专题03 相似7大考点（期末真题汇编，山东专用）九年级数学上学期

专题03 相似 常考考点概览 考点01 比例的性质 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似三角形的判定 考点04 利用相似三角形的性质求解 考点05 相似三角形的性质与判定综合 考点06 相似三角形的实际应用 考点07 勾股定理及逆定理的应用图形的位似 地 城 考点01 比例的性质 一、单选题 1．(23-24九上·山东青岛李沧区·期末)已知，则下列各式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东青岛黄岛区等3地·期末)已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25九上·山东青岛崂山区·期末)若，则的值为 ． 4．(24-25九上·山东济南·期末)已知，则 ． 5．(23-24九上·山东济南商河县·期末)已知，那么 ． 6．(23-24九上·山东青岛北区·期末)已知，则的值是 ． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 一、单选题 1．(23-24九上·山东聊城临清·期末)如图，同一条直线上的三个点，，都在等距离、等长度的五条平行横线上．若线段，则线段的长是（    ）    A． B． C． D． 2．(23-24九上·山东德州夏津县·期末)如图，直线，直线分别交于点A，B，C，过点B的直线分别交于点D，E．若，则线段的长为（　　） A．4 B．6 C．10 D．9 3．(23-24九上·山东临沂沂南县·期末)如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．(23-24九上·山东青岛李沧区·期末)已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·山东临沂临沭县·期末)如图，直线交于点，，若，则的值为 ． 三、解答题 6．(24-25九上·山东济南·期末)某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求的最小值． 地 城 考点03 相似三角形的判定 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南育英中学·期末)如图，点在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·山东聊城聊城文轩初级中学·期末)如图，在中，点在上，下列四个条件：①；② ；③；④，其中当和相似时满足的条件有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．(23-24九上·山东滨州邹平·期末)如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 4．(23-24九上·山东济南历下区·期末)如图，与相交于点O，添加一个条件，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(23-24九上·山东济宁泗水县·期末)如图，在中，点D，E分别在边、上，请你补充一个条件 （写出一个即可），使． 6．(23-24九上·山东临沂临沭县·期末)在中，，，在中，，，要使相似，需添加的一个条件是 ．（写出一种情况即可） 三、解答题 7．(23-24九上·山东聊城东昌府区·期末)已知是等腰三角形，过底边的中点作，垂足为，并延长到，使得，连接． 求证：． 地 城 考点04 利用相似三角形的性质求解 一、单选题 1．(24-25九上·山东德州德城区·期末)如图，已知，且相似比为，若，则下列线段长度能确定的是（    ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·山东临沂临沂经济技术开发区·期末)如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（    ） A． B．8 C． D． 3．(23-24九上·山东青岛李沧区·期末)如图是一把直角三角尺，，，，，且，则这把三角尺中与的周长比为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(23-24九上·山东滨州无棣县·期末)已知与相似，相似比为，如果的面积为2，则的面积为 ． 5．(24-25九上·山东临沂罗庄区学科素养水平联研试题·期末)从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，则完美分割线的长为 ． 地 城 考点05 相似三角形的性质与判定综合 一、单选题 1．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点．连接并延长交于点F，已知，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．36 D．64 2．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)如图，在中，点D在边上，，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．(23-24九上·山东滨州无棣县·期末)如图，点为边上任一点，交于点，连接相交于点，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·山东德州宁津县·期末)如图，在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·山东菏泽曹县·期末)如图，四边形是菱形，点在的延长线上，，则的长为（    ）    A．6 B．9 C．10 D．12 6．(23-24九上·山东日照东港区·期末)如图，有一块形状为直角三角形的余料．已知，，要把它加工成一个平行四边形工件，使在边上，D，E两点分别在边上，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．(23-24九上·山东淄博淄川区淄川实验中学·期末)如图，在中，D、E分别是上的点，且，若，则（     ）    A． B． C． D． 8．(24-25九上·山东德州齐河县·期末)如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．若，，则的边长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．24 9．(24-25九上·山东济宁曲阜·期末)如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于、．连接、，与相交于点．给出以下结论：①；②；③；④若，则 ．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．(24-25九上·山东聊城茌平区·期末)如图，在正六边形中，P是的中点，点Q在上，且，，则（   ） A． B． C． D． 11．(23-24九上·山东德州宁津县·期末)如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 12．(24-25九上·山东潍坊安丘·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，于B，交于点D，且则点B的坐标为 ． 13．(24-25九上·山东青岛黄岛区等3地·期末)如图，在矩形中，为的中点，与相交于点．若，，则的长为 ． 14．(23-24九上·山东枣庄滕州荆河街道滕西中学·期末)5．在中，D、E分别是、上的点，且，若，则 ． 15．(24-25九上·山东东营东营区·期末)6．如图，点E在上，，边上的中线与相交于点P，延长至点F，使得，连接，则的值是 ． 16．(24-25九上·山东德州乐陵·期末)7．如图，三条相互平行的直线和分别经过正方形的三个顶点，交边于点．若与之间的距离为3，与之间的距离为7，则的长为 ． 17．(24-25九上·山东青岛北区·期末)8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，则下列所有正确结论的序号是 ． ①平分②③④ 18．(23-24九上·山东枣庄滕州荆河街道滕西中学·期末)如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是 ．    三、解答题 19．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)在矩形中，，，是边上异于，的一个动点，设，点到的距离为． (1)求与的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线与（1）中所求出的函数交点分别为．求三角形的面积． 20．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)如图，在中，，以点A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上，点F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．(23-24九上·山东滨州博兴县·期末)如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，，AD是的高．若，．求的长． 22．(24-25九上·山东枣庄·期末)3．【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在中，若，，则有； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至E，F两点，使得…… 证明：∵， ∴ 与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整． 23．(24-25九上·山东菏泽东明县·期末)4．如图1，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E．作射线．过点C作，交于点D． (1)求的长； (2)如图2，连接．分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q．作直线，交的延长线于点F．连接，交于点G．当时，求的值． 24．(24-25九上·山东临沂兰山区·期末)5．（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．线段，之间的数量关系为______；的度数为______． （2）将图1中的和均变为等腰直角三角形如图2，，，，直线和直线交于点． ①线段，之间的数量关系为______；的度数为______． ②若，，，求的长． （3）如图3，若和均为直角三角形，，且，，．当点在线段的延长线上时，则的长度为______． 25．(24-25九上·山东临沂费县·期末)6．如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 26．(24-25九上·山东德州临邑县·期末)7．如图所示，、、、四点在一条直线上，四边形，为平行四边形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．(24-25九上·山东青岛崂山区·期末)如图，在矩形中，，，连接．点P从点A出发，沿顺时针方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿逆时针方向匀速运动，速度为，设运动时间为．解答下列问题： (1)P，Q两点何时相遇？ (2)当时，是否能与相似，请说明理由； (3)设以点P，Q，B，D为顶点围成的四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式． 28．(24-25九上·山东青岛即墨区·期末)如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： (1)当t为___________时，和相似； (2)设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)求当为何值时，为等腰三角形． 29．(24-25九上·山东青岛北区·期末)如图，在矩形纸片中，，，，点在边上，自向以每秒1个单位的速度运动；点在边上，自向以每秒2个单位的速度运动；点和点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．现将矩形纸片沿直线折叠，使点落到点处，点落到点处，直线与边相交于点． (1)填空：当______时，； (2)连接，交于点，设的面积为，请写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使直线恰好经过的中点？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点06 相似三角形的实际应用 一、单选题 1．(24-25九上·山东济宁曲阜·期末)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东烟台·期末)如图，电线杆的顶上有一盏高为的路灯，电线杆底部为A，身高的男孩站在与点A相距的点B处，若男孩以为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·山东淄博张店区·期末)如图所示，身高为的小刚站在离路灯底部处时发现自己的影长恰好为，则该路灯的高度是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·山东济宁任城区·期末)如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·山东聊城临清·期末)如图是实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为 ． 6．(24-25九上·山东·期末)中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为 尺． 7．(23-24九上·山东济南长清区·期末)如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线．若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ． 8．(23-24九上·山东青岛崂山区·期末)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，使斜边与地面保持平行，并且边与点在同一条直线上．已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，则树高 ． 9．(24-25九上·山东潍坊寒亭区·期末)如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得点离地面的高度为，小莹与“观光塔”的水平距离为，则“观光塔”的高度是 ． 10．(24-25九上·山东泰安泰山区·期末)如图，为了测量大树的高度，小明发现大树离教学楼4.5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为1.2m，此时小明拿起一根高2m的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长1m，那么这棵大树高 m． 11．(24-25九上·山东德州天衢新区·期末)如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离，已知某一时刻的地面的影长，在地面的影长，则窗户的高是 ．    12．(23-24九上·山东聊城东阿县第三中学·期末)如图，某水平地面上建筑物的高度为，在点和点处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上；从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一直线上，则建筑物的高是    三、解答题 13．(24-25九上·山东烟台龙口·期末)如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E．依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，求点E的坐标． 14．(23-24九上·山东淄博淄川区·期末)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，求建筑物的高 15．(24-25九上·山东济宁鱼台县·期末)在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 测量居民楼的高度 活动工具 标杆、卷尺 建立模型    测量方案 【步骤一】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2米到处，此时M、B、E在一直线上； 【步骤二】另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4米到处，此时M、D、F三点也在一直线上． 【步骤三】测得两次测量标杆之间的距离是为50米，两个标杆的高度均为1.5米，且N、A、E、C、F在同一直线上． 解决问题 请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出居民楼的高度． 16．(24-25九上·山东·期末)“远远的街灯明了，好像闪着无数的明星．天上的明星现了，好像是点着无数的街灯……”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯A走向路灯B的过程中，当她行到P点时，她在路灯B下的影长为1.5米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了5米到Q处，恰好她在路灯A下的影子位于路灯B的正下方（已知小华身高1.6米，路灯B高8米） (1)计算小华站在Q处在路灯A下的影长； (2)计算路灯A的高度． 地 城 考点07 图形的位似 一、单选题 1．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，在如图所示的平面直角坐标系中，格点，成位似关系，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九·山东青岛大学附属中学·期末)如图在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心做出位似图形，使原图形与新图形的相似比为3：1，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 3．(23-24九上·山东滨州邹平·期末)如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，，则和的位似比等于（　　）    A． B． C． D． 4．(23-24九上·山东青岛城阳区·期末)如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（    ） A．小鱼与大鱼的周长之比是 B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是 C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍 D．若小鱼上一点的坐标是，则大鱼上的对应点的坐标是 5．(23-24九上·山东聊城东昌府区·期末)如图，在平面直角坐标系中，以原点为位中心，将缩小为原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·山东济南实验初级中学·期末)如图，在直角坐标系中，已知中，的坐标为，以原点为位似中心，在第一象限内作的位似图形，且顶点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·山东青岛城阳区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．(24-25九上·山东滨州邹平·期末)在直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小得到，使与的相似比为，则点的对应点的坐标为 ． 9．(23-24九上·山东青岛李沧区·期末)如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为．点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为，则点N的坐标为 ． 三、解答题 10．(23-24九上·山东济南槐荫区部分学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为； (2)求四边形的面积． 11．(24-25九上·山东临沂兰山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)请在网格中画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请在网格中画出； (3)已知点是轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为______． 12．(23-24九上·山东济南章丘区·期末)如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B的坐标为，点的坐标为． (1)若点A的坐标为，求点的坐标； (2)若的面积为m，则的面积为　　　　． 13．(23-24九上·山东日照岚山区·期末)在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似 常考考点概览 考点01 比例的性质 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似三角形的判定 考点04 利用相似三角形的性质求解 考点05 相似三角形的性质与判定综合 考点06 相似三角形的实际应用 考点07 勾股定理及逆定理的应用图形的位似 地 城 考点01 比例的性质 一、单选题 1．(23-24九上·山东青岛李沧区·期末)已知，则下列各式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是比例的基本性质，利用比例的基本性质逐一分析即可，熟记比例的基本性质是解本题的关键． 【详解】解：A．由，可得到，变形正确，不符合题意； B．两边平方，即可得到，变形正确，不符合题意； C． 由，得不到，变形错误，符合题意； D． ，左边和右边同时加上1，即可得到，不符合题意； 故选C． 2．(24-25九上·山东青岛黄岛区等3地·期末)已知a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是成比例线段的定义，熟记定义是解此题的关键． 根据成比例线段的定义，若是成比例线段，则有，可得，再逐项判断即可． 【详解】解：∵是成比例线段， ∴，即， ∵，，， ∴，故选项B正确； 故选：B． 二、填空题 3．(24-25九上·山东青岛崂山区·期末)若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，根据，设，则，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， 设，则， ∴， 故答案为： 4．(24-25九上·山东济南·期末)已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，由条件可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 5．(23-24九上·山东济南商河县·期末)已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查比例的性质，由得出，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， 整理得，， ∴， 故答案为：． 6．(23-24九上·山东青岛北区·期末)已知，则的值是 ． 【答案】/0.8 【分析】本题主要考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、是解题的关键．设比值为，然后用表示出、、，再把、、的值代入代数式进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 则有，，， ∴． 故答案为：． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 一、单选题 1．(23-24九上·山东聊城临清·期末)如图，同一条直线上的三个点，，都在等距离、等长度的五条平行横线上．若线段，则线段的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵A、B、C三个点都在等距离、等长度的五条平行横线上，且在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．(23-24九上·山东德州夏津县·期末)如图，直线，直线分别交于点A，B，C，过点B的直线分别交于点D，E．若，则线段的长为（　　） A．4 B．6 C．10 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理得到，然后把的值代入后，利用比例的性质可计算出的长． 【详解】解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 故选：C 3．(23-24九上·山东临沂沂南县·期末)如图，在中，，，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 由题意知，根据，再计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵， ∴，即， 解得，， ∴， 故选：C． 4．(23-24九上·山东青岛李沧区·期末)已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定，平行线分线段成比例的应用，根据平行线分线段成比例列出比例式，再化为等积式即可判断． 【详解】解：A选项： 由同位角相等可得平行线， ∴，则，故A不符合题意； B选项： 由同位角相等可得平行线， ∴，则，故B不符合题意； C选项： 由内错角相等可得平行线， ∴，则，故C不符合题意； D选项： 由内错角相等可得平行线， ∴，则，故D符合题意； 故选D 二、填空题 5．(24-25九上·山东临沂临沭县·期末)如图，直线交于点，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25九上·山东济南·期末)某校数学兴趣小组的同学在学习了“图形的相似”后，利用相关知识进行了深入研究． （一）合作探究 （1）如图1，在中，平分交于点．兴趣小组的同学得出．如图2，理由如下： 过点作，交的延长线于点． ① ， 平分 ② 请完成填空：①________________；②___________________； （二）内化迁移 （2）已知：如图3，为的边延长线上一点，连接，为边延长线上一点，． 求证：平分． （三）问题解决 （3）如图4，正方形边长为9，为边上一点，为延长线上一点．为正方形内部一动点，连接并延长交于点，连接，若，平分交于点，为中点，，连接，．求的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得①的答案，根据等腰三角形的性质可得②的答案； （2）如图，过作，交于，可得，，，证明，可得，进一步可得结论； （3）如图，连接，，，求解，可得，，，，，当最小时，即最小；结合，当共线时，，此时最小，由（2）的结论可得：平分，而平分，再进一步可得结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点． ① ，， 平分 ② ． （2）如图，过作，交于， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （3）如图，连接，，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为中点，正方形边长为9， ∴，，，， ∴最小时，即最小； ∵，当共线时，，此时最小， ∵， 由（2）的结论可得：平分，而平分， ∴， ∵， ∴， 而， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平行线分线段成比例，正方形的性质，三角形的三边关系的应用，理解题意，确定最小值时的位置是解本题的关键． 地 城 考点03 相似三角形的判定 一、单选题 1．(24-25九上·山东济南育英中学·期末)如图，点在的边上，添加一个条件，使得，下列不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据三角形相似的判定定理，由两个角对应相等的两个三角形相似可判定A、B正确，不符合题意；由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定D正确，不符合题意；从而确定答案，熟记相似三角形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、添加， ， ，不符合题意； B、添加， ， ，不符合题意； C、添加， ， 无法判断，符合题意； D、添加， ， ，不符合题意； 故选：C． 2．(23-24九上·山东聊城聊城文轩初级中学·期末)如图，在中，点在上，下列四个条件：①；② ；③；④，其中当和相似时满足的条件有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断． 【详解】解：∵， ，故①正确； ∵， ∴是等腰三角形，与不一定相等， ∴与不相似，故②错误； ∵，， ，故③正确； ，即， 此两个对应边的夹角不是， ∴与不相似，故④错误； 能满足和相似的条件是①③， 故选：B． 3．(23-24九上·山东滨州邹平·期末)如图所示，网格中相似的两个三角形是（　　） A．①与③ B．②与③ C．①与④ D．③与④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，求出所有三角形的边长是解题的关键．先利用勾股定理求出所有三角形的边长，由相似三角形的判定可求解． 【详解】解：图形①的三边为：； 图形②的三边为：； 图形③的三边为：； 图形④的三边为：； ∵， ∴①与③相似， 故选：A． 4．(23-24九上·山东济南历下区·期末)如图，与相交于点O，添加一个条件，不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项判断即可解得． 【详解】解：在和中，， A、∵，∴，故A不符合题意； B、，∴，故B不符合题意； C、∵∴，故C不符合题意； D、，不能判定，故D符合题意． 故选：D． 二、填空题 5．(23-24九上·山东济宁泗水县·期末)如图，在中，点D，E分别在边、上，请你补充一个条件 （写出一个即可），使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据两个角相等的三角形相似，添加条件即可． 【详解】解：要使则需要添加一个条件是即可，证明如下： 在与中， ， ． 6．(23-24九上·山东临沂临沭县·期末)在中，，，在中，，，要使相似，需添加的一个条件是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，解题关键是掌握相似三角形的判定方法． 因为两三角形三边对应成比例或两三角形两边对应成比例且其夹角相等，那么这两个三角形就相似，求解即可． 【详解】解：∵在中，，， 在中，，， ∴，， 添加． ∴． 或添加，则， 故答案为：或（答案不唯一）． 三、解答题 7．(23-24九上·山东聊城东昌府区·期末)已知是等腰三角形，过底边的中点作，垂足为，并延长到，使得，连接． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质，根据是等腰三角形，点是底边的中点得，，利用证明，得，，根据得，则，即可得，根据，得，根据可得，即可得；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】证明：∵是等腰三角形，点是底边的中点， ∴，， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵ ∴， ∴． 地 城 考点04 利用相似三角形的性质求解 一、单选题 1．(24-25九上·山东德州德城区·期末)如图，已知，且相似比为，若，则下列线段长度能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键，由相似三角形的性质得出，再由相似比为，且，即可得解． 【详解】∵∽ 相似比为，， ， 线段长度能确定， 故选：． 2．(23-24九上·山东临沂临沂经济技术开发区·期末)如图，已知，，若的长度为6，则的长度为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是相似三角形的性质根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3．(23-24九上·山东青岛李沧区·期末)如图是一把直角三角尺，，，，，且，则这把三角尺中与的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了含的直角三角形性质，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．先求解，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴这把三角尺中与的周长比为， 故选：C． 二、填空题 4．(23-24九上·山东滨州无棣县·期末)已知与相似，相似比为，如果的面积为2，则的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比是相似比的平方即可解题． 【详解】解：与相似比为，的面积为2， 与面积比为：， 的面积为：， 故答案为：18． 5．(24-25九上·山东临沂罗庄区学科素养水平联研试题·期末)从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中有一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，则完美分割线的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，由等腰三角形的性质得到，由题意得，得到，设，则，得到，求出，再根据，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∵是等腰三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 地 城 考点05 相似三角形的性质与判定综合 一、单选题 1．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点．连接并延长交于点F，已知，则的面积是（    ） A．12 B．16 C．36 D．64 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，得到，根据点E是的中点，得到，利用相似三角形性质计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)如图，在中，点D在边上，，，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由已知可证明，进而利用相似三角形的性质可得的长． 【详解】解：，， ， ，即， 解得：， 故选：A． 3．(23-24九上·山东滨州无棣县·期末)如图，点为边上任一点，交于点，连接相交于点，则下列等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理即可判断B、C，根据相似三角形的性质即可判断A、D． 【详解】解：∵， ∴，，，故B、C不符合题意； ∴，故A不符合题意， ∴，故D符合题意； 故选D． 4．(23-24九上·山东德州宁津县·期末)如图，在中，、分别是边、上的点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．证明，证明，得到，由相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选C 5．(23-24九上·山东菏泽曹县·期末)如图，四边形是菱形，点在的延长线上，，则的长为（    ）    A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键．根据两角相等可得两三角形相似，由相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故选：B 6．(23-24九上·山东日照东港区·期末)如图，有一块形状为直角三角形的余料．已知，，要把它加工成一个平行四边形工件，使在边上，D，E两点分别在边上，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理；分别过A、D作的垂线，垂足分别为M、H；由勾股定理求得的长，由面积关系即可求得高；由题意得，由相似三角形的性质可求得，由平行四边形面积计算公式即可求解． 【详解】解：分别过A、D作的垂线，垂足分别为M、H，交于N， ∵，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 7．(23-24九上·山东淄博淄川区淄川实验中学·期末)如图，在中，D、E分别是上的点，且，若，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，即可证得，又由，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 8．(24-25九上·山东德州齐河县·期末)如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且．若，，则的边长为（   ） A．14 B．16 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解分式方程，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．设的边长为，利用等边三角形的性质，证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：设的边长为，则， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 即的边长为18， 故选：C． 9．(24-25九上·山东济宁曲阜·期末)如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于、．连接、，与相交于点．给出以下结论：①；②；③；④若，则 ．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据等边三角形和正方形的性质得，则，可判定①不正确；通过导角能得出，得，从而证明，可判断②正确；利用，得，可说明③正确；过点P作于M，于N，将转化为，从而判断④成立． 【详解】解：是等边三角形， ，． 在正方形中， ，， ． ．故①不正确∶ ， ． ． ． ． ． ， ．故②正确． ，， ． ． ．故③正确； 如图，过点P作于M，于N， 正方形边长，是等边三角形， ，． ． ，． ． ，故④正确， 故选∶C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握各性质是解题的关键． 10．(24-25九上·山东聊城茌平区·期末)如图，在正六边形中，P是的中点，点Q在上，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正多边形和圆，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据正六边形的性质，相似三角形的判定和性质以及平角的定义进行计算即可． 【详解】解：正六边形中， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 11．(23-24九上·山东德州宁津县·期末)如图，矩形和矩形，矩形绕点旋转，给出下列结论：①；②；③当时；④，其中正确的结论的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.通过证明 ，由相似三角形的性质可求，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得，由余角的性质可证，可以判断②正确； 由勾股定理可求. ，可以判断④错误； 分别求出、即可判断③，即可求解. 【详解】解：∵矩形和矩形，，， ， ， ， ， ，故①错误； 如图: 设与交于点， ， ， 又 ， ， ，故②正确； 如图，连接， ， ，， ， ，，， ， ，故④错误； 如图，过点作 于， 于， ， ∴四边形APGN是矩形， ， ， ， ， ， ，故③正确； 综上所述：正确的结论是②③. 故选A 二、填空题 12．(24-25九上·山东潍坊安丘·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，于B，交于点D，且则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质及相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意得出，进而得出，再结合得出，进一步得出，最后利用相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：， ， ， 又， ， ， ， ， ∵点的坐标为，点的坐标为， ， ， ∴点的坐标为． 故答案为：． 13．(24-25九上·山东青岛黄岛区等3地·期末)如图，在矩形中，为的中点，与相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据矩形的性质证明，得到，再根据，代入计算即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 14．(23-24九上·山东枣庄滕州荆河街道滕西中学·期末)5．在中，D、E分别是、上的点，且，若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用形似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 由，于是得到，从而推出，根据，得到，然后根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】 解：如图， ， ， ， ， ，， 故答案为：． 15．(24-25九上·山东东营东营区·期末)6．如图，点E在上，，边上的中线与相交于点P，延长至点F，使得，连接，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质及三角形相似的判定与性质，先证明，得到，，从而得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵边上的中线与相交于点， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16．(24-25九上·山东德州乐陵·期末)7．如图，三条相互平行的直线和分别经过正方形的三个顶点，交边于点．若与之间的距离为3，与之间的距离为7，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行线间的距离，过点D作于N，过点B作于M，则，，证明得到，再证明求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于N，过点B作于M， ∵，与之间的距离为3，与之间的距离为7， ∴与之间的距离为4， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为． 17．(24-25九上·山东青岛北区·期末)8．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，过点作，交的延长线于点，交于点，若，，，则下列所有正确结论的序号是 ． ①平分②③④ 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的性质得，则是线段的垂直平分线，进而得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质可对结论结论①进行判断；②根据得是等腰直角三角形，由此可对结论②进行判断；③过点作于点，先求出， ，证明是等腰直角三角形，可求出，证明和相似得，据此可对结论③进行判断，④分别求出，进而可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴平分，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ③过点作于点，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， 由勾股定理得：， ∵， ， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ， ， ， ， ， ， ，故④不符合题意， 综上所述：所有正确结论的序号是①②③． 故答案为：①②③． 18．(23-24九上·山东枣庄滕州荆河街道滕西中学·期末)如图，正方形的边长为4，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的是 ．    【答案】①③ 【分析】①先根据正方形的性质证得和全等，再利用证得和全等，即可得出垂直平分；②连接与交于点，交于点，连接，根据题意当点与点重合时，的值最小，即的最小值是的长，根据正方形的性质求出的长，从而得出，即的最小值；③先证，再根据相似三角形的性质及，即可判断；④先求出的长，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：①四边形是正方形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 又为公共边， ， ， 又， 垂直平分， 故①正确； ②如图，连接与交于点，交于点，连接，，   四边形是正方形， ， 即， 垂直平分， ，， ∵， ∴当点与点重合时，的值最小，此时，即的最小值是的长， 正方形的边长为4， ∴由勾股定理得，， ， 即的最小值为， 故②错误； ③垂直平分， ， ， ， 又， ， ， 即， 由①知， ， 故③正确； ④垂直平分， ， 又， ， 故④不正确； 综上，正确的是：①③， 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形全等的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，最短路径问题等知识点，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 三、解答题 19．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)在矩形中，，，是边上异于，的一个动点，设，点到的距离为． (1)求与的函数表达式，并求出自变量的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，为坐标原点，若直线与（1）中所求出的函数交点分别为．求三角形的面积． 【答案】(1)与的函数表达式为 (2) 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，反比例函数的运用，掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数与几何图形面积的综合是解题的关键． （1）过点作于点，则，连接，由勾股定理得到，根据题意可证，得到，即，即可求解； （2）如图所示，直线与交点分别为，当时，，则，联立方程组得到点的坐标，数学结合得到，，由即可求解． 【详解】（1）解：点到的距离为， ∴过点作于点，则，连接， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵是边上异于，的一个动点， ∴， ∴与的函数表达式为； （2）解：如图所示，直线与交点分别为， 在直线中，设直线与轴交于点，当时，，则， ∴ 联立方程组得， 解得，或， ∴，， ∴，， ∴三角形的面积． 20．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)如图，在中，，以点A为直角顶点作等腰直角三角形，点D在上，点E在上，点F在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质； （1）利用两角分别相等的两个三角形相似可证明出结论； （2）利用，求出，再证，可求，进而解答即可． 【详解】（1）证明：，， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， ∴； （2）由（1）知， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， 又， ∴， ，即， ， ， （负值已舍）， ． 21．(23-24九上·山东滨州博兴县·期末)如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，，AD是的高．若，．求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 通过四边形为矩形推出，得到，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵和分别是和的高， ∴，， ∴， ∵，代入可得， 解得， ∴． 22．(24-25九上·山东枣庄·期末)3．【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在中，若，，则有； ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得，即知．若把①中的替换为，还能推出吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法． 小军 小民 证明：分别延长，至E，F两点，使得…… 证明：∵， ∴ 与均为直角三角形 根据勾股定理，得…… 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题是一道三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． （1）根据，可以得到，然后根据可以证明，从而可以得到结论成立； （2）根据小军的证明过程可知：分别延长，至E，F两点，使得，，然后作出辅助线，再根据全等三角形的判定方法和等腰三角形的性质，可以证明结论成立；由小民的证明过程可知，是根据勾股定理和相似三角形的判定和性质求的结论成立的，写出相应的证明过程即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）小军的证明过程： 分别延长，至E，F两点，使得，，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴； 小民的证明过程： ∵， ∴与均为直角三角形， 根据勾股定理，得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23．(24-25九上·山东菏泽东明县·期末)4．如图1，．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N．分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在内交于点E．作射线．过点C作，交于点D． (1)求的长； (2)如图2，连接．分别以点A、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q．作直线，交的延长线于点F．连接，交于点G．当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线定义和平行线性质、等腰三角形的判定证明即可； （2）先证明是等边三角形，然后求出的长，再证，即可求出的值． 【详解】（1）解：由作图可知：平分， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：由作图可知：垂直平分， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． 由（1）知，，， ∴，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—作角的平分线、作线段的垂直平分线，考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解尺规作图的原理是解本题的关键． 24．(24-25九上·山东临沂兰山区·期末)5．（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点．线段，之间的数量关系为______；的度数为______． （2）将图1中的和均变为等腰直角三角形如图2，，，，直线和直线交于点． ①线段，之间的数量关系为______；的度数为______． ②若，，，求的长． （3）如图3，若和均为直角三角形，，且，，．当点在线段的延长线上时，则的长度为______． 【答案】（1）；；（2）①  ；②；（3） 【分析】（1）①根据“边角边”证明，可得； ②根据全等三角形的性质得设交于点O，根据，结合三角形内角和定理求得可得结果； （2）先证明，可得，，根据三角形的外角的性质得，即可得出结论； （3）先根据勾股定理求出，再根据三角函数得，接下来求出，证明，求出，最后根据可得答案． 【详解】（1）解：①，∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴ 设交于点O， ∵， ∴ 即； 故答案为：； （2）①解：结论：，理由如下： ∵ ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴； 故答案为：，； ②由①得，， ∵ ∴，． 在中，． 在中，； （3）解：根据勾股定理，得， 在中，， ∴． ∵, ∴． ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，灵活选择相似三角形的判定定理是解题的关键． 25．(24-25九上·山东临沂费县·期末)6．如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质和平行线分线段成比例定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可； （2）利用相似三角形的性质求出，再利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．(24-25九上·山东德州临邑县·期末)7．如图所示，、、、四点在一条直线上，四边形，为平行四边形． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质和线段的和差，重点掌握相似三角形的判定与性质． （1）由平行四边形的性质和相似三角形的判定证明△ABC∽△DFE； （2）由相似三角形的判定与性质和线段的和差求出BE的长为，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： 四边形为平行四边形， ， ， 又四边形为平行四边形． ， ， ；； （2）， ， ， 又，， ， 解得：， 又， ． 27．(24-25九上·山东青岛崂山区·期末)如图，在矩形中，，，连接．点P从点A出发，沿顺时针方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点A出发，沿逆时针方向匀速运动，速度为，设运动时间为．解答下列问题： (1)P，Q两点何时相遇？ (2)当时，是否能与相似，请说明理由； (3)设以点P，Q，B，D为顶点围成的四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式． 【答案】(1)； (2)当时，存在；理由见解析 (3)． 【分析】本题是相似综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，分4种情况讨论是解（3）的关键． （1）由题意可得，，求出t即可； （2）由题意可得，，再结合即可推出结论； （3）分①当时，②当时，③当时，④当时，4种情况画出图形分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴； （2）解：当时，存在；理由如下， 此时点Q在边上，，， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当时，此时点Q在边上，，， ∵， ∴； ②当时，此时点Q在边上，，，， ∵， ∴； ③当时，此时点Q在边上，，，， ∵， ∴； ④当时，此时点Q在边上，点P在边上，，， ∵， ∴， 综上所述，． 28．(24-25九上·山东青岛即墨区·期末)如图，在矩形中，是对角线，，．点E从点D出发，沿方向匀速运动，速度是；点F从点B出发，沿方向匀速运动，速度是．直线过点F，且，分别交、于点M，N，连接、、．两点同时出发，设运动时间为（），请回答下列问题： (1)当t为___________时，和相似； (2)设四边形的面积为，求关于之间的函数关系式； (3)求当为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1) (2) (3)或时，为等腰三角形 【分析】（1）根据矩形的性质及相似三角形的判定，即可求得答案； （2）根据相似三角形的判定分别求出，，，再根据求解即可； （3）若时，直接列方程求解；若时，过点作于，证明，并列方程求解即可；若时，过点作于点G，证明，并列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， 四边形是矩形， ，， ， ， 若要使和相似， 则， ， 解得， 当t为时，和相似； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， 即， ， 同理， ，， 即S关于之间的函数关系式为：； （3）解：①若时，则，解得：； ②若时，过点作于， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， ， 即， ； ③若时，过点作于点G， ， 为等腰三角形， 又， ， ，， ， 即， 解得， 此时（舍去）； 综上所述，当或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论及添加辅助线是解题的关键． 29．(24-25九上·山东青岛北区·期末)如图，在矩形纸片中，，，，点在边上，自向以每秒1个单位的速度运动；点在边上，自向以每秒2个单位的速度运动；点和点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．现将矩形纸片沿直线折叠，使点落到点处，点落到点处，直线与边相交于点． (1)填空：当______时，； (2)连接，交于点，设的面积为，请写出与的关系式； (3)是否存在某一时刻，使直线恰好经过的中点？若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，的值为或． 【分析】（1）根据矩形性质可得 由折叠得：，利用等边对等角得再运用余角的性质即可得出推出建立方程求解即可； （2）连接，由题意得 可证得得出根据三角形面积公式可得再求得，即可求得答案； （3）延长交于点，交的延长线于点，可证得由平行线性质得由折叠得推出，利用等角对等边可得再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ∴， 由折叠得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解：如图1，连接， 由题意得：且 ∵四边形是矩形， ， 设的面积为， 即 ； （3）解：存在，理由如下： 如图2，延长交于点，交的延长线于点， 由题意得： 当点为的中点时， 在和中， ， 由折叠得： 在中， 即 解得： ∴存在某一时刻，使直线恰好经过的中点，的值为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 地 城 考点06 相似三角形的实际应用 一、单选题 1．(24-25九上·山东济宁曲阜·期末)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用．正确判定相似三角形并利用相似三角形的性质列方程计算是解答本题的关键． 先求得，再说明，最后根据相似三角形的性质列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即建筑物的高是． 故选：B． 2．(24-25九上·山东烟台·期末)如图，电线杆的顶上有一盏高为的路灯，电线杆底部为A，身高的男孩站在与点A相距的点B处，若男孩以为半径绕电线杆走一圈，则他在路灯下的影子扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．根据，即可得到，，再根据男孩以为半径绕电线杆走一圈，即可得出他在路灯下的影子扫过的面积． 【详解】解：如图，，，， ∵， ∴， ，即 解得， ∴， ∴男孩以为半径绕电线杆走一圈，他在路灯下的影子扫过的面积为 ． 故选：B． 3．(23-24九上·山东淄博张店区·期末)如图所示，身高为的小刚站在离路灯底部处时发现自己的影长恰好为，则该路灯的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，根据题意画出图形，构造出相似三角形是解答此题的关键． 如图，设为小刚，为路灯，，利用相似三角形的性质求得的长即可． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， 即：， 解得：m． 故选：B． 4．(23-24九上·山东济宁任城区·期末)如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E，依据题意建立平面直角坐标系，其中点的坐标为，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是中心投影，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的相似比等于等于高的比，列方程求出，进而求出，确定点的坐标． 【详解】过点作轴，垂足为， 由题意得，米，米， ， ， ， ∵轴， ∴， ， ， 即：， 解得 ， 点的坐标是，． 故选：B． 二、填空题 5．(24-25九上·山东聊城临清·期末)如图是实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过点O作交于点E，作交于点F，根据题意证明，得出比例式求出的长即可． 【详解】解：如图所示，过点O作交于点E，作交于点F， 由题意可知，，，，， ， ， 解得， 即蜡烛的长为， 故答案为：． 6．(24-25九上·山东·期末)中国古人发明利用物体的影子确定四季的工具——土圭，具体方法是在平台中央竖立一根杆子，尺，观察杆子的日影长度．古代的人们发现，夏至时日影最短，冬至日影最长，这样通过日影的长度得到夏至和冬至，确定了四季．如图，利用土圭之法记录了两个时刻杆的影长，发现第一时刻光线与杆的夹角．和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第二时刻的影长为24尺，则第一时刻的影长为 尺． 【答案】 【分析】由，，得，知，故，解出尺，即第一时刻的影长为尺．本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理． 【详解】解：，， ∴， ， ∴ 则尺， 第一时刻的影长为尺， 故答案为：． 7．(23-24九上·山东济南长清区·期末)如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面距离，和表示射入室内的光线．若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题的关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例，建立适当的数学模型来解决问题．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线和仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度． 【详解】解：， ， ， ，，， ， ，则窗户的高度为， 故答案为：． 8．(23-24九上·山东青岛崂山区·期末)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，使斜边与地面保持平行，并且边与点在同一条直线上．已知纸板的两条直角边，测得边离地面的高度，，则树高 ． 【答案】3.7 【分析】本题考查相似三角形的应用，先证明，再根据对应边成比例即可求解． 【详解】解：由题意知， 又， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：3.7． 9．(24-25九上·山东潍坊寒亭区·期末)如图，小莹用自制直角三角纸板测量“观光塔”的高度，她调整自己的位置，设法使斜边保持水平，边与点在同一直线上．已知直角三角纸板中，，测得点离地面的高度为，小莹与“观光塔”的水平距离为，则“观光塔”的高度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证明，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， 点离地面的高度为， ， ， 故答案为：． 10．(24-25九上·山东泰安泰山区·期末)如图，为了测量大树的高度，小明发现大树离教学楼4.5m，大树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在教学楼的墙上，墙上的影子长为1.2m，此时小明拿起一根高2m的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长1m，那么这棵大树高 m． 【答案】10.2 【分析】本题主要考查了影长的有关计算，矩形的判定和性质， 过点D作于点E，证明四边形为矩形，得出，，根据高的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长，求出，即可得出答案． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵高的竹竿竖直放置在水平地面上，测量出影子长， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：10.2． 11．(24-25九上·山东德州天衢新区·期末)如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离，已知某一时刻的地面的影长，在地面的影长，则窗户的高是 ．    【答案】2 【分析】本题考查相似三角形性质的应用．阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：2． 12．(23-24九上·山东聊城东阿县第三中学·期末)如图，某水平地面上建筑物的高度为，在点和点处分别竖立高是的标杆和，两标杆相隔，并且建筑物、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一条直线上；从标杆后退到点处，在处测得建筑物顶端和标杆顶端在同一直线上，则建筑物的高是    【答案】54 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 根据题意可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：∵， 解得：， 解得：，即建筑物的高是． 故答案为：54． 三、解答题 13．(24-25九上·山东烟台龙口·期末)如图，小明家的客厅有一张高米的圆桌，直径为1米，在距地面2米的A处有一盏灯，圆桌的影子最外侧两点分别为D，E．依据题意建立平面直角坐标系，其中点D的坐标为，求点E的坐标． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，勾股定理，中心投影，熟知将中心投影的问题转化为相似三角形的问题进行解答是解题的关键．根据相似三角形的对应边成比例，列方程求出，进而求出，确定点E的坐标． 【详解】解：过点B作轴，垂足为F， 由题意，得米，米． ， 为等腰直角三角形． （米）． 同理 米． （米）． ， ． ，即      （米）． （米）． ∴E点的坐标为． 14．(23-24九上·山东淄博淄川区·期末)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，求建筑物的高 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质的应用，根据题意和图形，利用三角形相似的性质，可以计算出的长，从而可以解答本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵标杆高为，测得， ∴， 解得，， 即建筑物的高是． 15．(24-25九上·山东济宁鱼台县·期末)在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题．实践报告如下： 活动课题 测量居民楼的高度 活动工具 标杆、卷尺 建立模型    测量方案 【步骤一】在地面上选一点，垂直地面竖立标杆，后退2米到处，此时M、B、E在一直线上； 【步骤二】另选一点，垂直地面竖立标杆，后退4米到处，此时M、D、F三点也在一直线上． 【步骤三】测得两次测量标杆之间的距离是为50米，两个标杆的高度均为1.5米，且N、A、E、C、F在同一直线上． 解决问题 请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出居民楼的高度． 【答案】居民楼的高度为39米 【分析】本题考查了相似三角形的应用．先证明得，即，再证明得，即，解出即可． 【详解】解：由题可知，， ， ， ， ， 即：， 同理， ， 即：， 解得：， ∴居民楼的高度为39米． 16．(24-25九上·山东·期末)“远远的街灯明了，好像闪着无数的明星．天上的明星现了，好像是点着无数的街灯……”家住济宁的小华，夜晚听着郭沫若的诗句在街上散步，发现自己由路灯A走向路灯B的过程中，当她行到P点时，她在路灯B下的影长为1.5米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了5米到Q处，恰好她在路灯A下的影子位于路灯B的正下方（已知小华身高1.6米，路灯B高8米） (1)计算小华站在Q处在路灯A下的影长； (2)计算路灯A的高度． 【答案】(1)1米 (2)12米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，然后利用相似三角形的性质列出比例式进行求解即可； （2）证明，然后利用相似三角形的性质列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，，，， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 即：小华站在Q处在路灯A下的影长为1米； （2）解：∵，， ∴， ∴， 即：， ∴， 即：路灯A的高度为12米． 地 城 考点07 图形的位似 一、单选题 1．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)在方格图中，以格点为顶点的三角形叫格点三角形，在如图所示的平面直角坐标系中，格点，成位似关系，则位似中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键．根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 2．(24-25九·山东青岛大学附属中学·期末)如图在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心做出位似图形，使原图形与新图形的相似比为3：1，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了以原点O为位似中心做出位似图形坐标变化规律，根据坐标变成原来的或求解即可． 【详解】解：点，以原点O为位似中心做出位似图形，使原图形与新图形的相似比为3：1， 所以点A的对应点的坐标为原来横纵坐标的或， 即或， 故选：D． 3．(23-24九上·山东滨州邹平·期末)如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，，则和的位似比等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是根据位似图形的概念得到，，易得位似比． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴和的位似比等于． 故选：C． 4．(23-24九上·山东青岛城阳区·期末)如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（    ） A．小鱼与大鱼的周长之比是 B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是 C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍 D．若小鱼上一点的坐标是，则大鱼上的对应点的坐标是 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换．由于大鱼与小鱼是关于原点的位似图形，则利用对应点和得到大鱼与小鱼的位似比为，于是可对A选项、C选项、D选项进行判断；根据相似三角形的性质可对C选项进行判断． 【详解】解：A、小鱼与大鱼的相似比是，则周长之比是，所以A选项不符合题意； B、小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是，所以B选项不符合题意； C、大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍，所以C选项符合题意； D、若小鱼上一点的坐标是，则在大鱼上的对应点的坐标是，所以D选项不符合题意． 故选：C． 5．(23-24九上·山东聊城东昌府区·期末)如图，在平面直角坐标系中，以原点为位中心，将缩小为原来的，得到．若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查关于位似变换的性质，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标乘以或是解题的关键．根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：以原点为位似中心，把缩小为原来的，得到，点的坐标是，点位于第一象限， 点的横坐标是，纵坐标是，即． 故选：． 6．(23-24九上·山东济南实验初级中学·期末)如图，在直角坐标系中，已知中，的坐标为，以原点为位似中心，在第一象限内作的位似图形，且顶点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据点的坐标和点的坐标求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第一象限内作的位似图形， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴与的相似比为， ∴， 故选：C． 7．(24-25九上·山东青岛城阳区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在第二象限，点B坐标为，点C坐标为，以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形．若点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，则点A坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质等知识，过点作轴于，过点作轴于．利用相似三角形的性质求出，，可得结论，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，过点作轴于，过点作轴于． ，，，， ，，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 故选：C． 二、填空题 8．(24-25九上·山东滨州邹平·期末)在直角坐标系中，以原点为位似中心，将缩小得到，使与的相似比为，则点的对应点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了位似变换中对应点的坐标的变化规律，掌握位似变换中对应点的坐标的变化规律是解题的关键．如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或，据此进行解答即可． 【详解】 解：∵与的相似比为，， ∴变换后点的对应点的坐标为或， ∴变换后点的对应点的坐标为或， 故答案为：或． 9．(23-24九上·山东青岛李沧区·期末)如图，将视力表中的两个“E”放在平面直角坐标系中，两个“E”字是位似图形，位似中心为点O，①号“E”与②号“E”的位似比为．点M与点N为一组对应点，若点M的坐标为，则点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或成为解题的关键，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的相似比为，点M坐标为， ∴点N的坐标为，即． 故答案为：． 三、解答题 10．(23-24九上·山东济南槐荫区部分学校·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． (1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似，且位似比为； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)作图详见解析 (2) 【分析】本题考查了位似的性质，平面直角坐标系内三角形面积的求法， （1）根据相似比的以及点的坐标即可求得； （2）根据位似的性质可得到的坐标，利用割补法即可求得四边形的面积． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：， ∵与位似，且位似比为； 则， ∴． ． 11．(24-25九上·山东临沂兰山区·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，． (1)请在网格中画出关于轴对称的图形； (2)以点为位似中心，把按放大，在轴右侧得，请在网格中画出； (3)已知点是轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-位似变换、轴对称变换、一次函数解析式与坐标轴的交点问题． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据位似的性质作图即可； （3）先根据两点之间线段最短可知连接与轴交点即为点，利用待定系数法求一次函数解析式，再令，即可求解点M坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）解：如上图，即为所作； （3）解：连接与轴交点即为点， ∵点关于y轴对称， ∴， 根据两点之间线段最短，可知此时点M即为所求， 由位似性质可得：， ∴设经过点C与的一次函数解析式为， 将代入，得， 解得， ∴经过点C与的一次函数解析式为， 当， ∴， 故答案为：． 12．(23-24九上·山东济南章丘区·期末)如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B的坐标为，点的坐标为． (1)若点A的坐标为，求点的坐标； (2)若的面积为m，则的面积为　　　　． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了位似变换，相似三角形的性质，正确得出位似比是解题的关键． （1）首先得到和的位似比为，进而求解即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为，点的坐标为． ∴位似比为， ∵点A的坐标为， ∴点的坐标为； （2）∵，且相似比为，的面积为m， ∴的面积为． 13．(23-24九上·山东日照岚山区·期末)在如图所示的正方形网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的，并分别写出的坐标； (2)在网格内，画出以点为位似中心，把放大为原来的倍后的； (3)若也是的位似图形，点是位似中心，在图中画出点． 【答案】(1)画图见解析，，，； (2)画图见解析； (3)画图见解析． 【分析】（）先写出，，关于原点对称，，，然后描点，连接即可； （）放大为原来的倍，即延长，，然后连接即可； （）连接，相交于点； 此题考查了作图——中心对称和位似变换，解题的关键是正确理解并掌握画中心对称和位似图形的一般步骤． 【详解】（1）如图，，，关于原点对称，，，连接， ∴即为所求； （2）如图，延长，，然后连接， ∴即为所求； （3）如图，连接，相交于点， ∴点即为所求． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $