第二十二章 二次函数练习课件 2025-2026学年 人教版九年级数学上册

第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 （第2课时） 阅读教材第29~30页画二次函数y=x2的图象的全过程． （1）观察列表中x与y的对应值，当x取±3、±2、±1等互为相反数的值时，对应的y的值有什么特征？点（a，a2）关于y轴的对称点（-a，a2）是否在函数y=x2的图象上？由此可以说明，函数y=x2的图象有什么特征？ （2）观察所画的函数y=x2的图象，可知：函数y=x2的图象是一条曲线，称之为 ，y=x2的图象的对称轴是 ， 是抛物线y=x2的顶点，它是抛物线y=x2的最 点． 略 抛物线 y轴 （0，0） 低 典例精析 例 在同一坐标系中，画出函数y=-x2和y=-2x2的图象.在同一坐标系内，抛物线y=-x2和y=-2x2的图象相比有什么共同点和不同点？ 解：（1）列表如下： （2）描点：描出相应的各点坐标. （3）连线：分别画出函数y=-x2和函数y=-2x2的图象． ①共同点：它们的开口都向下，对称轴都是y轴，顶点都是原点. ②不同点：开口的大小不同，a越小，开口越小． 基础性作业 1.抛物线y=x2，y=x2，y=-x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称，其中正确的个数有（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：B 2.抛物线y=-3x2，y=3x2，y=-5x2共有的性质特征是（ ）． A.开口向上 B.都有最高点 C.对称轴是y轴 D.开口大小一样 3.抛物线y=-x2的开口方向向 ；除了它的顶点，抛物线上的点都在x轴的 方，它的顶点是图象的最 点． 答案：C 下 下 高 提升性作业 1.在同一直角坐标系中，函数y=kx和y=kx2（k≠0）的图象大致是（ ）. 答案：D 2.抛物线y=ax2的顶点坐标是 ，a越大，抛物线的开口就 ；a越小，开口就 ． 3.请按要求画出函数y=x2的图象. （1）列表； （0，0） 越小 越大 (2)描点； （3）连线； （4）请判断点（4，8），是否在函数图象上. 答案：当x=4时，y=8；当x=-时，y=≠-.∴点（4，8）在函数图象上，点不在函数图象上. 拓展性作业 1.对于抛物线y=ax2和y=-ax2（a≠0），下列说法中正确的有（ ）. ①两条抛物线关于x轴对称； ②两条抛物线关于原点中心对称； ③两条抛物线各自关于y轴对称； ④两条抛物线没有公共点． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 2.求符合下列条件的抛物线y=ax2（a≠0）的关系式： （1）经过点（-2，8）； y=2x2. （2）与y=x2的开口大小相等，方向相反． y=-x2． $第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质（2）（第5课时） 1.观察教材第35页的图象，填表： 2.把抛物线y=-x2向 平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=-（x+1）2-1． 略 下 1 左 1 典例精析 例 画出函数y=-（x+2）2-1的图象，并指出它的开口方向、对称轴及顶点.抛物线y=-x2经过怎样的变换可以得到抛物线y=-（x+2）2-1？ 解：函数y=-（x+2）2-1的图象如图所示．它的开口向下，对称轴是直线x=-2，顶点是（-2，-1）.把抛物线y=-x2向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度就可以得到抛物线y=-（x+2）2-1． 基础性作业 1.填表： 形状 2.抛物线y=6x2+3与y=6（x-1）2+10 相同，而 不同． 位置 提升性作业 1.抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2形状 ，位置 ． 2.二次函数y=3(x-h)2+k的图象如图所示，下列判断正确的是（ ）. A.h＞0，k＞0 B.h＞0，k＜0 C.h＜0，k＞0 D.h＜0，k＜0 相同 不同 答案：B 3.顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y=x2相同的解析式为（ ）. A.y=（x-2）2+3 B.y=（x+2）2-3 C.y=（x+2）2+3 D.y=-（x+2）2+3 答案：C 4.抛物线y=2（x+3）2+4的开口向 ，对称轴是 ，顶点是 ． 5.把抛物线y=4x2向下平移3个单位长度就得到抛物线 . 6.把抛物线y=-8x2向右平移5个单位长度就得到抛物线 ． 上 x=-3 （-3，4） y=4x2-3 y=-8(x-5)2 拓展性作业 1.已知二次函数y=-(x-h)2+1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为-5，则h的值为（ ）. A.3-或1+ B.3-或3+ C.3+或1- D.1-或1+ 答案：C 2.抛物线y=100（x-8）2+5是怎样由y=100x2平移得到的？ 把抛物线y=100x2先向右平移8个单位长度，再向上平移5个单位长度，就得到y=100(x-8)2+5. $第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 22.3.1 实际问题与二次函数（第9课时） 1.观察右面图象： 1.一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值 . 2.抛物线y=a（x-h）2+k中，当x= 时，有最小（大）值 . 3.抛物线y=-（x+1）2+2中，当x= 时，y有 值，是 ． 4.抛物线y=x2-x+1中，当x= 时，y有 值，是 ． 5.一个矩形的周长是50，一边长是x，这个矩形的面积y与x的函数关系式是 .当x= 时，这个矩形的面积y有最大值，最大值为 ． - - h k -1 最大 2 1 最小 - y=x（25-x） 12.5 156.25 典例精析 例1 小张想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化． （1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？ 解：（1）S=x（30-x），即S=-x2+30x（0<x<30）. （2）S=-x2+30x=-（x2-30x）=-（x2-30x+152-152）=-（x-15）2+225，当x=15米时，矩形场地的面积最大，且最大面积是225平方米． 例2 一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12.用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D，E，F分别在AC，AB，BC上.要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？ 解：设AE=x，长方形CDEF的面积为y． ∵∠A=30°，∠C=90°，AB=12，∴DE=AE=x，EB=12-x. 在Rt△EFB中，∠FEB=∠A=30°，∴FB=BE=(12-x). ∴EF===（12-x）. ∴长方形CDEF的面积=EF·DE=（12-x）·x=-x2+3x. ∴y=-x2+3x（0<x<12）. 配方，得y=-（x-6）2+9. 当x=6时，函数有最大值． 故要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在AB的中点． 基础性作业 1.二次函数y=-（x-3）2+4中，当x= 时，函数有最 值，且这个值为 ． 2.将抛物线y=x2+4x+10配方成y=a（x-h）2+k的形式得 ，当x= 时，函数的最 值是 ． 3.用总长为48 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长x m的变化而变化，当x是多少时，场地的面积S最大？ 3 大 4 y=(x+2) 2+6 -2 小 6 S=x(24-x)=-(x-12)2+144，当x=12时，场地面积S最大. 提升性作业 1.如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形.当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ 在正方形ABCD和EFGH中，∠A=∠B=90°，HE=EF，又∵∠AEH+∠BEF=90°，∠AEH+∠AHE=90°，∴∠BEF=∠AHE.∴△AEH≌△BFE.∴AE=BF.设正方形ABCD的边长为1，AE=x，正方形EFGH的面积为y，则有EB=1-x.在Rt△EBF中，EF2=EB2+BF2，EF2=(1-x)2+x2=2x2-2x+1，又∵正方形EFGH的面积为EF2，∴y=2x2-2x+1，配方，得y=22+.当x=时，函数有最小值，故点E位于AB的中点时，正方形EFGH的面积最小． 2.某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米． （1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围； y=30－2x（6≤x＜15）. （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大？求出这个最大值； 设矩形苗圃园的面积为S平方米，则S=xy=x（30－2x）=－2x2＋30x， ∴S=－2（x－7.5）2＋112.5.由（1）知，6≤x＜15，∴当x=7.5时，S最大，为112.5.即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5平方米. （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围. 4≤x≤11． 拓展性作业 1.某山区不仅有美丽的风光，也有许多受市场青睐的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本10元，试销阶段每袋成本10元，试销阶段销售价x（元/袋）与该土特产的日销售量y(袋)之间的关系如表. （1）若日销售量y(袋)是销售价x(元/袋)的一次函数，求y与x之间的函数关系式； （2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，设每日销售土特产的利润为w（元），试求： ①求w与x之间的函数关系式； 依题意，设利润为w元，得w=(x-10)(-x+40)=-x2+50x-400. ②要使这种土特产每日销售的利润最大，销售价应定为多少元/袋？每日销售的最大利润是多少元？ 由w=-x2+50x-400整理，得w=-(x-25)2+225.∵-1＜0，∴当x=25时，w取得最大值，最大值为225.∴使这种土特产每日销售的利润最大，销售价为25元/袋，最大利润是225元. 2.已知在△ABC中，边BC的长与BC边上的高的和为20． （1）写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式，并求出面积为48时BC的长； 依题意，得y=x(20-x)=-x2+10x(0<x<20).解方程，得48=-x2+10x，得x1=12，x2=8，∴当△ABC的面积为48时，BC的长为12 或8. （2）当BC多长时，△ABC的面积最大？最大面积是多少？ 由(1)得y=-x2+10x=-(x-10)2+50，∴当x=10，即BC=10时，△ABC的面积最大，最大面积是50. （3）当△ABC的面积最大时，是否存在其周长最小的情形？如果存在，请说明理由，并求出其最小周长；如果不存在，请给予说明原因． 当△ABC的面积最大时，存在△ABC的周长最小的情形，理由如下：由(2)可知△ABC的面积最大时，BC=10，BC边上的高也为10.如图，过点A作直线l平行于BC，作点B关于直线l的对称点B′，连接B′C交直线l于点A′，再连接A′B，AB′，则由对称性得A′B′=A′B，AB′=AB，∴A′B+A′C=A′B′+A′C=B′C.当点A不在线段B′C上时，则由三角形三边关系可得：AB+AC+BC=AB′+AC+BC>B′C+BC.当点A在线段B′C上时，即点A与A′重合，这时AB+AC+BC=A′B′+A′C+BC=B′C+BC.因此当点A与A′重合时，△ABC的周长最小.这时由作法可知BB′=20，∴B′C==10.∴最小周长为10+10.∴当△ABC的面积最大时，存在其周长最小的情形，最小周长为10+10． $第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 （第8课时） 1.观察右面图象： （1）二次函数y=x2+x-2的图象与x轴有 个公共 点，则一元二次方程x2+x-2=0的根的判别式Δ 0； （2）二次函数y=x2-6x+9的图象与x轴有 个公共 点，则一元二次方程x2-6x+9=0的根的判别式Δ 0； （3）二次函数y=x2-x+1的图象与x轴 公共点，则一元二次方程y=x2-x+1的根的判别式Δ 0． 2 ＞ 1 = 没有 ＜ 2.已知二次函数y=-x2+4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ．反之，解一元二次方程-x2+4x=3，又可以看作已知二次函数 的函数值为3，求自变量x的值． 一般地，已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2+bx+c=m.反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m，又可以看作已知二次函数y=ax2+bx+c的函数值为m，求自变量x的值． -x2+4x=3 y=-x2+4x 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系： 一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式Δ=b2-4ac． （1）当Δ=b2-4ac>0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个公共点； （2）当Δ=b2-4ac=0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴只有一个公共点； （3）当Δ=b2-4ac<0时抛物线y=ax2+bx+c与x轴没有公共点． 典例精析 例1 已知二次函数y=x2+5x+8. （1）当x=-2时，求函数的值； （2）当函数值为2时，求自变量x的值． 解：（1）把x=-2代入y=x2+5x+8中，得y=（-2）2+5×（-2）+8=2. （2）把y=2代入y=x2+5x+8中，得2=x2+5x+8， ∴x2+5x+6=0. ∴（x+2）（x+3）=0. ∴x1=-2，x2=-3. 例2 已知抛物线y=x2-5x+6与x轴相交于A，B两点，且A在B的左边，与y轴相交于点C. （1）画出此抛物线； （2）写出A，B，C三点的坐标； （3）求△ABC的面积． 解：（1）如图所示． （2）A（2，0），B（3，0），C（0，6）. （3）S△ABC=AB·OC=×（3-2）×6=3． 例3 已知抛物线y=x2-2kx+k2+3.求证： （1）不论k为何值，抛物线与x轴一定没有交点； （2）不论k为何值，抛物线与y轴一定相交于正半轴. 证明：（1）把y=0代入y=x2-2kx+k2+3，得x2-2kx+k2+3=0. ∵Δ=（-2k）2-4（k2+3）=4k2-4k2-12=-12＜0， ∴不论k为何值，抛物线与x轴一定没有交点． （2）当x=0时，y=k2+3． ∵不论k为何值，k2≥0， ∴抛物线与y轴的交点（0，k2+3）一定在正半轴． 基础性作业 1.二次函数y=x2-3x+2，当x=1时，y= ；当y=0时，x= ． 2.二次函数y=x2-4x+6，当x= 时，y=3． 3.如图，一元二次方程ax2+bx+c=0的解为 . 4.如图，一元二次方程ax2+bx+c=3的解为 . 0 1或2 1或3 x1=-1，x2=4 x1=0，x2=2 5.如图，填空： （1）a 0； （2）b 0； （3）c 0； （4）b2-4ac 0. ＞ ＜ ＞ ＞ 提升性作业 1.如图，填空： （1）a+b+c 0； （2）a-b+c 0； （3）2a-b 0. 2.如图，填空： （1）2a+b 0； （2）4a+2b+c 0. ＜ ＞ ＜ = ＞ 3.二次函数y=2x2-4x-6的图象与x轴的公共点的坐标是 ，与y轴的公共点的坐标是 ，以这三点为顶点的三角形的面积是 ． 4.已知抛物线y=ax2+x+c与x轴的公共点的横坐标为-1，则a+c= ． （-1，0），（3，0） （0，-6） 12 1 拓展性作业 1.如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（-1，0）.下列结论：①ab<0；②b2>4a；③ 0<a+b+c<2；④ 0<b<1；⑤当x>-1时，y>0.其中正确结论的个数是（ ）. A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 答案：B 2.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，割裂分家万事非.切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”数形结合是解决数学问题的重要思想方法.请结合所学的数学知识解决下列问题. 在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点. 设函数y=（k+2）x2-（3k-2）x+2k-4（实数k为常数）的图象为图象T. （1）求证：无论k取什么实数，图象T与x轴总有公共点； 证明：①当k+2=0，即k=-2时，函数y=8x-8为一次函数.当y=0时，8x-8=0，解得x=1.∴图象T与x轴有公共点（1，0）； ②当k+2≠0，即k≠-2时，函数y=（k+2）x2-（3k-2）x+2k-4为二次函数，当y=0时，（k+2）x2-（3k-2）x+2k-4=0为一元二次方程. Δ=［-（3k-2）］2-4（k+2）（2k-4）=k2-12k+36=（k-6）2. ∵（k-6）2≥0，∴Δ≥0.∴一元二次方程（k+2）x2-（3k-2）x+2k-4=0总有实数根，∴图象T与x轴总有公共点. 综上所述，无论k取什么实数，图象T与x轴总有公共点. （2）是否存在非负整数k，使图象T与x轴的公共点都是整点？若存在，求所有非负整数k的值；若不存在，请说明理由. 解：存在非负整数k，使图象T与x轴的公共点都是整点.理由如下： ①当k=-2时，由（1）知，图象T与x轴有公共点（1，0），不符合题意； ②当k≠-2时，函数y=（k+2）x2-（3k-2）x+2k-4为二次函数. 当y=0时，（k+2）x2-（3k-2）x+2k-4=0为一元二次方程，将方程左边分解因式，可得：（x-1）［（k+2）x-（2k-4）］=0，∴x-1=0或（k+2）x-（2k-4）=0，∴x1=1或x2=，∵x2==2-8k+2，k是非负整数，∴k≥0，∴k+2≥2，∴当k+2是8的因数且k+2≥2时，x2=是整数， ∴k+2=2或k+2=4或k+2=8，∴k=0或k=2或k=6，综上所述，存在非负整数k，使图象T与x轴的公共点都是整点，非负整数k的值为0或2或6. $第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 22.3.2 实际问题与二次函数（第10课时） 1.小明存入银行人民币2000元，年利率为x，两年后，本利和为y元，则y与x之间的函数关系是 ，若年利率为7%，两年后的本利和为 元． 2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？ y=2000×（1+x）2 2289.8 （1）设每件涨价x元，则每星期少卖 件，实际卖出 件.设商品的利润为y1元，则y1与x的函数关系式为 . （2）设每件降价x元，则每星期多卖 件，实际卖出 件.设商品的利润为y2元，则y2与x的函数关系式为 . 10x 300-10x y1=（300-10x）（60+x-40） 20x 300+20x y2=（300+20x）（60-x-40） 典例精析 例某宾馆有客房90间，当每间客房的定价为每天140元时，客房会全部住满；当每间客房每天定价每涨10元时，就会有5间客房空闲，如果旅客居住客房，宾馆需对每间客房每天支出60元的各种费用． （1）写出该宾馆每天的利润y（元）与每间客房每天涨价x（元）之间的函数关系式； （2）设某天的利润为8000元，则8000元的利润是否为该天的最大利润？此时每间客房每天定价应为多少元？ （3）每间客房每天定价在什么范围内宾馆就可以获得利润？ 解：(1)y=［(140+x)-60］，即y=-x2+50x+7200. (2)∵y=-x2+50x+7200=-(x-50)2+8450， ∴当x=50元时，该天的最大利润是8450元.∴8000元的利润不是该天的最大利润. 把y=8000代入y=-(x-50)2+8450，得8000=-(x-50)2+8450.解得x1=20，x2=80. ∴140+x1=160，140+x2=220. ∴此时每间客房每天定价为160元或220元. （3）当y=0时，得0=-(x-50)2+8450，解得x1=-80，x2=180. ∴140+(-80)=60，140+180=320. ∴当每间客房每天的价格定在超过60元而又低于320元时，宾馆就可获利． 基础性作业 1.一篮球运动员跳起投篮，篮球运动的高度y（米）关于篮球运动的水平距离x（米）的函数解析式是y=-(x-2.5)2+3.5.已知篮圈中心到地面的距离是3.05米，如果篮球运行高度达到最高点之后能准确投入篮圈，那么篮球运行的水平距离为（ ）. A.1米 B.2米 C.4米 D.5米 答案：C 2.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 得出结论：①足球距离地面的最大高度为20 m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9 s时落地；④足球被踢出1.5 s时，距离地面的高度是11 m.其中正确结论的个数是（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 3.已知关于x的方程x2-(2m+1)x+m(m+1)=0. （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； 因为Δ=［-(2m+1)］2-4m(m+1)=1＞0，所以方程总有两个不相等的实数根. （2）已知方程的一个根为x=0，求代数式(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值（要求先化简再求值）. 解法1：因为x=0是方程的根，所以m(m+1)=0，解得m=0或m=-1，(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=3m2+3m+5，当m=0时，原式=3×02+3×0+5=5，当m=-1时，原式=3×(-1)2+3×(-1)+5=5. 解法2：(2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=3m2+3m+5=3m(m+1)+5，当m(m+1)=0时，原式=3×0+5=5. 提升性作业 1.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元，则可卖出(350-10x)件. (1)设商店盈利y元，求出y与x之间的函数关系式； y=(x-21)(350-10x)，即y=-10x2+560x-7350. (2)如果物价部门限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品应售多少元？ 当y=400时，得400=-10x2+560x-7350，∴x2-56x+775=0，解得x1=25，x2=31.∵加价不能超过进价的20%，∴最高售价为21(1+20%)=25.2(元). ∴x2=31元不合题意，舍去.∴x=25，350-10x=100.∴要卖出100件商品，每件商品定价为25元. 2.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元.经过市场调查，一周的销售量y（件）与销售单价x （元/件） (x≥50)的关系如下表： (1)直接写出y与x的函数关系式： ； (2)设一周的销售利润为s元，请求出s与x的函数关系式，并确定销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大； y=－10x+1000 s=y（x－40）=－10x2+1400x-40 000，当50≤x≤70时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大. (3) 某地区地震牵动亿万人民的心，商家决定将该商品一周的销售利润全部寄往灾区.在商家购进该商品的货款不超过10 000元的情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元. 由40（-10x+1000）≤10 000得x≥75. ∴当x=75元/件时，利润最大，为8750元．∴该商家最大捐款数额是8750元. 拓展性作业 1.某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元.市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式； ∵w＝（x－20）·y＝（x－20）（-2x+80）＝－2x2+120x-1600， ∴w与x的函数关系式为w＝－2x2+120x-1600. （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ w＝－2x2+120x-1600＝－2(x-30)2+200.∴当x=30时，w有最大值，最大值为200.∴该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润是200元. （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？ 当w=150时，可得方程－2(x-30)2+200＝150.解得x1=25，x2=35.∵35>28，∴x2=35不符合题意，应舍去.∴该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元． 2.某市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润P=-(x-60)2+41（万元）.当地政府拟在规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的三年中，该特产既在本地销售，也在外地销售.在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润Q=-(100-x)2+(100-x)+160（万元）. （1）若不进行开发，五年所获利润的最大值是多少？ 当x=60时，P最大且为41，∴五年获利最大值是41×5=205(万元). （2）若按方案实施，五年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ 前两年：0≤x≤50，此时因为P随x增大而增大，所以x=50时，P值最大且为40万元，∴这两年获利最大为40×2=80(万元).后三年：设每年获利为y万元，若当地投资额为x万元，则外地投资额为（100－x）万元，∴y=P＋Q=+=-x2+60x+165=-(x-30)2+1065，表明x=30时，y最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3195(万元)，∴五年获利最大值为80＋3195－50×2=3175(万元). （3）根据(1)(2)，该方案是否具有实施价值？ 有极大的实施价值． $第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数 22.3.3 实际问题与二次函数（第11课时） 1.以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为 ． 2.如图，有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4米.若洪水到来时，水位以0.5米/时的速度上升，则水过警戒线后 小时淹没到拱桥顶端M处. y=ax2 8 典例精析 例 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示.现测得：当水面宽AB=18 m时，涵洞顶点与水面的距离为9 m.当水面宽CD=6 m时，水位上升了多少？ 解：以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如右图）． 设这条抛物线的函数解析式为y=ax2． 依题意得点A的坐标是（-9，-9）． 把点A（-9，-9）代入y=ax2中，得a=-． ∴这条抛物线的函数解析式为y=-x2． 当水面宽CD=6 m时，点C的横坐标是x=-3． 把x=-3代入y=-x2中，得y=-1． ∴点C的坐标是（-3，-1），此时涵洞顶点与水面距离为1 m，水位上升了8 m． ∴当水面宽CD=6 m时，水位上升了8 m． 基础性作业 1.已知抛物线y=x2+2x-3，当x=2时，y= ；当y=5时，x= ． 2.抛物线y=-4（x-5）2+10，当x= 时，y有最大值，最大值为 ． 3.某工厂大门是抛物线形状，门的地面宽度是20 m，门的最高点离地面8 m，若以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立坐标系，则此抛物线的函数解析式是 ． 5 -4或2 5 10 y=-x2 4.如图，有一个横断面为抛物线形的水泥门洞，门洞内的地面宽AB=8 m.两侧距地面4 m高处各有一盏灯C，D，且CD=6 m.求这个门洞的高度.（精确到0.1 m） 以AB所在的直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系（如图）.∵AB=8，∴A(-4，0)，B(4，0).故可设抛物线为y=a(x-4)(x+4).又∵CD=6，AB，CD相距4 m，∴C(-3，4)，D(3，4).把点D(3，4)代入y=a(x-4)(x+4)，得a=-.∴y=-(x-4)(x+4)=-x2+，即抛物线y=-x2+.∴抛物线的顶点坐标是.≈9.1，故这个门洞的高度约为9.1 m. 提升性作业 1.一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6 m，跨度20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m． （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式为y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a，c的值； ∵C(0，6)，B(10，0)，∴c=6，100a+c=0.∴a=-，c=6. （2）求支柱MN的长度； y=-x2+6，把点N的横坐标x=5代入，得y=4.5，∴MN=10-4.5=5.5(m). （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2 m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m的三辆汽车？（汽车间的间隔忽略不计）请说明你的理由． 可以.理由如下：把y=3代入y=-x2+6，得x=±5.设抛物线第一象限的点P的纵坐标为3，则P（5，3）.作PD⊥OB于点D，则OD=5，而OD-1≈6.07（m），故可以． 2.某水渠的横截面呈抛物线形，水面的宽为AB（单位：m）.现以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.已知AB=8 m，设抛物线的解析式为y=ax2-4． （1）求a的值； ∵AB=8，由抛物线的对称性可知OB=4， ∴B(4，0)，0=16a-4.∴a=. （2）点C（-1，m）是抛物线上一点，点C关于原点O的对称点为点D，连接CD，BC，BD.求△BCD的面积． 过点C作CE⊥AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F.∵a=， ∴y=x2-4.把C(-1，m)代入，得m=×(-1)2-4，∴m=-.∴C. ∵点C关于原点的对称点为D，∴D.∴CE=DF=． ∴S△BCD=OB·DF+OB·CE=×4×+×4×=15（m2）. 拓展性作业 1.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20 m，当水位上升3 m时，水面CD的宽是10 m． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； 设y=ax2，由D(5，b)，B(10，b-3)，得b=25a，b-3=100a， ∴a=-.∴解析式为y=-x2. （2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发，需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280 km（桥长忽略不计）.货车正以40 km/h的速度开往乙地，当行驶1 h时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以0.25 m/h的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点时，禁止车辆通行）.如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少？ ∵货车从接到通知到行驶到此桥需280÷40-1=6(h).当x=5时，y=-1，即水位CD到桥最高点为1 m，∴水上升到桥顶需1÷0.25=4 (h)，∴不能安全通过.∵（280-40）÷4=60（km/h），∴要使货车安全通过此桥，速度应超过60 km/h． 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴上的两点，C，D为y轴上的两点，经过点A，C，B的抛物线的一部分C1与经过点A，D，B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”.已知点C的坐标为，点M是抛物线C2：y=mx2-2mx-3m（m＜0）的顶点． （1）求A，B两点的坐标； 令y=0，则mx2-2mx-3m=0. ∵m＜0，∴x2-2x-3=0.解得x1=-1，x2=3． ∴A（-1，0），B（3，0）. （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； 存在.理由如下：设抛物线C1的表达式为y=a（x+1）(x-3)（a≠0）， 把C代入可得a=.∴Ｃ1：y=x2-x-. 设P，则S△PBC=S△POC+S△BOP–S△BOC=-2+.∵a=-<0， ∴当n=时，S△PBC最大，为． （3）当△BDM为直角三角形时，求m的值． 由C2可知： B（3，0），D（0，-3m），M（1，-4m）.BD2=9m2+9， BM2=16m2+4，DM2=m2+1.∵∠MBD<90°， ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况.①当∠BMD=90°时，BM2+DM2=BD2，16m2+4＋m2+1=9m2+9.解得m1=-， m2=（舍去）.②当∠BDM=90°时，BD2+DM2=BM2，9m2+9＋m2+1=16m2+4.解得m1=-1，m2=1（舍去）.综上 m=-1或m=-时，△BDM为直角三角形. $第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质（1）（第3，4课时） 1. 观察教材第32页二次函数y=2x2+1，y=2x2，y=2x2-1的图象，填表： 略 2.观察教材第34页二次函数y=-（x+1）2，y=-x2 ，y=-（x-1）2的图象，填表： 略 典例精析 例 画出二次函数y=-（x+2）2，y=-（x－2）2的图象，并回答下列问题： （1）说出它们的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）抛物线y=-（x+2）2，y=-（x－2）2与y=-x2有什么关系？ 解：先列表： 然后描点画图，得y=-（x+2）2，y=-（x－2）2的图象（如图）. （1）抛物线y=-（x+2）2的开口向下，对称轴是x=-2，顶点是（－2，0）； 抛物线y=-（x-2）2的开口向下，对称轴是x=2，顶点是（2，0）. （2）可以发现，把抛物线y=-x2向左平移2个单位长度，就得到抛物线y=-（x+2）2；把抛物线y=-x2向右平移2个单位长度，就得到抛物线y=-（x－2）2． 基础性作业 1.填表： 略. 2.抛物线y=x2-2x+m2+2(m是常数)的顶点在（ ）． A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：A 提升性作业 1.把抛物线y=-x2向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=-（x+3）2. 2.把抛物线y=-x2向 平移 个单位长度，就得到抛物线y=-（x-7）2． 左 3 左 3 3.把抛物线y=-x2向左平移5个单位长度，就得到抛物线 . 4.把抛物线y=x2向右平移6个单位长度，就得到抛物线 ． y=-(x+5)2 y=(x-6)2 拓展性作业 1.抛物线y=-2x2+1通过变换可以得到抛物线y=-2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（ ）. A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 C.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 答案：D 2.把抛物线y=4x2向左平移3个单位长度就得到抛物线 . 3.把抛物线y=-8x2向右平移5个单位长度就得到抛物线 ． y=4(x+3)2 y=-8(x-5)2 $第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和 性质（1）（第6课时） 1.抛物线y=a（x-h）2+k的顶点是 ，对称轴是 ． 2.将抛物线y=12x2-6x+21配方得 ，顶点是 ． 3.抛物线y=ax2+bx+c的顶点是 ，对称轴是 ． （h，k） x=h y=(x-6)2+3 （6，3） x=- 典例精析 例 已知函数y=（m+2）xm2+m-4-8x+10是关于x的二次函数. （1）求满足条件的m值； （2）m为何值时，抛物线有最低点？这个最低点的坐标是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而增大？ （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？ 解：（1）依题意，得m+2≠0，m2+m-4=2，∴m1=-3，m2=2. （2）当m=2时，抛物线为y=4x2-8x+10=4（x-1）2+6，它的开口向上，有最低点，这个最低点就是顶点（1，6）.当x＞1时，y随x的增大而增大． （3）当m=-3时，抛物线为y=-x2-8x+10=-（x+4）2+26，它的开口向下，有最高点，即函数有最大值，且这个最大值是y=26.当x＞-4时，y随x的增大而减小． 基础性作业 1.用配方法求下列抛物线的顶点坐标： （1）y=x2+4x+7； （2）y=-2x2-4x+1. y=x2+4x+22-22+7=(x+2)2+3，顶点（-2，3）. y=-2(x2-2x)+1=-2(x2-2x+1-1)+1=-2(x-1)2+3，顶点（1，3）. 2.用配方法和顶点坐标公式法求抛物线y=3x2+2x的顶点坐标和对称轴． 3.将抛物线y=x2+4x+3化为y=a（x-h）2+k的形式为 ． 配方得y=32-，顶点，对称轴x=-. 由顶点坐标公式得顶点，对称轴x=-． y=(x+2)2-1 提升性作业 1.填表： 2.抛物线y=2x2+bx+c的顶点坐标是（1，-2），则b＝ ，c＝ ． 3.已知二次函数y=-2x2-8x-6，当x 时，y随x的增大而增大；当x＝ 时，y有最 值，是 ． 4.已知抛物线y=x2-2x-3. -4 0 <-2 -2 大 2 （1）其图象与x轴的交点坐标是 ，顶点坐标是 ； （2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线； （3）结合图象回答：当-2＜x＜2时，函数值y的取值范围是 . (-1，0)，(3，0) (1，-4) -4≤y＜5 拓展性作业 1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图.在下列代数式中①a+b+c>0；②-4a<b<-2a；③abc>0；④5a-b+2c<0.其中正确的个数为（ ）. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：A 2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=24 cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 cm/s的速度移动.如果P，Q分别从A，B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t的变化而变化，写出函数关系式及t的取值范围，并求出当t为何值时，S的值最大，写出最大值. 依题意，得AP=2t，BQ=4t，PB=AB-AP=12-2t. ∴S△PBQ=PB·BQ=（12-2t）·4t=-4t2+24t， 即S=-4t2+24t.又∵t>0，2t<12，4t<24， ∴0<t<6.∵S=-4t2+24t=-4(t-3)2+36， ∴当t=3时，S最大值=36. $第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和 性质（2）（第7课时） 1.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是求出待定系数 的值.由二次函数图象上的三个点的坐标列出关于a，b，c的 ，并求出a，b，c的值，就可以写出二次函数的解析式． 2.二次函数y=ax2+bx或y=ax2+c的解析式，已知二次函数图象上的 个点的坐标就可以求得. 3.二次函数y=ax2的解析式，已知二次函数图象上的 个点的坐标就可以求得.这个点可以是原点吗？ a,b,c 方程组 2 1 不可以是原点 典例精析 例1 已知抛物线经过点A（-1，0），B（4，5），C（0，-3），求抛物线的解析式． 解： 例2 已知抛物线的顶点为（1，-4），且过点（2，-3），求抛物线的解析式． 解：设所求抛物线的解析式为y=a（x-h）2+k， 因为顶点（h，k）为（1，-4），所以-3=a（2-1）2+（-4）. 解得a=1. 所以抛物线的解析式为y=（x-1）2-4 ，即y=x2-2x-3． 基础性作业 1.已知抛物线过点（-1，0），（3，0），（1，-4），则该抛物线解析式为 . 2.设直线x=1是函数y=ax2+bx+c(a，b，c是实数)的图象的对称轴，且2a-b=-4，则a= ，b= . y=x2-2x-3 a=-1 b=2 提升性作业 1.已知抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1轴对称，它的最低点的纵坐标为-1，且抛物线与y轴交于点（0，1），求这个二次函数的解析式． 依题意，得抛物线的顶点坐标为(1，-1)，设抛物线为y=a(x-1)2-1，把点(0，1)代入，得1=a(0-1)2-1，∴a=2.所以这个二次函数的解析式为y=2(x-1)2-1． 2.已知当x=1时，二次函数有最大值2，且函数图象过点（2，-3），求此二次函数的解析式． 因为当x=1时，二次函数有最大值2，所以顶点坐标为(1，2).设此二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2.把点(2，-3)代入，得-3=a(2-1) 2+2，∴a=-5.所以此二次函数的解析式为y=-5(x-1)2+2. 拓展性作业 1.已知抛物线y=-x2+6x-5的顶点为P，对称轴l与x轴交于点A.N是PA的中点，M（m，n）在抛物线上，M关于直线l的对称点为B，M关于点N的对称点为C.当1≤m≤3时，线段BC的长随m的增大而发生的变化是： . .（“变化”是指增减情况及相应m的取值范围） 当1≤m＜3-时，BC的长随m的增大而减小；当3-＜m≤3时，BC的长随m的增大而增大 2.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点（A，B分别在原点的左、右两侧），与y轴相交于点C，OB=OC=4OA，△ABC的面积为40.求： （1）A，B，C三点的坐标； ∵OB=OC=4OA，∴设OA=k，则OB=OC=4k. ∵S△ABC=40，∴AB·OC=40. ∴AB·OC=80. 又∵AB=OA+OB=5k，OC=4k，∴5k·4k=80.∴k=2. ∴OA=2，OB=OC=8. ∴A(-2，0)，B(8，0)，C(0，8). （2）过A，B，C三点的抛物线的解析式． $第二十二章 二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数（第1课时） ◇二次函数的图象与性质 1.如果设正方体的棱长为x，表面积为y，则对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以，y是x的函数，具体关系式为y= ． 2.n边形的对角线条数d与边数n之间的关系为d= . 3.某工厂生产的一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而确定，则y与x之间的关系式为 . 6x2 d= y=20（1+x）2 4.观察上述3题所写出来的三个关系式的共同特点：经化简后都具有y= 的形式． 5.一般地，形如 （a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 自变量的二次式 y=ax2+bx+c 典例精析 例1 函数y=ax2+bx+c中，当a，b，c满足什么条件时是二次函数、一次函数或正比例函数？ （1）当 时是二次函数； （2）当 时是一次函数； （3）当 时是正比例函数. 答案：（1）a≠0. （2）a=0，b≠0. （3）a=c=0，b≠0． 例2 用长为20cm的铁丝，折成一个矩形.设它的一边长为x cm，面积为y cm2． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当边长x=3，矩形的面积y是多少？ （3）当边长x为多少时，矩形的面积为25cm2？ 答案：（1）y=x（10-x）=-x2+10x. （2）当x=3时，y=-9+30=21. （3）当y=25时，-x2+10x=25，∴x=5． 基础性作业 1.下列函数中，是二次函数的是（ ）. A.y= B.y=（x+1）2-3 C.y=（x+1）2-x2 D.y=2x-3 答案：B 2.若函数y=（m+1）x2+2x+1是二次函数，则常数m的取值范围是（ ）. A.m=-1 B.m>-1 C.m<-1 D.m≠-1 答案：D 3.二次函数y=2x（1-x）的一般形式为 ，一次项系数为 ，常数项为0． 4.某厂今年1月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率是x，则该厂今年3月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为 . y=-2x2+2x 2 y=a(1+x)2 提升性作业 写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数： （1）直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式； S=-x2+10x，二次函数. （2）写出圆的面积S与半径x的函数关系式； S=πx2，二次函数. （3）写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式； y=x2，二次函数. （4）写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式． C=2πr，一次函数． 拓展性作业 2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元.销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.现商家决定提价销售，设商家每天销售纪念品获得的利润w元，每天销售量为y个，销售单价为x元. （1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； y=-10x+740（44≤x≤52）. （2）求w与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； 解：根据题意，得w=（-10x+740）（x-40）=-10x2+1140x-29 600，即w=-10x2+1140x-29 600（44≤x≤52）. （3）该店主热心公益事业，决定从每天的利润中捐出200元给希望工程，若捐款后每天剩余利润为2200元，求销售单价x. 解：由题意，可得-10x2+1140x-29 600=2200， 解得x1=64（舍去），x2=50. 答：销售单价是50元. $