第1章 有理数（高效培优讲义）数学华东师大版2024七年级上册

该初中数学有理数单元复习讲义通过知识框架图和对比表格系统梳理知识体系，涵盖正负数、数轴、相反数、绝对值等核心概念及四则运算、科学记数法等考点，突出绝对值几何意义、混合运算符号判断等重难点，呈现概念间内在逻辑。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，如“绝对值非负性应用”“数轴动点问题”等13类题型，结合典例与变式，通过足球质量检测题培养量感和应用意识，用“木棒模型”提升抽象能力与推理意识。基础学生可掌握运算技巧，优秀学生能拓展思维，助力教师实施精准分层教学。

第1章 有理数 教学目标 1.理解有理数、相反数、绝对值的概念，掌握有理数的分类方法。 2.熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方及简单混合运算，能运用运算律简化计算。 3.会用数轴表示有理数，借助数轴比较大小，体会数形结合思想。 4.能运用有理数解决生活中具有相反意义的量等简单实际问题。 5.初步形成分类讨论、转化的数学思想，提升抽象概括与运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的概念、分类及数轴的应用。 （2）相反数、绝对值的定义与求法。 （3）有理数的四则运算及混合运算法则。 （4）运用运算律简化有理数运算。 2.难点 （1）绝对值的几何意义及综合应用。 （2）有理数混合运算中符号的判断与运算顺序的把握。 （3）负数实际意义的理解及分类讨论思想的运用。 （4）有理数分类的严谨性（不重不漏）。 考点01：正负数与有理数的定义及分类 1.核心定义与意义 ①正数：大于0的数（可省略前面的“+”号）； ②负数：在正数前加上“-”的数（“-”号不可省略）； ③0的意义：既非正数也非负数，是正负数的分界，可表示“没有”或某种基准； ④有理数定义：整数和分数统称有理数（有限小数和无限循环小数属于分数，是有理数）。 2.有理数的双重分类 分类标准 具体类别 示例 按定义分 整数（正整数、0、负整数） 5、0、-3 分数（正分数、负分数） 、-2.1 按性质分 正有理数（正整数、正分数） 7、1.2 0 0 负有理数（负整数、负分数） -4、 考点02：数轴、相反数与绝对值 1.数轴相关 ①三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）； ②与有理数的关系：任意有理数可在数轴上表示，但数轴上的点不一定是有理数。 2.相反数与绝对值 ①相反数：只有符号不同的两个数（0的相反数是0），几何意义为数轴上关于原点对称的点； ②绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离，记作，核心性质为非负性()； 数的符号 绝对值结果 数学表达式 本身 0 相反数 考点03：有理数的大小比较 1.大小比较方法 ①数轴比较法：数轴上右边的数大于左边的数； ②法则比较法：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而小； ③作差法：若，则；若，则；若，则。 考点04：有理数的运算及运算律 1.核心运算规则 ①加减运算：减法转化为加法，即(“两变一不变”：减号变加号、减数变相反数、被减数不变)； ②乘除运算：除法转化为乘法，即()；倒数定义为乘积是1的两个数，0无倒数； ③乘方运算：n个相同因数相乘记作，注意与的区别(前者是n个相乘，后者是的 相反数)； ④运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内(小→中→大)。 2.运算律与乘方符号法则 运算类型 交换律 结合律 分配律 加法 - 乘法 3. 乘方符号法则：正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；0的正整数次幂为0。 考点05：科学记数法与近似数 1.科学记数法 ①定义：将绝对值大于10的数表示为的形式（其中，n为正整数）； ②示例：、。 2.近似数相关 ①近似数定义：接近准确数但不等于准确数的数； ②精确度：近似数与准确数的接近程度，由最后一位数字所在数位决定； ③有效数字：从左边第一个非零数字起，至末位数字止的所有数字。 考点06：拓展高频考点 核心拓展内容 ①绝对值非负性应用：若，则且(多个非负数和为0，各非负数均为0)； ②数轴动点问题：两点距离公式；动点位置表示为“起点±速度×时间”，需注意分类讨论； ③多重符号化简：与“+”号个数无关，“-”号个数为偶数得正，奇数得负。 题型01正负数的实际应用 方法技巧： 1.明确相反意义的量（如收入与支出、上升与下降），规定其中一种为正，另一种为负。 2.结合实际场景判断正负符号，计算时注意符号与实际意义的对应。 3.误差问题中，通过绝对值大小判断与标准值的接近程度（绝对值越小越接近）。 【典例1】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果我们把零上记作，那么零下可记作（    ） A．2 B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·福建泉州·期中）2025年5月，我国某深海探测器下潜深度记为米．这个“－”号表示（    ） A．零下温度 B．低于海平面 C．方向向西 D．探测误差 【变式2】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：．这6袋面包中有几袋是合格的． 【变式3】．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ (1)补全上面的表格； (2)计算该病人这一天的平均体温． 题型02有理数的分类 方法技巧： 1.按定义分：有理数=整数（正整数、0、负整数）+分数（正分数、负分数）。 2.按性质分：有理数=正有理数（正整数、正分数）+0+负有理数（负整数、负分数）。 3.注意0的特殊性（既不是正数也不是负数，是整数），排除无限不循环小数（如π）。 【典例1】．（25-26七年级上·河南南阳·月考）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ，，，，，，，， 正有理数集合：________； 非负数集合：________； 非正整数集合：________； 分数集合：________． 【变式题1】．（25-26七年级上·福建泉州·期中）把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ，，，，，，，． 整数集：{______________________________...}； 负分数集：{____________________________...}． 【变式2】．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在有理数，，0，，5，3.14，10中，属于整数的有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】．（25-26七年级上·山东临沂·期中）在有理数，，0，，11 中，非负整数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3  个 D．4  个 题型03数轴的基础应用 方法技巧： 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。 2.正数在原点右侧，负数在左侧，数轴上右边的数总大于左边的数。 3.已知点的位置求数或已知数找点，注意单位长度的统一。 【典例1】．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【变式1】．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，小颖借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度尺的9.5和11对齐，则刻度尺上5对应数轴上的点表示的有理数为 . 【变式2】．（25-26七年级上·山西运城·期中）在数轴上，A，B，C，D各点分别表示的数如图所示． 请观察数轴，并解答下列问题： (1)表示有理数3的点是_____（填“A”“B”“C”或“D”）；在A，B，C，D这4个点中，距离原点最远的点表示的数是_____； (2)在数轴上把表示有理数的点M表示出来； (3)用“”将，，，3这4个数连接起来：______． 【变式3】．（25-26七年级上·福建南平·期中）如图，数轴上有A、B两点． (1)A、B两点表示的数分别是____，____； (2)若点C表示，点D表示，请你把点C、点D表示在如图所示的数轴上； (3)将A、B、C、D四个点所表示的数用“”连接起来． 题型04相反数与倒数的基础计算 方法技巧： 1.相反数：只有符号不同的两个数（a的相反数为-a），互为相反数的两数和为0。 2.倒数：乘积为1的两个数（a≠0的倒数为），0没有倒数，倒数是本身的数为±1。 3.多重符号化简：“-”号个数为偶数得正，奇数得负，与“+”号无关。 【典例1】．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．7与 C．与0.3 D．4与 【变式1】．（25-26七年级上·广西桂林·期中） ． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北襄阳·月考）等于 ，3的相反数是 ，的倒数是 ． 【变式3】．（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法中正确的是（     ） A．正数和负数互为相反数 B．规定了原点和正方向的直线就是数轴 C．一个数不是正数就是负数 D．两个负数，绝对值大的反而小 题型05绝对值的基础计算与应用 方法技巧： 1.绝对值定义：，核心是非负性（）。 2.比较两个负数大小：绝对值大的反而小。 3.已知，则（注意双解情况）。 【典例1】．（25-26七年级上·广东汕头·期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·云南临沧·期中）画出数轴并在数轴上表示下列各数，再将这些数从大到小的顺序用“”连接起来． 0，，，，． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，、、、分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是哪个点，并说明理由？ 【变式3】．（25-26七年级上·山东济宁·期中）华罗庚是中国著名数学家、教育家和社会活动家，被誉为“中国现代数学之父”，他曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离可以表示为，例如，表示5与2差的绝对值，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作表示5与的差的绝对值，可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，一般地，点、在数轴上分别表示有理数，那么、两点之间的距离可以表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离为 ； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则 ； ②若，则 ； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点，，表示的数分别为，，， ①求的值； ②若，求点表示的数． 题型06有理数混合运算 方法技巧： 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内(小→中→大)。 2.乘方注意：与的区别(前者是的相反数，后者是n个相乘)。 3.简便运算：灵活运用加法交换律、结合律(凑整、同号结合)和乘法分配律()。 【典例1】．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，若开始输入的值为，可得第次输出的结果为，第次输出的结果为，则第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【变式2】．（25-26七年级上·山西忻州·期中）计算： (1) (2)； (3) (4)． 【变式3】．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 题型07绝对值的非负性综合应用 方法技巧： 1.核心性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（如，则且)。 2.常见非负数形式：、、，解题时优先利用非负性列方程。 3.化简含绝对值的代数式：先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号。 【典例1】．（25-26七年级上·四川成都·月考）若 ，则 的值为 ． 【变式1】．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）若，则x的取值范围是：（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26七年级上·陕西·阶段练习）已知x，y为有理数，且，则的值为 ． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 题型08科学记数法与近似数 方法技巧： 1.科学记数法：(，n为整数，原数绝对值≥10时n为正整数，与整数位数减1相等)。 2.近似数：四舍五入到哪一位就精确到哪一位，有效数字是从左边第一个非0数字到末位的所有数字。 3.还原科学记数法表示的数：即把a的小数点向右移n位(n负则向左移)。 【典例1】．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）若一个整数12500…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【变式1】．（25-26七年级上·山西朔州·期中）年9月日，太原马拉松赛鸣枪开跑，名跑友从五一广场出发，一路领略龙城太原的历史底蕴和现代活力．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）2024年五一期间，某景区日均游客约为人次，对于四舍五入得到的近似数，有效数字的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】．（25-26七年级上·山东济宁·期中）约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的科学家．用四舍五入法将圆周率的值精确到千分位，则得到的近似数为（   ） A．3.14 B．3.141 C．3.142 D．3.1416 题型09数轴上的距离问题 方法技巧： 数轴上两点A()、B()的距离公式：。 已知距离求点的坐标：设未知数，利用距离公式列绝对值方程(如到点3距离为2的点：，解得或1)。 折叠问题：折叠后重合的两点到折痕的距离相等，折痕为两点中点(中点坐标：)。 【典例1】．（25-26七年级上·河南商丘·期中）点M在数轴的正半轴上，距离原点4个单位长度，将点M 沿数轴向左移动6个单位长度到点N ，若点P到点N 的距离为3，则点P 表示的数为 ． 【变式1】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行到达村，继续向东骑行到达村，然后向西骑行到村，最后回到邮局． (1)以邮局为起点，以向东方向为正方向，用个单位长度表示，请在如图直线表示出、、三个村庄的位置； (2)村与村的距离是 ； (3)若摩托车每耗油升，这趟路共耗油多少升？ 【变式2】．（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【变式3】．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点重合，数轴的单位长度为，如图所示． (1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 ；我们把这个模型记为“木棒模型”； (2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点相距时，已知点表示的数为．求木棒的右端点与点的距离； (3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题． 一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 题型10绝对值的最值问题 方法技巧： 1.单绝对值：的最小值为0(当时)，无最大值。 2.双绝对值：的最小值为(当时)。 3.多绝对值：找中间区间(奇数个点取中间点，偶数个点取中间区间)，代入计算最小值。 【典例1】．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）在数轴上，点所表示的数分别是，回答下列问题： (1)若，则两点间的距离是______； (2)试用含的式子表示两点间的距离为______，并用文字说明在数轴上表示的几何意义：______； (3)若可以取任意有理数，则代数式有最______值（填：“大”或“小”），该值等于______． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离，若点表示的有理数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为___________；当取最小值时，可取的全部整数值有___________． (2)当的值最小时，的取值为___________，最小值是___________． (3)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．站点P每天向A小区，B小区，C小区运送购买物资各2次．物资运送车每往返1千米路程共需花费10元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 【变式2】．（25-26七年级上·陕西·期中）已知点A，B在数轴上表示的数分别为a，b． a 11 3 b 4 0 5 A，B两点间的距离 7 5 4 8 0 (1)对照数轴填写表； (2)若A，B两点间的距离记为d，请根据表用含a、b的代数式表示d； (3)写出所有符合条件的整数，使其在数轴上对应的点分别到表示和3对应的点的距离之和为8，并求这些整数的和； (4)的最小值是多少？并写出当最小时所有整数x的值． 【变式3】．（25-26七年级上·广西·阶段练习）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： 【独立思考】： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是______；数轴上表示3和的两点之间的距离是______； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______； 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （3）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ （4）利用数轴求出最小值是______． 题型11有理数运算的简便技巧(凑整、裂项、逆用运算律) 方法技巧： 1.凑整法：将和或积为整数的数结合(如、)。 2.裂项相消：，。 3.逆用分配律：(如)。 【典例1】．（2025六年级上·山东·专题练习）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【变式1】．（25-26七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【变式2】．（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【变式3】．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫作裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 题型12有理数的新定义运算 方法技巧： 1.紧扣定义：明确新运算的法则(如)，严格按规则代入计算。 2.转化常规运算：将新运算转化为加减乘除乘方等熟悉运算，注意运算顺序和符号。 3.验证特殊值：代入0、±1等特殊值检验结果，确保理解定义无误。 【典例1】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知表示不大于的最大整数，如：．现定义：，如：，则计算的结果为（   ） A．0.7 B．1.9 C．2.9 D．3.1 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 【变式2】．（25-26七年级上·四川成都·期中）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．线段a，b的长度分别为3和5，表示的点是线段a的一个端点，表示6和11的点在线段b上，则 ． 【变式3】．（25-26七年级上·四川成都·月考）定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 题型13数轴上的动点问题 方法技巧： 1.设动点坐标：根据运动方向和速度表示t秒后坐标(向右为加，向左为减，如点P从x_0出发，速度v，则t秒后坐标为)。 2.列距离方程：利用距离公式表示动点间距离，结合题意列方程(注意分类讨论相遇前后)。 3.结合数轴范围：判断动点运动过程中的位置变化，避免漏解。 【典例1】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知数轴上有两个点，分别表示有理数． (1)数轴上点到点的距离为 ；数轴上到点的距离相等的点表示的有理数为 ； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为（）秒，用含的式子分别表示点到点和点的距离； (3)若，则的取值范围是 ． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【变式2】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴（如图1），进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示9的点重合的点表示的数是 ． (2)操作2：已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位． ①若点M、N、P同时都向右运动，求当时间t为何值时点P到点M，N的距离相等？ ②当时间t满足时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有55个、44个、11个整数点，则 ， ． (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段（如图2），并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）如图1，在数轴上点，，从左到右依次排列，有理数，，所对应的点分别为点，，．已知是最大的负整数，是的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的数为，现以为折点，将数轴向右对折．（点在点的右侧，与点，的相对位置不固定） ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后，，三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时的值． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 有理数单元复习 教学目标 1.理解有理数、相反数、绝对值的概念，掌握有理数的分类方法。 2.熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方及简单混合运算，能运用运算律简化计算。 3.会用数轴表示有理数，借助数轴比较大小，体会数形结合思想。 4.能运用有理数解决生活中具有相反意义的量等简单实际问题。 5.初步形成分类讨论、转化的数学思想，提升抽象概括与运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）有理数的概念、分类及数轴的应用。 （2）相反数、绝对值的定义与求法。 （3）有理数的四则运算及混合运算法则。 （4）运用运算律简化有理数运算。 2.难点 （1）绝对值的几何意义及综合应用。 （2）有理数混合运算中符号的判断与运算顺序的把握。 （3）负数实际意义的理解及分类讨论思想的运用。 （4）有理数分类的严谨性（不重不漏）。 考点01：正负数与有理数的定义及分类 1.核心定义与意义 ①正数：大于0的数（可省略前面的“+”号）； ②负数：在正数前加上“-”的数（“-”号不可省略）； ③0的意义：既非正数也非负数，是正负数的分界，可表示“没有”或某种基准； ④有理数定义：整数和分数统称有理数（有限小数和无限循环小数属于分数，是有理数）。 2.有理数的双重分类 分类标准 具体类别 示例 按定义分 整数（正整数、0、负整数） 5、0、-3 分数（正分数、负分数） 、-2.1 按性质分 正有理数（正整数、正分数） 7、1.2 0 0 负有理数（负整数、负分数） -4、 考点02：数轴、相反数与绝对值 1.数轴相关 ①三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）； ②与有理数的关系：任意有理数可在数轴上表示，但数轴上的点不一定是有理数。 2.相反数与绝对值 ①相反数：只有符号不同的两个数（0的相反数是0），几何意义为数轴上关于原点对称的点； ②绝对值：数轴上表示数的点与原点的距离，记作，核心性质为非负性()； 数的符号 绝对值结果 数学表达式 本身 0 相反数 考点03：有理数的大小比较 1.大小比较方法 ①数轴比较法：数轴上右边的数大于左边的数； ②法则比较法：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而小； ③作差法：若，则；若，则；若，则。 考点04：有理数的运算及运算律 1.核心运算规则 ①加减运算：减法转化为加法，即(“两变一不变”：减号变加号、减数变相反数、被减数不变)； ②乘除运算：除法转化为乘法，即()；倒数定义为乘积是1的两个数，0无倒数； ③乘方运算：n个相同因数相乘记作，注意与的区别(前者是n个相乘，后者是的 相反数)； ④运算顺序：先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内(小→中→大)。 2.运算律与乘方符号法则 运算类型 交换律 结合律 分配律 加法 - 乘法 3. 乘方符号法则：正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；0的正整数次幂为0。 考点05：科学记数法与近似数 1.科学记数法 ①定义：将绝对值大于10的数表示为的形式（其中，n为正整数）； ②示例：、。 2.近似数相关 ①近似数定义：接近准确数但不等于准确数的数； ②精确度：近似数与准确数的接近程度，由最后一位数字所在数位决定； ③有效数字：从左边第一个非零数字起，至末位数字止的所有数字。 考点06：拓展高频考点 核心拓展内容 ①绝对值非负性应用：若，则且(多个非负数和为0，各非负数均为0)； ②数轴动点问题：两点距离公式；动点位置表示为“起点±速度×时间”，需注意分类讨论； ③多重符号化简：与“+”号个数无关，“-”号个数为偶数得正，奇数得负。 题型01正负数的实际应用 方法技巧： 1.明确相反意义的量（如收入与支出、上升与下降），规定其中一种为正，另一种为负。 2.结合实际场景判断正负符号，计算时注意符号与实际意义的对应。 3.误差问题中，通过绝对值大小判断与标准值的接近程度（绝对值越小越接近）。 【典例1】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果我们把零上记作，那么零下可记作（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正负数，根据正负数的意义，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，且应包含单位“”，据此解答即可． 【详解】解：∵零上记作， ∴零下应记作负数，且带有单位，即． 故选：D． 【变式1】．（25-26七年级上·福建泉州·期中）2025年5月，我国某深海探测器下潜深度记为米．这个“－”号表示（    ） A．零下温度 B．低于海平面 C．方向向西 D．探测误差 【答案】B 【分析】此题考查正负数的实际应用，在深度测量中，“”号表示低于海平面，即可求解． 【详解】解：∵在深度测量中，通常以海平面为基准，正数表示高于海平面，负数表示低于海平面； ∴ “”表示低于海平面7068米； 故选：B． 【变式2】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：．这6袋面包中有几袋是合格的． 【答案】这6袋面包中有4袋是合格的 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握相反意义的量，有理数大小比较，是解题的关键．根据的意思是质量都是有浮动的，不都正好是．所以它的质量允许有的上下浮动，只要不超范围都是合格的． 【详解】解：指面包质量比多或少都是合格的． 其中指的是比标准质量多，是合格的； 指比标准质量少，是不合格的； 指正好等于标准质量，是合格的； 指比标准质量少，是合格的； 指比标准质量多，是合格的； 指比标准质量多，是不合格的． ∴这6袋面包中有4袋是合格的． 【变式3】．（25-26七年级上·湖北武汉·月考）一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ (1)补全上面的表格； (2)计算该病人这一天的平均体温． 【答案】(1) 表格见解析 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减、平均数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据每天的体温变化计算即可； （2）根据平均数的计算方法解题即可． 【详解】（1）解：，，，，； 表格如下： 时间 体温变化 实际体温 _________ _________ _________ _________ _________ （2）解：平均体温为：． 题型02有理数的分类 方法技巧： 1.按定义分：有理数=整数（正整数、0、负整数）+分数（正分数、负分数）。 2.按性质分：有理数=正有理数（正整数、正分数）+0+负有理数（负整数、负分数）。 3.注意0的特殊性（既不是正数也不是负数，是整数），排除无限不循环小数（如π）。 【典例1】．（25-26七年级上·河南南阳·月考）把下列各数的序号填入相应的大括号内： ，，，，，，，， 正有理数集合：________； 非负数集合：________； 非正整数集合：________； 分数集合：________． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握正有理数、非负数、非正整数、分数的定义是解题的关键． 先对每个数进行化简，再根据正有理数、非负数、非正整数、分数的定义，分别判断每个数所属的集合． 【详解】解：，，，， 正有理数集合：； 非负数集合：； 非正整数集合：； 分数集合：． 故答案为：②③⑧⑨；②③⑦⑧⑨；⑤⑦；①②③④⑥⑧． 【变式1】．（25-26七年级上·福建泉州·期中）把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ，，，，，，，． 整数集：{______________________________...}； 负分数集：{____________________________...}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，解题关键是明确各类数的定义，不要忽视0也是整数，小数也属于分数．根据定义将给定的数分别归类到对应的数集中即可． 【详解】解：整数集：， 负分数集：． 【变式2】．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）在有理数，，0，，5，3.14，10中，属于整数的有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了整数的概念，整数包括正整数、负整数和零．从给定的有理数中识别出整数即可． 【详解】∵整数包括正整数、负整数和零， ∴在数3， ， 0， ， ， ， 中， 整数有：， 0， 5， 10，共4个． 故选B． 【变式3】．（25-26七年级上·山东临沂·期中）在有理数，，0，，11 中，非负整数有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3  个 D．4  个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数相关的定义，解题的关键是掌握非负整数的定义． 非负整数是指大于或等于零的整数，从给定的有理数中筛选出整数且非负的数． 【详解】解：非负整数的有0和11，共2个， 故选：B． 题型03数轴的基础应用 方法技巧： 1.数轴三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可。 2.正数在原点右侧，负数在左侧，数轴上右边的数总大于左边的数。 3.已知点的位置求数或已知数找点，注意单位长度的统一。 【典例1】．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）如图，数轴上的两个点分别表示数a和，则a可以是（    ）    A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴上，右边的数总比左边的大是解题的关键．根据数轴上，右边的数总比左边的大得到a的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据数轴得：， 各选项只有符合． 故选：D． 【变式1】．（25-26六年级上·山东烟台·期中）如图，小颖借助刻度尺画了一条数轴，原点和单位1分别与刻度尺的9.5和11对齐，则刻度尺上5对应数轴上的点表示的有理数为 . 【答案】 【分析】本题考查了数轴，由图可得刻度尺上的对应数轴1个单位长度，根据点A在原点O的左侧个单位长度处，即可得点A对应的有理数． 【详解】解：观察数轴图可得，O为原点，原点和单位1距离， 则刻度尺上的对应数轴1个单位长度， ∵点A与点O距离， ∴点A在原点O的左侧个单位长度处， ∴数轴上点A对应的有理数为． 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·山西运城·期中）在数轴上，A，B，C，D各点分别表示的数如图所示． 请观察数轴，并解答下列问题： (1)表示有理数3的点是_____（填“A”“B”“C”或“D”）；在A，B，C，D这4个点中，距离原点最远的点表示的数是_____； (2)在数轴上把表示有理数的点M表示出来； (3)用“”将，，，3这4个数连接起来：______． 【答案】(1)A， (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，利用数轴比较有理数大小，熟知数轴与有理数的相关知识是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置和数轴上两点距离公式求解即可； （2）根据数轴上表示有理数的方法求解即可； （3）根据数轴上左边的数小于右边的数进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：表示有理数3的点是A，在A、B、C、D这4个点中，距离原点最远的点表示的有理数是； 故答案为：A； （2）解：如图所示，点M即为所求； （3）解：根据数轴可知，． 故答案为：． 【变式3】．（25-26七年级上·福建南平·期中）如图，数轴上有A、B两点． (1)A、B两点表示的数分别是____，____； (2)若点C表示，点D表示，请你把点C、点D表示在如图所示的数轴上； (3)将A、B、C、D四个点所表示的数用“”连接起来． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3) 【分析】本题考查了数轴，理解数轴的性质是解答关键． （1）观察数轴求解． （2）根据数轴的性质点、点表示在如图所示的数轴上即可． （3）根据数轴上右边的数总比左边的大来求解． 【详解】（1）解：根据题意得 点表示的数为4，点表示的数为． 故答案为：，； （2）解：根据题意表示如下 （3）解：因为数轴上右边的数总比左边的数大可知： ． 题型04相反数与倒数的基础计算 方法技巧： 1.相反数：只有符号不同的两个数（a的相反数为-a），互为相反数的两数和为0。 2.倒数：乘积为1的两个数（a≠0的倒数为），0没有倒数，倒数是本身的数为±1。 3.多重符号化简：“-”号个数为偶数得正，奇数得负，与“+”号无关。 【典例1】．（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期中）下列各对数中，互为相反数的是（   ） A．与 B．7与 C．与0.3 D．4与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，只有符号不同两个数互为相反数，逐项判断即可． 【详解】解：A、，与互为相反数，符合题意，选项正确； B、7与不是相反数，不符合题意，选项错误； C、与0.3不是相反数，不符合题意，选项错误； D、4与不是相反数，不符合题意，选项错误； 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·广西桂林·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查相反数，根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】．（25-26七年级上·湖北襄阳·月考）等于 ，3的相反数是 ，的倒数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查绝对值的意义，相反数和倒数的定义，熟练掌握它们的定义是解题的关键．根据绝对值的意义，相反数和倒数的定义，进行求解即可． 【详解】解：，3的相反数是，的倒数是． 故答案为：；；． 【变式3】．（25-26七年级上·山东临沂·期中）下列说法中正确的是（     ） A．正数和负数互为相反数 B．规定了原点和正方向的直线就是数轴 C．一个数不是正数就是负数 D．两个负数，绝对值大的反而小 【答案】D 【分析】本题考查相反数、数轴、数的分类和负数大小比较的概念，解题的关键是掌握相关概念． 根据以上定义逐一判断各选项． 【详解】解：A.∵ 相反数要求数值相等且符号相反，正数和负数不一定满足， ∴ A错误； B.∵ 数轴必须包含原点、正方向和单位长度，选项B缺少单位长度， ∴ B错误； C.∵ 数包括正数、负数和零，零既不是正数也不是负数， ∴ C错误； D.∵ 两个负数比较大小，绝对值大的反而小，符合负数比较法则， ∴ D正确； 故选：D． 题型05绝对值的基础计算与应用 方法技巧： 1.绝对值定义：，核心是非负性（）。 2.比较两个负数大小：绝对值大的反而小。 3.已知，则（注意双解情况）。 【典例1】．（25-26七年级上·广东汕头·期中）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，熟练掌握“绝对值表示数到原点的距离，可用于判断与标准量的接近程度”是解题的关键． 通过计算每个足球与标准质量差值的绝对值，比较绝对值大小，绝对值越小越接近标准． 【详解】解：∵ ，，，， 又∵ ， ∴ 最接近标准的是选项C． 故选：C． 【变式1】．（25-26七年级上·云南临沧·期中）画出数轴并在数轴上表示下列各数，再将这些数从大到小的顺序用“”连接起来． 0，，，，． 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，计算绝对值和化简多重符号，先计算绝对值和化简多重符号，再在数轴上表示出各数，最后根据正方向向右的数轴上左边的数小于右边的数用大于号将各数连接起来即可． 【详解】解：，， 数轴表示如下所示： ∴． 【变式2】．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）如图，、、、分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，若，则原点可能是哪个点，并说明理由？ 【答案】原点可能是或，理由见解析 【分析】本题主要考查了数轴上点表示有理数，两点之间的距离，绝对值的性质， 分四种情况：当表示的数是原点，由可得； 当表示的数是原点，由，判断即可； 当表示的数是原点，由，判断即可； 当表示的数是原点，由题意可得，可得答案． 【详解】解：由题意，、、、分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，分四种情况： 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 时， 成立； 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 此时不成立； 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 不成立； 如图：当表示的数是原点，由， 数对应的点在与之间，数对应的点在与之间时，， 时，成立； 综上所述，若，则原点可能是或， 故答案为：或． 【变式3】．（25-26七年级上·山东济宁·期中）华罗庚是中国著名数学家、教育家和社会活动家，被誉为“中国现代数学之父”，他曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 若点，在数轴上分别表示有理数，，则，两点之间的距离可以表示为，例如，表示5与2差的绝对值，可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作表示5与的差的绝对值，可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，一般地，点、在数轴上分别表示有理数，那么、两点之间的距离可以表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示5与的两点之间的距离为 ； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则 ； ②若，则 ； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点，，表示的数分别为，，， ①求的值； ②若，求点表示的数． 【答案】（1）7（2）①2或6；②1（3）①6②3或13 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）①表示的是数轴上数x表示的点与数4表示的点的距离为2，据此分x在数4的左侧和数x在数4的右侧两种情况，讨论求解即可；②根据题意可得数x表示的点到数的点的距离与数x表示的点到数5的点的距离相等，据此结合两点中点计算公式求解即可； （3）①根据数轴上点的位置可得，的值，据此代值计算即可；②根据题意可得，解方程求出a的值即可求出c的值，进而可得答案． 【详解】解：（1）∵， ∴数轴上表示5与的两点之间的距离为7． 故答案为：7； （2）①当数x在数4的左侧时，， 当数x在数4的右侧时，则， ∴x的值为2或6． 故答案为：2或6； ②∵， ∴数x表示的点到数的点的距离与数x表示的点到数5的点的距离相等， ∴． 故答案为：1； （3）①由题意得，，， ∴． 故答案为：6； ②∵，， ∴， ∴或， ∴或， ∵或， ∴点C表示的数为3或13． 题型06有理数混合运算 方法技巧： 1.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内(小→中→大)。 2.乘方注意：与的区别(前者是的相反数，后者是n个相乘)。 3.简便运算：灵活运用加法交换律、结合律(凑整、同号结合)和乘法分配律()。 【典例1】．（25-26七年级上·湖北荆门·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，若开始输入的值为，可得第次输出的结果为，第次输出的结果为，则第次输出的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字类的规律探索，根据数值转换机的运算规律进行计算，探索数字的变化规律，根据变化规律求出结果． 【详解】解：是偶数， 第次输出结果为， 是偶数， 第次输出结果为， 是偶数， 第次输出结果为， 是偶数， 第次输出结果为， 是偶数， 第次输出结果为， 是奇数， 第次输出结果为， 是偶数， 第次输出结果为， 从第次开始，输出的结果为，循环， ， 第次输出的结果为：， 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江大兴安岭地·期中）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)26 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （2）先算括号的和乘方，再算乘除法，最后算加减法即可； （3）先把除法变成乘法，再用乘法分配律计算，最后再利用有理数的加减混合运算的法则解答即可； （4）先算括号的和乘方，再把除法变成乘法，最后再利用有理数的加减混合运算的法则解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【变式2】．（25-26七年级上·山西忻州·期中）计算： (1) (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是严格遵循运算顺序，易错点在于正负号看错； （1）按照运算顺序，从左到右依次计算即可，注意符号； （2）先算乘方，再算除法，最后算加减即可； （3）可以先将括号内分数进行通分，再算乘法；也可以利用乘法分配律去进行计算； （4）先算乘方，这里注意的计算，再算乘法，最后加减． 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【变式3】．（25-26七年级上·甘肃武威·期中）小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 【答案】(1)， (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可． （2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可． （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值． 则有，，, 商最小的是， ∴这两张卡片是， 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 故答案为：（答案不唯一）． 题型07绝对值的非负性综合应用 方法技巧： 1.核心性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0（如，则且)。 2.常见非负数形式：、、，解题时优先利用非负性列方程。 3.化简含绝对值的代数式：先判断绝对值内式子的正负，再去绝对值符号。 【典例1】．（25-26七年级上·四川成都·月考）若 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性和平方的非负性，解决此题的关键是掌握非负性的性质； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期中）若，则x的取值范围是：（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握去绝对值的法则． 根据绝对值的性质，当且仅当，将原方程转化为此形式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】．（25-26七年级上·陕西·阶段练习）已知x，y为有理数，且，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了绝对值的性质．根据绝对值的非负性可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：0． 【变式3】．（25-26七年级上·安徽安庆·期中）（1）已知，且，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） ， ；（2）， 【分析】本题考查了绝对值的非负性． （1）由已知得，，代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性得到，，可知，． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴，， 则，； （2）解：∵，，且， ∴，， ∴，． 题型08科学记数法与近似数 方法技巧： 1.科学记数法：(，n为整数，原数绝对值≥10时n为正整数，与整数位数减1相等)。 2.近似数：四舍五入到哪一位就精确到哪一位，有效数字是从左边第一个非0数字到末位的所有数字。 3.还原科学记数法表示的数：即把a的小数点向右移n位(n负则向左移)。 【典例1】．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）若一个整数12500…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】8 【分析】本题主要考查了利用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式． 将科学记数法表示的数 还原成原数，然后数出原数中“0”的个数． 【详解】解：，原数为12500000000，其中“0”的个数为 8个， 故答案为：8． 【变式1】．（25-26七年级上·山西朔州·期中）年9月日，太原马拉松赛鸣枪开跑，名跑友从五一广场出发，一路领略龙城太原的历史底蕴和现代活力．将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值大于的数，解题关键是掌握科学记数法并能熟练运用． 科学记数法要求将数字表示为的形式，其中 ，为整数．对于，需找到合适的和． 【详解】解：∵， ∴的科学记数法表示为， 故选：A． 【变式2】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）2024年五一期间，某景区日均游客约为人次，对于四舍五入得到的近似数，有效数字的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查近似数和有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫作这个数的有效数字．最后一位所在的位置就是精确度，据此求解即可． 【详解】解：有2、3、0共3个有效数字， 故选：B． 【变式3】．（25-26七年级上·山东济宁·期中）约1500年前，我国古代伟大的数学家和天文学家祖冲之计算出圆周率应在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把圆周率的值精确到小数点后7位的科学家．用四舍五入法将圆周率的值精确到千分位，则得到的近似数为（   ） A．3.14 B．3.141 C．3.142 D．3.1416 【答案】C 【分析】本题考查近似数的四舍五入，将圆周率精确到千分位（小数点后第三位），需看万分位（第四位小数）的数字决定是否进位，据此进行求解即可． 【详解】解：∵，精确到千分位时，万分位数字为5， ∴根据四舍五入规则，需进位，千分位1变为2， ∴近似数为3.142； 故选C． 题型09数轴上的距离问题 方法技巧： 1.数轴上两点A()、B()的距离公式：。 2.已知距离求点的坐标：设未知数，利用距离公式列绝对值方程(如到点3距离为2的点：，解得或1)。 3.折叠问题：折叠后重合的两点到折痕的距离相等，折痕为两点中点(中点坐标：)。 【典例1】．（25-26七年级上·河南商丘·期中）点M在数轴的正半轴上，距离原点4个单位长度，将点M 沿数轴向左移动6个单位长度到点N ，若点P到点N 的距离为3，则点P 表示的数为 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离计算，有理数的加减计算，先根据点M的位置确定点M表示的数，再根据移动方向得到点N表示的数，最后利用点P到点N的距离求解即可． 【详解】解：∵点M在数轴的正半轴上，距离原点4个单位长度， ∴点M表示的数为4， ∵将点M沿数轴向左移动6个单位长度到点N， ∴点N表示的数为， ∵点P到点N 的距离为3， ∴当点P在点N左侧时，点P表示的数为， 当点P在点N右侧时，点P表示的数为， 综上所述，点P表示的数为或1， 故答案为：或1． 【变式1】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）邮递员骑摩托车从邮局出发，先向东骑行到达村，继续向东骑行到达村，然后向西骑行到村，最后回到邮局． (1)以邮局为起点，以向东方向为正方向，用个单位长度表示，请在如图直线表示出、、三个村庄的位置； (2)村与村的距离是 ； (3)若摩托车每耗油升，这趟路共耗油多少升？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)升 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数混合运算的应用，绝对值的意义，解题的关键在于读懂题意弄清正方向． （1）根据题意在数轴上分别表示出、、三个村庄的位置即可； （2）直接计算、两点之间的距离； （3）根据题意计算出邮递员行驶的总路程，再用总路程乘以每千米的耗油量，即可得解． 【详解】（1）解：表示出、、三个村庄的位置如图所示； （2）解：村与村的距离是 ； 故答案为：； （3）解：共耗油量：（升）． 【变式2】．（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，数轴上点A表示的数是，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为，则称点P为点A、B的“5格距点”． (1)若点P表示的数是0，则n的值为______； (2)数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有______个； (3)若点P为数轴上一点，且点P到点B的距离为2，求点P表示的数及n的值； (4)若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的3倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【答案】(1)5 (2)6 (3)①当点P表示的数为1时，；②当点P表示的数为5时， (4)点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时 【分析】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意可求出点到点的距离与点到点的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点在线段上，从而得出整点所表示的数是，，，，，； （3）由题意可求出点表示的数为或，进而即可求出的值； （4）分两种情况讨论，当在之间时和当在点的左边时，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵点P表示的数为0， ∴点P到点A距离与点P到点B的距离之和为， ∴点P为点A、B的“5格距点”， ∴， 故答案为：5； （2）解：∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴，即P在线段上， ∴整点P所表示的数是，，0，1，2，3共6个， 故答案为：6； （3）解：∵点P到点B的距离为2， ∴点P表示的数为1或5， ①当点P表示的数为1时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； ②当点P表示的数为5时，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为， 此时； （4）解：①当P在之间时，， 点P表示的数为：， 此时； ②当P在点A左边时，，， 点P表示的数为：， 此时． 综上所述，点P表示的数为：，此时；点P表示的数为：，此时． 【变式3】．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）把一根小木棒放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点重合，数轴的单位长度为，如图所示． (1)若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点处时，它的右端点在数轴上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点处时，木棒左端点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 ；我们把这个模型记为“木棒模型”； (2)若木棒在移动过程中，当木棒的左端点与点相距时，已知点表示的数为．求木棒的右端点与点的距离； (3)请根据（1）的“木棒模型”解决下列问题． 一天，小红问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在那么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”请求出爷爷现在的年龄． 【答案】(1)5 (2)木棒的右端点与点的距离为或 (3)爷爷现在的年龄是70岁 【分析】本题考查了数轴，解题关键是能用数形结合的思想借助数轴直观求解． （1）根据数轴，观察木棒的平移，求解即可； （2）木棒左端点可在C点左边或者右边，分情况讨论，得出左端点对应的数之后，加上木棒的长度即为右端点对应的数，最后求木棒的右端点与点A的距离即可； （3）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷比小红大时看作当B点移动到A点时，此时A点对应的数为，小红比爷爷一样大时看作当A点移动到B点时，此时B点对应的数为，所以可知爷爷与小红的年龄差为，可求爷爷的年龄． 【详解】（1）解：由题意得：木棒的长为， 故答案为：； （2）解：点C表示的数为， 当木棒的左端点在点C右边时， 此时木棒的左端点表示的数为，右端点表示的数为， 木棒的右端点与点A的距离为， 当木棒的左端点在点C左边时， 此时木棒的左端点表示的数为，右端点表示的数为， 木棒的右端点与点A的距离为， 综上所述，木棒的右端点与点A的距离为或； （3）解：由图可知，把小红与爷爷的年龄差看作木棒，类似爷爷是小红现在年龄时看作当B点移动到A点时， 此时A点所对应的数为，因为当A点移动到B点时，此时B点所对应的数为125， “木棒模型”示意图如图所示： 所以爷爷比小红大（岁）， 则爷爷的年龄为（岁）． 答：爷爷现在的年龄是70岁． 题型10绝对值的最值问题 方法技巧： 1.单绝对值：的最小值为0(当时)，无最大值。 2.双绝对值：的最小值为(当时)。 3.多绝对值：找中间区间(奇数个点取中间点，偶数个点取中间区间)，代入计算最小值。 【典例1】．（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）在数轴上，点所表示的数分别是，回答下列问题： (1)若，则两点间的距离是______； (2)试用含的式子表示两点间的距离为______，并用文字说明在数轴上表示的几何意义：______； (3)若可以取任意有理数，则代数式有最______值（填：“大”或“小”），该值等于______． 【答案】(1) (2)，表示数轴上表示的点到表示的点的距离 (3)小，4 【分析】本题考查数轴上两点间距离公式以及绝对值的几何意义．解题关键是理解绝对值的几何意义，即数轴上两点间的距离可以用这两点所表示数的差的绝对值来表示，利用这个意义去分析和解决问题． （1）根据绝对值的几何意义； （2）根据绝对值的几何意义，表示数轴上到的距离； （3）根据绝对值的几何意义表示出的几何意义，求解即可． 【详解】（1）解： 故答案为： （2）， ，表示数轴上表示的点到表示的点的距离． （3）表示数轴上到与到3的距离之和， 所以有最小值，当时，这个值为定值即， 所以最小值为4． 故答案为：小，4． 【变式1】．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）我们知道，式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离，若点表示的有理数为，请根据数轴解决以下问题： (1)若，则的值为___________；当取最小值时，可取的全部整数值有___________． (2)当的值最小时，的取值为___________，最小值是___________． (3)一条笔直的公路边有三个居民小区A、B、C和一个市民广场O，居民小区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，左侧1千米，右侧4千米．现要在该公路上建一个居民生活服务站点P，满足三个小区的居民购物需求，站点P有一辆货车负责向三个小区的居民免费运送所购生活物资．站点P每天向A小区，B小区，C小区运送购买物资各2次．物资运送车每往返1千米路程共需花费10元，每次只运送一个小区的物资．为了全天运送购买物资的总运费最少，请你思考站点P建在何处才能使一天的总运送费用最少？最少费用是多少？写出你的解答过程． 【答案】(1)或3；或或0或1或2 (2)，6 (3)站点P建在B处，才能使总运送费用最少，最少费用是360元． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）表示数轴上x与有理数的点之间的距离等于5的点，结合数轴找到点即可；表示数轴上x到与x到2的距离之和最小，x应该在与2之间的线段上，找到满足条件的点即可； （2）表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和，当时，距离之和最小，化简即可； （3）以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x，根据绝对值几何意义分析判断取得最小值时的情况即可． 【详解】（1）解：表示数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离等于5，由数轴可知为：或3； 当取最小值时， 表示数轴上x到与x到2的距离之和最小，x应该在与2之间的线段上， 所以x可以取整数或或0或1或2； 故答案为：或或0或1或2； （2）解：表示数轴上x到、x到与x到2的距离之和， 所以表示x的点应该在与2之间的线段上，且当时，x到、x到与x到2的距离之和最小， 最小值为到2的距离6； 故答案为：，6； （3）解：以市民广场O为原点，原点右侧为正方向，1千米为单位长度，建立数轴，设居民生活服务站点P所对应的数为x， ∴物资的往返总运送费用为：元，如图， ∵表示x到的距离、x到4的距离、x到的距离的总和， ∴当时，取得最小值， ∴（元）． ∴站点P建B处，才能使总运送费用最少，最少费用是360元． 【变式2】．（25-26七年级上·陕西·期中）已知点A，B在数轴上表示的数分别为a，b． a 11 3 b 4 0 5 A，B两点间的距离 7 5 4 8 0 (1)对照数轴填写表； (2)若A，B两点间的距离记为d，请根据表用含a、b的代数式表示d； (3)写出所有符合条件的整数，使其在数轴上对应的点分别到表示和3对应的点的距离之和为8，并求这些整数的和； (4)的最小值是多少？并写出当最小时所有整数x的值． 【答案】(1)表格见解析 (2) (3)符合条件的整数有，，，，，0，1，2，3；和为 (4)最小为，符合条件的所有整数x的值为2，3，4，5，6，7，8 【分析】本题考查两点间的距离和绝对值的几何意义，列代数式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式，进行计算，填表即可； （2）根据两点间的距离公式，列出代数式即可； （3）根据两点间的距离公式，得到当对应点在和3之间（包括和3）时，距离之和为8，进行求解即可； （4）根据绝对值的意义，得到当点在之间（包括2和8）时，的值最小，为的距离，进行求解即可． 【详解】（1），，填表如下： a 11 3 b 4 0 5 A，B两点间的距离 7 5 4 8 0 9 5.5 （2）由（1）可知：； （3） ， 当对应点在和3之间（包括和3）时，距离之和为8， 符合条件的整数有，，，，，0，1，2，3； 这些整数的和为：； （4）表示数轴上表示数的点到表示数、之间的距离和， 当点在之间（包括2和8）时，的值最小，为， 符合条件的所有整数的值为：2，3，4，5，6，7，8． 【变式3】．（25-26七年级上·广西·阶段练习）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”，距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： 【独立思考】： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是______；数轴上表示3和的两点之间的距离是______； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为______； 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （3）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ （4）利用数轴求出最小值是______． 【答案】（1）4，4；（2）；（3）最小值为3，x可取整数2，3，4，5；（4）7 【分析】本题考查了数轴，绝对值的意义，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）表示数轴上和2两点之间的距离，表示数轴上和5两点之间的距离， 设表示数x的点为P，表示数2和5的点为A，B，分类讨论即可； （4）根据表示两点间的距离解答即可． 【详解】解：（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是为， 表示3和的两点之间的距离为； 故答案为：4，4； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离为：； 故答案为：； （3）表示数轴上和2两点之间的距离，表示数轴上和5两点之间的距离， 设表示数x的点为P，表示数2和5的点为A，B， 当时，由绝对值的几何意义得到表示的是，则，如图： 当时，由绝对值的几何意义得到表示的是，则，如图： 当时，由绝对值的几何意义得到表示的是，则，如图： ∴当且仅当时，表示数x的点到表示2和5的点的距离之和最小，此时距离为， 可取的整数有：2，3，4，5； （4）∵表示数轴上到、2和4的点的距离之和， ∴当时，的最小值是， 故答案为：7． 题型11有理数运算的简便技巧(凑整、裂项、逆用运算律) 方法技巧： 1.凑整法：将和或积为整数的数结合(如、)。 2.裂项相消：，。 3.逆用分配律：(如)。 【典例1】．（2025六年级上·山东·专题练习）用简便方法计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2)70 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算，要注意使用运算律进行简便运算． （1）使用乘法交换律进行简便运算； （2）使用乘法交换律进行简便运算； （3）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； （4）先确定符号以及统一为假分数形式，再使用乘法交换律进行简便运算； 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1】．（25-26七年级上·山西朔州·期中）阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用分配律解题我们知道，分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的时，我们可以逆用分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用分配律可得，这样计算就简便得多． 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的乘法分配律，解题的关键是理解题意； （1）逆用分配律把原式变形为，再计算求解； （2）逆用分配律把原式变形为，再计算求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式2】．（25-26七年级上·广东佛山·阶段练习）观察下列各式：我们把这一类恒等变形的过程叫作裂项．类似的，对于，可以用裂项的方法变形为． 类比上述方法，解答下列各题： (1)___________ (2)计算：___________． (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）根据规律，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解： ． 【变式3】．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）阅读材料，回答问题． 类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如： ，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫作裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． 【类比探究】（）计算：______； 【理解运用】（）类比裂项的方法，计算：； 【迁移应用】（）探究并计算：． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）利用裂项法解答即可求解； （）把算式转化为，再利用裂项法解答即可求解； （）用裂项的方法变形为，进而计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（）， 故答案为：； （） ； （） ． 题型12有理数的新定义运算 方法技巧： 1.紧扣定义：明确新运算的法则(如)，严格按规则代入计算。 2.转化常规运算：将新运算转化为加减乘除乘方等熟悉运算，注意运算顺序和符号。 3.验证特殊值：代入0、±1等特殊值检验结果，确保理解定义无误。 【典例1】．（25-26七年级上·浙江金华·期中）已知表示不大于的最大整数，如：．现定义：，如：，则计算的结果为（   ） A．0.7 B．1.9 C．2.9 D．3.1 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，以及有理数的减法，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义，先分别计算 和，再求它们的差． 【详解】解：∵， ∴， ∵（不大于的最大整数）， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义一种新的运算“※”：规定有理数a※，如：2※ (1)分别求4※和※的值，并猜想运算“※”是否具有交换律，请说明理由； (2)求※※的值． 【答案】(1)，，“※”不具有交换律，理由是见解析 (2) 【分析】（1）根据定义的新运算列式计算，然后猜想是否具有交换律并说明理由即可； （2）根据定义的新运算列式计算即可． 本题考查有理数的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 【详解】（1）解：※ ， ※ ， 则“※”不具有交换律，理由是4※※； （2）解：※※ ※ ※ ※ 【变式2】．（25-26七年级上·四川成都·期中）对于数轴上两条线段a，b，给出如下定义：P，Q分别为a，b上任意一点，P，Q两点间距离的最小值记作；P，Q两点间距离的最大值记作．线段a，b的长度分别为3和5，表示的点是线段a的一个端点，表示6和11的点在线段b上，则 ． 【答案】24或18 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解新定义的含义，运用数形结合和分类讨论思想． 由题意可知，线段b两个端点表示的数分别为6、11，再讨论表示的点是线段a的左，右端点，进而求出和，再计算求解即可． 【详解】解：∵表示6和11的点在线段b上，且线段b的长度为5，， ∴线段b的端点分别为6和11， ∵表示的点在线段a上，线段a的长度为3， 当表示的点是线段a的右端点时，则线段a的左端点为：， ∴，， ∴； 当表示的点是线段a的左端点时，则线段a的右端点为：， ∴，， ∴， 故答案为：24或18． 【变式3】．（25-26七年级上·四川成都·月考）定义☆运算 ， ， ． (1)请你认真观察并思考上述运算，归纳、运算的法则：两数进行☆运算时，同号_________，异号_________，并把绝对值_________．特别地，0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，_________． (2)计算：． (3)若，求的值． 【答案】(1)结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值 (2) (3) 【分析】（1）观察运算及结果的符号和绝对值的规律可得结论； （2）根据（1）中的结论同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号即可； （3）根据（1）中的结论，分类讨论的取值范围，分别计算即可． 本题考查有理数的混合运算，涉及新定义，解答本题的关键是明确新定义混合运算的计算方法． 【详解】（1）解：两数进行☆运算时，同号两数运算时，把绝对值相加，结果取正号；异号两数运算时，把绝对值相加，结果取负号；0和任何数进行☆运算，或任何数和0进行☆运算，等于这个数的绝对值． 故答案为：结果取正号；结果取负号；相加；等于这个数的绝对值． （2）原式 ． （3）若，原式左边，矛盾； 若，原式左边，矛盾； 若，原式左边， 则， 解得． 题型13数轴上的动点问题 方法技巧： 1.设动点坐标：根据运动方向和速度表示t秒后坐标(向右为加，向左为减，如点P从x_0出发，速度v，则t秒后坐标为)。 2.列距离方程：利用距离公式表示动点间距离，结合题意列方程(注意分类讨论相遇前后)。 3.结合数轴范围：判断动点运动过程中的位置变化，避免漏解。 【典例1】．（25-26七年级上·河南郑州·期中）如图，已知数轴上有两个点，分别表示有理数． (1)数轴上点到点的距离为 ；数轴上到点的距离相等的点表示的有理数为 ； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为（）秒，用含的式子分别表示点到点和点的距离； (3)若，则的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)，当时，，当时， (3) 【分析】（）利用数轴上两点间的距离公式计算即可得出数轴上点到点的距离，再利用数轴上两点的中点的求法可求出到点距离相等的点表示的有理数； （）由题意可得，秒时，点表示的数为，再根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （）根据绝对值几何意义可得式子表示对应的点分别到对应的点的距离之和，进而由可得在数之间（含和），据此即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点距离，绝对值的几何意义等，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵两个点分别表示有理数， ∴点到点的距离为； 数轴上到点的距离相等的点表示的有理数为； 故答案为：，； （2）解：由题意可得，秒时，点表示的数为， ∴，， 当时，；当时，， 综上，，当时，，当时，； （3）解：∵， ∴式子表示对应的点分别到对应的点的距离之和， ∵， ∴在数之间（含和）， 即， 故答案为：． 【变式1】．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】(1)点M表示的数为50 (2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【分析】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）设点M表示的数为m，，根据题意，得到或，分别求解即可． （2）①追及问题中，Q追上P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解得，即可解答； ②点A是P、Q的“快乐点”，分两种情况：A到P的距离是A到Q距离的3倍（），或A到Q的距离是A到P距离的3倍（），分类求解即可． 【详解】（1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 【变式2】．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它把数和数轴上的点建立了对应关系，形象地揭示了数与数轴上的点之间的内在联系，是数形结合的基础．小明在一条长方形纸带上画了一条数轴（如图1），进行如下操作探究： (1)操作1：折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合，则与表示9的点重合的点表示的数是 ． (2)操作2：已知数轴上两点A、B对应的数分别是6，，M、N、P为数轴上三个动点，点M从A点出发，速度为每秒2个单位，点N从点B出发，速度为M点的3倍，点P从原点出发，速度为每秒1个单位． ①若点M、N、P同时都向右运动，求当时间t为何值时点P到点M，N的距离相等？ ②当时间t满足时，M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有55个、44个、11个整数点，则 ， ． (3)操作3：在数轴上剪下6个单位长度（从到5）的一条线段（如图2），并把这条线段沿某点向左对折，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段，若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点表示的数可能是 ． 【答案】(1) (2)①或；②； (3)1或或或3 【分析】本题考查了有理数和数轴的关系，数轴上的折叠变换问题，一元一次方程的几何应用等，利用数形结合和分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据对称性找到折痕的点为3，再根据两点间的距离可得答案； （2）①由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，点P表示的数为，然后分两种情况，当点N在点P的左侧和当点N在点P的右侧时，根据，列出方程解之即可；②由题意可知，M、N两点之间距离最大，M、P两点之间的距离最小，从而推出M、P两点向右运动，N点向左运动，然后画出数轴讨论分析； （3）设表示的点为C，表示5的点为D，靠近C的剪断处为E，靠近D的剪断处为F，则，E、F到折痕处对应的点的距离相等，然后根据这三条线段的长度之比为，分六种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵折叠纸带，若数轴上表示1的点与表示5的点重合， ∴折痕点表示的数是， ∴表示9的点与它重合的点重表示的数为：； 故答案为：． （2）解：①∵点M、N、P同时都向右运动， ∴由题意得，点M表示的数为，点N表示的数为，点P表示的数为， 当点N在点P的左侧时，此时， ∵点P到点M，N的距离相等，即， ∴， 解得； 当点N在点P的右侧时，此时， ∵点P到点M，N的距离相等，即， ∴， 解得； 综上所述，当或时，点P到点M，N的距离相等； ②由题意得，M、N两点之间距离最大，M、P两点之间的距离最小， ∴M、P两点向右运动，N点向左运动， ∴点N表示的数为，点P表示的数为t，点M表示的数为， 当时，即， 解得， 当时，点P表示的数为5，点M表示的数为，点N表示的数为，如图所示， 此时M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有53个、42个、10个整数点， 当点N移动到时，此时， 此时点P表示的数为，点M表示的数为， 此时M、N两点之间，N、P两点之间，M、P两点之间分别有55个、44个、11个整数点， 若点N过了时，此时N、P两点之间有大于等于45个整数点， 综上所述，当时间t满足时，满足题意． 故答案为：；. （3）解：设表示的点为C，表示5的点为D，靠近C的剪断处为E，靠近D的剪断处为F， 则，E、F到折痕处对应的点的距离相等， ∵这三条线段的长度之比为， ∴①当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； ②当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； ③当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； ④当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； ⑤当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； ⑥当时，则，, ∴点E表示的数为，点F表示的数为， ∴折痕处对应的点表示的数为； 综上所述，折痕处对应的点表示的数可能是1或或或3． 故答案为：1或或或3． 【变式3】．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）如图1，在数轴上点，，从左到右依次排列，有理数，，所对应的点分别为点，，．已知是最大的负整数，是的相反数，，请回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)如图2，为数轴上一动点，点表示的数为，现以为折点，将数轴向右对折．（点在点的右侧，与点，的相对位置不固定） ①若对折后点与点重合，求此时的值； ②若对折后，，三点互不重合且其中一点到另外两点的距离相等，请直接写出此时的值． 【答案】(1)；1；6 (2)①；②或3或 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，数轴上两点中点计算公式，求一个数的绝对值，有理数的相关概念，熟知相关知识是解题的关键． （1）最大的负整数为，则可得到a的值，只有符号不同的两个数互为相反数，则可得到b的值，再根据绝对值的定义可得c的值； （2）①点A与点C重合，那么点P为折叠前的中点，据此求解即可；②当折叠后A动，B和C不动，且点A到点B和点C的距离相等时，则折叠后点A是的中点，当折叠后A、B动，点C不动，且折叠后点C到点A和点B的距离相等时，则折叠后点C是的中点（点B在点C左侧），当折叠后A、B动，点C不动，且折叠后点B到点A和点C的距离相等时，则折叠后点B是的中点（点B在点C右侧），三种情况根据两点中点计算公式讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数， ∴， ∵是的相反数， ∴， ∵， ∴或（舍去）； （2）解：①∵以为折点，将数轴向右对折，对折后点与点重合， ∴点P为折叠前的中点， ∵，， ∴； ②当折叠后A动，B和C不动，且点A到点B和点C的距离相等时，则折叠后点A是的中点， ∴折叠后点A表示的数为， ∴； 当折叠后A、B动，点C不动，且折叠后点C到点A和点B的距离相等时，则折叠后点C是的中点（点B在点C左侧）， ∵折叠前， ∴折叠后， ∴折痕后， ∴折叠后点B表示的数为， ∴； 当折叠后A、B动，点C不动，且折叠后点B到点A和点C的距离相等时，则折叠后点B是的中点（点B在点C右侧）， ∵折叠前， ∴折叠后， ∴折叠后， ∴折叠后点A表示的数为， ∴； 综上所述，的值为或3或． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $