且． 求证：是的切线； 若，，求点到的距离． 能力提升进阶练 15.（2024年·新疆维吾尔自治区·月考）如图，是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且平分． 求证：是的切线； 求证：； 若，，求的长． 16.四边形内接于，． 如图，若，求的度数； 如图连接交于点． 求证：； 若，，，求的长． 17.（2025年·广东省·期末考试）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分并交边于点，经过点，，的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． 求证：是的切线； 若点，的坐标分别为，，求的半径； 试探究线段，，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．  18.（2023年·广东省·专项考试）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．如图在四边形中，，，． 求的度数； 判断四边形是否“勾股四边形”，并说明理由． 若，直接写出对角线长度的最大值． 19.如图，是的直径，弦， 求证：是等边三角形． 若点是的中点，连接，过点作，垂足为，若，求线段的长； 若的半径为，点是弦的中点，点是直线上的任意一点，将点绕点逆时针旋转得点，求线段的最小值． 20.（2023年·浙江省·月考）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． 如图，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示． 如图，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点求证：是中的遥望角． 如图，在的条件下，连结，，若是的直径． 求的度数； 若，，求的面积． 21.（2025年·北京市·单元测试）对于平面中给定的一个图形及一点，若图形上存在两个点、，使得是边长为  的等边三角形，则称点是该图形的一个“美好点”． 若将轴记作直线，下列函数的图象上存在直线的“美好点”的是____只填选项 A.正比例函数 B.反比例函数 C.二次函数 在平面直角坐标系中，若点，，其中，的半径为． 若，上恰好存在个直线的“美好点”，求的取值范围； 若，线段上存在的“美好点”，直接写出的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第24章 圆（复习讲义） 1. 掌握圆的基本概念，理解垂径定理、圆周角定理及推论的核心内涵，能准确表述并直接运用. 2. 熟练判断直线与圆，掌握切线的判定定理和性质定理，能规范书写相关证明过程. 3. 牢记弧长、扇形面积及圆锥侧面积公式，能结合图形条件计算相关长度、面积，解决简单实际问题. 4. 了解三角形外接圆、内切圆的概念，能初步运用圆的性质解决与三角形、四边形结合的综合题. ●一、旋转的相关概念 1、旋转 ◆定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点. ◆性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前后的图形全等. 2、旋转对称图形 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度：（0°<0<360°）后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心. 3、中心对称 ◆中心对称的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. ◆中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形. ◆中心对称图形：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. ●二、圆的基本概念及性质 1、圆的基本概念 ◆圆的定义： 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”. ◆弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆心的弦叫做直径. ◆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧. 能够重合的两个圆叫做等圆. 在同圆或等圆中，能重合的弧叫等弧. 2、垂径定理及其推论： ◆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ◆推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. 3、圆心角、弧、弦的关系： ◆定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等． ◆推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弦，两条弧.两个弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量也分别相等． 4、圆周角及其推论： ◆定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ◆推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等． ◆推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． ◆圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角． ●三、与圆有关的位置关系 1、点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP = d，则有： 点P在圆外⇔d > r ； 点P在圆上⇔d = r ； 点P在圆内⇔d < r ． 性质：不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 2、 直线与圆的位置关系 ◆位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离d，则有： 直线l和⊙O相交⇔d < r ； 直线l和⊙O相切⇔d = r ； 直线l和⊙O相离⇔d > r ◆切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． ◆切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． ◆切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． ●四、圆与多边形的关系 1、三角形的外接圆与外心 ◆定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做这个三角形的外心． ◆外心的性质：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等. 2、三角形的内切圆与内心 ◆定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心. ◆内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，内心到三角形三边的距离相等. 3、正多边形与圆 ◆定义：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． ◆性质：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆. ●五、圆的有关计算 1、弧长：n°的圆心角所对的弧长l为：. 2、扇形面积：圆心角为n°的扇形面积S为：或. 3、圆锥的侧面积： 圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为 ，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有． 圆锥与侧面展开图的等量关系：，. 题型一 生活中的旋转现象 【例1】（2025秋·昆明期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A.地下水位逐年下降 B.传送带的移动 C.升国旗的过程 D.工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的定义，正确记忆相关知识点是解题关键. 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，据此依次判断即可. 【详解】解：A、地下水位逐年下降是垂直方向的变化，无旋转中心，不符合题意； B、传送带的移动是物体沿直线运动，属于平移，不符合题意； C、升国旗的过程是国旗沿旗杆直线上升，属于平移，不符合题意； D、工作中的风力发电机叶片绕中心轴转动，符合题意， 故选：D． 【变式1-1】（2024秋·浦东新区校级期末）下列说法中，正确的是（ ） A.“丽丽把教室的门打开”属于平移现象 B.能够互相重合的两个图形成轴对称 C.“小明在荡秋千”属于旋转现象 D.“钟表的钟摆在摆动”属于平移现象 【答案】C 【分析】本题主要考查平移、轴对称和旋转的定义，掌握把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动，叫作平移；在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫作旋转是解题的关键. 根据平移、轴对称和旋转的定义解答即可. 【详解】解：A、“丽丽把教室的门打开”属于旋转现象，故A选项错误，不符合题意； B、能够互相重合的两个图形不一定成轴对称，故B选项错误，不符合题意； C、“小明在荡秋千”属于旋转现象，故C选项正确，符合题意； D、“钟表的钟摆在摆动”属于旋转现象，故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 【变式1-2】（2025秋·中山市期中）小华在电脑上查看一张图片（如图），他想把这张图片放正，应点击（　　）图标. A.（放大） B.（缩小） C.（顺时针旋转90°） D.（逆时针旋转90°） 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，掌握旋转的定义是解答本题的关键． 根据旋转的定义解答即可． 【详解】解：他想把这张图片放正，需要顺时针旋转90°，应点击C图标． 故选：C． 题型二 旋转的性质 【例2】（2022·浙江丽水·模拟预测）如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，由条件证得是等边三角形是解题的关键． 由旋转的性质可证得为等边三角形，则可求得，再利用线段的和差，则可求得答案． 【详解】解：将绕点按顺时针旋转一定角度得到， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】（2025秋·老城区期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得到△AB'C'，连接BB'，若BC=2,，则线段BB'的长为（ ） A. B.4 C. D. 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，含30°角直角三角形性质及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．由旋转的性质得AB=AB'，∠BAB'=90°，由含30°角直角三角形性质得AB=2BC=4，再由勾股定理即可求得结果． 【详解】解：由旋转的性质得AB=AB，∠BAB'=90°， ∵∠ACB=90°，∠BAC=30°， ∴AB=2BC=4， ∴AB=AB'=4， 在Rt△BAB'中，由勾股定理得：， 故选:C. 【变式2-2】 （2023·天津红桥·一模）如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为D，E．当的延长线经过点C时，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质和等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用相关性质进行推理判断． 根据旋转的性质、等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∴，故C结论正确，符合题意； 根据现有条件，无法证明，，，故A、B、D结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 题型三 中心对称图形的判断 【例3】（2024·广东江门·模拟预测）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意； C、是中心对称图形，故选项正确，符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3-1】（2025·北京西城·一模）下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意； B．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选：A． 【变式3-2】（2023·山东日照·一模）下列图案中，任意选取一个图案，既是中心对称图形也是轴对称图形的为（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：①图是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； ②图既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； ③图不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； ④图既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 综上，②④符合题意； 故选：C． 题型四 旋转对称图形 【例4】（2025·福建省·莆田市·期中考试）风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（　　）  就 A.45                   B.60                        C.90                         D.120 【答案】D 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 该图形可以平分成三部分，因而每部分被分成的角度是120°，并且旋转中心到各顶点的距离相等，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】解：根据题意可知，360°÷3=120°，故旋转120°的整数倍，就可以与原图案完全重合， 所以n的值可能是120， 故选D. 【变式4-1】（2024·河南省·焦作市）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心每次旋转________度形成的． 【答案】45 【分析】本题考查了图形的旋转，找到旋转中心和旋转次数，算出旋转角是解决本题的关键． 利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形的旋转角度． 【详解】解：本题图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转8次形成， 所以旋转角为360°÷8=45°， 故答案为：45． 【变式4-2】（2023·浙江省·金华市）下列图形绕某一点旋转一定角度都能与原图形重合,其中旋转角度最小的是（ ） A.等边三角形 B.平行四边形 C.正八边形 D.圆及其一条弦 【答案】C 【分析】本题考查了旋转对称图形的知识，求出各图形的最小旋转角度是解题关键．求出各旋转对称图形的最小旋转角度，继而可作出判断． 【详解】解：A、最小旋转角度=360° ÷ 3=120°； B、最小旋转角度=360° ÷ 2=180°； C、最小旋转角度=360° ÷ 8=45°； D、最小旋转角度=360°； 综上可得：旋转一定角度后，能与原图形完全重合，且旋转角度最小的是C． 故选：C． 题型五 旋转中的坐标变化 【例5】（2025年·内蒙古自治区·包头市月考）已知P（3，4），将P绕坐标原点顺时针旋转90°后得到P1，则P1的坐标为（　　） A.P1（-3，4） B.P1（4，3） C.P1（4，-3） D.P1（3，-4） 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点的应用，关键是正确画出图形．画出图形，连接OP，OP1，则∠POP1=90°，过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M，证△NPO≌△MOP1，推出PN=OM=3，ON=P1M=4，即可得出答案． 【详解答】解：如图：连接OP，OP1，则∠POP1=90°， ∵过P作PN⊥y轴于N，过P1作P1M⊥y轴于M， ∴∠PNO =∠P1MO = 90°， ∴∠NOP+∠NPO = 90°，∠NOP+∠MOP1 = 90°， ∴∠NPO =∠P1OM， ∵OP = OP1， ∴△NPO≌△MOP1， ∵P（3，4）， ∴PN = OM = 3，ON = P1M = 4， ∵P1在第四象限， ∴P1的坐标是（4，-3）， 故选C． 【变式5-1】（2025年·江苏省·无锡市月考）平面直角坐标系中，将点A（3，4）绕点B（1，0）旋转90°，得到点A的对应点A'的坐标为_________． 【答案】（-3，2）或（5，-2） 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转的性质分两种情况：点A绕点B顺时针和逆时针旋转画图求解即可． 【详解】解：如图， 点A（3，4）绕点B（1，0）顺时针或逆时针旋转90°， 得到点A的对应点A'的坐标为（5，-2），A″（-3，2）． 故答案为：（-3，2）或（5，-2）． 【变式5-2】（2024·广东省·期中考试）如图，将△ABC绕点C(0，-1)旋转180°得到△A′B′C，设点A′的坐标为(a，b)，则点A的坐标为（ ） A. (-a，-b) B. (−a，-b-1) C. (−a，-b+1) D. (-a，-b-2) 【答案】D 【分析】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A′关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方. 设点A的坐标是(x，y)，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可. 【详解】解：根据题意，点A、A′关于点C对称． 设点A的坐标是(x，y)， 则，， 解得x=-a，y=-b-2， ∴点A的坐标是(-a，-b-2)， 故选：D. 题型六 作图-旋转变换 【例6】（2025·广西壮族自治区·南宁市·期中考试）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． （1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1； （2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案． 【详解】解：（1）如下图，△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形， （2）如下图，△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2． 【变式6-1】（2023·安徽合肥·一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)作出关于x轴对称的； (2)将绕O点逆时针旋转，画出旋转后的． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查利用轴对称及旋转的性质作图，根据轴对称与旋转的性质，准确找到对应点位置是解决问题的关键． （1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点进而得出答案； （2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：即为所求； （2）如图所示：即为所求． 【变式6-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图所示，三个顶点坐标分别为、、请在所给的正方形网格中按要求画图和解答下列问题： (1)以A点为旋转中心，将绕点A顺时针旋转得，画出． (2)画出关于坐标原点O成中心对称的． (3)若可看作是由旋转得来，则旋转中心坐标为 ． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和中心对称： （1）分别作出点B、C绕点A顺时针旋转得到的对应点，再与点A首尾顺次连接即可； （2）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）作线段的垂直平分线，与线段垂直平分线的交点即为旋转中心，从而得出答案． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，、的线段垂直平分线交于， ∴旋转中心的坐标即为. 题型七 利用旋转设计图案 【例7】（2024年·云南省·月考）如图所示的图案是由六个全等的菱形拼成的，它也可以看作是以一个图案为“基本图案”，通过旋转得到的．以下图案中，不能作为“基本图案”的一个是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】本题考查了旋转图形的知识点，难度不大，但易错，认真观察旋转得到的图案，找到旋转中心，即可判断. 【详解】解：A.顺时针，连续旋转60度，三次即可得到； B.不能作为“基本图案”； C.旋转180度，即可得到； D.旋转60度即可. 故选B. 【变式7-1】（2024·江苏省·苏州市·月考）下面的四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案（ ）    A.4个             B.3个           C.2个           D.1个 【答案】A 【分析】本题考查了旋转和轴对称的性质．①旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心；②轴对称图形的对应线段、对应角相等． 图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；轴对称是指如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，就是轴对称，据此解答即可． 【详解】解：图形1可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形2可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形3可以旋转180°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合； 图形4可以旋转90°得到，也可以经过轴对称，沿一条直线对折，能够完全重合． 故既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用轴对称来分析整个图案的形成过程的图案有4个． 故选：A． 【变式7-2】（2025年·江苏省·月考）如图，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，则涂黑的小正方形的序号是 ． 【答案】② 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 根据中心对称图形的特点进行判断即可． 【详解】解：如图，把标有序号②的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形． 故答案为：②． 题型八 旋转的规律问题 【例8】（2025·四川省·宜宾市·期中测试）如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，且AC在直线l上，将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，得到点P1，将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，得到点P2，…，按此规律继续旋转，直到得到点P2020为止，则AP2020= ______ . 【答案】8081 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到AP的长度依次增加5，4，3，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，用2020除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，AB=5， ∴将△ABC绕点A顺时针旋转到①，可得到点P1，此时AP1=5； 将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=5+4=9； 将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=5+4+3=12； 又∵2020÷3=673…1， ∴AP2020=673×12+5=8076+5=8081． 故答案为：8081． 【变式8-1】（2025·陕西省·同步练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-3，0），点B（0，4），对△OAB连续旋转，依次得到①，②，③，④…，那么旋转26次的三角形的直角顶点的坐标为（    ）． A.（96，0）     B.（100，0）     C.（103.2，2.4）    D.（105.2，2.4） 【答案】C 【分析】本题考查点的坐标规律． 观察不难发现，每三次旋转为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转过的距离，即可得解， 【详解】解：由题意可得△OAB旋转3次和原来的相对位置一样. 点A（-3，0），B（0，4）， ∴OA=3，OB=4，∠BOA=90°， ∴， ∴旋转到第3次时的直角顶点的坐标为（12，0）． ∵26÷3=8……2， ∴旋转第24次的直角顶点的坐标为（96，0）． 旋转第25次直角顶点的坐标与第24次一样，是（96，0）， 如图，设点C是旋转第26次的直角顶点，作CD⊥EF于点D． ∵EC=3，FC=4，EF=5，∠ECF=90°， ∴， ∴CD=2.4， ∴， ∴旋转26次的三角形的直角顶点的坐标是（96+4+3.2，2.4），即（103.2，2.4）． 故选C． 【变式8-2】（2025年·重庆市·市辖区·期中测试）如图，在平面直角坐标系xOy 中，有一个等腰直角三角形△AOB，∠OAB=90°，直角边AO 在x轴上，且AO=2，将 Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰直角三角形A1OB1，将Rt△A1OB1绕原点O顺时针转90°后，再将各边长扩大一倍，得到等腰三角形 A2OB2......依此规律，得到等腰直角三角形A2024OB2024，则点B2024的坐标为________ ． 【答案】（，） 【分析】本题考查的是点的坐标，数式规律，等腰直角三角形有关知识，根据题意得出B点坐标变化规律，进而得出点B2024的坐标位置，进而得出答案即可. 【详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，OA=2， ∴AB=OA=2， ∴B（2，2）， 将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O=2AO， 再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O=2A1O…，依此规律， ∴每4次循环一周，B1（4，-4），B2（-8，-8），B3（-16，16），B4（32，32）， ∵2024÷4=506， ∴点B2024与B4同在一个象限内， ∵4=22，8=23，16=24，32=25， ∴点B2024（，）． 题型九 圆的认识 【例9】（2022·河北省·张家口市·单元测试）如图所示是一个圆规，点A是铁尖的端点，点B是铅笔芯尖的端点，已知点A与点B的距离是2cm，若铁尖的端点A固定，铅笔芯尖的端点B绕点A旋转一周，则作出的圆的直径是（ ） A.1cm B.2cm C.4cm D.πcm 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识. 根据圆的有关概念解答即可. 【详解】解：∵点A与点B的距离是2cm， ∴圆的直径是4cm， 故选C. 【变式9-1】（2025·广东省·惠州市·月考）下列说法中, 不正确的是（ ） A.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 B.圆有无数条对称轴 C.圆的每一条直径都是它的对称轴 D.圆的对称中心是它的圆心 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的认识，解题的关键是掌握圆的对称性. 利用圆的对称性质逐一求解可得. 【详解】解：A．圆既是轴对称图形又是中心对称图形，正确； B．圆有无数条对称轴，正确； C．圆的每一条直径所在直线都是它的对称轴，此选项错误； D．圆的对称中心是它的圆心，正确； 故选C. 【变式9-2】（2025·江苏省·无锡市·月考）下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识及圆的有关定义，利用圆的有关定义及性质分别进行判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①直径是弦，正确，符合题意； ②弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意； ③半径相等的两个半圆是等弧，正确，符合题意； ④能够完全重合的两条弧是等弧，故原说法错误，不符合题意； ⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆，正确，符合题意， 故正确的有3个， 故选：C． 题型十 垂径定理的概念 【例10】（18-19九年级·福建福州·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．垂直于直径的直线平分这条直径 D．弦的垂直平分线经过圆心 【答案】D 【分析】本题考查垂径定理及垂径定理的推论，掌握并理解定理的内容是解答此题的关键 根据垂径定理对选项A、C进行判断，根据垂径定理的推论对B、D选项进行判断． 【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，所以A选项错误； B．平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以B选项错误； C．垂直于直径的弦被这条直径平分，所以C选项错误； D．弦的垂直平分线经过圆心，所以D选项正确． 故选：D． 【变式10-1】（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）下列命题正确的是（    ） A．长度相等的弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 C．不在同一直线上的三点确定一个圆 D．圆内接三角形一定是等边三角形 【答案】C 【分析】此题考查了等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形等相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键． 根据等弧、垂径定理、确定圆的条件、圆内接三角形的知识进行判断即可． 【详解】解：A、长度相等的弧是等弧是错误的，等弧是完全重合的两条弧，本选项不符合题意； B、平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径，本选项不符合题意； C、不在同一直线上的三点确定一个圆，正确，本选项符合题意； D、圆内接三角形一定是等边三角形，错误，可以是任意三角形，本选项不符合题意． 故选：C 【变式10-2】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，⊙O中，CD是直径，且CD⊥AB于P，则下列结论中不一定正确的是（　　） A.AP=PB B. C.∠AOB=4∠ACD D.PO=PD 【答案】D 【分析】此题考查了垂径定理以及圆周角定理．注意掌握角与弧之间的关系是解此题的关键． 由CD是直径，且CD⊥AB于P，由垂径定理即可求得AP=BP，，继而证得∠AOB=4∠ACD． 【详解】解：∵CD是直径，且CD⊥AB于P， ∴AP=BP，， 故A，B正确； ∵， ∴∠AOD=∠BOD， ∵∠AOD=2∠ACD， ∴∠AOB=2∠AOD=4∠ACD． 故C正确； 无法判定PO=PD，故D错误． 故选：D． 题型十一 有关垂径定理的计算 【例11】（23-24九年级上·福建南平·期中）如图，在中半径与弦垂直于点D，且，则的长是 ．    【答案】2 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．连接，根据垂径定理和勾股定理求出的长，再用进行求解即可．掌握垂径定理，是解题的关键． 【详解】解：连接，    ∵在⊙O中半径与弦垂直于点D，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2． 【变式11-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）的半径长为5，弦，则的弦心距为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，根据题意先画出图，然后利用垂径定理和勾股定理的定义，即可求出答案． 【详解】解：根据题意画出图形，如图： ， ∵，是圆心，， ∴（垂径定理）， ∵在中，， ∴（勾股定理）， 故答案为：3． 【变式11-2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，为的直径，弦于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是圆的基本性质、垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理． 先求出圆的直径、半径，再根据垂径定理得到，结合勾股定理得到即可求解． 【详解】解：连接， ，， 直径， 半径， ， ，是直径， ， 中，有， ， ． 故答案为：． 题型十二 垂径定理的实际应用 【例12】（20-21九年级上·浙江绍兴·期中）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨径（）为24米，拱的半径为13米，则拱高（）为（    ） A．9米 B．8米 C．7米 D．5米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理的运用，解题的关键是垂径定理的运用，同时本题属于糅合性试题，解答起来需要重建直角三角形模型． 先构建直角三角形，再利用勾股定理和垂径定理计算． 【详解】解：因为跨度m，拱所在圆半径为13m，延长到O，使得，则O为圆心，则， 又∵， 在中， 进而得拱高米． 故选B． 【变式12-1】（25-26九年级上·广西柳州·期中）如图是排水管示意图，截面是半径为5分米的圆，管内水面分米，则水深等于（   ） A．分米 B．分米 C．2分米 D．3分米 【答案】C 【分析】本题主要考查的是垂径定理的应用，由题意知，交于点C，由垂径定理可得出的长，在中，根据勾股定理求出的长，由即可得出结论． 【详解】解：连接， 由题意知，交于点C， ∵分米， ∴（分米）， 在中，根据勾股定理得： （分米）， ∴（分米）． 故选：C． 【变式12-2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于（  ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用垂径定理和勾股定理求值，连接，连接交于点，由题意得：，米，由垂径定理可得米，由勾股定理得出米，最后由即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，连接交于点， 由题意得：，米， ∴（米， （米， （米， 故选：B． 题型十三 垂径定理的几何应用 【例13】（20-21九年级上·浙江绍兴·期中）直径为8的圆内一点M到圆心O的距离是3，则过点M的弦中，长度为整数的条数有（ ）条 A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． AB为过点M的直径，过M点作CD⊥AB，如图，连结OC，根据圆的有关性质得AB为过M的最长的弦，CD为过M点最短的弦，在Rt△OCM中根据勾股定理计算出CM=，再根据垂径定理得到CM=DM=，则CD=2，设过M的弦的长度为a，则2≤a≤8，确定整数a为6，7，8，利用圆的对称性即可解答． 【详解】解：AB为过点M的直径，过M点作CD⊥AB，如图，连结OC， 则AB为过M的最长的弦，CD为过M点最短的弦，AB=8， 在Rt△OCM中，∵OC=4，OM=3， ∴CM==， ∵OM⊥CD， ∴CM=DM=， ∴CD=2， 设过M的弦的长度为a，则2≤a≤8， ∴整数a为6，7，8， ∵弦长为6和7的弦各有两条，根据两点确定一条直线可得弦长为8的只有一条， ∴过点M的弦中，长度为整数的条数为5条． 故选：C． 【变式13-1】（2025年·湖北省·襄阳市·期中测试）O的直径为10，弦AB平行弦CD，这两弦长分别为6和8，它们之间的距离为 ． 【答案】7或1 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理，两线间的距离等知识点，关键在于熟练运用相关的性质定理，正确的画出图形，认真的计算出OM和ON的长度． 首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出两弦之间的距离． 【详解】解：设两条平行弦分别为AB，CD，连接OA、OC，作OM⊥AB， ∵AB∥CD， ∴直线OM⊥CD，设垂足为N点， ∵OM⊥CD，OM⊥AB，AB=6，CD=8， ∴AM=BM=3，CN=DN=4， ∵⊙O的直径为10， ∴OA=OC=5， ∴OM==4，ON==3． ①如图1，如果AB，CD在圆心的两侧， 则它们之间的距离为MN=OM+ON=4+3=7； ②如图2，如果AB，CD在圆心的同侧， 则它们之间的距离为MN=OM-ON=4-3=1． 故答案为：7或1． 【变式13-2】（2023年·浙江省·同步练习）如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E，若AE＝5，EB＝1，∠AEC＝30°，则CD的长为（    ） A.5 B.  C.  D. 【答案】C 【分析】 此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、勾股定理、30°角的直角三角形，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形． 因为∠AEC＝30°，可过点O作OF⊥CD于F，构成直角三角形，先求得⊙O的半径为3，进而求得OE＝3-1＝2，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，得出OF＝OE＝1，再根据勾股定理求得CF的长，然后由垂径定理求出CD的长． 【详解】解：过点O作OF⊥CD于F，连接CO， ∵AE＝5，BE＝1， ∴AB＝6， ∴⊙O的半径为3， ∴OE＝3﹣1＝2． ∵∠AEC＝30°， ∴OF＝1， ∴CF==2， ∴CD＝2CF＝4， 故选：C． 题型十四 圆心角、弧、弦的关系 【例14】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，请添上一个条件： ，使得． 【答案】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 【变式14-1】（24-25九年级上·江苏常州·期中）已知半径为3，上有两点A、B，，则弦所对劣弧的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，弧、弦、圆心角的关系，先证明是等边三角形，得到即可求解． 【详解】解：如图， ∵半径为3，上有两点A、B，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴弦所对劣弧的度数为， 故答案为：． 【变式14-2】（23-24九年级上·浙江台州·期中）如图，点，，，在在中，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，根据同圆中，等弧所对的弦相等，反之亦然，先证明，进而证明，则． 【详解】解： ， ， ， ． 题型十五 点与圆的位置关系判断 【例15】（2025年·江苏无锡·期中）已知⊙O的半径是6,点P到圆心O的距离是5,则点P与⊙O的位置关系是（  ） A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有三种，设的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有点P在圆外 ；点P在圆上 ；点P在圆内 ，熟记圆心距与半径的关系是解题的关键． 根据点与圆的位置关系判断即可. 【详解】解：∵⊙O的半径为6，点P到圆心O的距离为5，5＜6， ∴点P在⊙O内. 故选：A． 【变式15-1】 （24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知点P不在半径为8的内，如果设，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系∶点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系． 根据点在圆外的判断方法得到x的取值范围． 【详解】解∶点P不在半径为8的内， ，即． 故答案为：． 【变式15-2】（22-23九年级上·云南玉溪·期中）以坐标原点为圆心，10为半径画圆，则点与的位置关系是（    ） A．在上 B．在外 C．在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有三种，设的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有点P在圆外 ；点P在圆上 ；点P在圆内 ，熟记圆心距与半径的关系是解题的关键． 由点P的坐标计算出的长，根据可得答案． 【详解】解：， ∴， ∴点P在上， 故选：A． 题型十六 圆周角定理 【例16】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，连结，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题主要考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：由圆周角定理得：， ∵， ∴， 故选：D． 【变式16-1】（2024·安徽蚌埠·二模）如图，是的外接圆，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理．首先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角与圆心角的关系求出的度数． 【详解】解：中，，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式16-2】（2024·山东滨州·二模）如图所示，在中，是直径，弦交于点，连接，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，正确求出的度数是解题的关键． 连接，先由同弧所对的圆周角相等得到，再由直径所对的圆周角是直角得到，则． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选． 题型十七 直线与圆的位置关系判断 【例17】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）半径的为2，圆心到直线的距离为3，则直线与（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆心的距离，则直线l与的位置关系是相离． 据此即可作答．本题考查了直线与圆的位置关系． 【详解】解：∵的半径为2，圆心到直线的距离为3，且， ∴直线与相离． 故选：A． 【变式17-1】（23-24九年级上·江苏·周测）已知的直径为10，直线l与圆心O的距离为8，那么直线l与公共点个数为（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】此题考查了判断直线与圆的位置关系及交点个数，正确掌握直线与圆的三种位置关系及对应的交点个数是解题的关键． 根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断即可． 【详解】解：∵的半径为10，圆心O到直线l的距离为8， ∵，即：， ∴直线l与的位置关系是相交． ∴与直线l有2个公共点， 故选：C． 【变式17-2】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，给定一个半径为2的圆，圆心O到水平直线l的距离为d，即．我们把圆上到直线l的距离等于1的点的个数记为m．如当时，l为经过圆心O的一条直线，此时圆上有4个到直线l的距离等于1的点，即，由此可知： （1）当时， ． （2）当时，d的取值范围是 ． 【答案】（1）1；（2）. 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，解题关键是了解直线与圆的位置关系与d与r的数量关系． （1）根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案． （2）根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数，分析即可得到答案． 【详解】解：（1）当时， ∵，即， ∴直线与圆相离， 又， 则； （2）将时的直线向下平移， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，， 故答案为：1，． 题型十八 切线的性质 【例18】（2025年·浙江省·宁波市·一模）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC=35°，则∠ACB的大小为（　　） ​​​​​​ A.35° B.45° C.55° D.65° 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质以及直角三角形的性质，掌握切线的性质是解题的关键. 先根据切线的性质得到∠ABC=90°，然后利用直角三角形两锐角互余即可得出∠ACB的度数． 【详解】解：∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°． 故选：C． 【变式18-1】（2025年·上海市·月考）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC如图所示摆放，直角顶点B在零刻度线所在直线DE上，且量角器与三角板只有一个公共点P，若点P的读数为35°，则∠CBD的度数是（ ） A.55° B.45° C.35° D.25 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．根据切线的性质得到∠OPB=90°，证出OP∥BC，根据平行线的性质得到∠POB=∠CBD，于是得到结果． 【详解】解：∵AB是⊙O的切线， ∴∠OPB=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠OPB=∠ABC=90°， ∴OP∥BC， ∴∠CBD=∠POB=35°， 故选：C． 【变式18-2】（23-24年·浙江省·台州市·期中）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（ ） A.76° B.56° C.54° D.52° 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理． 先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数． 【详解】解：∵MN是⊙O的切线， ∴ON⊥NM， ∴∠ONM=90°， ∴∠ONB=90°-∠MNB=90°-52°=38°， ∵ON=OB， ∴∠B=∠ONB=38°， ∴∠NOA=2∠B=76°． 故选：A． 题型十九 切线的判定 【例19】（2024年·浙江省·同步练习）已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点 （点E ，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O 相切的是（    ） A. OP=5                  B.OE=OF C.O到直线EF的距离是4          D.OP⊥EF 【答案】D 【分析】本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案． 【详解】解：∵点P在⊙O上， ∴只需要OP⊥EF即可， 故选：D． 【变式19-1】（2024年·福建省·泉州市·期末）如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心、3cm为半径作⊙M．当OM＝____cm时，⊙M与OA相切．     【答案】6 【分析】本题考查了切线的判定，作MH⊥OA于点H，根据切线的判定方法得到当MH=3cm时，⊙M与OA相切，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得到OM=6cm. 【详解】解：如图，作MH⊥OA于点H， 当MH＝3cm时，⊙M与OA相切， ∵∠AOB＝30°， ∴OM＝2MH＝6cm， 即OM＝6cm时，⊙M与OA相切. 故答案为6. 【变式19-2】（2025年·江苏省·阶段练习）如图，△ABC内接于⊙O，过点A作直线DE ，要使得直线DE与⊙O相切，则∠BAE （    ） A.  B.               C.               D. 【答案】C 【分析】此题主要考查了切线的判定，关键是正确作出辅助线，证明∠BAE+∠BAF=90°. 首先过点O作直径AF，连接BF，根据同弧所对的圆周角相等可得∠C=∠AFB，进而可得到∠BAE=∠E，再根据直径所对的圆周角是90°.可证出∠AFB+∠BAF=90°，再利用等量代换可得∠BAE+∠BAF=90°，进而得到直线DE与⊙O相切. 【详解】解：当∠BAE=∠C 时，直线DE与⊙O相切. 理由：如图，作直径AF交⊙O于点F，连接BF， ∵∠F、∠C都是 所对的角， ∴∠C=∠F， ∵∠BAE=∠C， ∴∠BAE=∠F， ∵AF为直径， ∴∠ABF=90°， ∴在△ABF中，∠F+∠BAF=90°， ∵∠F=∠BAE， ∴∠BAE+∠BAF=90°， ∴FA⊥DE， ∴直线DE与⊙O相切. 故选C. 题型二十 切线长定理 【例20】（2025年·云南省·期中测试）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，P，C，D为切点，如果AB=7，AC=4，则BD的长为（ ） A.3 B.2 C.2.5 D.1.5 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理，由AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长． 【详解】解:∵AC、AP为⊙O的切线，∴AC=AP， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP=BD， ∴BD=PB=AB−AP=AB-AC=7−4=3. 故选A. 【变式20-1】 （2025年·江苏省无锡市·同步练习）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在上，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA=1，则△PDE的周长为（） A. B.2 C.3 D.6 【答案】B 【分析】本题主要考查了切线长定理，利用切线长相等代换计算即可. 【详解】解：∵PA、PB分别和⊙O切于A、B两点， ∴PA=PB， ∵DE是⊙O的切线， ∴DA=DC，EB=EC， ∵△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE=PD+AD+EB+PE=PA+PB=2PA=2. 【变式20-2】（2025年·新疆维吾尔自治区·单元测试）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，AB，若∠OAB=35°，则∠ABP= ． 【答案】55 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理和等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 根据切线的性质得PA=PB，OA⊥PA，则∠OAP=90°，可得∠BAP=55°，从而得到∠ABP的度数． 【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴PA=PB，OA⊥PA， ∵∠OAB=35°， ∴∠BAP=90°-∠OAB=55°， ∵PA=PB， ∴∠ABP=∠BAP=55°． 故答案为：55． 题型二十一 三角形的内切圆与内心 【例21】（2025年·江苏省·南京市·月考）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆的半径为________． 【答案】1 【分析】此题主要考查了直角三角形内切圆的性质及半径的求法．根据已知得出是解题关键．设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：，由此可求出r的长． 【详解】解：如图： 在Rt△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4； 根据勾股定理； 四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°； ∴四边形OECF是正方形； 由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF； ∴； 即：． 故答案为：1． 【变式21-1】（2025年·广东省·同步练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的长分别为c，a，b．求△ABC的内切圆半径r． 【答案】 【分析】本题考査了三角形的内接圆与内心，利用面积法求解是解题的关键. 连接OA、OB、OC，△ABC被分为三个小三角形，依据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：连接OA、OB、OC，则S△ABC＝S△OAB + S△OBC + S△OCA． ∵ ， ， ， ∴， 又 ， ∴ ， ∴ ， 即△ABC的内切圆半径r为 ． 【变式21-2】（2025年·四川省·同步练习）设边长为a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h 、r 、R ，则下列结论不正确的是（    ） A.h=R+r               B.R=2r              C.                D.    【答案】C 【分析】本题考査了等边三角形的性质、三角形的内切圆和三角形的外接园,掌握内心与外心是解题的关键. 根据等边三角形的内切圆和外接圆是同心圆，设圆心为O，根据30°角所对的直角边是斜边的一半得:R=2r;根据垂径定理和勾股定理即可得到结论， 【详解】解：如图， ​​​​​​​ ∵△ABC是等边三角形，  ∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O， 设OE=r ， AO=R，AD=h ，  ∴h=R+r ，故A正确.   ∵AD⊥BC， ∴∠DAC=∠BAC=×60°=30°， 在Rt△AOE中，R=2r ，故B正确； ∵OD=OE=r，AB=AC=BC=a， ∴AE=AC=a， ∴，， ∴，，故C错误，D正确. 故选C. 题型二十二 正多边形与圆的关系 【例22】（25-26九年级上·福建厦门·期中）若正六边形的半径是，则该正六边形的边长是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查正六边形定义，熟记正六边形边长与外接圆半径长度相同是解决问题的关键． 正六边形的外接圆半径与其边长相等，因此直接可得答案． 【详解】解：∵正六边形的外接圆半径等于其边长， ∴ 当外接圆半径为时，该正六边形的边长为， 故选：C． 【变式22-1】（2025·安徽合肥·三模）如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角等知识．根据多边形的内角和可以求得，根据周角等于，可以求得的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 【变式22-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，圆内接正六边形的一边，点在弧上，且是圆内接正八边形的一边．此时是圆内接正边形的一边，则的值是（    ）    A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接，，    ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ ． 故选：D． 题型二十三 正多边形的计算 【例23】（2025年·海南省·海口市·期末）把边长相等的正五边形和正六边形按照如图的方式叠合在一起，AB是正六边形的对角线，则∠α等于（ ） A.72° B.84° C.88°              D.90° 【答案】B 【分析】本题考査了多边形的内角与外角，熟练正五边形的内角，正六边形的内角，四边形的内角和公式是解题的关键. 根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据四边形的内角和即可得到结论. 【详解】解：如图， ∵正五边形的内角=（5-2）×180°÷5=108°，正六边形的内角=（6-2）×180°÷6=120°， ∵AB是正六边形的对角线， ∴∠1=∠2=60°， ∴∠α=360°-2×108°-60°=84°， 故选B． 【变式23-1】（2025年·黑龙江省·佳木斯市·月考）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AC= ______ ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形，熟悉正六边形的性质是解题的关键． 作BG⊥AC，垂足为G．构造等腰三角形ABC，在直角三角形ABG中，求出AG的长，再乘二即可． 【详解】解：如图，作BG⊥AC，垂足为G， ∵AB=BC， ∴AG=CG， ∵∠ABC=120°， ∴∠BAC=30°， ∴AG=AB•cos30°=， ∴AC=． 故答案为． 【变式23-2】（2025年·江苏省·徐州市·月考）正六边形的周长为6，则它的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】此题考查了正六边形的性质与等边三角形的判定与性质，难度不大，注意掌握正六边形的性质．首先根据题意画出图形，即可得△OBC是等边三角形，又由正六边形ABCDEF的周长为6，即可求得BC的长，继而求得△OBC的面积，则可求得该正六边形的面积． 【详解】解：如图，连接OB，OC，过O作OM⊥BC于M， ∴∠BOC=×360°=60°， ∵OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∵正六边形ABCDEF的周长为6， ∴BC=1， ∴OB=BC=1， ∴BM=BC=， ∴， ∴S△OBC=×BC×OM=， ∴该正六边形的面积为：． 故选C． 题型二十四 弧长的计算 【例24】（23-24九年级上·浙江·开学考试）在半径为3的圆中，90°的圆心角所对的弧长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长的计算，熟记弧长公式是解题关键，属于基础题． 根据弧长的公式进行解答． 【详解】解：根据弧长的公式， 得到： ． 故选：C． 【变式24-1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆上一段弧长为，它所对的圆心角为，则该圆的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长公式，设该圆的半径为，根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：设该圆的半径为，根据题意得： ， 解得：， 即该圆的半径为． 故选：B 【变式24-2】（2025·广东韶关·一模）制作弯管时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料．图中弯管（不计厚度）有一段圆弧，点是这段圆弧所在圆的圆心，半径，圆心角，则这段弯管中的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式的应用，解答本题的关键是明确弧长计算公式． 直接利用弧长公式求解即可． 【详解】解：∵半径，圆心角， ∴这段弯管中的长为， 故选：A． 题型二十五 扇形面积的计算 【例25】（22-23九年级上·福建莆田·期末）中国扇文化有着深厚的民族文化底蕴．如图，一扇形纸扇长为，贴画部分的宽为．该纸扇完全打开后，扇子外侧和所成的角为，则贴画一面的面积为 （结果保留）．    【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算. 根据扇形的面积公式，利用以为半径的扇形面积与以为半径的扇形面积之差进行计算． 【详解】解：， 故答案为：. 【变式25-1】（2023·云南昆明·二模）如图，已知正五边形的边长为，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多边形内角和、扇形面积的计算，掌握基本概念和性质是解题关键． 根据正五边形的内角和等于，即阴影部分的扇形圆心角和等于，由扇形面积公式即可解题． 【详解】解：由题意得，， 阴影部分的面积为． 故答案为：． 【变式25-2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在扇形中，，正方形的顶点是弧的中点，点在上，点在的延长线上，若正方形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了正方形的性质和扇形面积的计算，解题的关键是得到扇形半径的长度． 连接，根据勾股定理可求的长，根据题意可得出阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积，依此列式计算即可求解． 【详解】解：连接， 在扇形中，正方形的顶点是的中点， ， ， 阴影部分的面积扇形的面积三角形的面积 ． 故选：． 题型二十六 圆锥的计算 【例26】（2025年·湖北省·黄冈市·月考）已知圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积是（ ） A.10π    B.14π    C.20π    D.28π 【答案】A 【分析】本题考査了圆锥的计算、关键掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的面积公式求解. 【详解】解：圆锥的底面半径为2，母线长为5， 圆锥的侧面积=． 故选：A． 【变式26-1】（2025年·河南省·月考）在数学跨学科主题活动课上，芳芳用半径15 cm，圆心角120°的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示．在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆半径是（ ） A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长. 根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据弧长公式得到，然后解方程即可. 【详解】解：设所围成的圆锥底面半径为r， 根据题意得， 解得r=5cm. 故选C. 【变式26-2】（23-24·黑龙江省·绥化市·期中测试）已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则圆锥侧面展开图的圆心角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆锥的有关计算．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×1=2π， 设圆心角的度数是n度， 则， 解得：n=120． 故选C. 题型二十七 圆的综合应用 【例27】（2025年·江苏省·无锡市·月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，E是⊙O上的动点(不与点C重合)，F为CE的中点，若AD＝2，CD＝4，则DF的最大值为(　　) A.2　　   B.  2　　   C.  5　　   D.  10 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点O，D，C，F四点共圆是解本题的关键． 先判断出点O，D，C，F四点共圆，判断出DF的最大值为OC，再求出OC即可求出答案． 【详解】解：如图，连接OC，OF， ∵点F是CE的中点， ∴OF⊥CE， ∴∠OFC=90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ODC=90°， ∴∠ODC+∠OFC=180°， ∴点O，D，C，F在以OC为直径的圆上， ∴DF最大值=OC， 在Rt△ODC中，OD=OC-AD=OC-2，CD=4， 根据勾股定理得，OD2+CD2=OC2， ∴（OC-2）2+42=OC2， ∴OC=5， ∴DF的最大值为5， 故选C． 【变式27-1】（2024年•广东省月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，，点D是AC边上一动点，连接BD，以AD为直径的圆交BD于点E，则线段CE长度的最小值为（    ） A. B.1 C. D. 【答案】D 【分析】本题是圆的综合题，主要考查圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题． 连结AE，先根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC=2，再根据圆周角定理，由AD为直径得到∠AED=90°，接着由∠AEB=90°得到点E在以AB为直径的圆上，设为⊙O，于是当点O、E、C共线时，CE最小，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=，从而得到CE的最小值为． 【详解】解：连结AE，如图1， ∵∠BAC=90∘，AB=AC，BC=， ∴AB=AC=2， ∵AD为直径， ∴∠AED=90∘， ∴∠AEB=90∘， ∴点E在以AB为直径的圆上，设为⊙O， ∵⊙O的半径为1， 连接OE，OC， ∴OE=AB=1， 在Rt△AOC中，∵OA=1，AC=2， ∴OC=，由于OC=，OE=1是定值， 点E在线段OC上时，CE最小，如图2， ∴CE=OC−OE=，即线段CE长度的最小值为. 故选D. 【变式27-2】（2024春•青云谱区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF． （1）求证：∠E＝∠C； （2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数； （3）设DE交AB于点G，若DF＝4，，E是的中点，求EG·ED的值． 【答案】（1）见解析；（2）∠BDF=110°；（3）EG•ED=AE2=18． 【分析】本题主要考查了圆的综合，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质等知识，属于较难题． （1）先得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C； （2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°-∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案； （3）根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED的值． 【详解】解：（1）证明：连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即AD⊥BC， ∵CD=BD， ∴AD垂直平分BC， ∴AB=AC， ∴∠B=∠C， 又∵∠B=∠E， ∴∠E=∠C； （2）∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形， ∴∠AFD=180°-∠E， 又∵∠CFD=180°-∠AFD， ∴∠CFD=∠E=55°， 又∵∠E=∠C=55°， ∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°； （3）连接OE，AD， ∵∠CFD=∠AED=∠C， ∴FD=CD=BD=4， 在Rt△ABD中，cosB=，BD=4， ∴AB=6， ∵E是的中点，AB是⊙O的直径， ∴∠AOE=90°， ∵AO=OE=3， ∴AE=3， ∵E是的中点， ∴∠ADE=∠EAB，∠DEA=∠AEG， ∴△AEG∽△DEA， ∴， 即EG•ED=AE2=18． 基础巩固通关测 1.（2025年·黑龙江省·模拟题）志愿服务，传递爱心，传递文明，下列志愿服务标志为中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.是中心对称图形，故此选项符合题意； C.不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D.不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选B． 2.（2025年·西藏自治区·期中考试）平面直角坐标系内与点关于原点对称的点的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 【详解】解：点关于中心对称的点的坐标为． 故选：． 3.下列语句中，不正确的有(    ) 相等的圆心角所对的弧相等平分弦的直径垂直于弦圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴长度相等的两条弧是等弧三点确定一个圆． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A  【分析】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，圆心角、弧、线的关系等知识. ①和④、没有前提；②、注意不是直径的弦；③、注意对称轴是直线；⑤注意三个点应该不共线. 【详解】解：①和④、错误，应强调在同圆或等圆中；②、错误，应强调不是直径的弦；③、错误，应强调过直径所在的直线才是它的对称轴；⑤错误，应该是不在同一条直线上的三个点，确定一个圆. 故选:A. 4.（2025年·浙江省·期中考试）如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上不与点，点重合，与交于点设，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【分析】本题主要考查了圆的基本性质，直角三角形的性质，关键是用表示根据直角三角形两锐角互余性质，用表示，进而由圆心角与圆周角关系，用表示，最后由角的和差关系得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：． 5.（2025年·安徽省·模拟题）如图，是的直径，，是的弦，过点作交于点，连接，若，则劣弧的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【分析】本题考查了圆周角定理、平行线的性质和弧长公式，熟练掌握圆周角定理及弧长公式是解题关键． 先根据圆周角定理求出的度数，得出和的度数，由角的和差可得的度数，最后由弧长公式可得结论． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 劣弧的长； 故选：． 6.（2024年·安徽省·模拟题）如图是半径为的的内接正六边形，则圆心到边的距离是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【分析】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，角所对直角边等于斜边的一半，以及垂径定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 过点作于点，根据正六边形的性质得到，，从而得出，最后利用勾股定理算出，即可解题． 【详解】解：如图，作于点． 正六边形外接半径为的， ，， ， ， ， 圆心到边的距离为， 故选：． 7.（2025年·安徽省·单元测试）如图，内切于，切点分别为，且，则           ． 【答案】  【分析】本题考查了勾股定理逆定理，正方形的判定和性质，切线长定理，解题的关键是正确作出辅助线，熟练掌握相关性质定理．根据勾股定理逆定理得出，连接，推出四边形是正方形．设，根据切线长定理得出，进而求出，则，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：， ，  ． 连接， 内切于， ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． 设， 则， ， ， 解得：， ， 根据勾股定理可得：， 故答案为：． 8.（2025年·江苏省·月考）如图，从一个直径为的圆形铁片中剪出一个圆心角为的扇形，再将剪下的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为          ． 【答案】  【分析】本题主要考查了求圆锥底面圆半径，的圆周角所对的弦是直径．连接，如图，根据圆周角定理得为的直径，即 ，所以，设该圆锥的底面圆的半径为，根据弧长公式得到方程即可求得． 【详解】解：连接，如图． ， 为的直径，即， ， 设该圆锥的底面圆的半径为， ， 解得， 即该圆锥的底面圆的半径为． 故答案为：． 9.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点依此类推，则点的坐标为          ． 【答案】  【分析】本题考查了平面直角坐标系内点的对称规律问题，本题需要先去验算前面一部分点的坐标，进而找到其循环的规律后即可求解． 先求出N至N6点的坐标，找出其循环的规律为每6个点循环一次即可求解. 【详解】解：由题意作出如下图形． 点坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为， 点关于点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点， 每个点循环一次． ， 的坐标与点的坐标相同，其坐标为． 10.在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别是、、绕原点逆时针旋转，得到，向右平移个单位，再向上平移个单位得到． 画出和； 是的边上一点，经旋转平移后得到的对应点为，请直接出的坐标． 【答案】（1）见解析；（2）点的坐标为．  【分析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、得到，然后利用点平移的坐标变换规律写出、、，再描点得到； 先利用旋转的性质表示的坐标，然后利用平移表示的坐标． 【详解】解：如图，和为所作； 点的坐标为．  11.如图是一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度，桥拱到水面的最大高度为． 求桥拱所在圆的半径． 现有一艘宽，顶部截面为长方形且高出水面的轮船要经过这座拱桥，这艘轮船能顺利通过吗请说明理由． 【答案】（1）50m；（2）能顺利通过，理由见解析 【分析】此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法,注意数形结合思想与方程思想的应用. (1)根据垂径定理和勾股定理求解； ( 2）连接EM，设米，可求得此时DE的长，即可求得DF的长，比较9米，即可得到此时货船能顺利通过这座拱桥. 【详解】解：如图，设点是桥拱所在圆的圆心，过点作于点，延长交于点，连接，则． 由垂径定理知． 设半径是， 由勾股定理得， 即． 解得． 桥拱所在圆的半径为． 这艘轮船能顺利通过 理由：如图，假设，且，连接，设与的交点为，则， ， ． ， ． ， 这艘轮船能顺利通过． 12.（2025年·广西壮族自治区·同步练习）某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔，，通告所有船只不要进入以为弦的弓形区域阴影部分内含边界以免触礁，如图所示现有一艘货轮正向暗礁区域靠近，当多大时，才能避开暗礁 【答案】，就能避开暗礁，理由见解析 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 根据点P的位置分三种情况，结合圆周角定理求解即可. 【详解】解：当在圆弧上时，正好处于危险区域边缘，此时 当处于危险区域内时，有 当处于危险区域外时，有． 13.（2025年·浙江省·期中考试）如图，四边形内接于， 为直径，平分， 若，，求的长； 求证： ． 【答案】(1)；（2）见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和旋转的性质． 先利用圆周角定理得，则根据勾股定理可计算出，再证明为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质得到的长； 把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质得到，，，再证明点在的延长线上，于是可判断为等腰直角三角形，所以，从而得到结论． 【详解】解：(1)为直径， ． 在中，， 平分， ， ， 为等腰直角三角形， ． 证明：把绕点逆时针旋转得到，如图． 则，，，． ， ， 点在的延长线上， 为等腰直角三角形， ， 而， ．  14.如图，在中．，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且． 求证：是的切线； 若，，求点到的距离． 【答案】（1）见解析；（2）点到的距离为．  【分析】本题考查的是切线定理的判定，圆周角定理，涉及到解直角三角形、三角形面积计算等． 由为等腰三角形，则，即，即可求解； 在中，，由勾股定理得，利用，即可求解． 【详解】解：连接，则，设， ， 为等腰三角形， ， ， ，即， 是直径 是的切线； 为等腰三角形， ， ，则， 在中，， 由勾股定理得， 设：点到的距离为， 则， 即：， 解得：， 故点到的距离为．  能力提升进阶练 15.（2024年·新疆维吾尔自治区·月考）如图，是的直径，，是的弦，为的中点，与交于点，过点作，交的延长线于点，且平分． 求证：是的切线； 求证：； 若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线、圆周角定理、解直角三角形及勾股定理等知识，解题的关键是熟练应用圆的性质，转化相关角及线段． 连接，由平分，，可得，，从而可证是的切线； 连接，由是的直径，得，又，，可得，结合，即可得； 求出，，即可得，由为的中点，可得，，中，求出，再用勾股定理即得答案，． 【详解】解：证明：连接，如图： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； 证明：连接，如图： 是的直径， ，即， ， ， ， ， ， ， ，即； 中，，， ， ， 由知， 中，，， ， ， ， 为的中点， ，， 中，，， ， ， ．  16.四边形内接于，． 如图，若，求的度数； 如图连接交于点． 求证：； 若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质有关知识 根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得出，最后再利用圆内接四边形的性质解答 先证明∽得出，即可证明； 过点作于点，过点作于点，先证明，得出，再证明∽得出，最后解答即可． 【详解】解：，， ． 四边形是的内接四边形， ． 证明：，， ∽， ， ， ， ， ． 过点作于点，过点作，交的延长线于点． ， ，， ． ， ， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ∽， ， ，   17.（2025年·广东省·期末考试）如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分并交边于点，经过点，，的圆的圆心恰好在轴上，与轴相交于另一点． 求证：是的切线； 若点，的坐标分别为，，求的半径； 试探究线段，，三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）的半径为；（3），证明见解析 【分析】本题考查的是切线的判定、平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及圆周角定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． 连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； 连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可； 作，垂足为，通过证明≌，，得到，再连接，，根据圆周角定理得到，同理证得≌，得出，从而得到． 【详解】解：证明：如图，连接． 平分， ． ， ． ， ， ． ． 是的切线． 连接． ，，，． 设的半径为，则． 在中，由勾股定理得． ． 解得． 即的半径为． 线段、、三者满足． 证明：如图，过点作，垂足为． ， ． 又平分，， ． 在与中， ． ． ． 连接、． ， ． ． 同理，． ． ，即．   18.（2023年·广东省·专项考试）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．如图在四边形中，，，． 求的度数； 判断四边形是否“勾股四边形”，并说明理由． 若，直接写出对角线长度的最大值． 【答案】（1）；（2）四边形是“勾股四边形”，理由见解析；（3）的最大值为．  【分析】本题是四边形综合题，考查了四边形内角和定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及逆定理、全等三角形的判定与性质、圆周角定理等知识；解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 在四边形中，由四边形内角和定理即可得出结果； 连接以为边向下作等边三角形，有等边三角形的性质得出，，证出，证明≌，得出，，证出，再由勾股定理即可得出结论； 连接，证出是等边三角形，推出当时的值最大，连接交于点，连接，解直角三角形求出，，，可得结论． 【详解】解：在四边形中， ，，， ， 故答案为：； 结论：四边形是“勾股四边形”． 如图所示，、、三者之间的等量关系为：． 理由如下，连接，以为边向下作等边三角形， 则，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ，， ， 四边形是“勾股四边形”； 如图所示，连接， ，， 是等边三角形， ， 点的运动轨迹是优弧上的点， ， 当时的值最大， 连接交于点，连接， ，， ，， 点在上， ， ， ， ， ，， 易得， ， 的最大值为．  19.如图，是的直径，弦， 求证：是等边三角形． 若点是的中点，连接，过点作，垂足为，若，求线段的长； 若的半径为，点是弦的中点，点是直线上的任意一点，将点绕点逆时针旋转得点，求线段的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）最小值为 【分析】本题属于圆的综合，考查了垂径定理等圆的有关性质，还考查了勾股定理等，解题的关键是能够判断的轨迹是直线，然后根垂线段最短求解． 利用垂径定理的推论证明垂直平分，得到，再证明即可推出是等边三角形； 连接，，先证明，再求出半径的长，在中通过勾股定理即可求出的长； 先判断点的轨迹是直线，过点作于点，则的值最小，连接，再求出的长度，在中，求出的值即可． 【详解】解：证明：如图， 设与交点为， 是的直径，， ，，， ，， ， 是等边三角形； 如图，连接，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 在中，，， 设，， 则， 解得：， ， 在中， ； 如图，随着点的运动，点的轨迹为直线，过点作于点，则的值最小， 连接， 为中点， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 在中，， ．  20.（2023年·浙江省·月考）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角． 如图，是中的遥望角，若，请用含的代数式表示． 如图，四边形内接于，，四边形的外角平分线交于点，连结并延长交的延长线于点求证：是中的遥望角． 如图，在的条件下，连结，，若是的直径． 求的度数； 若，，求的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由角平分线的定义可得出结论； 由圆内接四边形的性质得出，得出，证得，证出，则是的外角平分线，可得出结论； 连接，由条件得出，则，得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，则，得出，则可求出答案； 过点作于点，过点作于点，证得∽，得出，求出，设，，则有，解得，求出，的长，求出，由等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式可得出答案． 【详解】解：平分，平分， ， 如图，延长到点， 四边形内接于， ， 又， ， 平分， ， ， ， 是的平分线， ， ， ，， ， ， 是的外角平分线， 是中的遥望角． 如图，连接， 是中的遥望角， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ≌， ， ， 是的直径， ， ， ； 如图，过点作于点，过点作于点， 是的直径， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 在中，， 在中，， ， 在中，， 设，，则有， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．  21.（2025年·北京市·单元测试）对于平面中给定的一个图形及一点，若图形上存在两个点、，使得是边长为  的等边三角形，则称点是该图形的一个“美好点”． 若将轴记作直线，下列函数的图象上存在直线的“美好点”的是____只填选项 A.正比例函数 B.反比例函数 C.二次函数 在平面直角坐标系中，若点，，其中，的半径为． 若，上恰好存在个直线的“美好点”，求的取值范围； 若，线段上存在的“美好点”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）A、B；（2）①；② 【分析】由已知可知点纵坐标为，分别判断每一个函数中当时，是否存在对应的值即可 过点与平行的直线为，与圆相切时，求出的最大值过点与平行的直线为，与圆相切时，，此时再由最小值，结合图形可知，则可求 结合图象，当与点所在圆相切时，，当时，，这两种情况时线段上存在的“美好点”，可求． 【详解】解：轴是图形，是边长为的等边三角形， 点纵坐标为， 上存在点或是轴的“美好点”， 上存在点或是轴的“美好点” 中的最小值是， 上不存在轴的“美好点”， 故选A、 ，，， 设直线的解析式为， 则有， 解得 ， 如图，，其中， ， 与是边长为的等边三角形， ， 轴， 设过点与平行的直线为，过点与平行的直线为， 当直线与相切时，， ， 此时上恰好存在个直线的“美好点”， 如图当直线与相切时，， ， 此时当直线经过原点，则， 此时上恰好存在个直线的“美好点”， 时，上恰好存在个直线的“美好点” 如图， ，， ， 设，，在圆上，与是上的点， 则与是边长为的等边三角形， 当与点所在圆相切时，， ， 此时线段上存在的“美好点”， 如图当时，， ，， ， 此时线段上存在的“美好点”， ，线段上存在的“美好点”．  1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $