专题05 一次函数 压轴题 8大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）八年级数学上学期

专题05 一次函数 压轴题 8大高频考点概览 考点01 一次函数与特殊三角形 考点02 一次函数与角度问题 考点03 一次函数与面积问题 考点04 一次函数与最值问题 考点05 一次函数与动点问题 考点06 一次函数与旋转、翻折、对称问题 考点07 一次函数与新定义题 考点08 一次函数的实际应用—表格素材题 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与和与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点，G是与y轴的交点，点D为的中点，点E是线段上一个动点（不与点A和C重合），连接，并过点D作交于点F．地 城 考点01 一次函数与特殊三角形 (1)判断的形状，并说明理由． (2)当点E的横坐标为时，在x轴上找到一点P使得的周长最小，请求出点P的坐标． (3)当是等腰三角形时，求E点的坐标． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C．    (1)求新函数的图象的解析式； (2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图2，过点画平行于y轴的直线， ①求证：是等腰直角三角形； ②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线分别交轴，轴于点、，已知． (1)求点坐标和直线的解析式； (2)已知点为直线上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连结、、． ①求的度数． ②当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 地 城 考点02 一次函数与角度问题 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 地 城 考点03 一次函数与面积问题 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)的坐标为_________，线段的长为_________． (2)求直线的解析式和点的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连结，当面积最大时，求的长度和的面积． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．现将点向右平移个单位得到点，，且，连接交轴于点． (1)如图，点，的坐标分别为______，______； (2)如图，与的角平分线相交于点，，垂足为点，求证：； (3)如图，点是线段上一动点，设其横坐标为，将点向下平移个单位到点，连接、、，当的面积是的面积的倍时，求的值． 地 城 考点04 一次函数与最值问题 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． (1)若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． (2)连接，若，当最小时，求点的坐标． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点． (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 地 城 考点05 一次函数与动点问题 1．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线m的函数表达式为，与x轴交于点A，直线n经过点和点，且直线m，n交于点D． (1)求点A，点D的坐标． (2)点P是x轴上的一个动点，求的最小值． (3)点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当时，直接写出每一组点M和点N的坐标． 2．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，且． ①求点E的坐标； ②若点M是射线上的动点，连接，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线上时，求出对应的点M的坐标． 3．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D． (1)求点C的坐标和b的值； (2)如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到． ①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标； ②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积． 4．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图1，直线与x轴，y轴分别交于点和． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上的一个动点（如图2），点的横坐标为，以线段为边，点为直角顶点在y轴右侧作等腰直角，与x轴交于点C． ①求证：； ②在点的运动过程中，是否存在某个位置，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点06 一次函数与旋转、翻折、对称问题 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知直线l的函数表达式为（b为常数），点，点，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连结，将沿直线l翻折，得，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)求点C的坐标． (2)当点F在y轴上时，求b的值． (3)当与y轴有交点时，求b的取值范围． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点． (1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______． (2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标． (3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． (1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）． (2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围． (3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点07 一次函数与新定义题 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．    (1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． (2)已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 0地 城 考点08 一次函数的实际应用—表格素材题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14元/斤．    材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤． 材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者． 任务一 求图中直线函数解析式． 任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？ 2．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】机场监控问题． 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 机场监控问题的思考 素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行． 素材2 2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方从原点处沿角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． 问题解决 任务1 求解析式和速度 求出段关于的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度； 任务2 求解析式和坐标 求出段关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； 任务3 计算时长 通过计算说明两机距不超过的时长是多少． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益．根据提供的材料解决问题． 项目 内容 材料一 “沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数．    材料二 经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下：    套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元  套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元 现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 材料三 为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖（运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折（不包括运费） 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个 任务一 求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． 任务二 在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数． 任务三 家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数 压轴题 8大高频考点概览 考点01 一次函数与特殊三角形 考点02 一次函数与角度问题 考点03 一次函数与面积问题 考点04 一次函数与最值问题 考点05 一次函数与动点问题 考点06 一次函数与旋转、翻折、对称问题 考点07 一次函数与新定义题 考点08 一次函数的实际应用—表格素材题 1．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与和与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点，G是与y轴的交点，点D为的中点，点E是线段上一个动点（不与点A和C重合），连接，并过点D作交于点F．地 城 考点01 一次函数与特殊三角形 (1)判断的形状，并说明理由． (2)当点E的横坐标为时，在x轴上找到一点P使得的周长最小，请求出点P的坐标． (3)当是等腰三角形时，求E点的坐标． 【答案】(1)为等腰直角三角形；理由见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标以及、、的长，即可得出的形状； （2）连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，证明，得出，证明，得出，求出，，得出，说明要使周长最小，即只需时最小， 作点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，求出的解析式为，求出即可； （3）连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，设点E的坐标为，点H的坐标为：，求出点F的坐标为：，得出，，，分三种情况：当时，当时，，当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在上， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 则， ， ， 则，且， ∴为等腰直角三角形． （2）解：由题意知，即，连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要使周长最小，即只需时最小， 作点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小， 设的解析式为，把、代入得： ， 解得：， ∴的解析式为，令，， ∴． （3）解：连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，如图所示： 根据解析（2）可知，，， 设点E的坐标为， ∴， ∴， ∴点H的坐标为：， ∴点F的坐标为：， 把代入代入得：， ∴， ∴， ， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 综上分析可知，点E的坐标为：或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，两点间距离公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C．    (1)求新函数的图象的解析式； (2)在射线上一动点，连接，试求的面积S关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)如图2，过点画平行于y轴的直线， ①求证：是等腰直角三角形； ②将直线沿y轴方向平移，当平移到恰当距离的时候，直线与x轴交于点，与y轴交于点，在直线上是否存在点P（纵、横坐标均为整数），使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①证明见解析②存在；满足条件的点P为或 【分析】（1）求出的坐标，根据对称性，求出点坐标，待定系数法，求出的解析式即可； （2）分点在线段上和点在线段的延长线上，两种情况进行讨论求解即可； （3）①求出的长，利用勾股定理逆定理进行判断即可； ②分点，点，点分别为直角顶点，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，当时，，当时，， ∴， ∵将直线沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图1），直线与y轴交于点C， ∴与关于轴对称，过点， ∴， 设，将，代入得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ①当点在线段上：即：时， ； ②当点在线段的延长线上，即：时，   ， 综上：； （3）①∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②存在， 当点为直角顶点时，设，如图：    ∵平移， 设直线的解析式为，当时，，当时，， ∴，， 过点作，设交轴于点， ∵为等腰直角三角形，轴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，或，当时，或； ∴或； 当点为直角顶点时，如图：    过点作轴，则， 同上法可得：， ∴，， ∴或（舍去）； ∴直线向上平移了4个单位， ∴直线的解析式为：， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点为直角顶点时：此时在轴正半轴上，在轴负半轴上， 设平移后的解析式为：，当时，，当时，， ∴，， 当在的右侧时：      同法可得：， ∴， ∴，解得： 当时，与点重合，不符合题意； 当在的左侧时：    同法可得：， ∴， ∴， ∴， 当时，点的纵坐标不是整数，不符合题意； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及坐标与轴对称，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，一次函数图象的平移．综合性强，难度大，属于压轴题，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，直线分别交轴，轴于点、，已知． (1)求点坐标和直线的解析式； (2)已知点为直线上一动点，将点绕点顺时针旋转得到点，连结、、． ①求的度数． ②当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)点坐标为，直线的解析式为 (2)①或；②或 【分析】（1）由直线，得出点坐标，，由，结合三角形面积公式，计算出，即可得出点坐标，再把点坐标代入，求出直线的解析式即可； （2）①取直线上的点，使得，连接，根据点绕点顺时针旋转得到点，推出，证明和是等边三角形，得出．分类讨论，情况一：当点在射线上时，利用证明，得出；情况二：当点在线段上时，得出，由，，推出，利用证明，得出；情况三：当点在的延长线上时，得出，由，推出，利用证明，得出．综合得出的度数即可； ②当点在上，时，为直角三角形，过点作轴于点，由①得，，由①情况一得，计算角度，推出，，得出点的横坐标点的横坐标，求出，根据“角所对的直角边等于斜边的一半”，得出，根据勾股定理计算，计算，即可得出点的坐标；当点在线段上时，由①得，由①情况二得，得出，推出此时不可能是直角三角形；当点在的延长线上，时，为直角三角形，由（1）得，由①得，，由①情况三得，计算角度，得出， ，得出点的横坐标点的横坐标，根据“角所对的直角边等于斜边的一半”，得出，根据勾股定理计算，得出点的坐标．最后综合得出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴点坐标为，， ∵， ∴， ∴点坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：①取直线上的点，使得，连接， ∵点绕点顺时针旋转得到点 ∴和是等边三角形， ∴， 情况一：如图，当点在射线上时， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 情况二：如图，当点在线段上时， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 情况三：如图，当点在的延长线上时， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或； ②如图，当点在上，时，为直角三角形，过点作轴于点， ∵由①得，，由①情况一得， ∴，， ∴， ∴，， ∴轴， ∴点的横坐标点的横坐标， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 当点在线段上时，由①得，由①情况二得， ∴， ∴当点在线段上时，不可能是直角三角形； 如图，当点在的延长线上，时，为直角三角形， ∵由（1）得，由①得，，由①情况三得， ∴，，， ∴， ∴轴，， ∴点的横坐标点的横坐标，， ∴， ∴点的纵坐标， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数和几何综合题，主要考查了求一次函数解析式、勾股定理、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理、数形结合、分类讨论是解题的关键． 地 城 考点02 一次函数与角度问题 1．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴和y轴分别交于点B，C，与直线相交于点A． (1)求点A的坐标及的面积． (2)在线段上有一动点P，过点P作平行于y轴的直线与直线交于点D，问在y轴上是否存在点H，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出满足条件的点H的坐标；若不存在，请说明理由． (3)过点A作y轴的垂线，垂足为E，在y轴上找点M，使，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)存在， (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质． （1）解由两条直线解析式组成的方程组，即可得到点A的坐标，把代入中，求得点B的坐标，根据三角形的面积公式即可得到的面积； （2）设，则，则，，由等腰得到，即，求解即可解答； （3）分两种情况：①若点M在点E的下方．过点B作与AM的延长线交于点N．证明是等腰直角三角形，得到．过点N作轴于点F，过点A作轴于点G．易证，得到，，进而得到．通过待定系数法求出直线的解析式，令，即可取得点M的坐标．②若点M在点E的上方，根据对称性即可求解． 【详解】（1）解方程组，得． ∴点A的坐标为． 把代入得， 解得：， ∴点B的坐标为， ∴， ∴； （2）存在． 如图， 设，则． ∴． ∵轴． ∴． ∵是以P为直角顶点的等腰直角三角形． ∴． ∴． ∴． ∴． （3）或． 分两种情况： ①若点M在点E的下方， 如图，过点B作与AM的延长线交于点N． ∵，轴， ∴，， ∴， ∵． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 过点N作轴于点F，过点A作轴于点G． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴，． ∵，． ∴，． ∴． ∴． 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴直线解析式为， 令，得． ∴点M的坐标为． ②若点M在点E的上方， 如图， 由对称性可知． 综上所述：或． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，一次函数：的图象分别交轴、轴于点、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． (3)如图2，过点作轴的垂线段，垂足为，为轴上的一点，且，请直接写出直线的解析式． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3)，． 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，即可求解； ②由的面积，即可求解； （3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解． 【详解】（1）由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式得：，则， 故答案为：，； （2）①∵一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， 则点D是两个函数的交点，即，则，即点； ②由两个函数表达式知，点A、C的坐标分别为：、，则 则的面积； （3）设直线交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线， 过点K作x轴的平行线交过点K和x轴的平行线于点G，交过点的延长线于点H， 由直线的表达式知，，即， ∵， 则，则为等腰直角三角形，设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， 即点， 由点D、N的坐标得，直线的表达式为：， 当在E下方时， 则直线和关于对称，则的表达式为： 综上所述，或． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴，   ， ∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 地 城 考点03 一次函数与面积问题 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，过点作交于点，交轴于点，且． (1)的坐标为_________，线段的长为_________． (2)求直线的解析式和点的坐标． (3)如图（2），点是线段上一动点（不与点，重合），交于点，连结． ①在点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②连结，当面积最大时，求的长度和的面积． 【答案】(1)， (2)， (3)①相等，不变，见解析，②， 【分析】（1）分别将、时，代入解析式，即可求出点、坐标，即可求解， （2）根据，可得，通过，，求直线的解析式，与联立方程组，即可求解， （3）①由已知可证，即可求解，②由，得到为定值，当最小时最大， 由，得：当时，取最小值，即可求解， 本题考查了，一次函数综合，三角形的面积，全等三角形的性质与判定，解题的关键是：利用全等三角形，实现面积之间的等量代换． 【详解】（1）解：当时，直线， 当时，直线，解得：， ， ， 故答案为：，， （2）解：过点作交于点，交轴于点，且， ，， ， 设过点，，直线的解析式为：， 则：解得：， 直线的解析式为：， 、交于点， 解得：， ， 故答案为：， ， （3）解： ①， ，， ，， ， ， ， ， ，即线段与线段数量关系，保持不变， ②， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， ， ，，， ，， ， ∴为定值， ， ∴要使最大，求最小即可， ， ∴当取最小值时，最小， ，，， ， 当时，取最小值， ，即：，解得：， 面积最小为， ， 故答案为：①相等，不变，见解析；②，． 2．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为．现将点向右平移个单位得到点，，且，连接交轴于点． (1)如图，点，的坐标分别为______，______； (2)如图，与的角平分线相交于点，，垂足为点，求证：； (3)如图，点是线段上一动点，设其横坐标为，将点向下平移个单位到点，连接、、，当的面积是的面积的倍时，求的值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据题意得，，进而可得，即可解答； （2）根据题意得，平分，平分，所以可求得，即，再结合可得，进而证得； （3）求出直线的解析式为，设，则，根据的面积是的面积的倍列出关于的等式，解出即可． 【详解】（1）解：现将点向右平移个单位得到点， ，， ，且， ， 故答案为：，； （2）证明：， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 将点向下平移个单位到点， ， 的面积是的面积的倍， ， 解得：或． 【点睛】本题考查了平移的规律、角平分线的定义、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 地 城 考点04 一次函数与最值问题 1．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． (1)若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． (2)连接，若，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【分析】（1）①分别令，求得，，勾股定理求得，进而根据，即可求解； ②设，则，则，勾股定理建立方程得出，进而分类讨论，即可求解； （2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，证明得出，进而可得当在上时，取得最小值；设，根据勾股定理求得，进而求得的解析式为，设，则，，根据得出，则，再求得的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ②如图所示，过点作轴于点， 设，则，则， 在中，， ∴ ， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设，则，， ∵是等腰三角形， 当时，则， 当时，则， 解得：（舍去）或 ， 当时，则， 解得：， ∴或或； （2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点， ∵，， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，取得最小值； 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设，则，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当最小时，点的坐标为． 【点睛】本题考查了一次函数，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，两点之间线段最短；熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点． (1)求线段的长； (2)当时，求点的坐标； (3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连接，，求线段的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点坐标，得出，再根据等面积法建立等式，计算即可作答． （2）设点D的坐标为，结合，表达出的值，再结合（1）求出的解析式，表达出点F的坐标，根据建立等式，计算即可作答． （3）在上取点，，连接，运用勾股定理求出，然后得到，根据全等性质，得，，点，，三点共线时，则有最小值，根据勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点， ∴当，则，故； 当，则，故； ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：依题意，设点D的坐标为， ∵过点作直线轴，交直线于点，交直线点．且， ∴当，则， 解得 ∴，即； 过点C作 由（1）知，， ∴， 根据等面积法， 得， ∴， 则， 设直线的解析式为， 把代入， 解得， ∴直线的解析式为， 则点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图：在取，连接，作关于的对称点，连接，， ，，， ，， ，，， ， ， 由对称的性质可知， ， 则点，，三点共线时，则有最小值， 此时最小值． 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合：求一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，勾股定理，综合性强，难度大，运算量大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线交于点P．点C为直线与x轴的交点． (1)求点P的坐标； (2)点是线段上的一个动点（点不与点，重合），过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，设点的横坐标为： ①求线段的长（用含的代数式表示）； ②当点，，三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出的值； (3)过点作轴于点，点在射线上且不与点重合，点在射线上，，连结，，是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①；②或 (3)存在最小值，最小值为 【分析】（1）联立，即可得到点的坐标； （2）①由点的坐标为，得点的坐标为，点的坐标为，即可求出的长度； ②分点是线段的中点或点时线段的中点两种情况讨论，根据中点的性质列出方程即可求出的值； （3）存在最小值．在上取点，使得，连接，证明是线段的垂直平分线，进而证明，得到，得当最小，即点、、三点共线时，取最小值，通过求出的长度从而得到最小值． 【详解】（1）解：由直线与直线交于点， 联立， 解得， 点的坐标为； （2）①轴， 点、、的横坐标相等， 点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， ； ②若点是线段的中点， ，，， ，， 点是的中点， ， 即， 解得，； 若点时线段的中点， ，，， ，， 点时线段的中点， ， 即， 解得； 综上所述，或； （3）存在最小值， 在上取点，使得，连接， 由直线与直线， 得，，， ，， ， ， ， 点的坐标为， ， 轴， 是线段的垂直平分线， ，轴， ，轴， ， 轴， ， ， ，， ， ， ， 得当最小，即点、、三点共线时，取最小值， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的性质与判定，勾股定理，最值问题等，本题的关键是构造全等三角形，把的最小值问题转化为的最小值问题． 地 城 考点05 一次函数与动点问题 1．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线m的函数表达式为，与x轴交于点A，直线n经过点和点，且直线m，n交于点D． (1)求点A，点D的坐标． (2)点P是x轴上的一个动点，求的最小值． (3)点M，N分别是直线m，n上的两点，且不与点A，B重合．当时，直接写出每一组点M和点N的坐标． 【答案】(1) (2)5 (3)点M和点N的坐标分别为、或、或、或、 【分析】（1）在中，令，即可得A点的坐标，由待定系数法可求得直线n的解析式，再与联立即可得点D的坐标； （2）如图：作点C关于x轴的对称点E，连接交x轴于点P，连接，则，结合两点之间线段最短可得此时最小，最小，求出即可解答； （3）先根据两点间距离公式求得、 、，再根据全等三角形性质可得， ，再结合两点间距离公式列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵直线m的函数表达式为，与x轴交于点A， 令，可得，解得：， ∴， 设直线n的解析式为， ∵直线n经过点和点， ∴，解得， ∴直线n的解析式为， 联立两解析式可得：，解得， ∴点D的坐标为． （2）解：如图：作点C关于x轴的对称点E，连接交x轴于点P，连接， ∴，， ∴，此时最小，最小， ∵点D的坐标为，，， ∴，， ∴的最小值为． （3）解：∵，， ， ∴， ， ， 设，， 当时， ， ， ∴，， 解得或，或， ∴点M和点N的坐标分别为、或、或、或、． 【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式、一次函数与二元一次方程组、一次函数与几何图形的变换（轴对称最短路径）综合、全等三角形的性质、两点之间距离的计算方法等知识点，掌握数形结合分析思想是解题的关键． 2．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，并与直线相交于点C． (1)求点C的坐标； (2)如图2，点D在点C右侧的x轴上，过点D作x轴的垂线与直线交于点E，与直线交于点F，且． ①求点E的坐标； ②若点M是射线上的动点，连接，并在左侧作等腰直角，当顶点P恰好落在直线上时，求出对应的点M的坐标． 【答案】(1) (2)①；②点M的坐标为或 【分析】（1）根据两条直线的关系式求出交点坐标即可； （2）①设点E的坐标为，则点F的坐标为：，根据列出关于m的方程，解方程，即可得出答案； ②分，，三种情况分别求出点M的坐标即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， ∴点C的坐标为； （2）解：①设点E的坐标为，则点F的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为； ②当时， 把代入得：， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴点P与点O重合，点B与点M重合， ∴点M坐标为； 当时，过点M作于点G，过点P作于点H，如图所示： 设点M的坐标为，则， ∵点D的横坐标为4， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，   ∴， ， ∴点P的横坐标为：，纵坐标为：， 即， 把代入得： ， 解得：， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，过点M作直线轴，交直线于点K，过点P作直线轴，交直线l于点Q，如图所示： 则四边形是矩形， 同理可证， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴点P的纵坐标为，横坐标为， 即， 把点代入得： ， 解得：， 符合题意， ∴， ∴点M的坐标为：； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求直线的交点坐标，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，注意分类讨论． 3．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D． (1)求点C的坐标和b的值； (2)如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到． ①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标； ②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积． 【答案】(1)C点坐标为，， (2)①； ②右侧， ；左侧， 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后将点C的坐标代入，即可求出b的值； （2）①先证明，得出P为的中点，再分别求出点B和点D的坐标，根据中点坐标公式，即可得出答案； ②过点C作轴于点G，过点C作轴于点H，求出，，分两种情况进行讨论，E在H右侧时和E在H右侧时，分别求出点E的坐标和的面积即可． 【详解】（1）解：令，则， ∴C点坐标为， 把代入得：，解得：； （2）解：①由轴对称性质可知：， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴P为的中点， 对于，令，则， ∴， 对于，令，则， ∴， ∴，即 ； ②过点C作轴于点G，过点C作轴于点H， ∵，， ∴在中，由勾股定理得， 故， ∵， ∴，， ∴根据勾股定理可得：； (Ⅰ)当E在H右侧时，，如图所示： 设，则， 在中，由勾股定理得，，   解得：，     ∴； (Ⅱ) 当E在H左侧时，，此时点P在原点O，如图所示： ∴． 综上， ，或，． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，数形结合，并注意分类讨论． 4．（22-23八年级上·浙江湖州·期末）如图1，直线与x轴，y轴分别交于点和． (1)求直线的函数表达式； (2)点是直线上的一个动点（如图2），点的横坐标为，以线段为边，点为直角顶点在y轴右侧作等腰直角，与x轴交于点C． ①求证：； ②在点的运动过程中，是否存在某个位置，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②存在，的值为或或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）①连接，根据等腰直角三角形的性质，得出，，再根据角之间的数量关系，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据等腰直角三角形的性质和等量代换，得出，进而得出，再根据勾股定理和等量代换，即可得出结论；②根据点的坐标，得出，再根据等边对等角和三角形的内角和定理，得出是等腰直角三角形，然后分三种情况进行分类讨论：当点与点重合时，点与点重合，此时交轴于点，即点与点重合；当时；当时，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，进行求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 由题意得， 解得， ∴直线的函数表达式是； （2）解：①如图，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②存在，理由如下： ∵、， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图，当点与点重合时，点与点重合，此时交轴于点，即点与点重合， ∴， ∴为等腰三角形， ∴此时； 如图，当时， ∵为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 即， 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的定义、全等三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和分类讨论思想． 地 城 考点06 一次函数与旋转、翻折、对称问题 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知直线l的函数表达式为（b为常数），点，点，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连结，将沿直线l翻折，得，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)求点C的坐标． (2)当点F在y轴上时，求b的值． (3)当与y轴有交点时，求b的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）本题考查旋转的性质与全等三角形的判定与性质，过B作，过C作，根据旋转得到，证明即可得到答案； （2）本题考查轴对称的性质，设点根据轴对称的性质对称轴垂直平分对应点的连线，得到中点在直线上，用表示出，结合折叠相等列式求解即可得到答案； （3）本题考查轴对称的性质，不等式组的应用，及一次函数的应用，分别表示出，的坐标，结合有交点列不等式组求解即可得到答案； 【详解】（1）解：过B作，过C作， ∵绕点A顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵点F在y轴上， ∴设点， ∵沿直线l翻折，得， ∴点在上，且， ∴， 解得：， 当时，， ∴， ∴ 解得：； （3）解：∵与y轴有交点， ， ∴当点在y轴上时，设点， ∵沿直线l翻折，得， ∴点在上，且， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 当点D在y轴上时，设点， ∵沿直线l翻折，得， ∴点在上，且， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴． 2．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线与轴交于点，，为直线上一动点． (1)填空：线段_______；直线AC的函数表达式为_______． (2)当点P运动到某一位置时，是直角三角形，求点的坐标． (3)当是直角三角形时，作直线，将沿直线翻折，翻折后点的对应点为．请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为：或 (3)B′或， 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、一次函数的图象和性质、图形的翻折等，分类求解是解题的关键． （1）由，得出，利用含角的直角三角形的性质可得，则，可得点，利用待定系数法即可求解； （2）设点，根据两点间距离公式可得，，，当为斜边时，利用勾股定理列出等式即可求解；当或为斜边时，同理可解； （3）当点P的坐标为时，作轴于，根据折叠性质得出，，根据三角形内角和定理及平角的定义得出，利用含角的直角三角形的性质即可求出坐标，当点P的坐标为时，可求出直线解析式为，利用面积法可得，设，利用两点间距离公式可求出，可得点坐标，利用中点坐标公式即可求出坐标，综上即可得答案． 【详解】（1）， 解：∵，则，， ∴， ∴，则点， 设直线的表达式为， ∴， 解得： ∴直线的表达式为：， 故答案为：，； （2）设点， 由点A、B、P的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：（舍去）或， ∴点； 当为斜边时，, 解得， ∴点P， 当为斜边时， 解得：（舍去）， 综上，点P的坐标为：或； （3）当点P的坐标为时，如图，作轴于， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， ∴， 如图，当点P的坐标为时，则， 设直线解析式为，与交于点， ∴， 解得：，直线解析式为， 由折叠性质可知：垂直平分， ∵， ∴， 解得：， 设， ∴， 解得：， ∴点， 由中点坐标公式得：点， 综上，B′或． 3．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． (1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）． (2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围． (3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)k的取值范围为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）分别把代入函数解析式，解方程，进一步得出结果； （2）求出，根据恰好落在的内部得出不等式组，求解即可； （3）可推出，，进而得出，从而得出轴，从而得出，求得直线的解析式后，代入求得的值，进而得出结果；当点在轴上时，可求得点，，求得直线直线的解析式后，与直线的解析式联立成方程组，进一步得出结果． 【详解】（1）解：当时， ，， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E． ∴ 解得：． （3）解：如图1， 当点落在轴上时，设， 关于直线的对称点为， ，， 当时，， ， 点是的中点， ， ，， ， ， ， 轴， ，， ， 轴， ， 过， ， ， ， 由得， ， ， 如图2， 当点在轴上时， ，， ， ， ， ， ，即， 设直线的解析式为：， ， ， ， 由得， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解法，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 地 城 考点07 一次函数与新定义题 1．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【分析】（1）依据题意，设一次函数的解析式为，从而，即可求得一次函数的解析式为，故可得该一次函数的“相反函数”为的解析式，从而可以作图； （2）依据题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质，进而判断得解； （3）依据题意，根据图形先可得平分的角平分线与对边的交点坐标为，再求出当平分时，的坐标，最后由对称性可得另外一点，进而得解． 【详解】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为， ， ． 一次函数的解析式为． 该一次函数的“相反函数”为． 作图如下． ； （2）解：由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质： ①两个函数的图象关于轴对称； ②两个函数的图象都过点．（答案不唯一） （3）解：由题意，作图如下． 由题意，是等腰三角形． 平分． 此时角平分线与对边的交点坐标为． 当平分时，作于， 又， ． ． ． ． 设， ． 又在中，， ． ． ． 直线为：． 又为， ． 过的角平分线与对边交点坐标为． 又根据对称性， 过的角平分线与对边交点坐标为． 综上，的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，“相反函数”的定义．解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键． 2．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）定义：在一个三角形中，一边上的中线等于该边的倍，则称该三角形为“中根三角形”，该中线为三角形的“中根线”．    (1)如图1，为等边三角形，且，证明：为“中根三角形”． (2)已知为的“中根线”，． 如图2，若，求的面积； 如图3，以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．问：当为何值，有且只有一个点落在直线上？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)；存在， 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，三角形面积等知识，解题的关键是读懂题意，理解“中根三角形”和的“中根线”的定义． （1）作的中线，由是等边三角形，可求出，，故，从而为“中根三角形”； （2）①过B作于K，根据为的“中根线”， ，可得，，又，，知，故，可求出，从而； ②当时，设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，则，，过点D作于点H，由的面积可得．根据垂线段最短可得，而当有且只有一个点C落在直线上时，，得到，即可求解．当时，同理可求解． 【详解】（1）证明：作的中线，如图：    ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴为“中根三角形”； （2）解：①过B作于K，如图：    ∵为的“中根线”，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴的面积为； ②存在，理由如下： 当时，如图：    设直线与x轴交于点M，与y轴交于点N， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， ∴，，， 过点D作于点H， ∴， 即， ∴． ∵为的“中根线”，， ∴， ∵点C落在直线上， ∴由垂线段最短可得， ∴当有且只有一个点C落在直线上时，， ∴， ∴． 当时，如图：    同理可得． 综上所述，当时，有且只有一个点落在直线上． 地 城 考点08 一次函数的实际应用—表格素材题 1．（24-25八年级上·浙江温州·期末）根据提供的材料解决问题． 材料一 内容 某商贸公司经销甲、乙两个品种的葡萄，甲种葡萄进价为5元/斤：乙品种葡萄的进货总金额（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的关系如图所示，经过试销，在城市销售甲、乙两个品种葡萄的售价分别为7元/斤和14元/斤．    材料二 在葡萄节开节当日，该商贸公司收购了甲、乙两个品种的葡萄共2000斤，其中乙品种的收购量不低于400斤，且不高于1000斤． 材料三 葡萄运到城市，商场发现顾客对甲、乙两个品种葡萄都很喜欢，于是决定把两种葡萄进行混合销售，并适当让利给消费者． 任务一 求图中直线函数解析式． 任务二 若从收购点运到商场的其他各种费用还需要200元，收购的葡萄能够全部卖完，设销售完甲、乙两个品种的葡萄所获总利润为元（利润销售额成本）．求出（单位：元）与乙品种葡萄的进货量（单位：斤）之间的函数关系式，并为该商贸公司设计出获得最大利润的收购方案． 任务三 在任务二获得的最大利润的基础上，商场把最大利润的让利给购买者，那么混合销售葡萄的销售价应定为多少？ 【答案】任务一： 任务二：，乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤 任务三：9.55元/斤 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． 任务一：利用待定系数法求解即可； 任务二：根据题意，分别将甲、乙两种葡萄的进货量及各自的销售总额用含x的代数式表示出来，再根据“总利润甲品种葡萄的利润乙品种葡萄的利润”列式并化简，根据w随的变化情况和x的取值范围，确定当x为何值时w取最大值，并求出最大值，从而求出此时甲品种葡萄的进货量； 任务三：求出混合销售葡萄获得的利润及甲、乙两种品种葡萄的进货总金额，从而计算出成本，根据“销售定价（成本利润）销售数量”作答即可． 【详解】解：任务一：设直线函数解析式为, 将，代入，得 ， 解得， ∴直线函数解析式为． 任务二：由题意可得：乙葡萄的进货量为x斤，甲葡萄的进货量为斤， 乙葡萄的利润， 甲葡萄的利润， ∴， ∵， ∴时，利润最大， 此时 ， 即乙葡萄的进货量为1000斤，甲葡萄的进货量为1000斤． 任务三：当利润最大时，甲、乙葡萄的进货量都为1000斤， 总成本（元）， 总利润（元）， 让利给购买者后的利润（元）， 总销售额为：（元）， 销售价（元/斤）， 即销售价应定为：9.55元/斤． 2．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】机场监控问题． 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 机场监控问题的思考 素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行． 素材2 2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方从原点处沿角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． 问题解决 任务1 求解析式和速度 求出段关于的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度； 任务2 求解析式和坐标 求出段关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； 任务3 计算时长 通过计算说明两机距不超过的时长是多少． 【答案】任务1：；任务2：预计2号机着陆点的坐标为；任务3： 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． 任务1：设段h关于s的函数解析式为正比例函数的一般形式，根据与水平方向的夹角求出k值，从而求出对应函数解析式；根据勾股定理，求出点O与A的距离，1号机与2号机在水平方向的速度相同，由速度＝路程÷时间求出2号机的爬升速度即可； 任务2：先求出点B的坐标，再利用待定系数法求出段h关于s的函数解析式；当时对应s的值，从而求得2号机着陆点的坐标； 任务3：分别求出2号机在段和段时对应的s的值，根据图象，当s处于这两者之间时不超过，根据时间＝路程÷速度求解即可． 【详解】解：任务1：∵号飞机爬升角度为， ∴上的点的横纵坐标相同． ∴． 设的解析式为：， ∴． ∴． ∴的解析式为：．     ∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方， ∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同． ∵2号机爬升到处时水平方向上移动了，飞行的距离为， 又1号机的飞行速度为， ∴2号机的爬升速度为：．         任务2：设的解析式为， 由题意：点的横坐标为， ∴， 又， ∴，解得：． ∴的解析式为．             令，则． ∴预计2号机着陆点的坐标为．         任务3：∵不超过， ∴． ∴， 解得：．                 ∴两机距离不超过的时长为：． 3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）浦江“包子计划”开展的如火如荼，众多居民希望通过卖包子增加收益．根据提供的材料解决问题． 项目 内容 材料一 “沁园包子”店铺开张，经营早餐销售，有菜包、肉包、豆浆等类型早餐，客户可自行搭配．菜包2元/个，豆浆2元/碗，肉包的总金额y（单位：元）随购买个数x（单位：个）之间的关系如图所示，坐标，均经过该分段函数．    材料二 经过试销，“沁园包子”店铺推出套餐A和套餐B，如下：    套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，6元  套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，7元 现在某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 材料三 为了吸引顾客，扩大市场，“沁园包子”店铺决定开办线上外卖（运费在3km以内4元，超过3km后每1km收费1元），并对包子和豆浆进行优惠，具体方案如下： 方案一：全场九折（不包括运费） 方案二：①每买5个肉包赠送2个菜包 ②每买3个菜包赠送1碗豆浆 方案三：每购买材料二中的套餐任意2份，赠送肉包2个 任务一 求购买肉包的总价y（单位：元）与购买肉包个数x（单位：个）之间的函数关系式，并写明自变量的取值范围． 任务二 在材料二中，若该顾客想要在一定资金内买到心仪的早餐，求他最多能买肉包的个数、菜包的个数以及豆浆的碗数． 任务三 家住距离早餐店14km的某客户想要在“沁园包子”店铺购买早餐，该客户用预算100元的资金购买早餐，计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，用买包子剩下的钱买豆浆．若该客户想用材料三中的一种方案购买早餐，在买包子的钱最少的前提下，求他所能买的最多的豆浆碗数，并列举此时该客户的购买方案． 【答案】任务一：（且为整数），（且为整数）；任务二：他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗．任务三：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆即可． 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，理解题意，清晰的分类讨论是解本题的关键； （1）直接利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据购买任意种类包子6个，豆浆2碗，结合套餐中豆浆的数量，再选择购买方式即可； （3）分三种情况依次列不等式进行讨论即可． 【详解】解：任务一：当且为整数，设此时函数解析式为， ∴把代入可得：， 解得：， 此时解析式为， 当且为整数时，设此时函数解析式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴此时函数解析式为：， 任务二：∵某顾客有资金30元，想购买任意种类包子6个，豆浆2碗． 选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，2份，付元，满足题意， 选套餐A：2菜包+1肉包+1豆浆，1份，付元， 再购买3个肉包，1份豆浆，付元，满足题意， 选套餐B：1菜包+1肉包+2豆浆，1份，再买4个肉包，付元，符合题意， ∴他最多能买肉包的5个数、此时菜包1个数，豆浆2碗． 任务三：∵计划购买肉包不少于20个，菜包不多于20个，在买包子的钱最少的前提下， ∴肉包买20个，菜包买0个， 设购买豆浆碗， 选择方案一：， 解得：， ∴的最大值为：， 选择方案二：购买20个肉包，赠送了8个菜包， ∴， 解得：， ∴的最大值为：， 选择方案三：选择A套餐10份，则肉包有20个， ∴， 解得：， 此时购买豆浆的最大数量为（碗）， 选择B套餐10份，则肉包有20个， ∴， 解得：， 此时购买豆浆的最大数量为（碗）， 同理可得：选择A，B套餐共10份，购买豆浆的数量不会超过27碗， 综上：在买包子的钱最少的前提下，顾客所能买的最多28豆浆碗，此时按方案一购买20个肉包，0个菜包，碗豆浆即可． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $