第21章一元二次方程单元练习卷2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册

沪教版八年级数学上册第21章一元二次方程单元练习卷 （考查范围：第21章一元二次方程） 1． 选择题 1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程（ ） A. 有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 3. 若方程（ ） A. B.2 C. D.-2 4. 若整式在实数范围内能进行因式分解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 为了美化环境,某市加大对绿化的投资。2023年用于绿化投资20万元，2025年用于绿化 投资25万元,求这两年绿化投资的年平均增长率。设这两年绿化投资的年平均增长率为2、根据题意所列方程为（ ）。 A. B. C. D. 6. 用换元法解方程时，如果设将原方程化为关于y的整式方程，这个整式方程是（ ） A. B. C. D. 2． 填空题 7. 将一元二次方程化为一般式为 8. 方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 9. 方程的根是 10. 方程的根是 11. 1 学科网（北京）股份有限公司 12. 方程的根的情况是 13. 设一元二次方程 14. 若二次三项式在实数范围内能进行因式分解，则a的取值范围是 15. 在实数范围内分解因式 15.如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的取值范围是__________________ 16.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛210场，则参加比赛的足球队共有 个 17.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是几步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ． 18.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有_____（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； 3． 简答题 19. 解下列方程 （1） （2） （3） （4）（用公式法解方程） 学科网（北京）股份有限公司 20.已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2） 如果方程有两个相等的实数根，求m的取值； （3）如果方程没有实数根，求m的取值范围； 21.如图所示，若要建一个由两个相同的小长方形组成的长方形花圃ABCD．花圃的面积为63平方米且一边靠墙（墙长15米），三边用篱笆围成．现有篱笆30米．求这个长方形花圃的长与宽． 22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 4． 解答题 23.为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，所以； 当y＝4时，x2﹣1＝4，所以． 所以原方程的根为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4； （2）x4+x2﹣12＝0． 24.已知a、b、c是的三条边，关于x的方程有两个相等的实数根，求证：是等腰三角形 25.我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）=4； 第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步： 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________． 沪教版八年级数学上册第21章一元二次方程单元练习卷参考答案 一．选择题 1.下列方程是关于x的一元二次方程的是（ C ） B. B. D. 解析：A选项含有分式不是一元二次方程故选项不符合题意 B选项当a=0时，它不是一元二次方程，故此选项不符合题 C选项它是一元二次方程，符合题意 D.该方程中含有两个未知数，不是关于x的一元二次方程，不符合题。 2.关于x的一元二次方程（ A ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 B. 无实数根 D.不能确定 分析：先计算根的判别式，根据根的判别式来确定根的情况 解析： 3.若方程（ B ） B.2 C. D.-2 分析：本题考查一元二次方程韦达定理先根据韦达定理得出 解析： 4.若整式在实数范围内能进行因式分解，则a的取值范围是（ B ） A. B. C. D. 分析：本题考查在实数范围内因式分解的条件，对于二次三项式ax²+bx+c(a≠0） 当判别式△=b²-4ac≥0时，它在实数范围内能进行因式分解。 解析： 5.为了美化环境,某市加大对绿化的投资。2023年用于绿化投资20万元，2025年用于绿化 投资25万元,求这两年绿化投资的年平均增长率。设这两年绿化投资的年平均增长率为2、根据题意所列方程为（ C ）。 A. B. B. C. D. 分析：根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）来进行解题 解析：设这两年绿化投资的平均年增长率为x,那么根据题意得 20（1+x）²=25，故选C 6.用换元法解方程.时，如果设将原方程化为关于y的整式方程，这个整式方程是（ D ） A. B. C. D. 解析：∵ ∴通过换元原方程变为 故选择答案D 二．填空题 7将一元二次方程化为一般式为 分析：本题考查的是一元二次方程的一般形式：ax²+bx+c=0(a,b,c是常数，且a≠0） 解析： 化成一般式为x²-4x+4=0 8. 方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 解析：原方程可化为 9. 方程的根是 分析：利用因式分解法进行求解 解析： 2x(1-x)-3(1-x)=0 (1- x)(2x-3)=0 1- x=0或2x-3=0 10. 方程的根是 分析：本题考查用开平方法解一元二次方程 解析： 11. 方程的根的情况是 解析： 12. 设一元二次方程 解析：根据韦达定理得 故答案是-3 13. 若二次三项式在实数范围内能进行因式分解，则a的取值范围是 解析：二次三项式爱实数范围内能进行因式分解即在实数范围内有实数根。 14. 在实数范围内分解因式 分析：本题考查了在实数范围内的因式分解以及一元二次方程的解法。 解析： 15. .如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么k的取值范围是__________________ 解析： 16.参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛210场，则参加比赛的足球队共有 个 解析：设共有x队参加了比赛根据题意得x(x-1)=210 整理得 17.《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”译文：“一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽各是几步？”若设矩形田地的长为x步，则可列方程为 ． 解析：设矩形田地的宽是x步，矩形田地的长是（x+12）步 根据题意可列方程为x(x+12)=864 18.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于“倍根方程”的说法，正确的有__②③ ___（填序号）． ①方程是“倍根方程”； ②若是“倍根方程”，则； ③若满足，则关于x的方程是“倍根方程”； 分析： ①求出方程的解，再判断是否为倍根方程， ②根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，而m、n之间的关系正好适合， ③当p，q满足pq = 2，则px2+3x + q = (px +1)(x + q) = 0，求出两个根，再根据pq=2代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程， 解析： ①求出方程的解是 ② ③ 故答案是②③ 5． 简答题 19.解下列方程 （1） 解：整理得 （2） （3） 解：整理得x²-4x=9996 配方得 x²- 4x+ 2²=9996+2² (x - 2)² =10000 根据平方根的意义，得 x-2=±100即 x-2=100或x-2=-100即 x1=102,x2=-98 （4）（用公式法解方程） 解： 20.已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值； （3）如果方程没有实数根，求m的取值范围； 解析：由题意得 当如果方程有两个不相等的实数根 当方程有两个相等的实数根 如果方程没有实数根 21.如图所示，若要建一个由两个相同的小长方形组成的长方形花圃ABCD．花圃的面积为63平方米且一边靠墙（墙长15米），三边用篱笆围成．现有篱笆30米．求这个长方形花圃的长与宽． 分析：设这个长方形花圃的宽为x米，平行于墙的边长为(30-3x)米，根据面积为63平方米，可列方程求解. 设这个长方形花圃的宽为x米，依题意得: x(30-3x) = 63，解得: x1= 3，x2 = 7, 当x=3时，30-3x=21>20(舍去)。当x= 7时，30-3x=9<20. 答:这个长方形花圃的长为9米，宽为7米. 22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%． （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率． 解:(1)450+450x12%=504(万元). 答:该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元. (2) 设该商店去年8,9月份营业额的月增长率为x, 由题意得350(1+x)²=504,即(1+x)²=1.44. 解得x,=0.2=20%,x,=-2.2(不合题意,舍去). 答:该商店去年8,9月份营业额的月增长率为20%. 23.为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解此方程得y1＝1，y2＝4． 当y＝1时，x2﹣1＝1，所以； 当y＝4时，x2﹣1＝4，所以． 所以原方程的根为，，，． 以上解方程的方法叫做换元法，利用换元法达到了降次的目的，体现了数学的转化思想．运用上述方法解下列方程： （1）（x2﹣x）（x2﹣x﹣4）＝﹣4； （2）x4+x2﹣12＝0． 详细解题过程： 解：设x²-x=a，则原方程可化为a²- 4a+4=0,解此方程得:， 当a = 2时，x²-x=2，即x2-x-2=0，因式分解得: (x - 2) (x + 1) = 0,解得:= 2，=-1, 所以原方程的解是=2，=-1; (2) + x² - 12 =0， 设x²= y，则原方程化为y²+y-12=0，因式分解，得(y- 3) (y +4) =0,解得: = 3， =-4，当y = 3时，x²= 3，解得: x=±;当y= -4时，x²= -4，无实数根， 所以原方程的解是=，=- 24. 已知a、b、c是的三条边，关于x的方程有两个相等的实数根，求证：是等腰三角形 详细解题过程： ∵已知方程有两个相等的实数根，∴，即，即。因为a、b、c是△ABC的三条边，则a>0，b>0，c>0，所以，所以，所以△ABC是等腰三角形。 25.我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即（ ）=4； 第二步：利用四个面积可用表示为_________的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步： 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数________，________，求得方程的一个正根为_____________． 详细解题过程： 【类比迁移】：第一步：将原方程变形为，即（）； 第二步：利用四个面积可用表示为的全等矩形构造“空心”大正方形，如图： 第三步： 图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， 表示边长， ，即， 故答案为：，； 【拓展应用】∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4． ∴长方形的长为，宽为x，即：， ∴， ∴，，方程的一个正根为：． 故答案为：2，3，． 学科网（北京）股份有限公司 $