第01讲 反比例函数、定义图像与性质（知识解读+题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年人教版九年级数学下册

本初中数学讲义聚焦反比例函数的定义、图像与性质核心知识点，从定义内涵（含表达式及自变量取值范围）出发，通过表格系统梳理图像特征（双曲线、对称性）与性质（k值对象限、增减性的影响），构建从概念理解到题型应用的学习支架。 资料以“知识-题型-综合”三层设计为特色，通过典例与分层练习题（如k的几何意义、与一次函数交点问题），培养学生几何直观与推理能力。课中辅助教师落实概念教学，课后助力学生通过针对性练习查漏补缺，强化数学思维与应用意识。

第01讲 反比例函数、定义图像与性质 【知识1 反比例函数的定义】 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【题型1 反比例函数的定义】 【典例1】（2025九年级·全国·专题练习）下列关系式中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26九年级上·广西桂林·期中）在下列函数中，y是x 的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）下列各式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【知识点2 反比例函数的图像和性质】 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 【题型2 反比例函数的图像】 【典例2】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）函数的图像大致是（   ） A．B．C．D． 1．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）函数的图象大致是（ ） A．B．C．D． 2．（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 3．（24-25九年级上·辽宁·期末）下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【题型3 反比例函数图像的对称性】 【典例3】（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 1.（25-26九年级上·四川成都·期中）若双曲线与直线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2.（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江·期末）若反比例函数的图像经过点，则图像必经过的点是（    ） A． B． C． D． 【题型4 反比例函数的性质】 【典例4】（25-26九年级上·广东深圳·期中）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，随着的增大而减小 B．图象在第一、三象限 C．当时， D．图象经过点 1．（25-26九年级上·湖南张家界·期中）已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点 B．y随x的增大而减小 C．图象在第一、三象限内 D．图象是轴对称图形但不是中心对称图形 2．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知反比例函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象必经过点 C．两个分支关于原点成中心对称 D．y随x的增大而增大 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知函数的图象经过点，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象只在第一象限 B．随的增大而增大 C．点不在此函数的图象上 D．当时，必有 【题型5 比较反比例函数值大小】 【典例5】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知点均在反比例函数的图像上，则，，从小到大的顺序为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）已知点都在反比例函数的图象上．若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　　） A． B． C． D． 【题型6 反比例函数系数K的几何意义】 【典例6】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知是反比例函数上一点，轴于点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，A为反比例函数 的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为6，则k的值为（   ） A．3 B．-3 C．6 D．-6 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交的图像于两点，若的面积是5，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【题型7 待定系数法求反比例函数解析式】 【典例7】（2025九年级·全国·专题练习）已知y与成反比例，且当时，． (1)求y关于x的函数解析式． (2)当时，求x的值． 1．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知反比例函数图象经过点，则反比例函数解析式是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·广东茂名·模拟预测）已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（   ） 3 6 A． B．4 C． D．9 3．（25-26九年级上·山东淄博·开学考试）已知变量y与x成反比例，当时，；那么当时，x的值是（   ） A．6 B． C．9 D． 【题型8 反比例函数与一次函数的交点问题】 【典例8】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 1．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．（24-25九年级上·安徽·阶段练习）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 3．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【题型9 一次函数与反比例函数图像综合判断】 【典例9】（24-25八年级下·四川内江·期末）若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C．D． 1（25-26九年级上·福建福州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A．B．C．D． 2.（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A．B．C．D． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．B．C． D． 4．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图像上，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，反比例函数图象经过点，轴，，若，则的值为（   ） A． B．8 C．4 D． 4．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）已知点都在反比例函数的图象上，那么（　　） A． B． C． D．无法确定 5．（25-26九年级上·山东淄博·期中）对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图像位于第二、四象限 B．图像经过点 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（   ）． A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若，，则该反比例函数的表达式为(    ) A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）反比例函数的图象有一支位于第二象限，则的取值范围是 ． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）考察函数的图象，当时，y的取值范围是 ． 12．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）反比例函数在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点，交轴于点C，连接，若，则k的值为 ． 三、解答题 13．（25-26九年级上·广西贺州·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象分别交于点、点B，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点D，的面积为． (1)求该反比例函数的解析式． (2)求的面积． (3)结合图象，直接写出当时，的取值范围． 14．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（、、为常数且）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． (1)绘制函数： ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 4 2 1 … ②根据上表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象．    (2)观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①________，②________． (3)理解运用：函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位． (4)灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当满足________时，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 反比例函数、定义图像与性质 【知识1 反比例函数的定义】 如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即，或表示为，其中是不等于零的常数. 一般地，形如 (为常数，)的函数称为反比例函数，其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 注意： （1）在中，自变量是分式的分母，当时，分式无意义，所以自变量的取值范围是，函数的取值范围是.故函数图象与轴、轴无交点.　（2） ()可以写成()的形式，自变量的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件. （3） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数，从而得到反比例函数的解析式. 【题型1 反比例函数的定义】 【典例1】（2025九年级·全国·专题练习）下列关系式中，表示y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题关键是明确反比例函数的一般形式，并能根据此形式对函数进行判断． 根据反比例函数的定义，对每个选项进行分析． 【详解】解：A、，是正比例函数，其形式为（为常数），不符合反比例函数的形式，不符合题意； B、，分母是，而不是，不符合题意； C、，符合反比例函数的一般形式（为常数且），符合题意； D、，分母是，不是单独的，不符合反比例函数的形式，不符合题意． 故选：C． 1．（25-26九年级上·广西桂林·期中）在下列函数中，y是x 的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如且k是常数的函数叫做反比例函数．根据反比例函数的定义，即可判断． 【详解】解：A、，y是x的反比例函数，故该选项符合题意； B、，y不是x的反比例函数，故该选项不符合题意； C、，y不是x的反比例函数，故该选项不符合题意； D、，y不是x的反比例函数，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如（其中k为常数，且）的函数叫做反比例函数，据此求解即可． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个函数中只有函数是反比例函数， 故选：D． 3．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）下列各式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的定义，熟记反比例函数的一般形式（）是解题的关键．根据反比例函数的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、该函数中，是的正比例函数，故本选项错误； B、该函数中，是的反比例函数，故本选项正确； C、该函数中，当时，不是反比例函数，故本选项错误； D、该函数中，是的一次函数，故本选项错误． 故选：B． 【知识点2 反比例函数的图像和性质】 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． 【题型2 反比例函数的图像】 【典例2】（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）函数的图像大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 1．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）函数的图象大致是（ ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 2．（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的解析式、图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设反比例函数的解析式，利用待定系数法求出解析式，再根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图象经过点， ， 该反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， 故选：D． 3．（24-25九年级上·辽宁·期末）下列各点在反比例函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可得，据此逐项判断即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 、∵， ∴点在反比例函数的图象上，该选项符合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 、∵， 点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 、∵， ∴点不在反比例函数的图象上，该选项不合题意； 故选：． 【题型3 反比例函数图像的对称性】 【典例3】（2025·云南·模拟预测）如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 1.（25-26九年级上·四川成都·期中）若双曲线与直线的一个交点坐标为，则另一个交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象和性质，根据双曲线 关于原点对称，直线也经过原点，因此两个交点关于原点对称求解即可. 【详解】解：∵ 已知交点坐标为，且双曲线与直线的交点关于原点对称， ∴ 另一个交点的坐标为， 故选A. 2.（2025·广东江门·三模）若正比例函数的图象与反比例函数（）的图象交于A，B两点，如果点A的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数与正比例函数图象关于原点成中心对称图形解答即可． 【详解】解：依题意，点 与点关于原点成中心对称图形， ∴点的坐标是 故选：A． 3．（24-25八年级下·浙江·期末）若反比例函数的图像经过点，则图像必经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图像上点的坐标特征，先求出比例系数k，再验证各选项是否满足函数解析式． 【详解】解：将点代入反比例函数解析式 ，得：， ∴。 因此，函数解析式为 ， A、代入 ，得 ，与点的纵坐标一致，符合条件； B、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； C、代入 ，得 ，与点的纵坐标不一致，不符合； D、代入 ，得 ，与点的纵坐标6不一致，不符合． 故选：A． 【题型4 反比例函数的性质】 【典例4】（25-26九年级上·广东深圳·期中）已知反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，随着的增大而减小 B．图象在第一、三象限 C．当时， D．图象经过点 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握k的符号对图象和增减性的影响是关键． 根据反比例函数性质，，图象在第二、四象限，且当时y随x增大而增大；通过代入点坐标验证选项． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象在第二、四象限，故B错误； 当 时，y 随 x 的增大而增大，故A错误； 当时，y 的值可能大于2或小于2，如时，故C错误； 当时，，故图象经过点，故D正确． 故选：D 1．（25-26九年级上·湖南张家界·期中）已知反比例函数，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点 B．y随x的增大而减小 C．图象在第一、三象限内 D．图象是轴对称图形但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，可判断A选项；根据反比例函数图象和增减性，可判断B、C、D选项． 【详解】解：A、当时，，即图象经过点，原说法错误，不符合题意； B、由可知，图象在第一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误，不符合题意； C、由可知，图象在第一、三象限，原说法正确，符合题意； D、反比例函数图象是中心对称图形，也是轴对称图形，原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·湖南益阳·期中）已知反比例函数，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．图象必经过点 C．两个分支关于原点成中心对称 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，当时，图象位于第一、三象限，且关于原点对称；通过代入点坐标验证是否在图象上；判断增减性时需注意在每个象限内随的增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴图象位于第一、三象限，故A错误； 当时，，故点不在图象上，B错误； 反比例函数的图象是双曲线，关于原点成中心对称，故C正确； 当时，在每个象限内，随的增大而减小，故D错误； 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知函数的图象经过点，下列说法正确的是（   ） A．函数的图象只在第一象限 B．随的增大而增大 C．点不在此函数的图象上 D．当时，必有 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要知道，函数图象上的点符合函数解析式．将点代入得到m的值，再根据反比例函数的性质进行判断． 【详解】解：将点代入得，，函数解析式为； A、因为，所以函数图象在一、三象限，故本选项错误； B、因为，所以函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，故本选项错误； C、因为，所以点在此函数图象上，故本选项错误； D、因为，所以函数图象在一、三象限，时，，故本选项正确． 故选：D． 【题型5 比较反比例函数值大小】 【典例5】（25-26九年级上·河北石家庄·期中）已知点均在反比例函数的图像上，则，，从小到大的顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值，通过将每个点的横坐标代入反比例函数解析式，求出对应的纵坐标，然后比较大小即可． 【详解】解：∵ 点在反比例函数上， ， ， ， 故选：． 1．（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的函数值的大小比较，直接计算各点对应的函数值，并比较大小，即可作答． 【详解】解：∵ 点，，在反比例函数的图象上， ∴ ，，， ∵ ， ∴ ， 故选：B． 2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）已知点都在反比例函数的图象上．若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数分析出反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，再根据，说明点，在同一个象限，，最后根据反比例函数增减性确定大小即可． 【详解】解：∵ 点 、 在反比例函数 上， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ， 点，都在第三象限， ， ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入反比例函数解析式求出纵坐标，再比较大小即可． 【详解】解：∵点在上， ∴； ∵点在上， ∴； ∵，， ∴． 故选：B． 【题型6 反比例函数系数K的几何意义】 【典例6】（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，已知是反比例函数上一点，轴于点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解决本题的关键是设出点A的坐标代入三角形面积公式． 设点A的坐标为，由此可得点B的坐标为，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵已知是反比例函数上一点， ∴设点A的坐标为， ∵轴于点， ∴点B的坐标为， ∴，的高为， ∴， 即，即， ∵反比例函数图象位于第二象限， ∴． 故选：D ． 1．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，A为反比例函数 的图象上的一点，轴，轴，垂足分别为B，C．若四边形的面积为6，则k的值为（   ） A．3 B．-3 C．6 D．-6 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数系数k的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义求解即可． 【详解】解：设A点坐标为， ∵轴，轴， ∴， ∴ ∴， ∵反比例函数的图象在第四象限， ∴． 故选D． 2．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，过点A作轴，垂足为点M，连接，若，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的性质，中心对称，k的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据题意可得，则，进而根据k的几何意义，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线交于A，B两点， 两点关于原点对称， ， ， ， ∵双曲线在一、三象限， ， 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交的图像于两点，若的面积是5，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即，可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， 轴， ， ， 又的面积是5， ， ， 又 图像在第二象限， ． 故选：A． 【题型7 待定系数法求反比例函数解析式】 【典例7】（2025九年级·全国·专题练习）已知y与成反比例，且当时，． (1)求y关于x的函数解析式． (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解决问题的关键． （1）先根据与成反比例可设（k≠0），再把当时代入求出的值，进而得出解析式； （2）把代入求出的值即可． 【详解】（1）解：设. 当时， ， 解得 . （2）解：令，即， 解得． 1．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）已知反比例函数图象经过点，则反比例函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，设反比例函数的解析式为，然后把点代入求出的值即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 故选：． 2．（2023·广东茂名·模拟预测）已知与成反比例，下面表格给出了与的一些值，则空格中所表示的数是（   ） 3 6 A． B．4 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数值，求反比例函数解析式，解题关键是求得函数的解析式． 先根据，，求得反比例函数解析式，再求出时函数值． 【详解】解：设反比例函数的表达式为， 把，代入， 得， 即， 将代入， 得：， 所以空格中所表示的数是， 故选：C． 3．（25-26九年级上·山东淄博·开学考试）已知变量y与x成反比例，当时，；那么当时，x的值是（   ） A．6 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数，首先设出反比例函数解析式，运用待定系数法求得k的值；再进一步根据解析式和y的值，求得x的值． 【详解】解：设， ∵当时，， ∴， ∴， 当时，则， 故选：B 【题型8 反比例函数与一次函数的交点问题】 【典例8】（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的横坐标为．当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与正比例函数图象的交点问题，反比例函数的中心对称性，反比例函数与不等式问题，熟练掌握反比例函数与不等式问题是解题的关键．先根据反比例函数的中心对称性求得点B的横坐标为1，再根据，结合图形，即可判断答案． 【详解】解：反比例函数是以点O为对称中心的中心对称图形， 点B与点A关于原点对称， 点A的横坐标为， 点B的横坐标为1， 由图象可知，当时，x的取值范围是或． 故选：D． 1．（2025·青海西宁·一模）反比例函数和正比例函数的图象如图，根据图象可以得到满足的的取值范围是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式，也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力． 先根据正比例函数和反比例函数图象的性质得反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为，然后观察函数图象得到当或时，反比例函数图象都在正比例函数图象下方，即． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的交点关于原点中心对称， ∴反比例函数和正比例函数的另一个交点坐标为， ∴当或时，． 故选：． 2．（24-25九年级上·安徽·阶段练习）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键． 根据两函数的图象交点利用数形结合直接进行解答． 【详解】解：观察图象得：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴当时，的取值范围是或． 故选：B 3．（2025·海南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、．则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 由函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故选：D 【题型9 一次函数与反比例函数图像综合判断】 【典例9】（24-25八年级下·四川内江·期末）若，则一次函数和反比例函数在同一坐标系中的图像可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的图像性质与一次函数的图像性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像是解题的关键． 根据一次函数与反比例函数的图像性质进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在二、四象限，故A、B选项不合题意． ∵， 或， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限或经过一、二、四象限，故C选项不合题意，D选项符合题意． 故选：D． 1（25-26九年级上·福建福州·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象性质，分两种情况分析是解题的关键． 分和两种情况，然后根据各选项的图形即可解答． 【详解】解：当时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而增大，C选项符合，A选项错误； 当时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而减小，B、D选项错误． 故选C． 2.（25-26九年级上·湖南邵阳·期中）在同一平面直角坐标系中，函数与的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，理解题意，再进行分类讨论，当时，故经过第一、二、四象限，经过第一、三象限，或当时，经过第一、三、四象限，且进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意，当时，则， ∴经过第一、二、四象限， 此时得经过第一、三象限， 故A选项符合题意，D选项不符合题意； 当时，则， ∴经过第一、三、四象限， 故B、C选项都不符合题意； 故选：A． 3．（25-26九年级上·山东济南·期中）一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能为（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象．根据m，n的符号讨论一次函数与反比例函数的图象所在的象限，再找出符合的选项即可． 【详解】解：当，时，，，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、三象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，B选项符合； 当，时，，，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限； 当，时，，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限． 故选：B． 4．（25-26九年级上·湖南郴州·期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像和系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据反比例函数与一次函数图像与系数的关系逐项判断即可． 【详解】解：一次函数中，，故与y轴交于负半轴， ∴只能选B或C选项， 当一次函数过一、三象限时，，反比例函数应该过一、三象限 ∴C选项错误， 故选：B 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建福州·期中）下列函数中，y是x的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数形如的函数是反比例函数，正确理解定义是解题的关键． 根据定义判断即可． 【详解】解：A、函数中，不是的反比例函数，故不符合题意； B、函数中，不是的反比例函数，故不符合题意； C、函数中，是的反比例函数，故符合题意； D、函数中，不是的反比例函数，故不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，若点在反比例函数的图像上，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，将点代入反比例函数解析式，求解的值． 【详解】解：∵点 在的图像上， ∴， ∴的值为， 故选：A． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，反比例函数图象经过点，轴，，若，则的值为（   ） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 设点，则有，进而可得，然后根据的面积可列式子进行求解． 【详解】解：设点，由题意得：， ∵， ∴，， ∵的面积为8， ∴， ∴； 故选A． 4．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）已知点都在反比例函数的图象上，那么（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据反比例函数解析式可得函数图象分布的象限以及在每个象限内的增减性，据此求解即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴反比例函数的图象分别在第一和第三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵点都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·山东淄博·期中）对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图像位于第二、四象限 B．图像经过点 C．当时，随的增大而减小 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，其中，图像位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，据此作答即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 图像位于第二、四象限，故A正确； 当时，，故图像经过点 ，B正确； 当时，随的增大而增大，故C错误； 当时，随的增大而增大，故D正确． 故选：C． 6．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）一个反比例函数图象过点，该图象也一定过点（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求得反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 根据反比例函数定义，设解析式为，代入点 求出，得到函数解析式．然后验证各选项点是否满足解析式． 【详解】解：设解析式为， ∵ 反比例函数图象过点， 代入得：， ∴ 函数解析式为， A、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意； B、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意； C、当 时， ，满足，故本选项符合题意； D、当 时， ，不满足，故本选项不符合题意． 故选：C 7．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图是三个反比例函数，，在轴上方的图象，则，，的大小关系为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，反比例函数的图像，反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．由图象分布的位置可得，，，再由时，由图象可得，即得，进而可得，即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一象限，反比例函数，的图象分布在第二象限， ，，，， 当时，由图象可得， ， ， 故选：B． 8．（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，点在反比例函数的图象上，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若，，则该反比例函数的表达式为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．依据题意，由当时，反比例函数的图象在第二象限，则，又，，则，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，当时，反比例函数的图象在第二象限， ． 又，， ． ． 反比例函数为． 故选：C． 9．（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）若双曲线在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质. 根据反比例函数的增减性得到，进行求解即可． 【详解】解：∵双曲线在每个象限内的函数值随的增大而减小， ∴， ∴. 故选：B． 二、填空题 10．（25-26九年级上·湖南怀化·期中）反比例函数的图象有一支位于第二象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握其性质是解题的关键．根据反比例函数 （），当 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象有一支位于第二象限， ∴ ， 解得， ． 故答案为 ：． 11．（25-26九年级上·四川成都·期中）考察函数的图象，当时，y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，对于函数，当时，为负数，且随的增大而减小，趋近于但不等于，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，当时，； 当时，随的增大而减小，且趋近于但不等于， 因此，的取值范围是， 故答案为：． 12．（22-23九年级上·陕西渭南·期末）反比例函数在第一象限的图象如图，过上的任意一点A，作x轴的平行线交于点，交轴于点C，连接，若，则k的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． 【详解】解：轴， ，， ， ， 而， ． 故答案为：8． 三、解答题 13．（25-26九年级上·广西贺州·期中）如图，反比例函数与一次函数的图象分别交于点、点B，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点D，的面积为． (1)求该反比例函数的解析式． (2)求的面积． (3)结合图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． （1）根据的面积为，求出，则，把代入，求出，当时，，求出，待定系数法即可求出反比例函数的解析式． （2）联立两个解析式，求出，即可求解． （3）观察函数图象即可求解； 【详解】（1）解：∵的面积为， ， 即， ， 把代入， 得， 解得：， ∴， 当时，， ， ， ∴反比例函数的解析式为：． （2）解：联立， 解得：或， ， ． （3）解：∵，， 由函数图象可知：当或时，． 14．（25-26九年级上·陕西西安·期中）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数（、、为常数且）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅…… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． (1)绘制函数： ①列表： … 0 1 2 3 4 … … 4 2 1 … ②根据上表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象．    (2)观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①________，②________． (3)理解运用：函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位． (4)灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当满足________时，． 【答案】(1)②图见解析 (2)在每一分支上，y随x的增大而减小；是关于成中心对称的图形（答案不唯一） (3)左，1 (4) 【分析】本题考查反比例函数的图像和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）②描点连线即可得到函数图象； （2）类比反比例函数图象性质可得； （3）观察图象，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； （4）观察图象可知，函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象，根据图象可得题目所求． 【详解】（1）解：②如图： （2）解：类比反比例函数图象性质可得，在每一分支上，y随x的增大而减小；是关于成中心对称的图形； 故答案为：在每一分支上，y随x增大而减小；是关于成中心对称的图形（答案不唯一）； （3）解：观察图象，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位得到的； 故答案为：左，1； （4）解：如图： 观察图象可知，函数的图象向上平移2个单位得到函数的图象， 由函数的图象知，当时，． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $