专题06 平面向量（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题06 平面向量 一、单选题 1．（2024·吉林预赛）在四边形中，，设．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·吉林预赛）已知等腰梯形中，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2022·吉林预赛）在中，若，为的内心，且，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·广东预赛）已知三角形的外心满足，则_____． 5．（2025·广西预赛）已知的外心为，且，则__________． 6．（2025·广东预赛）平面上有三个同心圆，半径分别为．任取三个点，满足点在圆上（），则的最大值为_____． 7．（2025·江苏预赛）在中，，点为内心．设，若，则_____． 8．（2025·吉林预赛）已知为三内角，向量．如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值是_____ 9．（2025·浙江预赛）设非零向量满足，则夹角的最小值为_____． 10．（2024·贵州预赛）已知的外心为，，若有最大值，则参数_____． 11．（2024·福建预赛）在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 12．（2024·浙江预赛）已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为 ． 13．（2024·内蒙古预赛）已知在中，，，则线段的最大值为 ． 14．（2024·上海预赛）已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为 ． 15．（2024·重庆预赛）在中，已知，则最大角的正弦值为 ． 16．（2023·北京预赛）已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 17．（2023·福建预赛）在锐角中，，为外角平分线上的一点，若，则实数的取值范围为_____． 18．（2023·贵州预赛）已知是单位向量，，若，则的最大值是_____． 19．（2023·山东预赛）设的内心为，且满足，则的值是_____． 20．（2023·四川预赛）设平面向量满足：．点为平面上的三点，满足，则的面积为_____． 21．（2023·新疆预赛）在中，分别是线段上的点，且是线段上的三个动点，且，则的最小值是_____． 22．（2023·浙江预赛）设为两个垂直的平面向量，且．当时，记向量与向量最大夹角为，则_____． 23．（2022·四川预赛）已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____． 24．（2022·浙江预赛）平面向量满足，则的最大值为_____． 25．（2022·福建预赛）如图，点分别在的边上，且为线段的中点，为线段与的交点．若，则的最小值为_____． 26．（2022·苏州预赛）已知的外心为，且，则的值为_____． 一、填空题 1．（2025·全国联赛A卷）平面中的3个单位向量满足（其中表示不超过实数的最大整数），则的取值范围是_____． 2．（2025·全国联赛B卷）平面中的3个单位向量满足，则的最大值与最小值之和为_____． 3．（2023·全国联赛A卷）若平面上非零向量满足，则的最小值为_____． 4．（2023·全国联赛B卷）平面上五点满足，则的值为_____． 5．（2022·全国联赛A1卷）若满足，则的值为_____． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量 一、单选题 1．（2024·吉林预赛）在四边形中，，设．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，过作，又，∴四边形是平行四边形． ，又．， 又，则．故选B． 2．（2023·吉林预赛）已知等腰梯形中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设的中点为，则为平行四边形． 于是， ， 从而， 故选B． 3．（2022·吉林预赛）在中，若，为的内心，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】延长交于，则， 而， 于是，故选D． 二、填空题 4．（2025·广东预赛）已知三角形的外心满足，则_____． 【答案】 【详解】不妨设的外接圆半径，则是平行四边形，因其四边的平方和等于对角线平方和，即，得，于是 因为或，故． 5．（2025·广西预赛）已知的外心为，且，则__________． 【答案】 【详解】不妨设的外接圆半径为1．由得，，故． 同理可得． ． ， ． ． 6．（2025·广东预赛）平面上有三个同心圆，半径分别为．任取三个点，满足点在圆上（），则的最大值为_____． 【答案】42． 【详解】将圆心视为复平面的原点，三个点记为，则，所求为的最大值．但注意恒等式 故，当时等号成立．取，等号成立． 7．（2025·江苏预赛）在中，，点为内心．设，若，则_____． 【答案】． 【详解】由勾股定理的逆定理知以为直角．内切圆半径为，故内切圆与的切点满足模长均为1，于是在正方形中易见 故． 8．（2025·吉林预赛）已知为三内角，向量．如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值是_____ 【答案】 【详解】 ， ， 等号成立仅当．令，因， 所以，是椭圆上的动点．故点， 设，则 当时，． 即． 9．（2025·浙江预赛）设非零向量满足，则夹角的最小值为_____． 【答案】 【详解】解法1：当时，题中不等式自然满足，所以只要考虑的情形． 将不等式两边同时除以，得， 因此题设不等式等价为，其中为单位向量． 记夹角为，那么， 即，从而，得． 解法2：将已知条件两边平方得， 令，变形得， 所以（以下略）． 10．（2024·贵州预赛）已知的外心为，，若有最大值，则参数_____． 【答案】 【详解】依题意，，且 则， 所以且． 11．（2024·福建预赛）在中，已知，若动点满足，则的最大值为_____． 【答案】5 【详解】如图，点在以为圆心，1为半径的圆上，且由极化恒等式， 所以的最大值为5． 12．（2024·浙江预赛）已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】令，，，， 于是，． 由向量与向量垂直，得到． ， 当，时，取到最小值． 13．（2024·内蒙古预赛）已知在中，，，则线段的最大值为 ． 【答案】 【详解】由题意可知：的外接圆半径， 则点在优弧（不包括端点）上， 可知当线段过外接圆的圆心时，线段取到最大值， 取的中点，连接，则， 可得， 所以线段的最大值为． 14．（2024·上海预赛）已知是同一平面上的3个向量，满足，且向量与的夹角为，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】 如图，不妨设，则四点共圆． 由于，于是． 综上可知的最大值为． 15．（2024·重庆预赛）在中，已知，则最大角的正弦值为 ． 【答案】 【详解】设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由条件知： ， 由余弦定理，得， 即，解得， 故最大角为角，由余弦定理得． 16．（2023·北京预赛）已知向量，且的夹角为．若与的夹角为锐角，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】由题意得 又当时，不合题意． 所以的取值范围是． 17．（2023·福建预赛）在锐角中，，为外角平分线上的一点，若，则实数的取值范围为_____． 【答案】 【详解】如图，为角对应的旁心，设， 外接圆直径 ， 而，于是． 又设，则， 且． 由于， 所以． 18．（2023·贵州预赛）已知是单位向量，，若，则的最大值是_____． 【答案】 【详解】．不妨设， 所以． 19．（2023·山东预赛）设的内心为，且满足，则的值是_____． 【答案】 【详解】如图，连接交于点，则，于是． 又，因此 同理可得，， 以上三式相加得． 由向量表示的唯一性可知，，所以． 20．（2023·四川预赛）设平面向量满足：．点为平面上的三点，满足，则的面积为_____． 【答案】7 【详解】设，则． 所以． 21．（2023·新疆预赛）在中，分别是线段上的点，且是线段上的三个动点，且，则的最小值是_____． 【答案】 【详解】如图，， 则 于是，等号成立时． 所以的最小值是． 22．（2023·浙江预赛）设为两个垂直的平面向量，且．当时，记向量与向量最大夹角为，则_____． 【答案】 【详解】设． 显然三点共线，设，则． ． 如图所示，令， 当时，；当时，． 于是 等号成立时．所以． 23．（2022·四川预赛）已知平面向量满足：，记向量与向量的夹角为，则的值为_____． 【答案】 【详解】 所以． 24．（2022·浙江预赛）平面向量满足，则的最大值为_____． 【答案】2 【详解】不妨设，依题意，， 取．由于，不妨设， 于是 ，等号成立时． 所以的最大值为2． 25．（2022·福建预赛）如图，点分别在的边上，且为线段的中点，为线段与的交点．若，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】 由三点共线得． 由， 所以当时，的最小值为． 26．（2022·苏州预赛）已知的外心为，且，则的值为_____． 【答案】 【详解】不妨设，则 ， 所以． 一、填空题 1．（2025·全国联赛A卷）平面中的3个单位向量满足（其中表示不超过实数的最大整数），则的取值范围是_____． 【答案】． 【详解】由及，可知． 若，则，此时为偶数，不可能为1，矛盾． 若，则，此时（相应的例子存在，例如与的夹角为锐角时，由知）． 若，不妨设． 记． 当或时，，当时，，均不合要求． 当时，，满足要求，此时 综上，的取值范围是． 2．（2025·全国联赛B卷）平面中的3个单位向量满足，则的最大值与最小值之和为_____． 【答案】． 【详解】由条件知，结合三角不等式知 ． 当时，取到最大值2． 当时，取到最小值． 因此的最大值与最小值之和为． 3．（2023·全国联赛A卷）若平面上非零向量满足，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】由，不妨设，其中，并设，则由得，由得． 所以． 取，此时取到最小值． 4．（2023·全国联赛B卷）平面上五点满足，则的值为_____． 【答案】3 【详解】记．由条件知，于是 5．（2022·全国联赛A1卷）若满足，则的值为_____． 【答案】 【详解】由条件知，于是 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $