精品解析：陕西省宝鸡市金台区2025-2026学年高二上学期期中质量检测数学试题

2025-2026学年度第一学期期中质量检测题 高二数学 2025.11 （选择性必修第一册第一章、第二章、第三章第一节） 命题人：钱晨（石油中学） 齐宗锁（教研室） 注意事项： 1.考试时间120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚. 3.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆列出关于的不等式组，解之即可. 【详解】椭圆方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以. 故选：A. 2. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 4. 已知，，，是空间不共面的四点，点满足：，则（ ） A. ，，，四点共面 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知向量的线性关系式得，结合向量共面定理即可得结论. 【详解】因为，所以， 即，故， 所以P，B，C，D四点共面且其中任意三点不共线，故C正确； 若A正确，则在平面中，而平面中，在故在直线上，矛盾，故A错误， 若B正确，则在平面中，而平面中，在故在直线上，矛盾，故B错误， 若D正确，则在平面中，而平面中，在故在直线上，矛盾，故D错误。 故选：C 5. 过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（ ） A. B. C. 或2 D. 或-2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据斜率的定义及过两点的斜率的计算公式列出等式，求出，将值代入两点的坐标验证，即可得解. 【详解】因为过两点的直线倾斜角为45°，所以直线的斜率. 又因为， 所以， 整理可得，即，解得或. 当时，，，此时两点重合，不符合题意，舍去； 当时，，，此时两点不重合，符合题意. 综上，所以的取值为. 故选：B 6. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用、表示，根据系数可得坐标. 【详解】由题意可知，，则， 则用基底表示向量的坐标是. 故选：D 7. 数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合重心公式计算出重心坐标，再求两边上的高线方程并联立求出垂心坐标，最后利用重心和垂心坐标确定欧拉线方程. 【详解】已知的顶点分别为，，， 因为重心为三角形三个顶点对应坐标的平均数，即重心坐标为，即， 因为，则边上的高线斜率为， 因边上的高线过点，故其方程为，即①. 同理，则边上的高线斜率， 因边上的高线过点，故其方程为，即②. 由①，②联立，解得，，即的垂心坐标为. 由题意，欧拉线过重心和垂心，则的欧拉线方程为 即. 故选：D. 8. 如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆定义及正三角形的性质可得到\，再在中运用余弦定理得到、的关系，进而求得椭圆的离心率． 【详解】由椭圆的定义知，，则， 因为为正三角形，所以，． 在中，由余弦定理得， 则，， 故选：D． 【点睛】本题考查椭圆的离心率的求解，考查考生的逻辑推理能力及运算求解能力，属于中等题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】AB 【解析】 【分析】应用倾斜角和斜率定义判断A，设对称点应用中点及斜率计算求解判断B，应用截距计算得出面积判断C，分过原点和不过原点两种情况设直线计算求解判断D. 【详解】对选项A，任意一条直线都有倾斜角，当倾斜角为时，不存在斜率，故A正确. 对选项B，设关于直线对称的点为， 则，即关于直线对称的点为，故B正确. 对选项C，直线，令，得，令，， 则直线与坐标轴围成的面积，故C错误. 对选项D，当所求直线过原点时，设直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 当直线不过原点时，设所求直线为， 因为点在上，所以，所求直线为. 综上所求直线为：或，故D错误. 故选：AB. 10. 圆与圆相交于、两点，则（ ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为4 C. 线段的垂直平分线方程为 D. 圆上的点与圆上的点的最大距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两圆的公共弦方程计算可判定A，利用弦长公式可计算判定B，利用两直线位置关系结合圆的对称性可判定C，利用圆的性质结合图象可判定D. 【详解】对于A选项，将两圆方程作差可得，即， 所以直线的方程为，A对； 对于B选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以，B对； 对于C选项，圆的标准方程为，圆心为，半径为， 连接、、、， 因为，所以直线过圆心，易知为的中点， 又因，所以，所以垂直平分线段， ，则直线的方程为，即，C错； 对于D选项，圆上的点与圆上的点的最大距离为 ，D对. 故选：ABD. 11. 在正方体中，，分别为，的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. ，，三点不共线 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 与底面所成角的正弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】由平行线共面即可判断A选项；由平行和线段成比例即可判断B选项；由空间向量的线性关系和空间向量的数量积即可求得异面直线与所成角的余弦值，即判断C选项；由线面角的定义得到与底面所成角，然后由线段关系即可求得其正弦值，判断D选项. 【详解】对于A，显然，故，于是，，，四点共面，故A正确； 对于B，易知，故与共面，又，可知与的交点恰为上靠近点的三等分点，即为点，故B错误； 对于C，异面直线与所成的角即， 由，可得， 显然在上的投影向量为，故， 故，故C错误； 对于D，由B可知直线与底面所成的角即直线与底面所成的角，显然该角的平面角为，而，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标关系计算可得结果. 【详解】由，可得，即，解得. 故答案为：. 13. 过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线的交点，再根据垂直关系求出斜率，利用点斜式求出直线方程． 【详解】设直线与相交于点，则 ，解得， 交点为， 所求直线与直线垂直，设所求直线斜率为， ，解得， 直线方程为：，即． 故答案为：． 14. 直线，则直线l恒过定点____，与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________． 【答案】 ①. (2，4) ②. 【解析】 【分析】根据直线点斜式方程求出定点，题中曲线为半圆，数形结合判断直线与它的交点个数，进而得到k的范围﹒ 【详解】解：直线恒过点． 由题知曲线即，表示以为圆心，2为半径的半圆，该半圆位于直线上方，如图： 因为直线与曲线只有一个交点， 由圆心到直线的距离等于半径得，解得， 由图，当直线经过点时，直线的斜率为， 当直线经过点时，直线的斜率不存在， 综上，实数的取值范围是，或， 故答案为：(2，4)； 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求直线与之间的距离. 【答案】（1）； （2），两平行线间距离为. 【解析】 【分析】（1）应用直线垂直的判定列方程求参数值； （2）由直线平行的判定列方程求参数值，注意排除重合的情况，再由平行线的距离公式求距离. 【小问1详解】 因为，所以满足，解得； 【小问2详解】 因为，所以满足，解得或， 当时，两直线重合，不符， 所以，此时，，满足， 两平行线之间距离为. 16. 如图，在平行六面体中，， （1）求证：； （2）求的长 【答案】（1） 以为基底向量， 则，又， 所以 ， 所以，所以； （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底向量，，又，计算向量的数量积可证结论； （2）利用向量的模的计算公式可求得的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得， 所以 ， 所以，所以的长为. 17. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程； （2）已知直线，设直线与点的轨迹交于，两点，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，由题意可得，，代入，化简可得中点的轨迹方程； （2）根据点到直线的距离公式利用几何法计算即可求解. 【小问1详解】 设，， 由中点坐标公式知，， 则，， 又点在圆上， 则， 故点M的轨迹方程为； 【小问2详解】 由（1）得，轨迹方程为， 直线为， 所以圆心到直线的距离为， 所以弦长. 18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据面积公式及离心率公式计算得出，，即可得出标准方程； （2）先分直线的斜率为0和直线的斜率不为0设直线方程，再联立方程计算面积结合韦达定理计算求参即可. 【小问1详解】 由题意：，所以． 又因为，，所以，， 即椭圆的方程为． 【小问2详解】 当直线的斜率为0时，，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，，， 联立方程组得， ∴ ， ∴， ∴ ∴直线的方程为或， 即直线的方程为或． 19. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，且与平面所成角的正切值为， ①当时，求三棱锥的体积； ②求的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线性质证明，从而证明平面； （2）①找出与平面所成的角，通过其正切值求出线段长度，进而用体积公式求解；②建立空间直角坐标系，通过条件求出与的关系，进而通过基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 因为，分别是线段，的中点，所以线段是的中位线，故. 又因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 ①当时，即. 由上题可知，线段是的中位线，所以. 因为平面，且平面，所以，. 在直角中，，，故，又因为是中点，所以. 在直角中，，，所以. 在直角中，，，所以，又因为是中点，所以. 在中，，，故，所以为直角三角形，其中. 故，而， 平面， 故平面， 所以线段为线段在平面上的投影，则与平面所成的角为. 因此，，解得. 故的面积为，三棱锥的体积为. ②过点做平面，垂足为. 以为原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 故，，直线的方向向量. 设平面的法向量.故，即，所以. 取. 设直线与平面的夹角为，故，易得. 而. 两边同时平方得，，交叉相乘得. 移项合并得.化简得，进而有. 由基本不等式得，，当且仅当时，即时等号成立. 所以. 故的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中质量检测题 高二数学 2025.11 （选择性必修第一册第一章、第二章、第三章第一节） 命题人：钱晨（石油中学） 齐宗锁（教研室） 注意事项： 1.考试时间120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生将答题卡有关项目填写清楚. 3.全部答案在答题卡上作答，答在本试题上无效. 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，是空间不共面的四点，点满足：，则（ ） A. ，，，四点共面 B. ，，，四点共面 C. ，，，四点共面 D. ，，，四点共面 5. 过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（ ） A. B. C. 或2 D. 或-2 6. 是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 数学家欧拉年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的点，是线段上靠近的三等分点，为正三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B. 点关于直线的对称点为 C. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9 D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 10. 圆与圆相交于、两点，则（ ） A. 的直线方程为 B. 公共弦的长为4 C. 线段的垂直平分线方程为 D. 圆上的点与圆上的点的最大距离为 11. 在正方体中，，分别为，的中点，点是线段上靠近点的三等分点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. ，，三点不共线 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 与底面所成角的正弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，且，则________． 13. 过两条直线，的交点，且与直线垂直的直线的方程为__________． 14. 直线，则直线l恒过定点____，与曲线仅有一个公共点，则实数的的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值，并求直线与之间的距离. 16. 如图，在平行六面体中，， （1）求证：； （2）求的长 17. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动. （1）求线段的中点的轨迹方程； （2）已知直线，设直线与点的轨迹交于，两点，求线段的长. 18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程． 19. 如图，在三棱锥中，底面，，，分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）若，，，且与平面所成角的正切值为， ①当时，求三棱锥的体积； ②求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $