精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷

高2027届高二（上）半期考试 数学试卷 命题人：江天龙、陈静、刘冰月 审题人：冉茂园、马露窈 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线方程为，则焦点到轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 3. 已知直线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 4. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 7. 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（ ） A. 21 B. 13 C. 10 D. 9 8. 已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆交于、两点，则（ ） A. 直线l过定点 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 使得弦长为整数的直线l有4条 10. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. C. 使的n的最大值为25 D. 11. 已知P为抛物线上一点，F为C的焦点，直线l的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 点P到直线l的距离的最小值为 C. 若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，则r的取值范围为 D. 过直线l上一点Q作抛物线的两条切线，切点分别为M、N，则面积的最小值为32 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 请写出满足下列两个条件的一个双曲线的标准方程______．①实轴长为；②渐近线方程为. 13. 如图所示，在直三棱柱中，，，D为棱的中点，则点C到平面ABD的距离是______． 14. 已知数列满足，，，若存在正整数m使得恒成立，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 17. 已知点P为圆上的动点，过点P作y轴的垂线，垂足为H，若． （1）求动点Q的轨迹的方程； （2）若圆O与x轴的左、右交点分别为M、N，过M的直线与轨迹交于A、B两点，求的内切圆面积的最大值． 18. 如图，四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且． （1）若点E满足，求证：平面； （2）点M在线段上，且，动点Q在平面内，且满足． （i）求三棱锥的体积的最大值； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知双曲线：的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线PA、PF、PB的斜率成等差数列； （3）若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线PM、PN的夹角为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2027届高二（上）半期考试 数学试卷 命题人：江天龙、陈静、刘冰月 审题人：冉茂园、马露窈 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚. 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知抛物线方程为，则焦点到轴的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的方程，求出焦点，即可得出焦点到轴的距离. 【详解】因为抛物线方程为， 所以抛物线焦点为， 所以焦点到轴的距离为. 故选：C 2. 已知数列中，，，则（ ） A. 1 B. C. －1 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】由题目所给的递推公式可得周期，从而可得答案. 【详解】因为，， 所以，，， 所以是以3为周期的数列， 所以. 故选：D. 3. 已知直线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 4. 设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由含有度角的直角三角形中，用焦距表示出与，再根据椭圆的定义建立起与的等式，即可求出离心率. 【详解】 由题可知，， 又因为，，故， 又因为，故. 故选：B. 5. 若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 6. 已知圆：关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】先根据对称求出值，然后求出圆心距，进而得出两圆位置关系. 【详解】因为圆，即关于直线， 说明该直线过圆心，则有， 解得，所以圆的圆心坐标为，半径为1， 圆的圆心坐标为，半径为4，而. 所以两圆的位置关系是相交. 故选：B. 7. 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（ ） A. 21 B. 13 C. 10 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据得，再根据抛物线定义得，最后利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意，设， 因为，所以，所以， 因为A、B是抛物线上异于原点O的两点，所以， 又因为抛物线的准线方程为， 根据抛物线定义可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为. 故选：A 8. 已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的方程求得左焦点，设，利用点差法，求得点的坐标满足；由是以为底边的等腰三角形，得，得到点的坐标满足，两式联立，求出中点坐标.由，即可求出直线的斜率. 【详解】由题可知，，则，则得. 设直线的方程为，依题意设， 则，， 由，两式相减整理得， 化简得，即（*）. 依题意，，即得（**）， 代入（*），可得，化简得. 解得（舍去），或，将其代入（**），解得. 所以. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线与圆交于、两点，则（ ） A. 直线l过定点 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 使得弦长为整数的直线l有4条 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过整理直线方程，即可求得定点坐标，判断A选项；直线与圆的交点弦中最长的是直径，判断B选项；当圆心与定点所在直线与直线垂直时，弦长最小，由弦长为求得最小值，判断C选项；由B、C选项可知弦长的取值范围，然后写出可能取到的整数集，分别求出对应直线即可判断D选项. 【详解】直线，∴直线过定点，A选项正确； 当直线经过圆心时，的值最大，此时，B选项正确； 圆心，则，当时，圆心到直线的距离最大， 此时，即，C选项正确； ∴，∵弦长为整数，∴， 当时，直线经过点及，有且只有一条， 当时，圆心到直线的距离，又∵， ∴，∴，∴， ∵，即方程存在两个根， ∴这样的直线由2条，故使得弦长为整数的直线l有3条，D选项错误； 故选：ABC 10. 已知等差数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. C. 使的n的最大值为25 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用的关系，可求得，进而求得数列的通项公式，进而逐项计算可判断正误. 【详解】当时，， 当时，， 所以，因为数列为等差数列，所以， 所以，解得，故A正确； 所以，适合，故等差数列的通项公式为，故B正确； 由，得，解得， 又，所以时，， 所以使的n的最大值为26，故C错误； 令，则，解得，即数列为递增数列，且， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知P为抛物线上一点，F为C的焦点，直线l的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则的最小值为4 B. 点P到直线l的距离的最小值为 C. 若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切，则r的取值范围为 D. 过直线l上一点Q作抛物线的两条切线，切点分别为M、N，则面积的最小值为32 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合几何法可判断A，利用点到直线的距离公式，结合二次函数可判断B，利用切线问题转化为到圆心的距离问题，再结合二次函数可判断C，利用导数求切线，再得切点弦，最后可求弦长和点到直线的距离来得到面积的函数关系求最小值，即可判断D. 【详解】 由可得：，过点作准线的垂线，垂足为， 则，故A正确； 设抛物线上的动点，则由点到直线的距离公式可得： ，故B错误； 设存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆相切， 则，即， 从而把问题转化为抛物线上存在点P到点的距离为，又设， 则， 即，故C正确； 设切点，由求导得：， 所以切线方程为：， 同理切线方程为：， 由于切线与切线相交于点,所以有： 与成立 由于切点满足直线方程 即直线方程为：，因为， 所以直线方程化为：，由它与抛物线联立， 消得：， 由此可得， 由点到直线距离公式得：， 所以的面积为 ，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 请写出满足下列两个条件的一个双曲线的标准方程______．①实轴长为；②渐近线方程为. 【答案】（或） 【解析】 【分析】对双曲线的焦点位置进行讨论，设出双曲线的标准方程，根据双曲线的几何性质可得出相应参数的值，即可得出双曲线的标准方程. 【详解】若双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意可得，可得， 该双曲线的渐近线方程为，所以，故， 此时该双曲线的标准方程为； 若双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为， 由题意可得，可得， 该双曲线的渐近线方程为，则，故， 此时该双曲线的标准方程为. 故答案为：（或）. 13. 如图所示，在直三棱柱中，，，D为棱的中点，则点C到平面ABD的距离是______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等体积计算即可. 【详解】因几何体为直三棱柱，则平面， 因平面，则， 则由题意在中得， 同理可得，， 又在中，， 则等腰三角形底边上的高为，则， 因，则点C到平面ABD的距离是. 故答案为： 14. 已知数列满足，，，若存在正整数m使得恒成立，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】利用与的关系可得，进而可得，利用作差法找出数列的最大项即可求解. 【详解】，当时，， 当时，， 所以， 所以，时也适合， 所以，， 所以，， ，， 当时，，即， 当时，，即， 所以当时，最大， 即对任意，均有， 所以存在正整数，使得恒成立. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，其前n项和为，若，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式的性质计算基本量即可； （2）先计算，得出的通项，由等差数列的定义判定为等差数列，再根据求和公式计算，结合二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 设的公差为d，由，得， 又，所以，得， 则； 【小问2详解】 由上可知， 所以，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 则， 由二次函数的性质可知或时，取得最小值. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：，即，得，即. 又，，由正弦定理可知，即， 由余弦定理可知， 故可化为，即，得证. （2） 【解析】 【分析】（1）利用切化弦，和角的正弦公式的逆运用，正弦定理角化边，余弦定理角化边等进行转化求证即可； （2）由题可知与异号，且，故为钝角，再根据求出，代入（1）中所得，由表示出，将一起代入（1）中结论，依次得得，再运用三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，，故，由“大边对大角”可知. 又由题可知，与异号，故，因此. ，. 将代入（1）中所得，可得， 再将与代入（1）的结论，得，解得， 则. 则. 17. 已知点P为圆上的动点，过点P作y轴的垂线，垂足为H，若． （1）求动点Q的轨迹的方程； （2）若圆O与x轴的左、右交点分别为M、N，过M的直线与轨迹交于A、B两点，求的内切圆面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点坐标为，借助构造方程组，利用代入法求点的轨迹的方程； （2）由题意知直线不垂直轴，设过的直线为，联立方程组，借助韦达定理和三角形面积公式以及换元法结合基本不等式计算即可. 【小问1详解】 设，圆上动点， 过作轴垂线，垂足的坐标为(坐标与相同，坐标为). 由，向量坐标满足： 即：，解得. 因为在圆上，代入得： 即， 故：此为动点的轨迹的方程. 【小问2详解】 由题知圆与轴的交点为（长度为 4）， 设过的直线为，与椭圆联立，整理得： 由韦达定理得，， 因为，， 所以， 令，则，面积， 由基本不等式（当且仅当时取等号），得， 所以当（即）时，面积最大为， 因为直线为，代入椭圆得， 所以，所以周长， 由三角形面积公式(为周长，为内切圆半径)， 因此，所以， 所以内切圆面积最大值为. 18. 如图，四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，且． （1）若点E满足，求证：平面； （2）点M在线段上，且，动点Q在平面内，且满足． （i）求三棱锥的体积的最大值； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 以A为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标：，，，，， 由，，得， 故 设平面的法向量为，，， 则，取，得，即， 又因为，则，故. 因为平面，所以平面. （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）用空间向量 “线面的法向量→线面”；先建坐标系写坐标，再求平面的法向量，最后看直线的向量和法向量垂直，就证出线面平行. （2）（i）先找的轨迹（圆），再用体积公式找最值；由算出在一个圆上，三棱锥体积由Q到的距离决定，圆上这个距离最大是 2，代入体积公式就算出最大值.（ii）先求平面的法向量，把Q用三角函数表示（圆的参数式），代入线面角公式，再用三角函数的性质求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由，得(在x轴上，)， 设（在平面ABCD内），由，得：， 平方化简得，即的轨迹是以原点为圆心、半径为 2 的圆. 因为（平面，为高）， 所以(，是Q到的距离). 所以三棱锥的体积： 由Q的轨迹，得，故的最大值为4，因此： . 故：三棱锥的体积最大值为. （ii）由图知平面的两个向量：， 设平面的法向量为，由法向量与平面内向量垂直得： ，则，取 ，得法向量 . 设(由参数化)，则， 则，， 因为正弦函数的有界性 ， ， 所以线面角α的正弦值为： ，代入化简得：. 故：直线与平面所成角的正弦值的取值范围为. 19. 已知双曲线：的一条渐近线为，且过点，动点P在直线上． （1）求双曲线的标准方程； （2）直线l过双曲线右焦点F且与双曲线右支交于A、B两点，求证：直线PA、PF、PB的斜率成等差数列； （3）若过点P作双曲线的切线有两条，切点分别为M、N，设直线PM、PN的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 双曲线的右焦点坐标为，其中，即； 设，直线的方程为. 将直线方程代入双曲线方程得， 化简得：，设，， 则，， ，，， ， 所以，，成等差数列； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，把点的坐标代入双曲线方程得，求解即可； （2）设直线的方程为,，，将直线方程代入双曲线方程，利用根与系数的关系可得，，计算可得，可证结论； （3）设，设切线方程为，代入双曲线方程，由切线可得，设切线PM、PN的斜率为，利用夹角公式可得，可求的取值范围． 【小问1详解】 因为双曲线的一条渐近线为，即，所以 又双曲线过点，所以， 所以，所以 ，解得，， 所以双曲线的标准方程为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，设切线方程为 ，即， 代入双曲线方程得， 所以，整理得， 因为时，直线与双曲线不可能相切， 所以， 所以， 所以， 所以，所以， 整理得， 设切线PM、PN的斜率为， 所以，所以， 所以， 所以， 所以， 当且仅当时，取等号，所以， 所以 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $