专题27.5 圆中的计算问题（高效培优讲义）数学华东师大版九年级下册

本初中数学讲义聚焦圆中的计算问题，系统梳理弧长公式、扇形面积公式及圆锥的侧面积、全面积计算等核心知识点，搭建从平面图形（弧、扇形）到立体图形（圆锥）展开与转化的学习支架，帮助学生构建完整知识脉络。 资料通过实物演示圆锥侧面展开、制作圆锥模型等活动，结合14类题型的典例与变式（如莱洛三角形周长、马面裙扇环计算），培养学生的空间观念和应用意识，课中辅助教师直观教学，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，提升数学思维与问题解决能力。

专题27.5 圆中的计算问题 教学目标 1.经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力. 2.通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力. 3.通过实物演示让学生知道圆锥的侧面展开图是扇形；知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积. 4.通过展开圆锥知道圆锥的全面积是扇形和底面圆形，通过制作圆锥，理解圆锥与扇形和圆之间的关系，进一步体会数学中的转化思想，培养学生动手操作能力和分析问题解决问题的能力. 教学重难点 1.重点：（1）弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积. 2.难点：（1）计算圆锥的侧面积和全面积.圆锥侧面展开的扇形和底面圆之间有关元素的计算. 知识点01 弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 【注意】 ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点02 扇形及扇形的面积公式 ◆1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ◆2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 【注意】 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 知识点03 与圆锥相关的概念 ◆1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. ◆2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． ◆3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． ◆4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 知识点04 圆锥的侧面积和全面积 ◆1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 ◆2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l ◆3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 题型01弧长的计算 【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·期中）若扇形的半径为3，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点顺时针旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）马面裙是中国古代汉族女子主要裙式之一，随着传统服饰日益受到关注，马面裙也强势“出圈”．如图1为马面裙的一种经典款式，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长为0.6米，弧长为米，圆心角，则弧长为 米． 题型02 利用弧长及扇形面积公式求半径 【典例2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【变式2-1】（24-25六年级下·上海·月考）一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 【变式2-2】一个扇形的面积为240π．弧长为20π．那么这个扇形的半径是（　　） A．20 B．24 C．26 D．32 【变式2-3】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（　　） A．180° B．120° C．90° D．60° 题型03 利用弧长及扇形面积公式求圆心角 【典例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A．． B．． C．． D．． 【变式3-3】一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ． 题型04 求某点的弧形运动路径长度 【典例4】（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为     A． B． C． D． 【变式4-2】（2015·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（   ） A．8 B．9 C． D． 题型05 扇形面积的计算 【典例5】如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【变式5-1】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，线段是的直径，点是圆上两点，连接，，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点O为圆心，为半径作弧，分别交于E、F两点，则扇形的面积为 ． 题型06 求弓形的面积 【典例6】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，弓形的弓高为，弦长为，则此弓形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，四边形内接于，是的直径，平分，作并交的延长线于点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)已知的半径为1，，求图中阴影部分的面积． 题型07 求图形旋转后扫过的面积 【典例7】如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 题型08 求不规则图形的面积 【典例8】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，现有一块直径为10的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A、B、C都是格点，连接，小明在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点O，点C在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 【变式8-4】（23-24九年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 题型09 求圆锥的侧面积 【典例9】（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（2024·广东·模拟预测）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是（　　） A．60 B． C．120 D． 【变式9-2】（2024·福建南平·校联考模拟预测）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为 （结果保留）．    【变式9-3】（2024春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图等边内接于⊙O，若⊙O的半径为1，以阴影部分为侧面围成一个圆锥，从剩余部分剪出一个圆作为圆锥底面，则圆锥的全面积为 ． 题型10 求圆锥底面半径 【典例10】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A． B． C． D．2 【变式10-1】（23-24九年级上·内蒙古·期末）如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2024·海南海口·模拟预测）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）． A．1 B． C．3 D．2 【变式10-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．    题型11 求圆锥的高 【典例11】（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】小明将半径为4的圆沿着直径所在的直线剪成两个半圆，将其中的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式11-3】（2024春·云南·九年级专题练习）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则该圆锥的高为 ． 题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例12】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【变式121】（23-24九年级上·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2024•盱眙县模拟）若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 　 　． 【变式12-3】（2024•仙桃校级一模）已知圆锥底面圆的周长为2π，圆锥的母线为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 　 　． 题型13 圆锥的实际问题 【典例13】（25-26九年级上·云南·月考）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【变式13-2】（24-25九年级上·河北邯郸·月考）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 题型14 圆锥侧面上最短路径问题 【典例14】（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的半径为，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【变式14-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【变式14-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?    一、选择题 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）已知某个扇形的弧长为，圆心角为，则这个扇形的面积为（    ） A．16 B．32 C．64 D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，四边形为菱形，点在以点为圆心的上，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 6．（2024·山西·模拟预测）如图，在 中，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，且E为的中点，若的长度为π，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 7．（2024·湖南邵阳·一模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 8．（2025·江苏连云港·一模）如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 10．（25-26九年级上·四川广元·期中）如图，将三角尺（其中，）绕点按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为 ． 11．（2025·云南昆明·三模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是 ． 12．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是上的两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是 （结果保留）． 13．（2024春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知半径为1的上有三点A、B、C，与交于点D，，，则阴影部分的扇形面积是 ．      14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧上的点处，点C的对应点为点 ，则阴影部分的面积为 ． 3、 解答题 15．（25-26六年级上·全国·课后作业）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是多少？ 16．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的直径，点M，N均在上，，弦． (1)求直径的长； (2)求劣弧的长． 17．（2024春·九年级课时练习）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 18．（23 -24九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的直径，弦于点E，连结． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 19．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC． (1)求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径； (2)若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r． 20．（25-26九年级上·广东湛江·期中）如图，直线经过上的点，直线交于点，交于点，连接交于点，连接，若点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)，，求阴影部分面积． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.5 圆中的计算问题 教学目标 1.经历探索弧长计算公式的过程，培养学生的探索能力.了解弧长计算公式，并会应用弧长公式解决问题，提高学生的应用能力. 2.通过等分圆周的方法，体验弧长扇形面积公式的推导过程，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力. 3.通过实物演示让学生知道圆锥的侧面展开图是扇形；知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积. 4.通过展开圆锥知道圆锥的全面积是扇形和底面圆形，通过制作圆锥，理解圆锥与扇形和圆之间的关系，进一步体会数学中的转化思想，培养学生动手操作能力和分析问题解决问题的能力. 教学重难点 1.重点：（1）弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积. 2.难点：（1）计算圆锥的侧面积和全面积.圆锥侧面展开的扇形和底面圆之间有关元素的计算. 知识点01 弧长公式 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） 【注意】 ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点02 扇形及扇形的面积公式 ◆1、扇形：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形. ◆2、扇形面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S， 则S扇形πR2或S扇形lR（其中l为扇形的弧长） 【注意】 ①公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的； ②公式要理解记忆. 知识点03 与圆锥相关的概念 ◆1、圆锥：圆锥是一个底面和一个侧面围成的几何体.圆锥还可以看成由一个直角三角形绕它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形. ◆2、圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线SA，SB 等叫做圆锥的母线．圆锥有无数条母线，它们都相等． ◆3、圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． ◆4、重要的数量关系 如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之间数量关系是：由勾股定理得：r2+h2= l2,利用这一关系，已知任意两个量，可以求出第三个量． 知识点04 圆锥的侧面积和全面积 ◆1、圆锥其侧面展开图扇形的半径=母线的长l 侧面展开图扇形的弧长=底面周长 ◆2、圆锥的侧面积计算公式：S侧•2πr•l＝π r l ◆3、圆锥的全面积计算公式：S全＝S底+S侧＝πr2+π r l 题型01弧长的计算 【典例1】（25-26九年级上·江苏南通·期中）若扇形的半径为3，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式，直接使用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵半径，圆心角， ∴弧长． 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点顺时针旋转得到，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求弧长，解题的关键是掌握弧长公式． 根据网格得出半径长度，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：根据网格图可知，， ∴的长为， 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·北京·期中）如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质、弧长公式，根据等边三角形的性质得到，利用弧弦的关系和弧长公式求得的长，进而可求解． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴该“莱洛三角形”的周长是． 故选：D． 【变式1-3】（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）马面裙是中国古代汉族女子主要裙式之一，随着传统服饰日益受到关注，马面裙也强势“出圈”．如图1为马面裙的一种经典款式，如图2马面裙可以近似的看作扇环，其中长为0.6米，弧长为米，圆心角，则弧长为 米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算，熟知扇形弧长的计算公式是解题的关键，根据弧长BC为米及的度数，可求出的长，再求出的长，然后利用弧长公式计算即可得解． 【详解】解：∵弧长为米，， ， 解得： ∵长为0.6米，， 的长为1米， ∴弧长为：(米)， 故答案为：． 题型02 利用弧长及扇形面积公式求半径 【典例2】（24-25九年级上·河南驻马店·期末）已知扇形的面积为，扇形的弧长是，则该扇形半径为（    ） A．6 B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积与弧长公式的应用，解答本题的关键是掌握扇形面积的计算公式．根据扇形的面积公式（其中为面积，为弧长，为半径），结合已知的弧长和面积，直接解方程即可求得半径． 【详解】设扇形的半径为， 根据扇形的面积公式， 解得． 故选：． 【变式2-1】（24-25六年级下·上海·月考）一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为，则这个扇形的半径为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了扇形弧长，设这个扇形的半径为根据题意列方程求解即可． 【详解】∵一个扇形的圆心角为，它所对的弧长为， ∴设这个扇形的半径为 ∴ ∴ ∴这个扇形的半径为． 故选：A． 【变式2-2】一个扇形的面积为240π．弧长为20π．那么这个扇形的半径是（　　） A．20 B．24 C．26 D．32 【答案】B 【分析】设扇形的半径为r，根据扇形面积等于（l为扇形弧长）进行求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r， 由题意得，， 解得r＝24， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，熟知扇形面积等于扇形弧长和半径乘积的一半是解题的关键． 【变式2-3】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（　　） A．180° B．120° C．90° D．60° 【答案】C． 【分析】根据扇形和圆的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：根据题意得，（）2π， 解得：n＝90， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 题型03 利用弧长及扇形面积公式求圆心角 【典例3】（25-26九年级上·全国·课后作业）一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形的圆心角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用弧长公式即可求出的值，计算即可． 【详解】解：根据， 解得：， 故选：C. 【点睛】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键． 【变式3-1】（2025·甘肃酒泉·一模）如图，在半径为的中，劣弧的长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是弧长的计算、圆周角定理的应用，掌握弧长公式和圆周角定理是解题的关键． 连接、，根据弧长公式求出的度数，根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：连接、， 设的度数为， 则， 解得，， ， 故选：C． 【变式3-2】图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以A为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是（    ） A．． B．． C．． D．． 【答案】D 【分析】根据题意的长就是边的长，由弧长公式即可求解． 【详解】解：设， ， ， 解得：， 圆心角的度数为： 故选：D． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键． 【变式3-3】一个扇形的面积为，弧长为，则该扇形的圆心角的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】根据弧长和扇形面积关系可得，求出R，再根据扇形面积公式求解. 【详解】∵一个扇形的弧长是，面积是， ∴，即，解得：， ∴，解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算；弧长的计算．熟记公式，理解公式间的关系是关键. 题型04 求某点的弧形运动路径长度 【典例4】（24-25九年级下·甘肃兰州·阶段练习）如图，点A、、都在方格纸的格点上，绕点A顺时针方向旋转后得到，则点运动的路径的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算，旋转的性质，勾股定理，能得到点运动的路径是圆心角为，半径为5的扇形的弧长是解题的关键． 根据题意和图形，可以得到，然后根据勾股定理可以得到的长，再根据弧长公式计算即可得到的长． 【详解】解：由图可得，， 由旋转可得， 的长为：， 故选：B． 【变式4-1】（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为     A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质和判定，弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．证明四边形是矩形，因为点为的中点，则点为的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径是在以为圆心为半径的圆上转过，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， 于点，于点， 四边形是矩形， 又点为的中点， 点为的中点， 则， 点走过的路径长． 故选：A． 【变式4-2】（2015·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，点A，B在直线l上．将沿直线l向右作无滑动翻滚，则翻滚一周时点A经过的路线长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算以及旋转的性质． 根据题意得出翻滚一周时点A经过的路线长，进而求出即可． 【详解】解：如图所示：    ∵，，， ∴， ∴翻滚一周时点A经过的路线长是：． 故选：C． 【变式4-3】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，线段的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图所示， ， ， 的长为， 因为， 所以， 则． 在中， 因为， 所以， 所以， 所以圆心O经过的路径长是：． 故选：D． 题型05 扇形面积的计算 【典例5】如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，以B为圆心，BC为半径画弧交AD于点E，则扇形EBC的面积为（　　） A．2πcm2 B．8πcm2 C．12πcm2 D．15πcm2 【答案】C 【分析】根据直角三角形的性质求得到∠AEB＝30°，则∠CBE＝30°，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm， ∴BE＝BC＝12cm，∠A＝90°，AD∥BC， ∴∠AEB＝30°， ∴∠CBE＝∠AEB＝30°， ∴S扇形EBC12π（cm2）， 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积的计算，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 【变式5-1】（25-26九年级上·山东临沂·期中）如图，是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形，求扇形的面积，解直角三角形，作，等边三角形的性质结合圆内接四边形的性质，求出，三线合一，解直角三角形，求出的长，利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点， ∴ ， ∴， 如图；作 ， 则：， ∴ ， ∴阴影部分的面积为； 故选：D． 【变式5-2】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，线段是的直径，点是圆上两点，连接，，，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由得到，，再由直径所对的圆周角是直角得到，在中，设，则，再由勾股定理列方程求解得到，再由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：， ，， 线段是的直径， ， 在中，设，则， 由于，根据勾股定理可得， ， 解得， 的半径为， 则阴影部分的面积为， 故选：B． 【点睛】本题考查求扇形面积，涉及圆周角定理、含的直角三角形性质、勾股定理及扇形面积公式，熟记圆周角定理、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． 【变式5-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，对折边长为4的正方形纸片，为折痕，以点O为圆心，为半径作弧，分别交于E、F两点，则扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的扇形面积公式，直角三角形中角所对的边是斜边的一半；解题的关键在于看到直角三角形，并找到一个直角边和斜边的关系从而找到角；本题的易错点在于找错对应的角； 分析正方形与对折性质，求扇形半径，再根据边的关系找到特殊角度，从而找到圆心角，再用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知：，， 在中，， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴． 故答案为：． 题型06 求弓形的面积 【典例6】（25-26九年级上·重庆·期中）如图，是的弦，半径，则阴影部分的面积为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点O作于C，延长交于D，求出，得，由计算即得． 【详解】解：过点O作于C，延长交于D． 则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了弓形面积计算．熟练掌握垂径定理，勾股定理，余弦定义，30度的三角函数值，含30度的直角三角形性质，扇形面积和三角形面积公式，是解题的关键． 【变式6-1】（2025·安徽安庆·一模）如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【变式6-2】（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，弓形的弓高为，弦长为，则此弓形（阴影部分）的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形的面积及垂径定理，先利用垂径定理及勾股定理求出半径，再分别求出扇形及的面积即可解决问题．掌握扇形的面积公式及垂径定理是解题的关键． 【详解】解：设扇形所在圆的半径为， 则， ∵弓形的弓高为，弦长为， ∴，，， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴此弓形（阴影部分）的面积为． 故选：B． 【变式6-3】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 【变式6-4】（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，四边形内接于，是的直径，平分，作并交的延长线于点E． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)已知的半径为1，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2)． 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，，作并交于点F，证明是等边三角形，利用扇形面积公式和三角形面积公式计算即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切， 理由：连接，   平分， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 是的半径， 与相切； （2）解：连接，，作并交于点F，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式．正确作出辅助线是解题的关键． 题型07 求图形旋转后扫过的面积 【典例7】如图，在中，，将绕点顺时针旋转后得到，则边在旋转过程中所扫过的图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及扇形的面积公式，掌握扇形的面积公式是解题的关键； 本题根据扇形的面积公式，进行计算，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，边旋转了， ∴边在旋转过程中所扫过的图形的面积为：， 故选：B； 【变式7-1】（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、扇形的面积、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 利用勾股定理求出，利用旋转的性质可得，进而求出和，再结合图形即可解答． 【详解】解：， ， 将绕点A逆时针旋转后得到， ， ， ． 故选：C． 【变式7-2】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 【变式7-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，矩形中，，，将矩形按如图所示的方式在直线上进行旋转，则线段在旋转过程中扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了扇形的面积、旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．如图（见解析），设旋转后，点的对应点分别为点，则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积，连接，先利用勾股定理可得，再根据旋转的性质可得，然后根据线段在旋转过程中扫过的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，设旋转后，点的对应点分别为点， 则图中阴影部分的面积即为线段在旋转过程中扫过的面积， 连接， ∵矩形中，，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，，， ∴线段在旋转过程中扫过的面积为 ， 故选：A． 题型08 求不规则图形的面积 【典例8】（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，现有一块直径为10的圆形玉料，要用其刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的面积公式，圆周角定理，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式．根据圆周角定理由得为的直径，即，根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解． 【详解】解：连接， ∵， 为的直径，即， ∵玉佩的形状是扇形， ∴， ， ， ． 故选：C． 【变式8-1】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，为半圆的直径，且，将半圆绕点A顺时针旋转，点B旋转到点C的位置，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．先根据旋转的性质得，，再利用面积的和差得到，即有，然后根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵半圆AB绕点A顺时针旋转，点B旋转到C的位置， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 【变式8-2】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图是的小正方形网格，小正方形的边长为2，点A、B、C都是格点，连接，小明在网格中画出以为直径的半圆，圆心为点O，点C在半圆上，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求扇形面积，勾股定理与网格问题，连接，证明，进而根据三角形的面积公式和扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵小正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 故选：A． 【变式8-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，在扇形中，，点C在上且垂直平分线段，D为垂足，以O为圆心，为半径作弧交于点E，则阴影部分面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形面积的计算，线段的中垂线，解直角三角形等知识，根据中垂线的性质以及解直角三角形可得，再根据扇形面积、三角形面积以及图形中各个部分面积之间的和差关系进行计算即可，掌握扇形面积的计算方法以及线段中垂线的性质是正确解答的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵ ∴ ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 【变式8-4】（23-24九年级下·福建漳州·期中）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式，熟练掌握切线的判定与性质、圆的基本性质、等边三角形的性质与判定及扇形面积公式是解题的关键； （1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，，，由题意易得，则有，然后可得是等边三角形，进而根据扇形面积公式及等积法可进行求解． 【详解】（1）证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线． （2）解：如图，连接，，， 点是劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 题型09 求圆锥的侧面积 【典例9】（25-26九年级上·广西南宁·期中）广西斗笠是当地传统手工编织的实用雨具，其形状常可抽象成圆锥．如图，斗笠的底面半径是，母线长，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式：，进行计算即可． 【详解】解：由题意，该斗笠的侧面面积为； 故选：C． 【变式9-1】（2024·广东·模拟预测）一个圆锥的底面半径，高，则这个圆锥的侧面积是（　　） A．60 B． C．120 D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，进而利用圆锥的侧面积底面半径母线长，把相应数值代入即可求解． 本题考查了圆锥侧面积公式的运用，熟练掌握圆锥的高、母线长和底面半径组成直角三角形是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的底面半径，高， ∴圆锥的母线长， ∴圆锥的侧面积， 故选：B． 【变式9-2】（2024·福建南平·校联考模拟预测）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为 （结果保留）．    【答案】． 【分析】由题意可知圆锥展开后的侧面扇形的弧长为，设扇形的半径为r，根据扇形的弧长公式可得，即圆锥的母线为15；最后根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆周长为， ∴圆锥展开后的侧面扇形的弧长为 设扇形的半径为r， 由题意可得：，解得：； 则扇形的面积为：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键． 【变式9-3】（2024春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图等边内接于⊙O，若⊙O的半径为1，以阴影部分为侧面围成一个圆锥，从剩余部分剪出一个圆作为圆锥底面，则圆锥的全面积为 ． 【答案】/ 【分析】先求出阴影部分的面积和的长，再求出所围圆锥的底面半径，求出底面积即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∴， ∴，， 设圆锥的底面半径为r， 则， ∴， ∴圆锥的底面积， ∴圆锥的全面积． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的侧面积等于扇形的面积，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 题型10 求圆锥底面半径 【典例10】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为，则这个圆锥底面圆的半径为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥侧面展开的扇形与底面圆之间的关系，掌握圆锥的侧面展开图是一个扇形且扇形的弧长等于圆锥底面周长、扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 利用圆锥侧面展开的扇形的弧长等于底面圆的周长，再结合圆的周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设底面圆半径为r，则，解得：， 所以这个圆锥底面圆的半径为6． 故选A． 【变式10-1】（23-24九年级上·内蒙古·期末）如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径，画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的知识点是圆锥侧面展开图的性质(圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长)正方形的性质(正方形的对角线平分内角，角度为)、扇形弧长公式(，其中为圆心角度数，为扇形半径)．先求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长这一关系，求出圆锥底面半径；涉及正方形性质、扇形弧长公式、圆锥侧面展开图性质等知识点． 【详解】解：∵正方形中，， ∴扇形的圆心角， 已知扇形半径，圆心角， 据扇形弧长公式，可得弧长， 设圆锥底面半径为，圆锥底面圆周长， 又因为圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长， 所以， 解方程可得， 故选：B． 【变式10-2】（2024·海南海口·模拟预测）如图，如果从半径为的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面半径是（ ）． A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】考查了扇形的弧长公式，圆的周长公式，用到的知识点为：扇形的弧长等于底面周长，熟练掌握弧长及圆的周长公式是解决本题的关键．求得扇形的弧长，进而求出圆锥的底面周长，除以即为圆锥的底面半径． 【详解】解：剪去之后圆周对应扇形的弧长为， ∴围成的圆锥底面周长为， ∴圆锥的底面半径为， 故选：D． 【变式10-3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，正六边形的边长为2，以点A为圆心，为半径画弧，得到扇形（阴影部分）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．    【答案】 【分析】首先确定扇形的圆心角的度数，然后利用圆锥的底面圆周长是扇形的弧长计算即可． 【详解】解：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角的度数为， ∴正六边形的每个内角的度数为， 设这个圆锥底面圆的半径是r， 根据题意得，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形和圆及圆锥的计算，解题的关键是求得正六边形的内角的度数，并理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 题型11 求圆锥的高 【典例11】（2025·甘肃武威·一模）如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形， ∴剩下的扇形的角度为， ∴剩下的扇形的弧长为， ∴圆锥的底面半径为， ∴圆锥的高为， 故选：B． 【变式11-2】（25-26九年级上·河南濮阳·阶段练习）如图，扇形是圆锥的侧面展开图，且扇形半径，圆心角，则此圆锥的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了扇形的弧长公式，勾股定理，先根据圆锥的侧面展开图，扇形的弧长等于该圆锥的底面圆的周长，求出，最后用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r， ∵，， ∴， ∴，即， 在中，， ∴， 故选：B． 【变式11-2】小明将半径为4的圆沿着直径所在的直线剪成两个半圆，将其中的一个半圆卷成圆锥，则该圆锥的高为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图、圆锥的高等知识点，弄清圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解题的关键． 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，即可求得圆锥的底面半径，底面半径、母线长以及圆锥的高满足勾股定理，据此求解即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为：， 圆锥的母线为4， 则高为， 故选：D． 【变式11-3】（2024春·云南·九年级专题练习）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得的长度与的周长相等，设，则，列出方程求解，再根据为圆锥的母线，圆锥的母线，圆锥的高，圆锥的底面半径构成直角三角形，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设，则， ， 解得：， ∴， ∴圆锥的底面半径为，母线长为， 根据勾股定理可得：该圆锥的高为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥、矩形的性质，解题关键在于理解圆锥的侧面展开图与圆锥底面圆之间的关系，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 题型12 求圆锥侧面展开图的圆心角 【典例12】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，圆锥底面圆的半径的长为，母线的长为，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆的周长公式和扇形的弧长公式，设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，根据圆锥侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程即可求出扇形圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是，母线的长为， 圆锥侧面展开图的扇形的弧长是， 圆锥底面圆的半径的长为， 圆锥底面圆的周长是， 由题意可得：， 解得：． 故选：D． 【变式121】（23-24九年级上·云南红河·期末）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的侧面展开图的扇形圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求圆锥展开图的圆心角的度数，设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为．根据题意，圆锥的侧面积是底面积的2倍，可建立方程求出母线长．再利用扇形弧长等于底面周长，即可求出圆心角． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，母线长为，侧面展开图的扇形圆心角为， 由题意，得： ∴． 又∵，将代入得： ∴； 故选D． 【变式12-2】（2024•盱眙县模拟）若要制作一个母线长为9cm，底面圆的半径为4cm的圆锥，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 　 　． 【答案】160°． 【分析】利用圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系计算，即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是n， 根据题意得：2， 解得n＝160， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角是160°， 故答案为：160°． 【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形圆心角与母线和底面圆半径的关系，明确圆锥的底面圆的周长＝扇形的弧长是解答本题的关键． 【变式12-3】（2024•仙桃校级一模）已知圆锥底面圆的周长为2π，圆锥的母线为3，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为 　 　． 【分析】根据圆锥底面圆周长是其展开图的扇形弧长进行求解即可． 【详解】解：设该圆锥的侧面展开图的圆心角为n°， 由题意得，， ∴n＝120， ∴该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°， 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的圆心角度数，熟知圆锥底面圆周长是其展开图的扇形弧长是解题的关键． 题型13 圆锥的实际问题 【典例13】（25-26九年级上·云南·月考）在数学跨学科主题活动课上，南南用半径为，圆心角为的扇形纸板，做了一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题关键是掌握：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：∵半径为，圆心角为的扇形纸板的弧长是：， ∴用这个扇形纸板做成的圆锥形生日帽的底面圆的周长是． 故选：A． 【变式13-1】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）琪琪为玩具娃娃制作了一个圆锥形生日帽，如图所示，是圆锥的母线，为底面直径，已知母线，圆锥的侧面积为，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】C 【分析】本题考查圆锥的侧面积，，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．根据圆锥的侧面积公式列方程即可得答案． 【详解】解：∵母线，圆锥的侧面积为， ∴， 解得． 故选：C． 【变式13-2】（24-25九年级上·河北邯郸·月考）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥的母线长与底面圆半径的比为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解圆锥展开图的扇形圆心角，设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为，再利用底面圆周长等于展开图的弧长可得答案. 【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度，底面半径为，则母线长为， 由题知，， 解得， 其侧面展开扇形的圆心角为． 故选：D 【变式13-3】（24-25六年级下·上海普陀·期末）如图1，蛋筒冰激凌的蛋筒外壳（不计厚度）可近似看作圆锥，其母线长为，底面圆直径长为． (1)求该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小； (2)当冰激凌连同蛋筒外壳被吃掉一部分后，若仍将其外壳近似看作圆锥（如图2），其母线长为，求此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握扇形的面积两个计算公式是解题的关键． （1）设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为，根据扇形面积的两个公式，即和列关于的方程并求解即可； （2）根据扇形面积公式解：计算即可． 【详解】（1）解：设该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． 根据题意，得， 解得． 答：该冰激凌蛋筒外壳侧面展开图圆心角的大小为． （2）解：． 答：此时冰激凌蛋筒外壳的侧面积为． 题型14 圆锥侧面上最短路径问题 【典例14】（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的半径为，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短，弧长公式，先将圆锥的侧面展开，得，，再结合弧长公式求出，运用勾股定理列式计算得，即可求出小虫所走的最短距离，即可作答． 【详解】解：圆锥的侧面展开图，如下所示： ∴， ∴ 设 ∵圆锥的母线长，底面圆的半径为， ∴ 则 解得 依题意，得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D 【变式14-1】如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ． 【答案】 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：， 底面周长， 将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长 设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得： ， ， 即展开图是一个半圆， 点是展开图弧的中点， ， 连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离， 在中由勾股定理得， ， ， 即蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：． 【点睛】考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【变式14-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 【变式14-3】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为1，若一小虫P从A点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点C，求小虫爬行的最短距离是多少?    【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．将圆锥的侧面展开如图所示，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线． 【详解】如图，将圆锥侧面沿母线展开，取的中点C，连接，则是小虫爬行的最短路线．    ∵  ， ∴  ，即． ∵， ∴  ． ∴  小虫爬行的最短距离为． 一、选择题 1．（2025·黑龙江绥化·中考真题）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 2．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）已知某个扇形的弧长为，圆心角为，则这个扇形的面积为（    ） A．16 B．32 C．64 D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积，弧长的计算，掌握其计算公式是解题的关键． 根据弧长和圆心角得到圆的半径（是扇形半径，是扇形弧长，是扇形圆心角），再根据扇形面积计算公式即可求解． 【详解】解：扇形的弧长为，圆心角为， ∴由得到， ∴， 故选：A ． 3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以为直径的交于点D，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是正确添加辅助线，并熟知一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．连接，，根据是的直径，可得，再根据，，可得的值，然后求得，从而求出，再结合弧长公式进行列式，即可作答． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，四边形为菱形，点在以点为圆心的上，若，，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查扇形面积的计算和菱形的相关知识，首先算出扇形的圆心角，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：连接， 四边形为菱形，点在以点为圆心的上， ， 三角形为正三角形， ， ， ， ， 故选：C． 5．（2025·云南曲靖·二模）某博物馆修复一把古代铜锁，锁头的装饰部分为圆锥形（如图）．已知装饰部分的底面圆的半径为3厘米，母线长为5厘米，则该圆锥形装饰的面积为（   ） A．平方厘米 B．平方厘米 C．平方厘米 D．平方厘米 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可得解，熟练掌握相关公式是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：该圆锥形装饰的面积为（平方厘米）， 故选：B． 6．（2024·山西·模拟预测）如图，在 中，，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E，且E为的中点，若的长度为π，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了扇形的面积，弧长公式，平行四边形的面积，三角函数，熟练掌握扇形的面积公式，弧长公式是解题的关键；过B作于F，根据弧长公式求出，根据扇形面积公式，求出，利用三角函数求出，进而求出，再求阴影部分的面积即可． 【详解】解：过B作于F，   ，以点A为圆心，以的长为半径画弧，交于点E， ， E为的中点， ， 设所对的圆心角为， 的长度为π， ，， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 7．（2024·湖南邵阳·一模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 【答案】A 【分析】圆锥的底面的半径为rcm，则DE＝2rcm，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到＝2πr，解方程求出r，然后求得直径即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为rcm， 根据题意得＝2πr， 解得r＝1， 所以底面圆的直径为2cm， 故选：A． 【点睛】本题考查弧长公式，圆锥底面圆周长与侧面展开扇形的弧长的关系，熟练使用弧长公式是关键 8．（2025·江苏连云港·一模）如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的面积公式，根据题意画出图形，边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积，据此进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意可得， 都是等腰直角三角形，则， 边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积， 故选：B 二、填空题 9．（24-25九年级上·湖北十堰·期中）弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在圆的半径是 ． 【答案】18 【分析】本题考查了弧长计算公式及其应用，涉及的知识点包括圆的性质、弧长与圆心角的关系．解题的关键在于准确理解并运用弧长公式，通过代入已知的弧长和圆心角，进行正确的代数变换求得半径R的值．根据弧长公式，其中l为弧长，n为圆心角度数，R为半径．将已知数据代入公式即可求解半径R． 【详解】解：，， ， 解得， ， 故答案为：18． 10．（25-26九年级上·四川广元·期中）如图，将三角尺（其中，）绕点按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，弧长公式，角直角三角形的性质，解题的关键是找出旋转角，熟记弧长公式． 根据旋转得出旋转角为，求出的度数即可，然后求出，则，然后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：旋转角为， ∵，， 又由旋转知， ∴； 又∵，， ∴， ∴顶点A从开始到结束所经过的路径长为：． 故答案为： ． 11．（2025·云南昆明·三模）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是， 其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， 解得， ∴母线长是． 故答案为：24． 12．（25-26九年级上·吉林四平·月考）如图是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是上的两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用扇形弧长公式计算即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴这块扇形玉石的周长是． 故答案为：． 13．（2024春·江苏连云港·九年级校考阶段练习）如图，已知半径为1的上有三点A、B、C，与交于点D，，，则阴影部分的扇形面积是 ．      【答案】/ 【分析】根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的扇形面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，由等腰三角形的性质和三角形的内角和求出是解题的关键． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点A逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形的弧上的点处，点C的对应点为点 ，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为，扇形的半径为r，那么扇形的面积S=． 【详解】解：连接，过作于，则，如图， ∵将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，在旋转过程中，点落在扇形的弧上的点处，点的对应点为点， ∴扇形和扇形的面积相等，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ，由勾股定理得： ， ∴阴影部分的面积 ， 故答案为：． 3、 解答题 15．（25-26六年级上·全国·课后作业）已知一个扇形的圆心角是，半径是． (1)求这个扇形的弧长； (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了弧长公式、圆锥的计算，熟练掌握以上知识点并灵活应用是解题关键． （1）根据弧长公式计算即可； （2）设这个圆锥的半径是，根据题意列方程，即可求出． 【详解】（1）解：扇形的圆心角是，半径是， 这个扇形的弧长为； （2）解：由（1）得这个扇形的弧长为， 设这个圆锥的半径是， 则， 解得：， 这个圆锥的半径是． 16．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的直径，点M，N均在上，，弦． (1)求直径的长； (2)求劣弧的长． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了圆周角定理，弧长公式，直角三角形的性质． （1）根据圆周角定理得出，，根据直角三角形的性质即可求解． （2）连接，求出，根据弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴的直径为； （2）解：如图，连接， 则， ∴的长为． 17．（2024春·九年级课时练习）如图，锚标浮筒是打捞作业中用来标记锚或沉船位置的，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：），电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用多少锌？ 【答案】11.44πkg 【分析】由图形可知，浮筒的表面积＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，由题给图形的数据可分别求出圆锥的侧面积和圆柱的侧面积，即可求得浮筒表面积，又已知每平方米用锌0.11kg，可求出一个浮筒需用锌量，即可求出100个这样的锚标浮筒需用锌量． 【详解】解：由图形可知圆锥的底面圆的半径为400mm=0.4m， 圆锥的高为300mm=0.3m， 则圆锥的母线长为：＝0.5m． ∴圆锥的侧面积＝π×0.4×0.5＝0.2π（m2）， ∵圆柱的高为800mm=0.8m． 圆柱的侧面积＝2π×0.4×0.8＝0.64π（m2）， ∴浮筒的表面积＝＝2S圆锥侧面积+S圆柱侧面积，＝1.04π（m2）， ∵每平方米用锌0.11kg， ∴一个浮筒需用锌：1.04π×0.11kg， ∴100个这样的锚标浮筒需用锌：100×1.04π×0.11＝11.44π（kg）． 答：100个这样的锚标浮筒需用锌11.44πkg． 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的计算和圆柱侧面积的计算在实际问题中的运用，解题的关键是了解几何体的构成，熟记侧面积公式． 18．（23 -24九年级上·浙江杭州·月考）如图，是的直径，弦于点E，连结． (1)求证：； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4π 【分析】本题主要考查了求扇形面积、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解题的关键． （1）根据垂径定理得到，根据圆周角定理证明结论； （2）根据圆周角定理求出，进而可得，根据正弦的定义求出，利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径，弦， ∴， 在中，， ∴扇形（阴影部分）的面积， 答：阴影部分的面积为． 19．（23-24九年级上·吉林·期末）如图，有一直径为4的圆形铁皮，要从中剪出一个最大圆心角为60°的扇形ABC． (1)求剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径； (2)若用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥形铁帽，求此圆锥形铁帽的底面圆的半径r． 【答案】(1)剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2； (2) 【分析】（1）连接OA，作OD⊥AB于点D，利用直角三角形的性质以及垂径定理即可求得AB的长即剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径； （2）先根据弧长公式计算出弧BC的长，然后根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长计算该圆锥的底面圆的半径． 【详解】（1）解：连接OA，OB，OC，作OD⊥AB于点D． 则AD=AB， ∵BA= CA，OA= OA，OB= OC， ∴△BAO≌△CAO， ∴∠BAO=∠CAO， ∵∠BAC=60°， ∴∠BAO=30 °， ∵圆的直径为4， ∴ OA=2， ∴OD=1，DA==， ∴AB=2DA=2； ∴剪下的扇形ABC（即阴影部分）的半径为2； （2）解：则扇形（即阴影部分）的弧长是：， 根据题意得：， 解得：r=． 答：此圆锥形铁帽的底面圆的半径为． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式，垂径定理，正确求得AB的长是关键． 20．（25-26九年级上·广东湛江·期中）如图，直线经过上的点，直线交于点，交于点，连接交于点，连接，若点是的中点，． (1)求证：是的切线； (2)，，求阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到，，，则，即，结合切线的判定即可求解； （2）根据切线的性质得到是等边三角形，设，则，运用含30度角的直角三角形的性质，勾股定理得到，，结合阴影部分的面积为即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵点是的中点， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵是圆的半径，点在圆上， ∴是的切线； （2）解：∵是切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，（负值舍去）， ∴， 在中，，， ∴，， ∴阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查垂径定理，切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $