14.3轴对称（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学七年级上册

本讲义聚焦初中数学“轴对称”核心知识点，系统梳理轴对称图形的定义与特征、两个图形成轴对称的概念与性质，明确对称点连线与对称轴关系及对应线段角关系，通过区别联系构建知识网络，含思维导图辅助梳理脉络。 资料特色在于结合体育图标、剪纸等生活实例培养数学眼光，设计折叠问题、最短路径题发展数学思维，通过画图与水泵站选址等应用提升数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，适合基础提升。

14.3轴对称 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、轴对称图形 1. 定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2. 特征： · 对称轴是一条直线。 · 轴对称图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的对应部分能够完全重合。 · 一个轴对称图形可能有一条对称轴，也可能有多条甚至无数条对称轴。例如，圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴。 二、两个图形成轴对称 1. 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或成轴对称），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 2. 特征： · 对称轴是一条直线。 · 成轴对称的两个图形沿对称轴折叠后能够完全重合。 · 两个图形关于某条直线对称，它们是全等形。 三、轴对称的性质 1. 对称点连线与对称轴的关系：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（即对称点的连线被对称轴垂直平分） 2. 对应线段与对应角的关系： · 成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等。 · 对应线段如果相交，那么交点一定在对称轴上。 四、轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 1. 区别： · 轴对称图形是对一个图形而言，是一个图形自身的对称性质。 · 两个图形成轴对称是对两个图形而言，是两个图形之间的对称关系。 2. 联系： · 两者都具有沿某条直线折叠后能够互相重合的特征。 · 把成轴对称的两个图形看作一个整体时，它就成为一个轴对称图形；反过来，一个轴对称图形也可以看作是由两个成轴对称的图形组成的。 五、简单的轴对称图形及其对称轴 1. 线段：是轴对称图形，它有两条对称轴，一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。 2. 角：是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。 3. 等腰三角形：是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在的直线，或底边上的高所在的直线，这三条线重合）。 4. 长方形：是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点连线所在的直线）。 5. 正方形：是轴对称图形，有四条对称轴（两条对边中点连线所在的直线和两条对角线所在的直线）。 6. 圆：是轴对称图形，有无数条对称轴（经过圆心的每一条直线）。 型 习 练 题 轴对称图形的识别 1．用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．邹城博物馆馆藏峄山刻石（元朝幕刻版）上的碑文字体是秦朝创制的统一汉字书写形式一一小篆，下面的小篆体字是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．剪纸是中国古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，轴对称图形的个数是（ ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 5．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 成轴对称的两个图形的识别 6．《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 7．观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A． B． C． D． 8．如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 9．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　） A．   B．   C．   D．   10．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 根据轴对称图形的特征进行求解 11．如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 12．如图，是轴对称图形，是其对称轴，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 13．如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 14．如图，与交于点O，与关于直线对称，点A，B的对应点分别是点C，D，下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 15．如图，六边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 折叠问题 16．如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17．点是数轴上一点，若将数轴沿点对折后，表示12的点与表示的点恰好重合，那么点表示的数为（    ） A．－2 B．0 C．1.5 D．2 18．如图，将折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 19．如图，将书页斜折过去，使顶点落在处，为折痕，为的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 20．如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为15，则的周长为（    ） A．15 B．18 C．20 D．21 画轴对称图形 21．如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称，点D与点A对应，画出直线和； (2)在直线上找一点，使的值最小．（在图形中标出点，保留作图痕迹） 22．如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 23．如图，网格中每个小正方格边长都为1，点、、在小正方形的格点上． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)的面积为_____； (3)利用网格纸，在直线上找一点，使得的距离最短．（保留痕迹） 24．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上找出点P，使最短． 25．如图，以直线l为对称轴在网格中画出图形的另一半． 学科网（北京）股份有限公司 $ 14.3轴对称 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、轴对称图形 1. 定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。 2. 特征： · 对称轴是一条直线。 · 轴对称图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的对应部分能够完全重合。 · 一个轴对称图形可能有一条对称轴，也可能有多条甚至无数条对称轴。例如，圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴。 二、两个图形成轴对称 1. 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或成轴对称），这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 2. 特征： · 对称轴是一条直线。 · 成轴对称的两个图形沿对称轴折叠后能够完全重合。 · 两个图形关于某条直线对称，它们是全等形。 三、轴对称的性质 1. 对称点连线与对称轴的关系：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（即对称点的连线被对称轴垂直平分） 2. 对应线段与对应角的关系： · 成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等。 · 对应线段如果相交，那么交点一定在对称轴上。 四、轴对称图形与两个图形成轴对称的区别与联系 1. 区别： · 轴对称图形是对一个图形而言，是一个图形自身的对称性质。 · 两个图形成轴对称是对两个图形而言，是两个图形之间的对称关系。 2. 联系： · 两者都具有沿某条直线折叠后能够互相重合的特征。 · 把成轴对称的两个图形看作一个整体时，它就成为一个轴对称图形；反过来，一个轴对称图形也可以看作是由两个成轴对称的图形组成的。 五、简单的轴对称图形及其对称轴 1. 线段：是轴对称图形，它有两条对称轴，一条是线段所在的直线，另一条是这条线段的垂直平分线。 2. 角：是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线。 3. 等腰三角形：是轴对称图形，它的对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在的直线，或底边上的高所在的直线，这三条线重合）。 4. 长方形：是轴对称图形，有两条对称轴（对边中点连线所在的直线）。 5. 正方形：是轴对称图形，有四条对称轴（两条对边中点连线所在的直线和两条对角线所在的直线）。 6. 圆：是轴对称图形，有无数条对称轴（经过圆心的每一条直线）。 型 习 练 题 轴对称图形的识别 1．用数学的眼光观察下列关于体育的图标，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形．根据轴对称图形的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．邹城博物馆馆藏峄山刻石（元朝幕刻版）上的碑文字体是秦朝创制的统一汉字书写形式一一小篆，下面的小篆体字是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形是识别，掌握其概念，数形结合，找到对称轴是关键． 轴对称图形是在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图图形，符合题意； C、没有对称轴，不是轴对称图图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图图形，不符合题意； 故选：B ． 3．剪纸是中国古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，轴对称图形的个数是（ ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，解题的关键在于掌握轴对称的定义，易错点在于将轴对称图形和中心对称图形混淆；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：左起第一、第二和第四这三个图形是轴对称图形，第三个不是轴对称图形． 故选：C． 4．下列图案是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可． 【详解】解：A、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意； C、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：B． 5．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，根据轴对称图形的定义判断即可，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项符合题意； B、是轴对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，故选项不符合题意； D、是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 成轴对称的两个图形的识别 6．《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 7．观察下列4组图形，其中，关于直线l成轴对称的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 、关于直线l成轴对称，符合题意； 、不关于直线l成轴对称，不符合题意； 故选：C． 8．如图，成轴对称的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折后能够完全重合，这样的图形称为轴对称图形，根据此定义判断即可． 【详解】解：图②、③成轴对称． 故选B． 9．下列图案中的两个图形成轴对称的一项是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称；显然只有B选项的其中一个图形可以沿一条直线折叠后与另一个图形重合．本题考查了成轴对称的两个图形的识别，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； B、两个图形成轴对称，故该选项符合题意； C、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； D、两个图不形成轴对称，故该选项不符合题意； 故选：B． 10．视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的判断，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：A，B，D选项中，两个字母“E”关于某条直线成轴对称，而C选项中，两个字母“E”不能沿着直线翻折互相重合． 故选：C． 根据轴对称图形的特征进行求解 11．如图，直线，交于点O，点P关于，的对称点分别为点，．若，，则的周长是（    ）． A．40 B．30 C．28 D．16 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键．根据轴对称的性质，得到，再根据三角形的周长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，， ∴的周长； 故选B． 12．如图，是轴对称图形，是其对称轴，如果，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形．根据轴对称图形对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵是轴对称图形，是其对称轴， ∴和是对应角， ∴， 故选：A． 13．如图，直线是一条河，，是两个新农村，欲在上某处修建一个水泵站向，两地供水，现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称与最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接，此时点P的位置即为所求，据此可得答案． 【详解】解：作点M关于直线l的对称点，连接交直线l与点P，连接， 由轴对称的性质可得， 则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，即此时有最小值， 故选：D． 14．如图，与交于点O，与关于直线对称，点A，B的对应点分别是点C，D，下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质即可得到答案． 【详解】解：∵与交于点O，与关于直线对称， ∴，故选项B正确，符合题意； 根据现有条件无法证明，，， 故选：B． 15．如图，六边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出对称轴直线，根据轴对称的性质，结合解答即可． 本题考查了轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：作出对称轴直线， 根据题意，得， ， ， ， 故选：B． 折叠问题 16．如图，把一张长方形纸片的一角沿折叠，使的点D的对应点F落在内部．若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角的计算、折叠性质、数形结合思想等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．由折叠的性质得到，由长方形的性质得到，设，则，列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：折叠， ， 是长方形， ， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得：， ． 故选：C． 17．点是数轴上一点，若将数轴沿点对折后，表示12的点与表示的点恰好重合，那么点表示的数为（    ） A．－2 B．0 C．1.5 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上的点、折叠的性质等知识点，掌握折叠的性质是解题的关键． 数轴对折后两点重合，则点A为这两点的中点，据此求解即可． 【详解】解：∵点A对折后使12与重合， ∴点A是12与的中点． ∴点A表示的数为． 故选D． 18．如图，将折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据折叠的性质，得到，即可解答． 【详解】解：由折叠，得． 故选：B． 19．如图，将书页斜折过去，使顶点落在处，为折痕，为的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的折叠性质以及角平分线的定义，解题关键是根据折叠性质得出角的等量关系．根据折叠性质得出角的等量关系，再结合角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】解：由翻折可知，， 为的平分线， ． 故选：B． 20．如图，将沿直线折叠后，使得点与点重合，若，的长为15，则的周长为（    ） A．15 B．18 C．20 D．21 【答案】D 【分析】本题考查的是折叠的性质，熟知折叠前后对应线段相等是解题的关键．由折叠的性质可得，再根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵将沿直线折叠，使得点与点重合， ∴， ∵，的长为15， ∴的周长. 故选：D． 画轴对称图形 21．如图，在长度为1个单位的小正方形组成的网格中，点A，B，C在正方形的顶点上． (1)在图中画出与关于直线成轴对称，点D与点A对应，画出直线和； (2)在直线上找一点，使的值最小．（在图形中标出点，保留作图痕迹） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查轴对称变换的性质、正方形的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，这条垂直平分线即为直线，分别作点、关于直线的对称点，连接、、得到即可； （2）连接与直线的交点即为所求的点，根据轴对称的性质得到当、、三点共线时，的值最小， 即证得的值最小． 【详解】（1）解：先连接，作的垂直平分线，观察发现是组成的正方形的对角线，则作出该正方形的另一条对角线并延长对角线，这条对角线即为直线， 分别作点、关于直线的对称点，连接、、，得到，如下图所示： （2）解：根据轴对称的性质，连接，与直线的交点为所求的点， 因为点与点关于直线对称， 所以， 那么, 当、、三点共线时，的值最小， 即的值最小． 22．如图，在的方格图中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．已知的三个顶点在格点上． (1)画出，使它与关于直线对称； (2)在直线上找一点，使得的和最小；（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，根据成轴对称图形的特征进行求解，画轴对称图形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用轴对称的性质分别作出的对应点即可； （2）连结交m于点D，点D即可为所求作． 【详解】（1）解：如图，作，使它与关于直线对称； （2）连结交m于点D，连结， 因为与关于直线m对称， 所以， 所以， 依据两点之间线段最短，可知点D为所作求的点． 23．如图，网格中每个小正方格边长都为1，点、、在小正方形的格点上． (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)的面积为_____； (3)利用网格纸，在直线上找一点，使得的距离最短．（保留痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)4.5 (3)见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）根据轴对称图形的性质可进行作图； （2）根据割补法可进行求解； （3）根据轴对称的性质及两点之间线段最短可进行求解． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：的面积为； 故答案为：4.5； （3）解：如图，连接，与直线l交于一点P，此时点即为所求． 24．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：    (1)画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的； (2)在上找出点P，使最短． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称与最短路径问题，熟知轴对称的相关知识是解题的关键． （1）分别作出，，关于直线的对称点，，，连接，，，则即为所求； （2）连接交直线于点，由轴对称的性质可得，由两点之间线段最短可知此时最短． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）解：如图所示，点P即为所求；    25．如图，以直线l为对称轴在网格中画出图形的另一半． 【答案】见解析 【分析】本题考查画轴对称图形，根据轴对称的性质，先描出关键点的对应点，再顺次连接即可得到所求图形． 【详解】解：如图所示． 学科网（北京）股份有限公司 $