第五章 圆 综合素质评价卷 2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

第五章 圆 综合素质评价 限时: 90分钟 满分: 120分 一、选择题(每题3分，共30分) 1．已知∠1＝∠2，则下列选项中，＝的是(　　) 2．在▱ABCD中，BC＝5，S▱ABCD＝20.如果以顶点C为圆心，BC长为半径作⊙C，那么⊙C与边AD所在直线的公共点的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 3．[教材P16习题T1 ]如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D.如果CD＝8，AB＝24，那么OA＝(　　) A．12 B．12 C．13 D．16 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接BD，OB，OC，若∠A＝70°，BC＝OB，则∠DBC的度数为(　　) A．25° B．35° C．45° D．50° 5．如图，过点A作⊙O的切线AB，AC，切点分别是B，C，连接BC.过上一点D作⊙O的切线，交AB，AC于点E，F.若∠A＝90°，△AEF的周长为4，则BC的长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 6．如图，四边形ABCD为矩形，点E在边CD上，DE＝2CE，⊙O与四边形ABED的各边都相切，⊙O的半径为x，△BCE的内切圆的半径为y，则的值为(　　) A．2 B． C．3 D． 7．如图，大圆柱上挖了一个小圆柱．已知大圆柱的底面和小圆柱的底面是同心圆，O′A、O′B分别是大圆柱和小圆柱的底面半径．若大圆柱的底面周长为8π，OA＝2，小圆柱的体积为6π，小圆柱中放一个最大的圆锥，则该圆锥的侧面积为(　　) A．π B． C．π D． 8．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以点O，E为圆心，以OA，ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分的面积是(　　) A．2π B．π＋5 C．10＋4π D．10－π 9．如图，AB是半圆O的直径，点C，D是半圆上两点，连接AC，BD相交于点P，连接AD，OD，BC.已知OD⊥AC于点E，AB＝2.下列结论：①∠DBC＋∠ADO＝90°；②AD2＋AC2＝4；③若AC＝BD，则DE＝OE；④若点P为BD的中点，则DE＝2OE.其中正确的是(　　) A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 10．如图，抛物线y＝－x2＋8x－15与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点C，点D(0，－2)，点E(0，－6)，点P是平面内的一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM，则线段CM的最大值是(　　) A．5 B． C． D．3 二、填空题(每题3分，共18分) 11．如图，直线AB，AD与⊙O分别相切于点B，D，C为⊙O上一点，且∠BCD＝40°，则∠A的度数是________． 12．如图，B，C，D是半径为6的⊙O上的三点，已知的长为2π，且OD∥BC，则BD的长为________． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，AC分别相切于点D，E，DE与BO的延长线交于点F，则∠BFD＝________． 14．刺绣是我国独有的一门传统艺术，它承载着大量中国民族文化的意义．圆形刺绣作品展示木架的设计简图如图所示，已知AB，BC，CD分别与圆相交于点A、点E、点D，AB⊥BC，CD⊥BC，AB＝CD＝2 cm，BC＝12 cm，则圆形刺绣作品的半径为________cm. 15．如图，D是以AB为直径的半圆O的中点，＝2，E是直径AB上的一个动点，已知AB＝2 cm，则图中阴影部分周长的最小值是 ________cm. 16．如图，将边长为8的正方形纸片ABCD沿着EF折叠，使点C落在AB边的中点M处，点D落在点D′处，MD′与AD交于点G，则△AMG的内切圆⊙O的半径长为________． 三、解答题(共72分) 17．(8分)[教材P16随堂练习T1 ]如图是一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度AB为16 m，拱高CD为4 m. (1)求桥拱所在圆的半径； (2)若大雨过后，桥下河面宽度EF为12 m，求水面涨高了多少． 18．(8分)如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C，请在网格图中进行下列操作(以下结果保留根号)： (1)利用网格确定该圆弧所在圆的圆心点D的位置，并写出点D的坐标； (2)连接AD，CD，则⊙D的半径为________，∠ADC的度数为________； (3)扇形ADC是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的底面半径． 19．(8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，且AD是⊙O的直径，C是弧BD的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E. (1)求证：BC＝EC； (2)若BC，EC的长是方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0的两根，求EC的长． 20．(8分)如图，P为抛物线y＝x2＋1上的一个动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，且当点P运动时，⊙P始终经过y轴上的一个定点M. (1)当⊙P的半径为5时，求⊙P在y轴上所截得的弦长； (2)求定点M到直线y＝kx＋4k的距离的最大值． 21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一点，以BD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，交BC于点G，连接DE，DG. (1)求证：＝； (2)当＝，且tan∠BAC＝，DF＝9时，求⊙O的半径和DG的长． 22．(9分)在等腰三角形ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与边AC，BC交于D，E两点，EF⊥AB，垂足为点M，EF与⊙O相交于点F，连接DF. (1)如图①，若∠BAC＝70°，求∠BEF和∠FDA的度数； (2)如图②，若点O恰在线段DF上，过点E作⊙O的切线EN，切点为E，EN与AC相交于点N.若AC＝6，求弦EF和线段CN的长． 23．(10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，⊙O恰好经过点D，交AB于点E. (1)求证：直线AC是⊙O的切线； (2)若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积； (3)连接DE，若sin∠DBA＝，求cosA的值． 24．(12分)如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AD上(不与点A，D重合)，点F在边CD上，且∠EBF＝45°，若△ABE的外接圆⊙O与CD边相切． (1)求⊙O的半径长； (2)求△BEF的面积． 答案 一、1．C　2．B　3．C　4．A　5．B　6．C　7．A　8．D　 9．B　【点拨】∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°.∵OD⊥AC于点E，∴∠AEO＝90°＝∠ACB. ∴OD∥BC，∴∠DBC＝∠BDO.∵∠BDO＋ ∠ADO＝90°，∴∠DBC＋∠ADO＝90°.故①正确；现有条件无法证明 AD2＋AC2＝4，故②错误；∵AC＝BD，∴＝.∴＝.∵OD⊥AC，∴＝，∴＝＝.∴∠AOD＝×180°＝60°. 又∵OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形．∵AE⊥OD，∴DE＝OE.故③正确；若点P为BD的中点，则PD＝PB.∵OD⊥AC，∴∠PED＝90°＝∠BCP.又∵∠EPD＝ ∠CPB，∴△EPD≌△CPB(AAS)．∴DE＝BC.∵OD∥BC，O为AB的中点，∴BC＝2OE，∴DE＝2OE.故④正确．故选B. 10．B　【点拨】解方程－x2＋8x－15＝0，解得x1＝3，x2＝5，则A(3，0)．∵抛物线的对称轴与x轴交于点C，∴点C为AB的中点，∵∠DPE＝90°，∴点P在以DE为直径的圆上，设DE的中点为Q，则圆心 点Q的坐标为 (0, －4)，⊙Q的半径为2.连接AP，∵M是线段PB的中点，C是AB的中点，∴CM＝AP.∴AP取得最大值时，CM取得最大值． 当点Q在AP上，且点P在第三象限时，AP的值最大，如图．∵AQ＝＝5，∴AP的最大值为2＋5＝7.∴CM的最大值为，故选 B. 二、11．100°　12．6　13．40°　14．10 15．(＋π) 【点拨】如图，连接DO并延长至F，使得DO＝OF，连接OC，CF，EF，CD.∵D是以AB为直径的半圆O的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝90°.∵点D，点F关于AB对称，∴DE＝EF.∴CE＋DE＝CE＋EF≥CF.当点C，E，F三点依次在同一直线上时，CE＋DE的值最小，最小值为CF的长．∵＝2，∴∠COD＝∠BOD＝60°.又∵CO＝OD＝OF＝AB＝1cm，∴△OCD为等边三角形，∠OFC＝∠OCF＝30°，DF＝2cm.∴∠OCD＝60°，DC＝OD＝1cm.∴∠DCF＝90°.∴CF＝＝cm.∴CE＋DE的最小值为cm. ∵的长＝＝π(cm)， ∴图中阴影部分周长的最小值是(＋π)cm. 16． 【点拨】∵四边形ABCD是边长为8的正方形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝8.∵M为AB的中点， ∴MB＝AM＝AB＝4，由折叠可知ME＝CE， ∠D′ME＝∠C＝90°.在 Rt△MBE中，ME2＝MB2＋BE2， ∴ME2＝16＋(8－ME)2.∴ME＝5.∴BE＝3. ∵∠D′ME＝90°＝∠B，∴∠EMB＋∠BEM＝90°，∠EMB＋∠AMD′＝90°，∴∠AMD′＝∠BEM. 又∵∠GAM＝∠B＝90°，∴△AMG∽△BEM， ∴＝＝即＝＝. ∴AG＝，GM＝. ∴易得△AMG的内切圆⊙O的半径长＝＝. 三、17．【解】(1)由题意得OC⊥AB，∴AD＝AB＝8m.易知OA＝OC.由勾股定理可得AO2－(OC－CD)2＝82，解得OA＝10m.∴桥拱所在圆的半径为10m. (2)由题意得OC⊥EF，∴EM＝EF＝6m. 连接OE，则OE＝10m. ∴OM＝＝＝8(m)． ∵OD＝OC－CD＝10－4＝6(m)， ∴DM＝OM－OD＝8－6＝2(m)． ∴水面涨高了2m. 18．【解】(1)如图①，连接BC，分别作AB，BC的垂直平分线，两线交于点D，∴点D的坐标为(2，0)． 　　　 (2)2；90° 【点拨】易知OA＝4，OD＝2，在Rt△AOD中，AD＝＝2，即⊙D的半径为2， 如图②，过点C作CE⊥x轴于点E，易知CE＝2，DE＝4，∴AO＝DE＝4，OD＝CE＝2，又∵∠AOD＝∠CED，∴△AOD≌△DEC(SAS)， ∴∠OAD＝∠CDE， ∵∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠CDE＋∠ADO＝90°， ∴∠ADC＝90°. (3)的长＝π×2＝π， 设该圆锥的底面半径为r，则有2πr＝π，解得r＝， ∴该圆锥的底面半径为. 19．(1)【证明】如图，连接AC.∵AD是⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°.∴∠ACE＝90°. ∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBC＝∠D. ∵C是的中点，∴＝. ∴∠EAC＝∠DAC.∵∠EAC＋∠E＝90°＝∠DAC＋∠D.∴∠E＝∠D.∴∠EBC＝∠E.∴BC＝EC. (2)【解】由题意得方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(m－2)2－4(m＋1)＝0.∴m＝0或m＝8. 当m＝0时，方程为x2－2x＋1＝0，解得x1＝x2＝1， ∴EC＝1.当m＝8时，方程为x2＋6x＋9＝0，解得x1＝x2＝－3(不符合题意，舍去)． 综上所述，EC＝1. 20．【解】(1)设⊙P与y轴的另一个交点为N，连接PN，过点P作PH⊥y轴于点H，则NH＝MH＝MN. ∵⊙P与x轴相切，∴yP＝PN＝5.∴x2＋1＝5.解得x1＝4，x2＝－4，故点P的坐标为(4，5)或(－4，5)．∴PH＝4.∴NH＝＝3. ∴MN＝2NH＝6，即⊙P在y轴上所截得的弦长为6. (2)连接PM，设P，M(0，m)，则⊙P的半径为a2＋1，即PM＝ a2＋1.∴a2＋(a2＋1－m)2＝(a2＋1)2，即a2＋(a2＋1)2－2m(a2＋1)＋m2＝ (a2＋1)2，整理得(1－m)a2－2m＋m2＝0.∵无论点P如何运动，M为定点，∴与a值无关，∴1－m＝0，即m＝2.即M(0，2)．∵直线y＝kx＋4k经过定点(－4，0)，设此点为Q，连接MQ，∴直线y＝kx＋4k绕点Q旋转到与MQ垂直时，定点M到该直线的距离最大，最大值为MQ的长，即为＝2. 21．(1)【证明】如图，连接BF，∵BD是直径， ∴∠BED＝∠AFB＝90°， ∴∠AED＝∠AFB＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ABF， ∴＝. (2)【解】∵＝，∴设∠BDF＝∠ABF＝β， ∵tan∠BAC＝，∴＝， ∴设BF＝3m，则AF＝4m，∴tanβ＝＝＝， 在Rt△BDF中，tanβ＝＝，DF＝9， ∴BF＝DF＝×9＝12， ∴BD＝＝＝15， ∴⊙O的半径长＝BD＝. 在Rt△ABF中，tan∠BAC＝＝，BF＝12， ∴AF＝BF＝×12＝16， ∴AB＝＝＝20， ∴AB＝AC＝20，∴CF＝AC－AF＝20－16＝4， ∴CD＝DF＋CF＝9＋4＝13， 在Rt△BFC中，BC＝＝4， ∵BD是直径，∴∠BGD＝90°， ∴S△BDC＝CD·BF＝BC·DG， ∴DG＝＝. 22．【解】(1)如图①，∵AB＝AC，∠BAC＝70°， ∴∠B＝∠C＝55°， ∵BA⊥EF，∴∠BME＝90°， ∴∠BEF＝90°－∠B＝35°， ∵BA⊥EF，且AB为直径， ∴＝， ∴∠FDA＝∠B＝55°. (2)∵OA＝OD，∴∠A＝∠FDA， 而由(1)可知∠FDA＝∠B，且∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝6， ∴AO＝BO＝3， 如图②，连接OE， ∵EN切⊙O于点E，且OE为半径， ∴OE⊥EN，∴∠OEN＝90°， ∵OE＝OB，且∠B＝60°， ∴△OBE为等边三角形，∴BE＝3，∠BOE＝60°， ∴∠BOE＝∠A＝60°，EC＝BC－BE＝6－3＝3， ∴OE∥AC，∴∠ENC＝∠OEN＝90°， 在Rt△BME中，∠B＝60°，BE＝3， ∴EM＝BE·sin60°＝，易得EF＝2ME＝3， 在Rt△ENC中，∠C＝60°，EC＝3， ∴CN＝EC·cos60°＝. 23．(1)【证明】如图所示，连接OD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠OBD＝∠CBD， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠OBD， ∴∠ODB＝∠CBD，∴OD∥BC， ∵∠C＝90°，∴∠ODA＝∠C＝90°，∴OD⊥AC， 又∵OD是⊙O的半径，∴直线AC是⊙O的切线． (2)【解】∵点E为AO的中点，∴OA＝2OE， ∵OD＝OE，∴OA＝2OD， 由(1)可得∠ODA＝90°， 在Rt△ADO中，cos∠AOD＝＝， ∴∠AOD＝60°，∴OD＝＝＝， ∴S阴影＝S△AOD－S扇形DOE＝×3×－＝. (3)【解】∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°， 在Rt△BDE中，sin∠DBE＝＝， ∴设DE＝x，BE＝x，∴BD＝＝2x. ∵∠ADO＝∠BDE＝90°， ∴∠ADO－∠ODE＝∠BDE－∠ODE， ∴∠ADE＝∠ODB. ∵∠ODB＝∠OBD，∴∠ADE＝∠OBD， 又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ADE， ∴＝＝＝＝，∴AB＝2AD，AD＝2AE， ∴AB＝4AE，∴BE＝AB－AE＝3AE， ∴OE＝BE＝AE，∴OA＝AE＋OE＝AE， 在Rt△ADO中，cosA＝＝＝. 24．【解】(1)如图，设⊙O与CD相切于点M，连接MO并延长，交AB于点N，则MN∥AD. 易知AB＝AD＝MN＝2，∠BAD＝90°. 设AE＝a，则DE＝2－a，BE＝． ∵O为BE的中点，ON∥AE， ∴ON＝AE＝.∴OM＝2－. 又∵BE＝2OM， ∴＝4－a，解得a＝. ∴BE＝. ∴⊙O的半径长＝BE＝. (2)将△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAP的位置，过点B作BQ⊥EF于点Q，如图． 易知∠BAD＝∠C＝∠ABC＝90°，CD＝2. 由旋转可得∠PBA＝∠FBC，BP＝BF，AP＝CF，∠BAP＝∠C＝90°， ∴∠BAP＋∠BAD＝180°，即P，A，E在同一条直线上． ∵∠EBF＝45°，∴∠ABE＋∠FBC＝45°. ∴∠ABE＋∠PBA＝∠PBE＝45°＝∠EBF. 在△BPE和△BFE中，∵BP＝BF，∠PBE＝∠FBE，BE＝BE， ∴△BPE≌△BFE(SAS)． ∴∠AEB＝∠BEQ，PE＝EF. 在△ABE和△QEB中，∵∠BAE＝∠BQE＝90°，∠AEB＝∠QEB，BE＝BE， ∴△AEB≌△QEB(AAS)．∴BQ＝AB＝2. C△DEF＝ED＋DF＋EF＝ED＋DF＋PE＝ED＋DF＋PA＋AE＝ED＋AE＋DF＋FC＝AD＋CD＝4， 由(1)可得DE＝.设DF＝b， ∴EF＝4－b－＝－b. 在Rt△EDF中，＋b2＝，解得b＝. ∴EF＝－＝. ∴S△BEF＝EF·BQ＝××2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $