专题02 一元二次方程7大考点（期末真题汇编，山东专用）九年级数学上学期

专题02 一元二次方程 常考考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 由一元二次方程的解求参数 考点03 根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点04 根据一元二次方程的根的情况求参数 考点05 解一元二次方程 考点06 一元二次方程的根与系数的关系 考点07 一元二次方程的实际应用 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 一、单选题 1．(24-25九上·山东德州夏津县·期末)下列式子是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、,该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、化简为，故不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．(23-24九上·山东青岛北区·期末)下列等式是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据等号两边是只含有一个未知数，且未知数的最高指数为2的整式的方程是一元二次方程逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 是二元一次方程，不符合题意， 当时，不是一元二次方程，不符合题意， 是一元二次方程，符合题意， 是分式方程，不符合题意， 故选：C． 3．(23-24九上·山东聊城临清·期末)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程必须同时满足三个条件：整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】没有规定是常数，且，故选项A不是一元二次方程； 选项B是一元二次方程； C 中含有两个未知数，故选项C不是一元二次方程； D中含有分式，故选项D不是一元二次方程． 故选：B． 4．(23-24九上·山东聊城东阿县第三中学·期末)一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 把一元二次方程化为一般式，然后问题可求解． 【详解】解：由方程可得： ，则有； 故选：B． 地 城 考点02 由一元二次方程的解求参数 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛·期末)已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟记一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入方程求解即可得． 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴， ∵， ∴两边同除以得：，即， 故选：D． 2．(23-24九上·山东聊城冠县·期末)是方程的一个根，则代数式的值是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意可得，将代数式变形得，再整体代入即可求解，掌握一元二次方程根的含义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴原式， 故选：A． 3．(23-24九上·山东德州齐河县·期末)若是方程的一个根，则的值是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解，把代入方程得到关于的一次方程，然后解此一次方程即可． 【详解】解：把代入得： ， 解得． 故选：A 4．(23-24九上·山东聊城阳谷县·期末)若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将代入，求出的值，再代入即可． 【详解】解：将代入，得， ， ． 故选：D． 5．(23-24九上·山东聊城东昌府区·期末)若n（）是关于x的方程的根，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查方程的解的定义，因式分解． 把n代入方程中，得到，结合即可求解． 【详解】∵n是关于x的方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题 6．(24-25九上·山东济宁鱼台县·期末)若是方程的一个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，直接代入求解即可． 将代入方程求解即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故答案为：． 7．(23-24九上·山东济南章丘区·期末)关于x的方程的一个根是2，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解定义，掌握一元二次方程的解定义是解题关键．根据一元二次方程的解定义，将代入关于x的方程，然后解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程得： 解得： 故答案为：. 8．(23-24九上·山东潍坊高密·期末)是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．由题意得，根据，利用整体思想即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ ∴ 故答案为： 地 城 考点03 根据判别式判断一元二次方程根的情况 一、单选题 1．(24-25九上·山东临沂兰山区·期末)下列所给方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程()的根与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，是解决此题的关键．求出各选项方程根的判别式的值，判断出正负即可确定一元二次方程是否有实数根． 【详解】解：，则方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，则方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，所以方程有两个不相等的实数根，所以选项不符合题意； ，方程没有实数根，所以选项符合题意； 故选：． 2．(24-25九上·山东滨州邹平·期末)方程的根的情况是（　　） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解答本题的关键． 由一元二次方程根的判别式可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ， 方程无实数根， 故选：A． 3．(24-25九上·山东滨州惠民县·期末)下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．由此逐项判断即可． 【详解】A、变形为，此时，此方程有两个不相等的实数根，故选项A不合题意； B、中，此时方程无实数根，故选项B不合题意； C、整理为，此时，此方程有两个相等的实数根，故选项C符合题意； D、中，，此方程有两个不相等的实数根，故选项D不合题意； 故选C． 4．(23-24九上·山东济南章丘区·期末)一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．计算出判别式的值即可得出答案． 【详解】解：， 所以方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 5．(23-24九上·山东临沂河东区·期末)下列一元二次方程中，能求出实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，有实数根，故本选项不符合题意； B、，没有实数根，故本选项符合题意； C、，没有实数根，故本选项符合题意； D、，没有实数根，故本选项符合题意； 故选：A． 地 城 考点04 根据一元二次方程的根的情况求参数 一、单选题 1．(24-25九上·山东菏泽单县希望初级中学·期末)关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握当时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键． 先将方程化为一般形式，再根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个相等实数根时，判别式，从而求出的值． 【详解】解：由得． ∵方程有两个相等的实数根， ∴， ， ， ， 故选：A． 2．(24-25九上·山东青岛即墨区·期末)关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记：对于一元二次方程时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程没有实数根．利用一元二次方程无实数根，判别式即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ， 解得：， 故选：B． 3．(24-25九上·山东青岛崂山区·期末)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根的判别式．利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得． 故选：B． 4．(24-25九上·山东济南·期末)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 5．(24-25九上·山东临沂兰陵县·期末)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C．6 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此列方程求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得． 故选：D． 6．(24-25九上·山东菏泽单县希望初级中学·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据列式求解即可． 【详解】解：根据题意， 解得． 故选：D． 7．(23-24九上·山东菏泽定陶区·期末)若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查方程有解的情况，解题的关键是根据题意分情况讨论．根据题意分一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论即可求解． 【详解】解：当关于x的方程是一元一次方程时， ∴， ∴方程为，有实数根，符合题意； 当关于x的方程是一元二次方程时， ∵方程有实数根， ∴，， 解得：，且， 综上所述，实数k的取值范围是． 故选：D． 8．(23-24九上·山东济宁邹城·期末)已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查方程跟的情况，掌握分和两种情况分别计算是解题的关键． 【详解】解：当时，方程为的解为， 当时，方程有实数根， 则， 解得， 综上所述，a的取值范围是， 故选：B． 9．(23-24九上·山东枣庄中区·期末)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握有两个不相等的实数根，则是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故选：B． 10．(24-25九上·山东滨州沾化区·期末)若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程二次项系数不为0，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．根据题意，且，即可解答． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得：且， 故选：D 11．(24-25九上·山东日照岚山区·期末)对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题属于新定义题型，考查一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，先根据新定义得到，再把方程化为一般式，根据题意得到且，解不等式即可，根据题意得到关于的不等式是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 整理得， 关于的方程有两个不相等的实数根， 且， 解得且． 故选：C． 12．(24-25九上·山东济宁泗水县·期末)若事件“关于的方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．掌握一元二次方程的定义和根的判别式是解题的关键．分情况讨论，①时，根据一元一次方程的解判断即可；②时，根据根的判别式得出，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：∵事件“关于的方程有实数根”是必然事件， ∴关于的方程有实数根， ①当时，原方程为， 此时方程的解为，符合题意， ②当时， ∵方程有实数根， ∴， 解得 ∴且 综上，， 故选：C． 13．(23-24九上·山东青岛崂山区·期末)如果关于的一元二次方程有两个不等实数根，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵方程有两个不等的实数根， ∴， 解得：， 故选：． 二、填空题 14．(24-25九上·山东临沂蒙阴县·期末)已知方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，当时，方程有两个相等的实数根，由此可解． 【详解】解：方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 15．(24-25九上·山东聊城临清·期末)若关于x方程有两个相等的实数根，则 ． 【答案】/0.5 【分析】此题考查了已知一元二次方程的根的情况求参数，由方程有两个相等的实数根得到，即，计算即可． 【详解】解：关于x方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故答案为：． 16．(23-24九上·山东聊城冠县·期末)关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根与系数的关系，根据，即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系的运算是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ， 解得，，， ∴的取值范围为：且， 故答案为：且． 17．(23-24九上·山东滨州阳信县·期末)若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 18．(23-24九上·山东菏泽曹县·期末)已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根，得到，列出不等式求出的取值范围即可，掌握根的判别式与方程的根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：， 方程有实数根， ， ． 19．(23-24九上·山东济南历下区·期末)当整数k为何值时，关于x的一元二次方程的两个根均为整数． 【答案】或 【分析】此题考查了根的判别式，解二元一次方程组，熟练掌握各知识点是解本题的关键．根据一元二次方程的两根均为整数，得到根的判别式为完全平方式，设（m为整数），利用平方差公式分解因式得出关于k，m的方程组求解． 【详解】解： ， 方程有两个整数根， 为完全平方数， 不妨设（m为整数）， ， ， ∴， ∴与同奇偶， 或， 或， 方程的两个根均为整数． 地 城 考点05 解一元二次方程 一、解答题 1．(24-25九上·山东济南·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解方程的方法是解本题的关键． （1）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可； （2）先计算，再利用求根公式解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，． 2．(24-25九上·山东济南长清区·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法． （1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：提出x得： ∴或 ∴或 故答案为：或 （2）解： ∴或 故答案为：或 3．(24-25九上·山东滨州沾化区·期末)按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解本题的关键在熟练掌握用配方法和公式法解一元二次方程．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． （1）将常数项移至方程的右边，然后两边都加上一次项系数的一半的平方配方成完全平方式后，再开方，即可得出结果； （2）先求解，再利用求根公式计算即可． 【详解】（1）解： 移项，化“1”得：， 配方，得：， 即， 由此可得：， ，； （2）解： ，，， ， 方程有两个不等的实数根， ， 即，． 4．(24-25九上·山东德州齐河县·期末)解方程： (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再运用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，； （2）解：， ∴， ∴， ∴，． 5．(24-25九上·山东聊城临清·期末)解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． （1）根据因式分解法解一元二次方程，即可完成求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可完成求解； （3）先去括号，再移相，再根据因式分解法解一元二次方程，即可完成求解． 【详解】（1） ∴， ∴； （2） ∴，，， ∴， ∴， ∴； （3） ∴， ∴， ∴， ∴． 6．(23-24九上·山东济宁特殊教育学校·期末)用适当的方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题的关键： （1）采用因式分解法进行求解； （2）采用配方法进行求解． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴，． 7．(23-24九上·山东聊城冠县·期末)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程， （1）利用平方差公式将原方程进行变形，再利用因式分解法解方程即可； （2）利用多项式乘多项式的运算将原方程进行变形，再利用因式分解法解方程即可； 熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 8．(23-24九上·山东青岛北区·期末)解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解： ∴，， ∴ 解得： （2）解： ∴ 即 ∴或 解得： 9．(23-24九上·山东德州宁津县·期末)解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法，解一元二次方程即可， （2）根据公式法，解一元二次方程即可， 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是：观察题目，选择适合的方法，解一元二次方程． 【详解】（1）解： 移项，得： 配方： 即： ，， 故答案为：，， （2）解：， 移项，得： ，， 故答案为：，． 10．(23-24九上·山东聊城外国语学校高新区分校·期末)解方程 (1)（用配方法） (2) 【答案】(1) (2), 【分析】（1）利用配方法求解即可， （2）利用因式分解法求解即可， 本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】（1） （2） 或 , 11．(23-24九上·山东德州平原县·期末)用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解法是关键. （1）运用配方法进行解一元二次方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解一元二次方程先移项，再提取公因式，令每个因式等于0，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ，即， ， ，； （2）解：， ， ， 即， 或， ，． 12．(23-24九上·山东日照五莲县·期末)用合适的方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程，正确掌握一元二次方程的解法及根据每个方程的特点恰当选择解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程； （2）利用配方法解方程． 【详解】（1）， ， ， ， 或， 解得：，； （2） 移项得： 配方得： 开方得： 解得：，； 13．(23-24九上·山东德州庆云县·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用公式法求解即可； （2）可先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于的一元一次方程，分别求解即可得出答案． 【详解】（1），，， ， ， ，． （2）， ， ， 则或， 解得， 14．(23-24九上·山东济宁兖州区·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程， （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【详解】（1）解： ， ， 则或， 解得或． （2）解： ， ， ， ． 15．(23-24九上·山东滨州博兴县·期末)解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，利用公式法解一元二次方程即可；解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根 ∴， ∴，． 16．(23-24九上·山东菏泽成武县·期末)用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键： （1）利用分解因式法求解即可； （2）先整理成一般形式，再利用分解因式法求解即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 17．(23-24九上·山东枣庄中区·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用配方法即可求解． 【详解】（1）解： ， ，； （2）解： ， 18．(24-25九上·山东滨州邹平·期末)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解法和求根公式法解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤是解决此题的关键． （1） 用因式分解法解方程即可； （2）用求根公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或 ， ，； （2）解： ，， ， ， 方程有两个不等的实数根， ， ，． 19．(24-25九上·山东青岛城阳区·期末)解方程： (1)；（配方法） (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程因式分解法（配方法），解答此类问题的关键是根据方程的特点，选取合适的方法解方程． （1）根据配方法可以解答此方程； （2）根据因式分解法可以解答此方程． 【详解】（1）解： （配方法） ， ， 解得，，； （2）解： ， 或， 解得，，． 20．(24-25九上·山东济宁汶上县·期末)解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用因式分解法解方程即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：（）∵， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， 即 ∴或， ∴，． 21．(24-25九上·山东济宁曲阜·期末)解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程步骤是解决此题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可得解； （2）用因式分解法解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， ， ， 或， ，． 22．(24-25九上·山东滨州滨城区·期末)解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了解一元二次方程； （1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）直接开平方法解一元二次方程，即可求解； （3）先移项，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （4）根据因式分解法可得两个一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， 或， 解得：； （3）解：， ， ， 或， 解得：； （4）解：， ， 或， 解得：． 地 城 考点06 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·山东潍坊安丘·期末)一元二次方程的两根为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】本题主要考查了根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴，， ∴A错误，B正确； ， ∴C错误； ， ∴D正确． 故选：BD． 2．(24-25九上·山东德州临邑县·期末)已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，完全平方公式的变形运算，由题意得是一元二次方程的两个根，即得，，进而利用完全平方公式计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵实数满足，， ∴是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故选：． 3．(23-24九上·山东菏泽曹县·期末)一元二次方程的两个根为，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根定义、根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程的根定义、根与系数的关系即可得． 【详解】由一元二次方程的根定义得：，即， 由一元二次方程根与系数的关系得：， 则， 故选：D． 4．(23-24九上·山东聊城阳谷县·期末)若方程的两根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系：，，完全平方公式，熟记关系式是解题的关键． 首先根据一元二次方程根与系数的关系得到，，然后将利用完全平方公式变形代入解答即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴， ∴． 故选：D． 5．(23-24九上·山东临沂临沂经济技术开发区·期末)已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程有两根为，，则，． 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， ∵该方程一个根为，令， ∴，解得：． 故选：B． 6．(23-24九上·山东淄博临淄区临淄区实验中学·期末)已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．设另一个根为，根据一元二次方程的根与系数的关系可得，由此即可得． 【详解】解：设另一个根为， ∵一元二次方程有一个根为2， ， 解得， 即另一个根为4， 故选：C． 7．(23-24九上·山东德州庆云县·期末)已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 由m，n为方程的解，把代入方程求出的值，再利用根与系数的关系求出的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程，得， ∴， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴ ∴ ， 故选：C． 二、填空题 8．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)关于的一元二次方程，如果方程的两个实数根为，，且，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义；根据根与系数的关系得出，，代入求出，根据判别式检验，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为， ∴，，且， ∵， 即有， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不合题意舍去）， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·山东德州庆云县·期末)设a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据，求解即可得到答案； 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．(23-24九上·山东菏泽曹县·期末)已知方程的两个根分别为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，则，．由韦达定理得出，，代入计算可得． 【详解】解：方程的两个根分别为和， ，， 则， 故答案为：． 11．(23-24九上·山东日照岚山区·期末)关于的方程的两根分别为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，分式的加法运算，利用一元二次方程根和系数的关系先求出、的值，把算式转化为，代入计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的两根分别为， ∴，， ∴， 故答案为：． 12．(24-25九上·山东聊城东昌中学·期末)若是方程的两实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据一元二次方程解的定义得到，根据根与系数的关系得到，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程解的定义和根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．(23-24九上·山东德州齐河县·期末)已知，是方程的两个实数根，则 【答案】 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解等知识，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，．由，是方程的两个实数根，推出，，，推出，再利用整体代入的思想解决问题． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，，， ， ． 故答案为： 14．(23-24九上·山东淄博淄川区·期末)若，是方程的两个实数根，且，则 ． 【答案】8 【分析】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 根据一元二次方程的解以及根与系数的关系，求解即可． 【详解】 ，是方程的两个实数根，根据根与系数的关系得： ，， ， ，， ， 故答案为：8 三、解答题 15．(24-25九上·山东德州平原县王凤楼镇中学、坊子乡中学·期末)（1）求证：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则系数a，b，c有如下关系：，； （2）根据结论，解决问题：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】此题考查了公式法解一元二次方程，根与系数的关系，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据公式法求出，，进而求解即可； （2）首先根据根与系数的关系求出，，然后利用完全平方公式将变形，然后整体代入求解即可． 【详解】（1） ∴ 解得， ∴， ； （2）∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， ∴ ． 地 城 考点07 一元二次方程的实际应用 一、单选题 1．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用总利润=每千克的销售利润×一天的销售量，可得出关于x的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为， 故选：D 2．(24-25九上·山东青岛崂山区·期末)某商场一月份的营业额为万元，第一季度营业总额为万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额+二月份的营业额+三月份的营业额，把相关数值代入即可． 【详解】解：∵一月份的营业额为400万元，平均每月增长率为x， ∴二月份的营业额为， ∴三月份的营业额为， ∴可列方程为， 即， 故选：B． 3．(23-24九上·山东济宁微山县·期末)受国际油价影响，某年六月底某地92号汽油的价格是8.19元/升，八月底的价格7.56元/升．已知该地92号汽油价格这两个月每月的平均下降率相同，设每月的平均下降率为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用八月底该地92号汽油的价格＝六月底该地92号汽油的价格每月的平均下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：D． 4．(23-24九上·山东聊城临清·期末)罕见病“脊髓性肌萎缩症”治疗用药利司扑兰口服液在年医保谈判中经两轮“砍价”，从元/瓶降至元/瓶，成功进入医保目录，设这两轮谈判药物价格平均下降率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据经两轮“砍价”，从元瓶降至元瓶，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：． 故选：D． 5．(23-24九上·山东临沂临沭县·期末)如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建九块形状大小相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，停车区域之间留有宽度相等的行车通道（阴影部分），求行车通道的宽度是多少？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意得到停车区域的总长和总宽，再利用停车区域面积总和为，即可列出方程解题． 【详解】解：由图可知，矩形空地每条边上都有两条宽的行车通道， 又停车区域面积总和为，矩形空地长为，宽为， 停车区域的总长和总宽分别为和， 可列方程得：， 故选：A． 6．(23-24九上·山东日照东港区·期末)如图，已知正方形的边长为2，为边上一点，以为边在的上方作正方形．延长边交边于点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、正方形的性质、矩形的判定、以及正方形与矩形面积公式等知识．设，则，矩形的面积为，正方形的面积为，由正方形与四边形的面积相等，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， 四边形为矩形， 设，则， 正方形与四边形的面积相等， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 的长为， 故选：B． 7．(23-24九上·山东潍坊潍城区·期末)某电池厂2023年1～5月份的电池产量如图所示．设从1月份到3月份，该厂电池产量的平均月增长率为，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用， 设从1月份到3月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，从折线统计图获取数据建立一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：依题意得：． 故选：B． 8．(24-25九上·山东临沂蒙阴县·期末)九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，等量关系式：降价后每件商品获得的利润降价后的销售量元，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 故选：D． 9．(24-25九上·山东德州庆云县·期末)如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为（ ）． A．1 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设小路的宽为米，根据图形得出花坛的长和宽，利用面积列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设小路的宽为米，则花坛的长为米，米。由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 故选：B． 二、填空题 10．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期末)某手机厂商一月份生产手机50万部，计划二、三月份共生产手机132万部，设二、三月份平均每月增长率为，根据题意列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 设二，三月份每月的平均增长率为 ，根据“计划二，三月份共生产132万台”，即可列出方程． 【详解】解：设二，三月平均每月增长率为 ， 根据题意列出方程为： ， 故答案为：． 11．(23-24九上·山东青岛北区·期末)如图，某景区准备在一块边长为米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所．如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边．若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为平方米．设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用大正方形的面积减去空白面积=阴影面积，即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ， 即：， 故答案为：． 12．(23-24九上·山东青岛即墨区·期末)为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据总利润单个利润销售个数，根据题意找出销售一个电子产品的盈利和销售电子产品的个数，即可解题． 【详解】解：由题可知，销售一个电子产品的盈利为：元， 该电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个， 销售电子产品的个数为：个， 根据题意可列出方程：， 故答案为：． 三、解答题 13．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 【答案】(1)2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为 (2)估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x， 2024年新能源汽车年销售量为万辆，据此列出方程并解方程即可解决． （2）根据（1）中所求增长率计算求出即可． 【详解】（1）解：设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，由题意得， ， 解得：（不合题意舍去） 答：2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率为． （2）解：若增长率保持不变为，估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆， 答：估计到2025年全国新能源汽车的销量万辆． 14．(23-24九上·山东菏泽·期末)某水果店销售一种成本为20元/斤的水果，市场调研发现：当销售单价为30元/斤时，每月能售出500斤，若销售单价每涨1元，每月的销量就减少10斤．设销售单价为x元/斤（），每月的销售量为y斤． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)在水果店对该水果投入不超过5000元的情况下，当销售单价定为多少元时，月销售利润可以达到8000元？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为60元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用． （1）根据原有销售量减去减少的销售量即可列出； （2）利用一周的销售量×每件销售利润=一周的销售利润列出一元二次方程，据此求解即可． 【详解】（1）解：依题意得； （2）解：依题意得， 整理得， 解得． 当时，投入成本为（元）， ，不符合题意，舍去； 当时，投入成本为（元）， ，符合题意． 答：销售单价应定为60元． 15．(23-24九上·山东临沂沂南县·期末)如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．    (1)要围成生态园的面积为，请求出的长． (2)围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 【答案】(1)的长为米． (2)围成生态园的面积不能达到．理由见解析 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根的判别式的应用，确定相等关系建立方程是解本题的关键； （1）设米，则米，再根据面积建立方程即可； （2）由面积可得，再结合根的判别式可得答案． 【详解】（1）解：设米，则米，根据题意得， ， 解得：， 当时，不符合题意，舍去， 答：的长为米． （2）由（1）得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， ∴围成生态园的面积不能达到． 16．(23-24九上·山东菏泽单县·期末)为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下：活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 【答案】该班共有人参加这次春游活动 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 判断得到这次春游活动的人数超过人，设人数为x名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：人的费用为元元， 参加这次春游活动的人数超过人， 设该班参加这次春游活动的人数为名． 根据题意，得， 整理，得， 解得：，， 时，，不合题意，舍去； 时，． 答：该班共有人参加这次春游活动 17．(23-24九上·山东潍坊潍城区·期末)9．如图，杭州亚运会某场馆的运动员休息区是用长14米的挡板，再借助一段墙（墙足够长），围成的矩形，并在边上留一个1米宽的门． (1)当休息区的长和宽分别为多少米时，休息区的面积为25平方米？ (2)休息区的面积能达到30平方米吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)长和宽分别为5米、5米或10米、米； (2)不能达到30平方米，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当时，方程没有实数根”． （1）设米，则米，根据休息区的面积为25平方米，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）假设休息区的面积能达到30平方米，设米，则米，根据休息区的面积为30平方米，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式△，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即休息区的面积不能达到30平方米． 【详解】（1）解：设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，（米； 当时，（米． 答：当休息区的长和宽分别为5米、5米或10米、米时，休息区的面积为25平方米； （2）解：休息区的面积不能达到30平方米，理由如下： 假设休息区的面积能达到30平方米，设米，则米， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即休息区的面积不能达到30平方米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 常考考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 由一元二次方程的解求参数 考点03 根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点04 根据一元二次方程的根的情况求参数 考点05 解一元二次方程 考点06 一元二次方程的根与系数的关系 考点07 一元二次方程的实际应用 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 一、单选题 1．(24-25九上·山东德州夏津县·期末)下列式子是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·山东青岛北区·期末)下列等式是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·山东聊城临清·期末)下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·山东聊城东阿县第三中学·期末)一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 由一元二次方程的解求参数 一、单选题 1．(24-25九上·山东青岛·期末)已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·山东聊城冠县·期末)是方程的一个根，则代数式的值是（    ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 3．(23-24九上·山东德州齐河县·期末)若是方程的一个根，则的值是（　　） A． B．3 C． D． 4．(23-24九上·山东聊城阳谷县·期末)若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（    ） A． B．2023 C． D．2024 5．(23-24九上·山东聊城东昌府区·期末)若n（）是关于x的方程的根，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．0 二、填空题 6．(24-25九上·山东济宁鱼台县·期末)若是方程的一个根，则的值是 ． 7．(23-24九上·山东济南章丘区·期末)关于x的方程的一个根是2，则 ． 8．(23-24九上·山东潍坊高密·期末)是方程的一个根，则代数式的值是 ． 地 城 考点03 根据判别式判断一元二次方程根的情况 一、单选题 1．(24-25九上·山东临沂兰山区·期末)下列所给方程中，没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东滨州邹平·期末)方程的根的情况是（　　） A．无实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不等的实数根 3．(24-25九上·山东滨州惠民县·期末)下列方程中，有两个相等实数根的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·山东济南章丘区·期末)一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 5．(23-24九上·山东临沂河东区·期末)下列一元二次方程中，能求出实数根的是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点04 根据一元二次方程的根的情况求参数 一、单选题 1．(24-25九上·山东菏泽单县希望初级中学·期末)关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东青岛即墨区·期末)关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·山东青岛崂山区·期末)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·山东济南·期末)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C． D．9 5．(24-25九上·山东临沂兰陵县·期末)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（   ） A． B． C．6 D．9 6．(24-25九上·山东菏泽单县希望初级中学·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（    ） A． B． C．且 D． 7．(23-24九上·山东菏泽定陶区·期末)若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 8．(23-24九上·山东济宁邹城·期末)已知关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 9．(23-24九上·山东枣庄中区·期末)关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．(24-25九上·山东滨州沾化区·期末)若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 11．(24-25九上·山东日照岚山区·期末)对于任意实数，规定，例如，，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 12．(24-25九上·山东济宁泗水县·期末)若事件“关于的方程有实数根”是必然事件，则的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 13．(23-24九上·山东青岛崂山区·期末)如果关于的一元二次方程有两个不等实数根，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．(24-25九上·山东临沂蒙阴县·期末)已知方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 15．(24-25九上·山东聊城临清·期末)若关于x方程有两个相等的实数根，则 ． 16．(23-24九上·山东聊城冠县·期末)关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 17．(23-24九上·山东滨州阳信县·期末)若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 三、解答题 18．(23-24九上·山东菏泽曹县·期末)已知关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围． 19．(23-24九上·山东济南历下区·期末)当整数k为何值时，关于x的一元二次方程的两个根均为整数． 地 城 考点05 解一元二次方程 一、解答题 1．(24-25九上·山东济南·期末)解方程： (1)； (2)． 2．(24-25九上·山东济南长清区·期末)解方程： (1)； (2)． 3．(24-25九上·山东滨州沾化区·期末)按指定方法解一元二次方程 (1)（配方法） (2)（公式法） 4．(24-25九上·山东德州齐河县·期末)解方程： (1) (2)． 5．(24-25九上·山东聊城临清·期末)解方程： (1)； (2)； (3)． 6．(23-24九上·山东济宁特殊教育学校·期末)用适当的方法解方程： (1)； (2)． 7．(23-24九上·山东聊城冠县·期末)解下列方程： (1)； (2)． 8．(23-24九上·山东青岛北区·期末)解方程 (1)； (2)． 9．(23-24九上·山东德州宁津县·期末)解方程： (1)． (2)． 10．(23-24九上·山东聊城外国语学校高新区分校·期末)解方程 (1)（用配方法） (2) 11．(23-24九上·山东德州平原县·期末)用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 12．(23-24九上·山东日照五莲县·期末)用合适的方法解方程： (1) (2) 13．(23-24九上·山东德州庆云县·期末)解方程： (1) (2) 14．(23-24九上·山东济宁兖州区·期末)解方程： (1) (2) 15．(23-24九上·山东滨州博兴县·期末)解方程：． 16．(23-24九上·山东菏泽成武县·期末)用适当的方法解下列一元二次方程： (1)； (2)． 17．(23-24九上·山东枣庄中区·期末)解方程： (1) (2) 18．(24-25九上·山东滨州邹平·期末)解下列方程： (1)； (2)． 19．(24-25九上·山东青岛城阳区·期末)解方程： (1)；（配方法） (2) 20．(24-25九上·山东济宁汶上县·期末)解方程： (1)； (2) 21．(24-25九上·山东济宁曲阜·期末)解一元二次方程： (1)； (2)． 22．(24-25九上·山东滨州滨城区·期末)解下列方程 (1)； (2)； (3)； (4) 地 城 考点06 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·山东潍坊安丘·期末)一元二次方程的两根为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东德州临邑县·期末)已知实数满足，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·山东菏泽曹县·期末)一元二次方程的两个根为，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．(23-24九上·山东聊城阳谷县·期末)若方程的两根分别是和，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·山东临沂临沂经济技术开发区·期末)已知关于的方程的一个根是，则它的另一个根是（    ） A． B．4 C． D． 6．(23-24九上·山东淄博临淄区临淄区实验中学·期末)已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 7．(23-24九上·山东德州庆云县·期末)已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 二、填空题 8．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)关于的一元二次方程，如果方程的两个实数根为，，且，则k的值为 ． 9．(24-25九上·山东德州庆云县·期末)设a、b是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 10．(23-24九上·山东菏泽曹县·期末)已知方程的两个根分别为，则的值为 ． 11．(23-24九上·山东日照岚山区·期末)关于的方程的两根分别为，则的值为 ． 12．(24-25九上·山东聊城东昌中学·期末)若是方程的两实数根，则 ． 13．(23-24九上·山东德州齐河县·期末)已知，是方程的两个实数根，则 14．(23-24九上·山东淄博淄川区·期末)若，是方程的两个实数根，且，则 ． 三、解答题 15．(24-25九上·山东德州平原县王凤楼镇中学、坊子乡中学·期末)（1）求证：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则系数a，b，c有如下关系：，； （2）根据结论，解决问题：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值． 地 城 考点07 一元二次方程的实际应用 一、单选题 1．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)葡萄中含有多种维生素，可以帮助抗氧化，保护细胞不受自由基的侵害，延缓衰老，增强免疫力，保护心脏健康，深受消费者喜爱，某超市以每千克9元的价格购进一批葡萄，然后以每千克12元的价格出售，一天可售出100千克，通过调查发现，每千克的售价每降低0.1元，一天可多出20千克，要想一天盈利500元，若设超市需要将每千克的售价降低x元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·山东青岛崂山区·期末)某商场一月份的营业额为万元，第一季度营业总额为万元，若平均每月增长率为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·山东济宁微山县·期末)受国际油价影响，某年六月底某地92号汽油的价格是8.19元/升，八月底的价格7.56元/升．已知该地92号汽油价格这两个月每月的平均下降率相同，设每月的平均下降率为x，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·山东聊城临清·期末)罕见病“脊髓性肌萎缩症”治疗用药利司扑兰口服液在年医保谈判中经两轮“砍价”，从元/瓶降至元/瓶，成功进入医保目录，设这两轮谈判药物价格平均下降率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·山东临沂临沭县·期末)如图，某景区计划在一个长为，宽为的矩形空地上修建一个停车场，停车场中修建九块形状大小相同的矩形停车区域，它们的面积之和为，停车区域之间留有宽度相等的行车通道（阴影部分），求行车通道的宽度是多少？设行车通道的宽度是，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·山东日照东港区·期末)如图，已知正方形的边长为2，为边上一点，以为边在的上方作正方形．延长边交边于点，如图．若正方形与四边形的面积相等，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 7．(23-24九上·山东潍坊潍城区·期末)某电池厂2023年1～5月份的电池产量如图所示．设从1月份到3月份，该厂电池产量的平均月增长率为，根据题意可列方程为（　　） A． B． C． D． 8．(24-25九上·山东临沂蒙阴县·期末)九州大厦将进价为40元/件的衬衫以60元/件出售时，平均每天能卖出30件，若每降价1元，则每天可多卖出5件，如果降价元，每天盈利800元，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 0．(24-25九上·山东德州庆云县·期末)如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为（ ）． A．1 B．2 C．3 D． 二、填空题 10．(24-25九上·山东青岛青岛大学附属中学·期末)某手机厂商一月份生产手机50万部，计划二、三月份共生产手机132万部，设二、三月份平均每月增长率为，根据题意列出方程为 ． 11．(23-24九上·山东青岛北区·期末)如图，某景区准备在一块边长为米的大正方形花园中间修建一个正方形的休闲场所．如图所示，要求修建四条等宽的矩形小道连接两个正方形的四边．若小道的长是宽的3倍，且花草种植区域（阴影部分）的面积为平方米．设小道宽度为x米，根据题意，列出关于x的一元二次方程是 ． 12．(23-24九上·山东青岛即墨区·期末)为提高公司经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，当这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？若设降价后的销售单价为x元，则可列方程为 ． 三、解答题 13．(24-25九上·山东聊城高唐县·期末)在可持续发展的道路上，绿色转型已成为一个重要的话题，绿色转型不仅是一种环保理念，更是一种经济发展方式，新能源汽车在践行绿色低碳循环理念推动高质量发展中发挥重要作用．近年来，随国家政策扶持，新能源车的销量逐年增加，据统计，2022年新能源汽车全国销量为578万辆，2024年新能源汽车全国销量达到832.32万辆． (1)求2022—2024年这两年新能源汽车销量的平均增长率； (2)若增长率保持不变，请估计到2025年全国新能源汽车的销量是多少？ 14．(23-24九上·山东菏泽·期末)某水果店销售一种成本为20元/斤的水果，市场调研发现：当销售单价为30元/斤时，每月能售出500斤，若销售单价每涨1元，每月的销量就减少10斤．设销售单价为x元/斤（），每月的销售量为y斤． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)在水果店对该水果投入不超过5000元的情况下，当销售单价定为多少元时，月销售利润可以达到8000元？ 15．(23-24九上·山东临沂沂南县·期末)如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．    (1)要围成生态园的面积为，请求出的长． (2)围成生态园的面积能否达到？请说明理由． 16．(23-24九上·山东菏泽单县·期末)为丰富学生的学习生活，某校九年级组织学生参加“人文之旅”泰山两日旅游行活动，所联系的旅行社收费标准如下：活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？ 17．(23-24九上·山东潍坊潍城区·期末)9．如图，杭州亚运会某场馆的运动员休息区是用长14米的挡板，再借助一段墙（墙足够长），围成的矩形，并在边上留一个1米宽的门． (1)当休息区的长和宽分别为多少米时，休息区的面积为25平方米？ (2)休息区的面积能达到30平方米吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $