专题03 等腰三角形（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材青岛版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03等腰三角形 题型归纳·内容导航 题型1三线合一（难点） 题型6等边三角形的性质（重点） 题型2等腰三角形的性质 题型7等边三角形的判定 题型3垂直平分线（重点） 题型8等腰三角形综合题 题型4角平分线（重点） 题型9等边三角形综合题 题型5含30度直角三角形（常考点） 题型10等腰三角形压轴证明题难点) 题型通关·靶向提分 题型一三线合一（共3小题） 1.(24-25八上山东临沂临沭三中期末)如图，AB=AC,E为BC的中点，D为AE上任意一点，以下 结论正确的有() ①△ABD≌△ACD,②AD=DE,③∠BDE=∠CDE,④AE⊥BC,⑤AE是△ABC的角平分线. A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.(24-25八上山东菏泽东明·期末)如图，∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8,点M、N在边OB上， PM=PN,若MN=2,则OM的值为() 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M N B A.3 B.4 C.5 D.6 3.(24-25八上山东枣庄期末)如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AD⊥BC,以下结论： B ①△ABD≌△ACD:②AB=AC;③D为BC的中点；④△ABC是等边三角形. 其中正确的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 题型二等腰三角形的性质（共3小题） 4.(24-25八上山东济南长清期末)如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=78°，O为△ABC内一点，且 ∠OCB=9°，∠AB0=21°，则∠OAC的度数为() A B A.68 B.69 C.71° D.72 5.(24-25八上山东德州期末)如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线相交于O点，过O点作 MN∥BC交AB于M,交AC于N.若AB=12,BC=24,AC=18,则△AMN的周长为() A 2/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30 B.33 C.36 D.39 6.(24-25八上山东淄博高新区·期末)如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB,AD⊥BC于点D,DE LAB 于点E,BF⊥AC于点F,BF=10,则DE的长是() B A.5 B.7.5 C.12 D.12.5 题型三垂直平分线（共3小题） 7.(24-25八上山东济南平阴·期末)如图，在△ABC中，DE垂直平分AB,连接BD,△BDE的周长为 20,△ABC的周长比四边形BCDE的周长多10，则线段DE的长为() D A.4 B.5 C.6 D.7 8.(24-25八上山东淄博淄川·期末)如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B:C为圆心，以大于8C的长为半径作弧，两弧相交于两点灯，N ②作直线MN交AB于点D,连接CD 若CD=AC,∠A=50°，则∠ACB的度数为() A.90° B.95° C.100° D.105° 9.(17-18八上河南商丘柘城期末)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=2∠C,BE平分∠ABC 3/11 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交AC于E,AD⊥BE于D.下列结论：①AC-BE=AE;②点E在线段BC的垂直平分线上；③ ∠DAE=∠C:④BC=4AD.其中正确的个数有() C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型四角平分线（共3小题） 10.(24-25八上山东日照五莲期末)如图，已知AC平分∠DAB,CE⊥AB于E,若AB=6,AD=4, ，则aACD S.ABC=6 的面积为() D A.8 B.6 C.5 D.4 11.(24-25八上山东聊城东昌府区实验中学期末)如图，AD平分∠BAC,E是BC的中点，DE⊥BC, DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为E,M,N.若AB=8,AC=5,则CN的长为() E M B 3 A.1 B.2 C.2 D.3 12.(24-25八上山东临清期末)如图，已知△ABC的周长是21，OB,OC分别平分∠ABC和∠ACB, OD⊥BC于D,且OD=4,△ABC的面积是() 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D A.25 B.84 C.42 D.21 题型五含30度直角三角形（共3小题） 13.(24-25八上山东聊城茌平区实验中学期末)如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°， AD L BC于点D,CD=4,BD的长度是() D A.24 B.6 C.12 D.无法确定 14.(24-25八上山东日照港中学期末)如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=BC,点D,E分别在边 AB,AC上，若沿直线DE折叠，点A恰好与点B重合，且CE=6,则AC的长为() A--- D A.10 B.9 C.8 D.10 15。(2425八上山东青岛西海岸新区奋进路初中期未)如图，已知：∠M0N-30,点小、小4“在射 线ON上，点8、8、8“在射线M上，AM8A484、△484“均为等边三角形，若O O4=1 ,则 △AB,4的边长为（） 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B3 一M B2 B -N A A2 A3 A.6 B.12 C.32 D.64 题型六等边三角形的性质（共3小题） 16.(24-25八上山东济宁兖州朝阳学校期末)如图，等边△ABC的边AB=6Cm,点D是AC的中点，点 E为BC延长线上一点，若CE=CD,则BE的长为() B A.9cm B.6cm C.3cm D.2cm a2=b2 17.《24-25八上山东日照营县期未)下列命①若=力，则“ ②等边三角形的三个内角相等；③ 全等三角形的对应角相等：④角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.逆命题正确的有() A.①②③B.②④ C.②③④ D.①②③④ 18.(24-25八上山东日照莒县·期末)如图，A、B、D三点在一条直线上，△ABC和△BDE都是等边三 角形.下列结论：①AE=CD:②BF=BG:③BH平分∠AHD;④∠AHC=70°，⑤BG∥AC.其中正 确的有() G B A.2个B.3个 C.4个 D.5个 题型七等边三角形的判定（共3小题） 19.(24-25八上青岛期末)如图：在△ABC中，AB=BC=AC,AE=CD,AD与BE相交于点P, 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BQ⊥AD 、△ADC≌BEA BP-2PQ 于Q.求证：① ；② E B D C △ABC ∠A=120°，AB=AC BC 20.(24-25八上·淄博期末)己知：如图，在 中， ,D是边的中点， DE⊥AB,DF⊥AC ,点E、F为垂足. A D (1)求∠B、∠C的度数： (2)求证：△BDE≌aCDF: (3)求证：aDEF是等边三角形. 21.(24-25八上山东青岛胶州八中期末)如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线， 分别交AB、AC于点E、F,连结DE, F D (1)求证：DE∥AC: (2)若∠BED=60°，试判断△AEF的形状，并说明理由. 题型八等腰三角形的综合题（共3小题） 22.(24-25八上山东临沂·期末)已知：如图，在△ABC,△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC, AD=AE,C,D,E三点在同一条直线上，连接BD.以下四个结论：①BD=CE:② 7/11 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE;④∠BAE+∠DAC=180°，其中正确的个数是() B A.1 B.2 C.3 D.4 23.(24-25八上山东日照五莲期末)如图，在△ABC中，∠A=60°（∠ABC>∠A),角平分线BD,CE 交于点O,OF⊥AB于点F,有下列结论： ①∠B0C=120°：②2∠B0F=∠ABC-60°；③△0ED是等腰三角形，④5，e=S.t+S.a0 其中正确的个数有() D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 24.(24-25八上山东菏泽定陶区·期末)如图，己知在△ABC中，AB=AC,∠BAC=∠EPF=90°， ∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB,AC于点E,F,当∠EPF在△ABC内绕顶点P 旋转时（点E不与A,B重合），给出以下四个结论：①AE=CF;②△EPF是等腰直角三角形；③ 2S达m=S,C:④BE+CF=BF.上述结论中始终正确的有（） B A.4个B.3个 C.2个 D.1个 题型九，等边三角形的综合题（共3小题） 25.(24-25八上山东德州平原王凤楼镇中学&坊子乡中学期末)如图，已知△ABC和△DCE均是等边三 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接 OC、FG,则下列结论：①AE=BD:②AG=BF;③FG∥BE:④CO平分∠ACD,⑤BO=OC+AO, 其中结论正确的有() A.①②③⑤B.①②③④ C.②③④⑤ D.①②⑤ 26.(24-25八上山东菏泽曹县期末)如图，C为线段AE上一动点（不与点A,E重合），在AE同侧分 别作等边△1BC和等边△CDE,D与BE交于点O,D与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PO. PO 以下五个结论：①AD=BE;②PQ∥AE;③OP=OQ;④△CPQ为等边三角形：⑤∠AOE=120°.其中 正确的有(). B A.1个B.2个 C.3个 D.4个 27.(24-25八上山东临清期末)如图，△ABC是等边三角形，AE=CD,BE交AD于点F,BH L AD 于H,∠CBE,∠ADC的平分线交于AC边上的点P,BP与AD交于点Q,连接FP,下列说法： ①∠E=∠C,②F=2FH,③∠BPD=0,O40=0,⑤1B=0+PF 其中，正确的结论个数为() 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E F 9 H B D A.2 B.3 C.4 D.5 题型十等腰三角形压轴证明题（共3小题） 28.(24-25八上山东济南天桥区期末)【问题提出】如图1，△ABD、△ACE都是等边三角形，求证： BE=DC. 【方法提炼】这两个共顶点的等边三角形，其在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，即 △ADC≌△ABE.如果把小等边三角形的一边看作“小手”，大等边三角形的一边看作“大手”，这样就 类似“大手拉着小手”，不妨称之为“手拉手”基本图形，当图形中只有一个等边三角形时，可尝试在它 的一个顶点作另一个等边三角形，构造“手拉手”基本图形，从而解决问题。 图 图2 图3 图4 【方法应用】 (1)等边三角形ABC中，E是边AC上一定点，D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF, 连接CF ①如图2，若点D在边BC上，线段CE、CF、CD之间的关系为_一（直接写出结论）； ②如图3，若点D在边BC的延长线上，试证明线段CE、CF、CD之间的关系： (2)如图4，等腰△ABC中，120°<∠BAC<180°，AB=AC,AD L BC,且交BC于点D,以AC为边 作等边△ACE,直线BE交直线AD于点F,连接FC交AE于点M,写出FE、FA、FC之间的数量关系， 并加以说明. 29.(24-25八上山东德州宁津期末)【如图，△ABC与△ADE都是等边三角形(AB>AD),BD和CE相 10/11扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03等腰三角形 题型归纳·内容导航 题型1三线合一（难点） 题型6等边三角形的性质（重点） 题型2等腰三角形的性质 题型7等边三角形的判定 题型3垂直平分线（重点） 题型8等腰三角形综合题 题型4角平分线（重点） 题型9等边三角形综合题 题型5含30度直角三角形（常考点） 题型10等腰三角形压轴证明题难点) 题型通关·靶向提分 题型一三线合一（共3小题） 1.(24-25八上山东临沂临沭三中期末)如图，AB=AC,E为BC的中点，D为AE上任意一点，以下结 论正确的有() ①△ABD≌△ACD,②AD=DE,③LBDE=∠CDE,④AE⊥BC,⑤AE是ABC的角平分线. B E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】c 【详解】解：AB=AC,E为BC的中点， AE⊥BC,AE是ABC的角平分线，即∠BAD=∠CAD,故④⑤正确： AD=AD, ∴△ABD≌△ACD(SAS),故①正确， .∠ADB=LADC, 1/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠BDE=∠CDE,故③正确， 而AD与DE不一定相等，错误， 故正确的有4个， 故选：C 2.(24-25八上山东菏泽东明期末)如图，∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8,点M、N在边OB上， PM=PN,若MN=2,则OM的值为() O M N B A.3 B.4 c.5 D.6 【答案】A 【详解】解：过P作PCLN于C, 60° MCN B PM=PN, :.C为MN中点，即MC=NC=)MN=1, 在Rt△OPC中，∠AOB=60°， .∠OPC=30°， 0C=0P=4, 则OM=0C-MC=4-1=3, 故选：A. 【点睛】此题考查了含30度角的直角三角形，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键. 3.(24-25八上山东枣庄期末)如图，△ABC中，AD是△ABC的角平分线，AD⊥BC,以下结论： 2/36 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D ①△ABD≌△ACD;②AB=AC;③D为BC的中点；④△ABC是等边三角形. 其中正确的有()个. A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【详解】解：：AD是△ABC的角平分线， ∠BAD=∠CAD, 'AD⊥BC, ∠ADB=∠ADC=90°， 在△ABD和△ACD中， ∠BAD=∠CAD AD=AD ∠ADB=∠ADC .△ABD≌△ACD(ASA, :AB=AC,BD=CD,即D为BC的中点， 由已知条件，无法得出△ABC的三边都相等，故△ABC不一定是等边三角形， :①②③正确，④错误，共3个正确， 故选：C 题型二等腰三角形的性质（共3小题） 4.(24-25八上山东济南长清·期末)如图，ABC中，AB=AC,∠BAC=78°，O为ABC内一点，且 ∠0CB=9°，∠AB0=21°，则∠0AC的度数为() A.68° B.69° C.71° D.72° 3/36 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】如图，延长BO交∠BAC的角平分线于点P,连接CP. :AP平分∠BAC,∠BAC=78°， B ∠BAP=∠CAP=39°， AB=AC,∠BAC=78°， ∠ABC=∠ACB=51°， :∠AB0=21°， ∠0BC=LABC-LAB0=30°， 在△APB和△APC中， AB=AC ∠BAP=∠CAP, AP=AP △APB≌△APC(SAS), .∠ABP=∠ACP=21°，LAPB=∠APC, :LBCP=∠ACB-∠ACP=30°， :∠BPC=180°-∠PBC-∠BCP=120°， ∠APB+∠APC=360°-120°=240°， ∠APB=∠APC=I20°=∠BPC, ∠0CB=9°， ∠OCP=∠BCP-∠OCB=21°=∠ACP, 在△APC和△OPC中， I∠ACP=∠OCP CP=CP ∠APC=∠OPC ∴△APC≌△OPC(ASA), :AP=OP, ∠0AP=∠A0P=x080°-∠APO)=30°， 21 4/36 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠0AC=∠0AP+∠CAP=30°+39°=69°， 故选：B. 5.(24-25八上山东德州期末)如图，在ABC中，∠B与∠C的平分线相交于0点，过0点作 MN∥BC交AB于M,交AC于N.若AB=12,BC=24,AC=18,则aAMN的周长为() M A.30 B.33 C.36 D.39 【答案】A 【详解】解：：OB平分∠ABC, ÷∠AB0=L0BC, :MN∥BC, .∠OBC=∠BOM, ∠ABO=LBOM, .BM =OM, 同理可得CN=ON, ∴.△AMN的周长=AM+MO+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC, :AB=12,AC=18, .△AMN的周长=12+18=30. 故选：A, 6.(24-25八上山东淄博高新区·期末)如图，ABC中，∠ABC=LACB,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于 点E,BF⊥AC于点F,BF=10,则DE的长是() B A A.5 B.7.5 C.12 D.12.5 【答案】A 【详解】解：：∠ABC=∠ACB, 5/36 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AB=AC, :AD⊥BC, .DB=DC, S△MBc=2S△MBD, AC×BF=2 x-ABx DE, 1 2 .BF=2DE=10, DE=5. 故选A. 题型三垂直平分线（共3小题） 7.(24-25八上·山东济南平阴期末)如图，在ABC中，DE垂直平分AB,连接BD,BDE的周长为20， ABC的周长比四边形BCDE的周长多10，则线段DE的长为() 0 A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】B 【详解】解：：DE垂直平分AB, .DA=DB,AE =BE, :BDE的周长为20， .DE BE +BD =20, ∴BE+BD=20-DE, :ABC的周长比四边形BCDE的周长多1O, .AB+AC+BC-(CD+DE+BE+BC=10, E2BE+AD+CD+BC-CD-DE BE-BC=10, ∴BE+BD-DE=I0, 20-DE-DE=10, 解得DE=5. 6/36 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故选：B. 8.(24-25八上山东淄博淄川期末)如图，在已知的ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B,C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M,N; ②作直线MN交AB于点D,连接CD 若CD=AC,∠A=50°，则∠ACB的度数为() A.90° B.95° C.100° D.105° 【答案】D 【详解】解：：由作图可知，MN垂直平分BC, ∴.CD=BD ∠DBC=∠DCB. :CD=AC,∠A=50°， .∠CDA=∠A=50° :∠CDA=∠DBC+∠DCB, ∴.∠DCB=∠DBC=25°，∠DCA=180°-∠CDA-∠A=80°， .∠ACB=∠DCB+∠ACD=25°+80°=105° 故选：D 9.(17-18八上河南商丘柘城期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，LABC=2LC,BE平分∠ABC交 AC于E,AD⊥BE于D.下列结论：①AC-BE=AE;②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE=∠C ;④BC=4AD.其中正确的个数有() D 7/36 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【来源】河南省商丘市柘城县2017-2018学年八年级（上）期末数学试卷 【分析】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可. 【详解】解：：∠BAC=90°，∠ABC=2LC, .∠ABC=60°，∠C=30°， :BE平分∠ABC, ∠EBC=∠ABE=1 ∠ABC=30°， .LEBC=∠C, .EB=EC, AC-BE=AC-EC=AE,故①正确： EB=EC, 点E在线段BC的垂直平分线上，故②正确： :∠BAC=90°，∠ABE=30°， ∠AEB=60°， :AD⊥BE, ∠DAE=30°， ·LDAE=∠C,故③正确： :∠BAC=90°，∠C=30°， .BC=2AB, ∠ABD=30°，∠ADB=90°， AB =2AD, BC=4AD,故④正确： 综上，正确的个数为4个，故D正确， 故选：D 题型四角平分线（共3小题） 10.(24-25八上山东日照五莲期末)如图，己知AC平分∠DAB,CE⊥AB于E,若AB=6,AD=4, S。4Bc=6,则△ACD的面积为() 8/36 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.6 C.5 D.4 【答案】D 【详解】解：作CF⊥AD,垂足为F, D心、 B :AC平分∠DAB,CE⊥AB于E, .CE=CF, :S.ABC -2 AB-CE- 1 ×6CE=6, .CE=2, .CF=CE=2, Scm=21 AD.CF=1x4x2-4: 1 2 故选D. 11.(24-25八上山东聊城东昌府区实验中学期末)如图，AD平分∠BAC,E是BC的中点，DE⊥BC, DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为E,M,N.若AB=8,AC=5,则CN的长为() M B D A.1 B.3 C.2 D.3 【答案】B 【详解】解：连接CD,BD,如图， 9/36 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M B :AD平分∠BAC,DM⊥AB,DN⊥AC. .DM=DN :E是BC的中点，DE⊥BC, DE垂直平分BC,即CD=BD, 在RIABDM与RIACDN, DM=DN CD=BD RtBDM≌RtACDN(HL, .BM =CN, 在RIAADM与RIAADN, DM=DN AD=AD Rt△ADM≌RIAADN(HL), ·AM=AN, .CN=AN-AC=AM-AC=AB-BM-AC=AB-CN-AC, 即2CN=AB-AC, AB=8,AC=5, .2CN=AB-AC=8-5=3, 故选：B 12.(24-25八上山东临清·期末)如图，已知ABC的周长是21，OB,0C分别平分∠ABC和∠ACB, OD⊥BC于D,且OD=4,ABC的面积是() 10/36