专题01 全等三角形证明题（不含辅助线+含辅助线）（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01全等三角形证明题 题型归纳·内容导航 题型1平移模型 题型6倍长中线模型（常考点） 题型2轴对称模型 题型7截长补短模型（难点） 题型3旋转模型 题型8半角模型（难点） 题型4一线三等角模型（重点） 题型9作垂直 题型5手拉手模型 题型10含辅助线动点问题 题型通关·靶向提分 题型一平移模型（共3小题） 1.(24-25八上山东青岛城阳实验中学期末)如图，点B,E,C,F在一条直线上，AB=DE,∠A=∠D, AB∥DE.求证：BE=CF. 【答案】见解析 【详解】证明：：AB∥DE, .∠B=∠DEF, 在ABC和△DEF中， ∠A=∠D AB=DE, ∠B=∠DEF ∴.△ABC≌△DEF(ASA, ∴BC=EF 1/45 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .BC-EC=EF-EC, .BE =CF. 2.(24-25八上山东青岛城阳实验中学期末)如图，点E、C在线段BF上，BE=CF,AB∥DE, ∠A=∠D. B 求证：△ABC≌△DEF, 【答案】见解析 【详解】证明：：BE=CF, .BE+ECEC+CF 即BC=EF, :AB∥DE, LB=∠DEF, 在ABC和△DEF中， ∠A=∠D ∠B=∠DEF, BC=EF :△ABC≌△DEF(AAS). 3.(24-25八上山东滨州博兴期末)某海边公园一“帆船造型”景点的设计如图所示，其中点B,E,C, F在同一条直线上，若AB∥DE,AB=DE,BE=CF,那么AC与DF平行吗？为什么？ D 【答案】平行，理由见解析 【详解】答：平行。 理由：：BE=CF, :BC=EF. 2/45 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB∥DE, ∠B=∠DEF. 「AB=DE 在ABC和△DEF中， ∠B=∠DEF, BC=EF ∴△ABC≌△DEF(SAS), ∠ACB=LF, ·AC∥DF. 题型二轴对称模型（共3小题） 4.(24-25八上山东济南五十二中学.期末)如图，D是ABC的BC边上的中点，DE⊥AC,DF⊥AB, 垂足分别为E,F,且DE=DF,求证：ABC是等腰三角形， B 【答案】见解析 【详解】证明：：D是ABC的BC边的中点，DF⊥AB,DE⊥AC, ·.BD=CD,△BDF、△CDE均为直角三角形， 在Rt△BDF,RtACDE中 BD=CD DF=DE .RtABDF≌RtACDE(HL), ∠B=∠C, :AB=AC, .ABC是等腰三角形. 5.(24-25八上山东济南长清五中期末)如图，在四边形ABCD中，∠B=LD=90°，点E,F分别在AB, AD上，连接CE,CF,AC,AE=AF,CE=CF, 3/45 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)试说明：∠EAC=∠FAC; (2)试说明：BE=DF. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】(1)证明：在△ACE和△ACF中， (AE=AF CE=CF, AC=AC △ACE≌△ACF(SSS), .∠EAC=LFAC; (2)证明：：由(1)得ACE≌ACF, ∴∠AEC=∠AFC, .180 AEC 180 AFC,即∠BEC=∠DFC, 在BEC和△DFC中， ∠B=∠D=90° ∠BEC=∠DFC, CE=CF △BEC≌△DFC(AAS), .BE DF. 6.(24-25八上山东济南长清期末)如图，已知LACB=∠BDA=90°，AC=BD, 4/45 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△ACB≌△BDA. (2)若∠ABC=30°，AC=8,求AB的长度. 【答案】(1)见解析 (2)16 【详解】(1)证明：∠ACB=∠BDA=90°， .△ACB和△BDA为直角三角形， 在Rt△ABC与RtABAD中 AC=BD AB=BA .Rt△ABC≌Rt△BAD(HL). (2)解：：在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°， .AB =2AC, AC=8, .AB=16. 题型三旋转模型（共3小题） 7.(24-25八上山东济南平阴期末)如图，点E在CD上，BC与AE交于点F, AB=CB,BE=BD,∠I=∠2. E (1)求证：AE=CD; (2)若∠1=63°，求∠3的度数. 【答案】(1)见解析 (2)63° 【详解】(1)证明：：∠1=∠2， ∠I+∠CBE=∠2+∠CBE,即∠ABE=∠CBD. 在△ABE和△CBD中， 5/45 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AB=CB ∠ABE=∠CBD, BE=BD ∴.△ABE≌△CBD(SAS), .AE CD. (2)解：：△ABE≌△CBD, A=∠C, :∠AFB+LA+∠1=180°=∠CFE+∠C+∠3，LAFB=LCFE, .∠3=∠1=63°. 8.(24-25八上山东德州期末)如图，点E,F在线段BD上，AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB,DE=BF ,求证：△AFD≌△CEB. B 【答案】证明见解析 【详解】证明：：AF⊥BD,CE⊥BD, ∠AFD=∠CEB=90°， DE BF .DE EF BF EF, 即DF=BE, 在RtAAFD和RtACEB中， DF=BE AD=CB Rt△AFD≌RtACEB(HL). 9.(24-25八上山东日照五莲期末)如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AB=AC,点E是 BD上一点，且AE=AD,∠EAD=∠BAC. 6/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：∠ABD=∠ACD; (2)若∠ACB=70°，求LBDC的度数. 【答案】(1)见解析 (2)40° 【来源】山东省日照市五莲县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【分析】(1)先得到∠BAE=∠CAD,再根据SAS证明全等即可； (2)先由外角定理得到LBAC=∠BDC,再由等边对等角以及三角形内角和定理求出LBDC=∠BAC=40° 【详解】(1)证明：：∠BAC=∠EAD ·LBAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC 即：∠BAE=∠CAD· 在△ABE和△ACD中 AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD △ABE≌△ACD(SAS .∠ABD=∠ACD: (2)解：：∠B0C是△AB0和△DC0的外角 .∠BOC=∠ABD+∠BAC,∠BOC=∠ACD+∠BDC :.LABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC :∠ABD=∠ACD ∠BAC=∠BDC :∠ACB=70°，AB=AC :ZABC ZACB=70 ∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40° .∠BDC=LBAC=40°. 7/45 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型四一线三等角模型（共3小题） 10.(24-25八上山东聊城东昌府区实验中学期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，点E 在AC边上，连接AD,DE.已知∠1=∠2，AD=DE (1)求证：△ABD≌△DCE; (2)若BD=3,CD=5,求AE的长. 【答案】(1)见解析 (2)2 【来源】重庆市第一中学2021-2022学年八年级上学期开学考试数学试题 【分析】(1)根据AAS可证明△ABD≌△DCE; (2)得出AB=DC=5,CE=BD=3,求出AC=5,则AE可求出. 【详解】(1)证明：AB=AC, ∴∠B=∠C. :∠1=∠2，AD=DE, .△ABD≌△DCE」 (2)解：：△ABD≌△DCE .DB=EC=3,CD=AB=AC=5. AE=2. 【点晴】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解 题的关键 11.(24-25八上山东德州宁津.期末)【教材呈现】(1)数学教材中有这样一道习题：“如图1，∠ACB=90° ,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长."请写 出此题的解答过程： 【类比探究】(2)如图2，点B,C在∠MAN的边AM、AN上，点E,F在∠MAN内部的射线AD上，∠I 、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知：AB=AC,L1=L2=∠BAC·猜想：线段CF,EF,BE之间 的数量关系，并说明理由. 8/45 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M F E 2 图1 图2 【答案】【小题1】0.8cm: 【小题2】CF+EF=BE,理由见解析 【来源】山东省德州市宁津县2024-2025学年八年级上学期期末试卷数学试题 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是找全等三角形，利用全等三角形对 应边相等找边之间的关系， (I根据垂直的定义可得：∠E=∠ADC=90°，根据同角的余角相等可证∠BCD=∠CAD,利用AAS可证 △ACD≌△CBE,根据全等三角形对应边相等可得：CE=AD=2.5cm,BE=CD,从而可得 BE =CD =0.8cm (2)根据∠BAE+∠CAE=LBAC,∠ACF+∠CAE=∠2，∠1=∠2=∠BAC,可证∠BAE=∠ACF,利用 AAS可证△AEB≌aCFA,根据全等三角形的性质可证CF+EF=BE, 【详解】(1解：：∠ACB=90°， ∠BCE+∠ACE=90°， :AD⊥CE,BE⊥CE, .∠E=∠ADC=90°， ∠ACD+LCAD=90°， .∠BCD=∠CAD, ∠BEC=∠ADC 在△ACD和aCBE中， ∠BCD=∠CAD, BC=AC △ACD≌△CBE, :CE AD 2.5cm,BE CD, CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm, .BE=0.8cm; 9/45 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：CF+EF=BE, 理由如下， :∠BAE+∠CAE=∠BAC,∠ACF+LCAE=∠2，∠1=∠2=∠BAC, ∠BAE+∠CAE=∠ACF+∠CAE, ∠BAE=∠ACF, ∠1=∠2， :ZAEB ZCFA, 「∠AEB=∠CFA 在△AEB和△CFA中， ∠BAE=∠ACF, AB=AC △AEB≌△CFA, :AE CF,BE=AF, EF AE=AF, :CF EF BE 12.(24-25八上山东临清·期末)已知AB=AC,D、A、E三点均在直线MN上，且 ∠BDA=∠BAC=∠AEC. B B Y0字 图① 图② 图③ (1)如图①，若LBAC=90°，BD=3,CE=2,则线段DE的长为 (2)如图②，判断BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由； (3)如图③，若将题中的“∠BDA=∠BAC=∠AEC"变为“∠BDM=∠BAC=∠MEC”,其他条件不变，且 BD=5,CE=8,请直接写出DE的长. 【答案】(1)5 (2)DE=BD+CE,理由见解析 (33 【详解】(1)解：：∠BDA=∠AEC=∠BAC=90°， ∴∠BAD=90°-∠CAE=∠C, 10/45函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01全等三角形证明题 题型归纳·内容导航 题型1平移模型 题型6倍长中线模型（常考点） 题型2轴对称模型 题型7截长补短模型（难点） 题型3旋转模型 题型8半角模型（难点） 题型4一线三等角模型（重点） 题型9作垂直 题型5手拉手模型 题型10含辅助线动点问题 题型通关·靶向提分 题型一平移模型（共3小题） B,E,C,F 1.(24-25八上山东青岛城阳实验中学期末)如图，点 在一条直线上，AB=DE、∠A=∠D AB∥DE.求证：BE=CF, E 2.(24-25八上山东青岛城阳实验中学期末)如图，点E、C在线段BF上，BE=CF，,AB∥DE, ∠A=∠D 求证：△ABC≌△DEF 3.(24-25八上山东滨州博兴期末)某海边公园一“帆船造型”景点的设计如图所示，其中点B,E, C,F在同一条直线上，若AB∥DE,AB=DE,BE=CF,那么AC与DF平行吗？为什么？ 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二轴对称模型（共3小题） 4.(24-25八上山东济南五十二中学·期末)如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC,DF⊥AB, 垂足分别为E,F,且DE=DF,求证：△ABC是等腰三角形. ⊙ D 5.(24-25八上山东济南长清五中期末)如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E,F分别在AB, AD上，连接CE,CF,AC,AE=AF,CE=CF, (1)试说明：∠EAC=∠FAC: (2)试说明：BE=DF. 6.(24-25八上山东济南长清期末)如图，已知∠ACB=∠BDA=90°，AC=BD, D B (1)求证：△ACB≌△BDA」 (2)若∠ABC=30°，AC=8,求AB的长度. 2/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型三旋转模型（共3小题） 7.(24-25八上·山东济南平阴期末)如图，点E在CD上，BC与AE交于点F, AB=CB,BE=BD,∠I=∠2 B 3 (1)求证：AE=CD: (2)若∠1=63°，求∠3的度数. 8.(24-25八上山东德州期末)如图，点E,F在线段BD上，AF⊥BD,CE⊥BD,AD=CB, DE=BF,求证：△AFD≌△CEB. B D 9.(24-25八上山东日照五莲期末)如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AB=AC,点E 是BD上一点，且AE=AD,∠EAD=∠BAC, (1)求证：∠ABD=∠ACD: (2)若∠ACB=70°，求∠BDC的度数. 题型四一线三等角模型（共3小题） 10.(24-25八上山东聊城东昌府区实验中学·期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC边上，点E 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在AC边上，连接AD,DE.已知∠1=∠2，AD=DE. d B (1)求证：△ABD兰△DCE; (2)若BD=3,CD=5,求AE的长. 1.《2425八上山东德州宁津期末)【教村呈现】四数学教材中有这样一-道习题：“如图， ∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,若AD=2.5cm,DE=1.7Cm,求 BE的长.”请写出此题的解答过程： 【类比探究】(2如图2，点B,C在∠MAN的边AM、AN上，点E,F在∠MAN内部的射线AD上， ∠I、∠2分别是△ABE、△CAF的外角，已知：AB=AC,∠I=∠2=∠BAC.猜想：线段CF,EF,BE 之间的数量关系，并说明理由. M B 的 D Q2 图1 图2 12.(24-25八上山东临清期末)已知AB=AC,D、A、E三点均在直线MN上，且 ∠BDA=∠BAC=∠AEC B MD A ENMD 图① 图② 图③ (1)如图①，若∠BAC=90,BD=3,CE=2,则线段DE的长为 (2)如图②，判断BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由： 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图③，若将题中的“∠BDA=∠BAC=∠AEC”变为“∠BDM=∠BAC=∠MEC”，其他条件不变， 且BD=5,CE=8,请直接写出DE的长. 题型五手拉手模型（共3小题） 13.(24-25八上山东菏泽曹县·期末)两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由 它抽象出的几何图形，点B,C,E在同一条直线上，连接DC. 图1 图2 (1)求证：△BAE≌△CAD: (2)若∠CAE=15°，求∠ADC的度数. 14.(24-25八上山东德州平原王凤楼镇中学&坊子乡中学期末)如图，点C为线段AE上点（不与点 A、E重合)，在1E同侧分别作等边△1BC和等 △ABC CDE,AD与BE交于点 D与C交于点BC与D O,AD BC PO 交于点Q,连接， B 求证： (1)AD=BE: PQ∥AE (2) 15.(24-25八上山东菏泽定陶区·期末)如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD, 以CD为一边作等边三角形CDE,连接AE. 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△CBD≌△CAE: (2)判断AE与BC的位置关系，并说明理由； (3)求证：∠ACD=∠AED 题型六倍长中线模型（共3小题） 16.(24-25八上山东日照五莲期末)(1)方法呈现： 如图①：在△ABC中，若AB=6,AC=4,点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.解决 此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,可证△ACD≌△EBD,从而把 AB、AC2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即 可)·这种解决问题的方法我们称为倍长中线法： (2)探究应用： 如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于F,连接EF, 判断BE+CF与EF的大小关系并证明： (3)问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD,AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是 ∠BAF的角平分线.试探究线段AB、AF、CF之间的数量关系，并加以证明. E D D ◇y D E 图① 图② 图③ 17.(24-25八上·山东青岛崂山实验学校期末)新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等 积三角形， 初步尝试 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B HA 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6,P为AC上一点，当AP的长为时，△ABP与 △CBP为偏等积三角形. 理解运用 (2)如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB=2,AC=4,且线段AD的长度为正整数，过点C作 CE∥AB,交AD的延长线于点E,求AE的长 综合应用 (3)如图3，己知△ABC和△ADE为两个等腰直角三角形，其中AC=AB,AD=AE, ∠CAB=∠DAE=90°，F为CD的中点.请根据上述条件，回答以下问题： ①LCAD+∠BAE的度数为°： ②试探究线段AF与BE的数量关系，并写出解答过程. 18.(24-25八上山东滨州博兴期末)如图，BD是△ABC的中线，AB=10,BC=6,求中线BD的取值 范围. 题型七截长补短模型（共3小题） 19.(24-25八上·青岛期末)如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O,求 证：AE+CD=AC 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E O B 20.(24-25八上山东日照莒县期末)阅读下面材料： 【原题呈现】如图1，在△ABC中，∠A=2LB,CD平分∠ACB,AD=2.2,AC=3.6,求BC的长. 【思考引导】因为CD平分∠ACB,所以可在BC边上取点E,使EC=AC,连接DE.这样很容易得到△ DEC=△DAC,经过推理能使问题得到解决（如图2）. 【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题： (2)拓展提升：如图3，已知△ABC中，AB=AC,∠A=20°，BD平分∠ABC,BD=2.3,BC=2.求AD 的长 4 图1 图2 图3 21.(24-25八上·山东日照莒县期末)已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC,DE=DF,∠BAC= ∠EDF,点E在AB上，点F在射线AC上. (1)如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合， ①求证：AF=AE+AD. ②求证：ADBC. (2)如图2，若AD=AB,那么线段AF,AE,BC之间存在怎样的数量关系. 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E 图1 图2 题型八半角模型（共3小题） 22.(24-25八上山东济宁兖州朝阳学校期末)问题背景如图1，在四边形ABCD中.AB=AD, ∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=60°，试探究图中线段BE、EF、 FD之间的数量关系，并说明理由. 由“∠EAF=60°，∠BAD=120°”的数据信息，解决问题的方法是：延长FD到G,使得DG=BE,连接 AG,则可以先证△ABE≌△ADG,再证2」 一，从而得到BE,EF,FD之间的数量关系 是： 验证猜想写出上述推理的详细过程； 探索延伸如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=I80°，E、F分别在BC、CD上，且 ∠BAF-)∠BAD,上述结论是否成立，并说明理由. 2 D E 图1 图2 23.(24-25八上山东济南长清三中期末)我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一 题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整。 原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF,则EF=BE+DF, 试说明理由. 9/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B B A D E F 图1 C 图2 D 图3 (1)思路梳理 .AB=AD, ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,可使AB与AD重合. :∠ADC=∠B=90°， ∠FDG=180°，点F、D、G共线. 易证△AFE≌_，得EF=BE+DF. (2)类比引申 ABCD,AB=AD,∠BAD=90° 如图2，四边形 中， ,点E、F分别在 BC、CD上， ∠EAF=45 .若 ∠B、∠D都不是直角，则当∠B+∠D=180°时，是否仍有EF=BE+DF,并说明理由. (3)联想拓展 如图3，在△ABC中，∠BAC=9O°，AB=AC,点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°.猜想 BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程. 24.(24-25八上山东青岛西海岸新区奋进路初中·期末)如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°， AD=CD,BD =5cm,BC=4cm. 4 D E F 图1 备用图 (1)求AD的长： (2)点E从点A出发以每秒2Cm速度沿着射线AB运动，设运动时间为t秒，点F在射线BC上，且 10/13