精品解析：河南省濮阳市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

2025—2026学年（上）高二年级期中检测 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线在y轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令直线方程中的求得的值即是直线在y轴上的截距. 【详解】由，令得. 即直线在y轴上的截距为. 故选：A. 2. 双曲线C：的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据渐近线方程公式计算即可. 【详解】由，可得，解得， 所以双曲线C：的渐近线方程为. 故选：C. 3. 在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由空间向量的加减和数乘运算直接求解即可. 【详解】因为点E，F分别为棱，的中点， 所以 . 故选：A. 4. 已知Q为直线l：上的动点，点P满足，记点P的轨迹为E，则（ ） A. E是一个半径为的圆 B. E是一条与l垂直的直线 C. E是两条与l平行的直线 D. E上的点到l的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】设，由可得点坐标，由在直线l上，将点坐标代入，得P轨迹，结合选项即可得出正确答案. 【详解】设，由，则，由在直线l上， 故，化简得，即点P的轨迹E为直线且与直线l平行， 所以E上的点到直线l的距离，故A、B、C错误，D正确. 故选：D. 5. 如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本运算，用表示出来，平方即得答案. 【详解】， 平方得：， 因为，，所以， 所以， 故. 故选：C 6. 已知圆和直线，P是l上的动点，过点P向圆C作两条切线，设两切线的夹角为θ，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，可得，取，利用和切线长定理求得，通过换元，可得，根据图形和题设条件可得，结合二次函数的性质即得的最大值. 【详解】 如图，过点的圆C的两条切线为，切点分别为，则， 由题意，圆心，半径， 在中，，则， 不妨记，则， 设，则，因点P是l上的动点，当时，最短， 此时，即为点到直线的距离，故，即得， 因函数在上单调递增，故， 综上，当且仅当，即时，取得最大值为. 故选：C. 7. 已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面几何知识可求得点F到准线的距离，进而可求得. 【详解】作出示意图如图所示： 因为直线BF的倾斜角为，所以， 过作垂直准线于，所以，因为，所以， 所以，所以，所以，所以. 故选：B. 8. 已知A，B是椭圆上的两个动点，且直线与圆相切，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】按照直线不存在斜率和存在斜率两种情况讨论求解. 直线斜率不存在时可求出弦长；当直线存在斜率时，设直线的方程为，利用直线和圆相切和点到直线的距离，解得；直线和椭圆联立方程组，消去，利用韦达定理，弦长公式求出，利用二次函数图像法求解. 【详解】当直线不存在斜率时，直线AB与圆相切，则直线的方程为， 将代入椭圆方程，解得，此时； 当直线存在斜率时，设直线的方程为， 直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径， ，， 直线和椭圆联立方程组，消去， 得到关于的一元二次方程为， 设，则有， ， 设，则，且， 设， 对称轴为，开口向下，在的范围是单调递增函数， 当时，，故， 综上可知，. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程C：，则下列结论正确的是（ ） A. 若则方程C表示椭圆 B. 若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C. 存在m，使方程C表示直线 D. 存在m，使方程C表示抛物线 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线、椭圆、双曲线和抛物线的方程特征和要求列出关于的不等式，求解后逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，若方程C表示椭圆，则由可得， 需使，解得且，故A错误； 对于B，当时，由可得， 则，，故方程表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确； 对于CD，由上分析，对于方程， 当时，表示焦点在y轴上的双曲线，当时表示椭圆， 当时，表示一个圆，当时，表示轴，当时，表示y轴， 当时，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确，D错误. 故选：BC. 10. 已知是圆C：上的动点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，利用点到直线的距离可得，求解即可判断AB；设，利用点到直线的距离可得，求解即可判断CD. 【详解】由圆C：，可得圆心，半径， 设，则，因为在圆上，所以直线与圆C有公共点， 所以，所以， 整理得，解得， 所以的最大值为，最小值为，故A正确，B错误； 设，则，因为在圆上，所以直线与圆C有公共点， 所以，所以，解得， 所以的最大值为，最小值为，故CD正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线C：（）的焦点为，过点F的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 原点O在l上的射影在圆上 D. 若，则AB中点的横坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线焦点坐标直接求参数可判定A；设直线l的方程，与抛物线联立结合韦达定理计算可判定B、D；求得原点O在l上的射影所在圆的方程判断C. 【详解】对于A项，由抛物线方程可知其焦点坐标，即，解得，故A错误； 对于B项，设线l的方程为，，不妨设， 与抛物线联立，则，又，， 所以，易得，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，故B正确； 对于D项，由上可知若，则， 又，解之得，此时， 所以易得中点的横坐标为，故D错误； 对于C项，当斜率不存在时，此时原点O在上的投影为， 当斜率存在时，不妨设原点O在上的投影为Q，则为直角三角形， 则Q在以为直径的圆上，该圆圆心为，半径为， 所以点Q是圆上的点，故C错误； 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量的模的公式计算即得. 【详解】因，则. 故答案为：. 13. 已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】问题转化为过定点的直线l与线段有公共点，先计算过临界点的直线的斜率，再结合图像即可得到答案. 【详解】直线l：过定点. 由题意直线l：与线段相交， 临界情况为恰好经过点或经过点时， 由图可知，或. 故答案为：. 14. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】依题设点，，利用，代入坐标计算可得，再由，化简后将结论代入可得，利用点是E的右支上的一点，建立关于的方程，求解即得离心率. 【详解】如图： 设点，则，，因 ，则， 由可得，解得（*）， 又，可得， 将（*）代入整理得，即. 又点是E的右支上的一点，故，将以上结论代入可得， 因代入可得，化简得， 两边同除以，可得，解得或，因，故，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心为，由可求得的值，可得出圆心的坐标和圆的半径，即可得出圆的方程； （2）分直线斜率是否存在两种情况讨论.若存在时，设直线l的方程为，由题意可得，求解即可. 【小问1详解】 ∵圆M的圆心在直线上，∴可设圆心M的坐标为， 由，得，解得， ∴圆心M的坐标为，半径． ∴圆M的方程为． 【小问2详解】 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心M到直线l的距离， 解得或， ∴直线l的方程为或； 当当直线l的斜率不存在时，直线方程为， 圆心到直线的距离为，所以弦长为，故不符合题意； 综上所述：直线l的方程为或. 16. 如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． （1）求证：； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 设AC的中点为D，线段BC的四等分点为E，且，连接MD，DE，NE， 则，∴，， ∵M为AP的中点，D为AC的中点，∴，， 又P是的中点，∴． ∴，，∴四边形DMNE是平行四边形， ∴， 又，， ∴． （2） 【解析】 【分析】(1)构建平行四边形使得平行于平面的一条直线即可. (2)构建空间直角坐标系利用空间向量进行空间角的求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设的中点为Q，连接DB，DQ，易知DB，DQ，DC两两互相垂直． 以D为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则，，，， ∴，∴， ∴，，． 设平面的法向量为， 则取，则，， ∴平面的一个法向量为． 设直线MN与平面所成的角为θ，则 ， 即直线MN与平面所成角的正弦值为. 17. 已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． （1）求E的方程； （2）过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的性质求得，利用离心率求得，进而求得，可求解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，结合韦达定理得，，求得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【小问1详解】 设E的半焦距为c（）． 由题意知P在E的右支上，，∴， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为． 【小问2详解】 依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点． 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥外接球的表面积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）在四棱锥中，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由向量的数量积得证线线垂直； （2）设得到点，然后得到，由得到对应向量的数量积建立方程后解得.然后设平面法向量，利用向量的数量积求得平面法向量，然后由向量的数量积求得两个平面的夹角的余弦值； （3）设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为，建立方程组解得球的半径，然后求得表面积. 【小问1详解】 ∵底面，平面，平面， ∴，在矩形中， ∴以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系， 则， 则 得证： 【小问2详解】 则，. 设，则，∴ ，∴ ，∴. 设平面的法向量为， 则，取，得， ∴平面的一个法向量为. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， ∵，∴， ∴平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为， 则，解得， ∴三棱锥外接球的表面积为 19. 已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为，，过点作不与x轴重合的直线l与C交于D，E（E在D的左侧）两点，，交于点M． （1）求C的方程； （2）求证：为定值（，分别为，的斜率）； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由椭圆几何性质可求得的值，进而求得解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，利用韦达定理计算可求得为定值； （3）过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q，利用计算，可求得的取值范围. 【小问1详解】 设C的半焦距为c（）． ∵C的离心率为，即，∴， ∴． 设O为坐标原点，∵， ∴，∴， ∴C的方程为． 【小问2详解】 由（1）知，． 设直线l的方程为，，， 联立l与C的方程，得 消去x并整理，得， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴， 即为定值． 【小问3详解】 过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q， 则，，，， ∴，． 设直线的斜率为k，由（2）知，的斜率为， ∴直线的方程为，① 直线的方程为．② ①②联立，解得，∴点M的横坐标为． ∵， ∴ ． 设，则，易知在上单调递增， ∴， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年（上）高二年级期中检测 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线在y轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线C：的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知Q为直线l：上的动点，点P满足，记点P的轨迹为E，则（ ） A. E是一个半径为的圆 B. E是一条与l垂直的直线 C. E是两条与l平行的直线 D. E上的点到l的距离为 5. 如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆和直线，P是l上的动点，过点P向圆C作两条切线，设两切线的夹角为θ，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 8. 已知A，B是椭圆上的两个动点，且直线与圆相切，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知方程C：，则下列结论正确的是（ ） A. 若则方程C表示椭圆 B. 若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线 C. 存在m，使方程C表示直线 D. 存在m，使方程C表示抛物线 10. 已知是圆C：上的动点，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知抛物线C：（）的焦点为，过点F的直线l与C交于A，B两点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 原点O在l上的射影在圆上 D. 若，则AB中点的横坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，则________． 13. 已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________． 14. 已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，点M在E的右支上，点N在y轴上，且，，则E的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，两点都在圆M上，且圆M的圆心在直线上． （1）求圆M的方程； （2）过点的直线l与圆M交于C，D两点，且，求直线l的方程． 16. 如图，在正三棱柱中，P是的中点，M是AP的中点，N在线段上，且，． （1）求证：； （2）求直线MN与平面所成角的正弦值． 17. 已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． （1）求E的方程； （2）过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别在棱上，且. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥外接球的表面积. 19. 已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为，，过点作不与x轴重合的直线l与C交于D，E（E在D的左侧）两点，，交于点M． （1）求C的方程； （2）求证：为定值（，分别为，的斜率）； （3）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $