第四章相似三角形单元专题：格点问题中的相似2025-2026学年浙教版九年级数学上册

2025年浙教版九年级第一学期第四单元专题：格点问题中的相似 1.如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（　　） A．B．C．D． 2.如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 3.如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A．B．C．D． 4．如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A．B． C．D． 5.下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（　　） A．B． C． D． 6.每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　） A．B． C．D． 7.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A．B．C．D． 9.如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为 　 ． 10.由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上． （1）如图1，C，D也在格点上，连结CD交AB于点O，则　　 ． （2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得． 11.如图所示是由三个边长均为1的小正方形组成的网格，连接AC，AD、AE． （1）求证：△ACD∽△ECA； （2）小华说：“∠ADB与∠AEB的和为45°．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 12.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图 ①中作边AC上的中线BD； （2）在图②中作△ABC的角平分线CE； （3）在图③中的BC边上找到一点F，使BF：CF＝2：1． 13.图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，　； （2）如图②，在BC上找一点F，使BF＝4； （3）如图③，在AC上找一点M，使△ABM的面积为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙教版九年级第一学期第四单元专题：格点问题中的相似 1.如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得：，∴， A．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似． B．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似． C．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似． D．三边之比为，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似． 故选：C． 2.如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④ 【解答】解：①三角形的三边的长度为：，2，， ②三角形的三边的长度为：，3，， ③三角形的三边的长度为：，2，， ④三角形的三边的长度为：，2，， ∵， ∴相似三角形的是①和④， 故选：D． 3.如图，小正方形的边长均为1，则下列正方形网格中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意∠ABC＝135°，BC＝2，， ∴， 选项A中的三角形是有一个角为135°，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：A． 4．如图，小正方形的边长均为1，则下面图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝135°，AB＝2，， 在A、C、D三个选项中，都没有135°的角， 选项B中，两边为1和， ∵， ∴B选项中得三角形与△ABC相似； 故选：B． 5.下列四个1×5的正方形网格中，均有两个涂色的三角形，其中在同一网格中的两个三角形相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A．两个三角形中都有一个135°的夹角，且该角的两边比例为， ∴两个涂色的三角形相似， 故该选项正确，符合题意； B．第一个三角形为等腰三角形，且边长为，第二个三角形边长分别为和3， ∴两个涂色的三角形不相似， 故该选项错误，不符合题意； C．第一个三角形三边长为1，和，第二个三角形边长分别为和3， ∴两个涂色的三角形不相似， 故该选项错误，不符合题意； D．第一个三角形三边长为1，2和，第二个三角形边长分别为和3， ∴两个涂色的三角形不相似， 故该选项错误，不符合题意； 故选：A． 6.每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：在△ABC中，AB，AC，BC＝2， A、三边长分别为1，，，则，与△ABC相似，故本选项符合题意； B、三边长分别为，，3，则，与△ABC不相似，故本选项不符合题意； C、三边长分别为1，，2，则，与△ABC不相似，故本选项不符合题意； D、三边长分别为2，，，则，与△ABC不相似，故本选项不符合题意； 故选：A． 7.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意得， A、三角形的三边长分别：，三边不对应成比例，故不相似； B、三角形的三边长分别为：，三边不对应成比例，故不相似； C、三角形的三边长分别为：，三边对应成比例，故相似； D、三角形的三边长分别为：，三边不对应成比例，故不相似； 故选：C． 9.如图，一个由8个正方形组成“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均是1，则边AB的长为 　　 ． 【解答】解：如图所示，连接EG，则∠OEP＝90°， 由题意得，小正方形的边长为1， ∴OP， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠A＝90°，∠MQP＝90°， ∴∠BMQ＝∠CQP＝90°﹣∠MQP， 同理∠EPO＝∠CQP＝90°﹣∠QPC， ∴∠BMQ＝∠EPO， 又∠OEP＝∠B＝90°， ∴△OEP∽△QBM， ∴， ∴BM，QB， ∵∠B＝∠A＝90°，∠NMQ＝90°， ∴∠BMQ＝∠ANM＝90°﹣∠AMN， 在△QBM和△MAN中， ， ∴△QBM≌△MAN（AAS）， ∴AM＝QB， ∴AB＝BM+AM． 故答案为：． 10.由边长为1的小正方形组成的6×6的网格中，线段AB的两个端点都在格点上． （1）如图1，C，D也在格点上，连结CD交AB于点O，则　　 ． （2）如图2，仅用无刻度直尺在△ABC的边AB上找一点M，使得． 【解答】解：（1）由题意：∵AC∥BD，AC＝3，BD＝4， ∴△ACO∽△BOD， ∴， ∴， 故答案为； （2）如图，点M即为所求作的点． 11.如图所示是由三个边长均为1的小正方形组成的网格，连接AC，AD、AE． （1）求证：△ACD∽△ECA； （2）小华说：“∠ADB与∠AEB的和为45°．”请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCH、四边形HCDG和四边形GDEF都是正方形， ∴AB＝BC＝CH＝CD＝DG＝DE，∠B＝∠BCH＝∠HCD＝∠CDG＝∠GDE＝90°， ∴∠BCH+∠HCD＝180°，∠CDG+∠GDE＝180°， ∴B、C、D、E四点在同一条直线上， 设AB＝BC＝CD＝DE＝m，则CE＝2m，CAm， ∵，， ∴， ∵∠ACD＝∠ECA， ∴△ACD∽△ECA． （2）正确， 理由：∵AB＝BC，∠B＝90°， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∵∠ACB＝∠ADB+∠DAC， ∴∠ADB+∠DAC＝45°， ∵△ACD∽△ECA， ∴∠DAC＝∠AEB， ∴∠ADB+∠AEB＝45°． 12.图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图 ①中作边AC上的中线BD； （2）在图②中作△ABC的角平分线CE； （3）在图③中的BC边上找到一点F，使BF：CF＝2：1． 【解答】解：（1）如图①，BD即为所求； （2）△ABC的角平分线CE，如图②即为所求， （3）如图③，点F即为所求． 13.图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上，在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）如图①，　　 ； （2）如图②，在BC上找一点F，使BF＝4； （3）如图③，在AC上找一点M，使△ABM的面积为． 【解答】解：（1）∵AB∥CD， ∴△AEB∽△DEC， ∴， ∵AB＝1，CD＝2， ∴， 故答案为：； （2）如图②，点F即为所求； ； （3）如图③，M点即为所求： 证明：∵BP∥CQ， ∴， ∴， ∴AM， ∴△ABM的面积AB•AM． 1 学科网（北京）股份有限公司 $