4.2角（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级上册

本初中数学讲义聚焦“角”核心知识点，从静态（两条射线组成）与动态（射线旋转）双角度定义角，系统梳理角的分类（锐角、直角、钝角、平角、周角）、四种表示方法、度分秒换算及角平分线、余角补角性质，构建从概念到性质的完整学习支架。 资料含思维导图辅助知识可视化梳理，分模块设计角的分类、方向角等练习题，如方向角题目联系现实情境培养应用意识。题型从基础判断到综合计算，提升推理能力，适合分层教学，课中辅助教师授课，课后帮助学生查漏补缺。

4.2角 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 角的概念 由一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 角的分类 1. 锐角：大于而小于的角。 2. 直角：等于的角。 3. 钝角：大于而小于的角。 4. 平角：等于的角（当一条射线绕着它的端点旋转，终边和始边在同一条直线上，方向相反时，所形成的角叫做平角）。 5. 周角：等于的角（当一条射线绕着它的端点旋转一周，终边和始边重合时，所形成的角叫做周角）。 角的表示方法 1. 用三个大写字母表示：角的顶点字母写在中间，两旁分别写角的两条边上的任意一点字母，如（顶点为(O)，边为(OA)、(OB)）。 2. 用一个大写字母表示：当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点字母表示，如。 3. 用一个数字表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上数字，如。 4. 用一个希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上希腊字母（如、、等），如。 角的单位 角的度量单位是度、分、秒。把一个周角平均分成(360)等份，每一份所对的角的大小是(1)度，记作；把的角平均分成(60)等份，每一份所对的角的大小是(1)分，记作(1')；把(1')的角平均分成(60)等份，每一份所对的角的大小是(1)秒，记作(1'')。它们之间的换算关系为：，。 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。例如，若射线(OC)是的平分线，则。 余角和补角 1. 余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。即其中一个角是另一个角的余角。例如，若，则是的余角，也是的余角。同角（或等角）的余角相等。 2. 补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。即其中一个角是另一个角的补角。例如，若，则是的补角，也是的补角。同角（或等角）的补角相等。 型 习 练 题 角的分类 1．两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 2．下列各角中，是钝角的是（  ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 3．一个钝角与一个锐角的度数差是（    ） A． B．大于，小于 C．小于 D．都不对 4．下列说法中正确的是（    ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类 C．两条射线组成的图形叫做角 D．射线就是直线 5．如图，已知点A，O，B在同一直线上，，则下列语句中描述正确的是（    ） A．是锐角 B．点O是线段的中点 C．直线经过点B D．点A在射线上 角度的四则运算 6．已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 8．在同一平面上，若，，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 10．下列角度的计算或换算正确的是（   ） A． B． C． D． 角度大小比较 11．下列角度中，比小的是（    ） A． B． C． D． 12．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定大小 13．已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 14．如图，的度数可能为（    ） A． B． C． D． 15．将一副三角尺按如图所示位置摆放，其中和相等的序号是（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 方向角的表示 16．如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 17．一架飞机从某机场向北偏东方向飞行了千米，原路返回时要向（   ）方向飞行千米． A．南偏西 B．西偏南 C．东偏北 D．北偏东 18．如图，书店在超市的（   ）方向上． A．西偏北 B．北偏西 C．东偏南 D．南偏东 19．如图，在一次活动中，位于处的七年级一班准备前往相距的处与七年级二班会合，若用方向和距离描述七年级二班相对于七年级一班的位置，可以描述为（　　） A．北偏东，与二班相距处 B．北偏东，与二班相距处 C．南偏西，与一班相距处 D．南偏东，与一班相距处 20．以学校为观测点，广场在北偏西方向上的是（   ） A． B． C． 角平分线的有关计算 21．如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 22．如图，已知，平分，平分．则的大小是（    ） A． B． C． D． 23．以下说法正确的个数为（   ） ①半圆是弧；②三角形的角平分线是射线；③在一个三角形中至少有一个角不大于； ④过圆内一点可以画无数条弦；⑤所有角的度数都相等的多边形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 24．如图是直角，平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 25．如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 与余角、补角有关的计算 26．若的余角为，的补角为，，则有（ ） A． B． C． D． 27．下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 28．一个角的余角和这个角的补角也互为补角，这个角的度数等于（    ） A． B． C． D． 29．已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 30．如图，将两副直角三角板按照如图方式摆放，其中与互余，则∠ABD 的度数为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2角 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 角的概念 由一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。 角的分类 1. 锐角：大于而小于的角。 2. 直角：等于的角。 3. 钝角：大于而小于的角。 4. 平角：等于的角（当一条射线绕着它的端点旋转，终边和始边在同一条直线上，方向相反时，所形成的角叫做平角）。 5. 周角：等于的角（当一条射线绕着它的端点旋转一周，终边和始边重合时，所形成的角叫做周角）。 角的表示方法 1. 用三个大写字母表示：角的顶点字母写在中间，两旁分别写角的两条边上的任意一点字母，如（顶点为(O)，边为(OA)、(OB)）。 2. 用一个大写字母表示：当以某一点为顶点的角只有一个时，可以用顶点字母表示，如。 3. 用一个数字表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上数字，如。 4. 用一个希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，写上希腊字母（如、、等），如。 角的单位 角的度量单位是度、分、秒。把一个周角平均分成(360)等份，每一份所对的角的大小是(1)度，记作；把的角平均分成(60)等份，每一份所对的角的大小是(1)分，记作(1')；把(1')的角平均分成(60)等份，每一份所对的角的大小是(1)秒，记作(1'')。它们之间的换算关系为：，。 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。例如，若射线(OC)是的平分线，则。 余角和补角 1. 余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。即其中一个角是另一个角的余角。例如，若，则是的余角，也是的余角。同角（或等角）的余角相等。 2. 补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角，简称互补。即其中一个角是另一个角的补角。例如，若，则是的补角，也是的补角。同角（或等角）的补角相等。 型 习 练 题 角的分类 1．两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角的定义． 两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，因此可能是锐角、直角或钝角． 【详解】解：设两个锐角分别为和，其中，， 则它们的和满足， ∴两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角． 故选：D． 2．下列各角中，是钝角的是（  ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于90度小于180度的角．由钝角的概念，即可选择． 【详解】A、周角，故A不符合题意； B、平角，故B符合题意； C、周角，故C不符合题意； D、平角，故D不符合题意． 故选：B． 3．一个钝角与一个锐角的度数差是（    ） A． B．大于，小于 C．小于 D．都不对 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角与钝角，角度的相关计算等知识，根据锐角大于，小于，钝角大于，小于，两者差的范围即可求出． 【详解】解：∵锐角大于，小于，钝角大于，小于， ∴，， ∴一个钝角与一个锐角的度数差是大于，小于， 故选：B． 4．下列说法中正确的是（    ） A．两点之间的所有连线中，线段最短 B．小于平角的角可分为锐角和钝角两类 C．两条射线组成的图形叫做角 D．射线就是直线 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质，角的分类，角的定义，射线与直线的关系逐项分析即可． 【详解】解：A．两点之间的所有连线中，线段最短，正确； B．小于平角的角可分为锐角，直角和钝角三类，故原说法不正确； C．有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故原说法不正确； D．射线就是直线的一部分，故原说法不正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的性质，角的分类，角的定义，射线与直线的关系，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 5．如图，已知点A，O，B在同一直线上，，则下列语句中描述正确的是（    ） A．是锐角 B．点O是线段的中点 C．直线经过点B D．点A在射线上 【答案】C 【分析】本题考查的是点与直线、射线的位置关系，角的计算，线段中点，角的分类等知识，掌握点与直线、射线的位置关系是解题的关键． 求出度数，根据角的分类即可判定A；根据线段中点的定义可判定B；根据点A，O，B在同－直线上，可判定C；根据点A在射线反向延长线上，可判定D． 【详解】解：A、∵， ∴是钝角，故此选项不符合题意； B、∵不能确定与是否相等， ∴不能确定点O是否是线段的中点，故此选项不符合题意； C、∵点A，O，B在同一直线上， ∴直线经过点B，故此选项符合题意； D、点A在射线反向延长线上，故此选项不符合题意； 故选：C． 角度的四则运算 6．已知，且三个角的和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角度的计算，用三个角的和乘以所占比例即可求出的度数． 【详解】∵，且三个角的和为， ∴． 故选：A． 7．如图，，若图中所有锐角之和为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握角度之间的关系是解题关键； 先找出图中所有的锐角，然后利用锐角之和为列出方程，解方程即可． 【详解】解：图中的锐角有：，，，，，， ∵，且图中所有锐角之和为， ∴， 故， 故选：B． 8．在同一平面上，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的计算及角度制的换算，根据题意，代入数据计算即可． 【详解】解：根据题意， 故选：C． 9．如图，将三角板的直角顶点放在直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的和与差、角度的计算．根据、、，可得：． 【详解】解：如下图所示，， ， ， ， ． 故选：D ． 10．下列角度的计算或换算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的计算和换算，正确掌握角度的换算是解答本题的关键．运用角度的计算和换算方法逐一计算判断即可． 【详解】解:Ａ.，原式计算错误，故本选项不符合题意； Ｂ.，原式计算错误，故本选项不符合题意； C.，正确，故本选项符合题意； D.，原式计算错误，故本选项不符合题意； 故选：C 角度大小比较 11．下列角度中，比小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角度的度分转换，解题的关键是将分转化为度，统一单位后进行角度大小比较． 先将选项中的角度都转化为以度为单位的形式，再与比较大小． 【详解】因为，所以将分转化为度： ，则． ，则． 现在比较各选项与的大小： ． ． ． ，即比小． 故选：D． 12．若，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定大小 【答案】C 【分析】本题主要考查了度、分、秒的转化运算，注意以60为进制，比较简单． 先进行度、分、秒的转换运算，注意以60为进制，然后对比即可得出答案． 【详解】解：， ． ， 故选：C． 13．已知，，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查角的大小比较，将化成后，再进行比较即可． 【详解】解：因为， 所以， 又因为， 所以， 故选：C． 14．如图，的度数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的度量与计算．根据量角器可得约为，约为，然后根据即可得． 【详解】解：由图可知，约为，约为， 则的度数可能为， 故选：C． 15．将一副三角尺按如图所示位置摆放，其中和相等的序号是（    ）    A．①③ B．②③ C．②④ D．①④ 【答案】D 【分析】观察图形，根据三角尺中角的度数、同角的余角相等、补角的性质，判断选择即可． 【详解】①图形中，根据同角的余角相等可得； ②图形中，，，故； ③图形中，和互补，是锐角，是钝角，故； ④图形中，， 综上所述，和相等的序号是①和④； 故选：D． 【点睛】本题考查了余角和补角，掌握余角和补角的概念、正确进行角的大小比较是解题的关键． 方向角的表示 16．如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（    ） A．南偏西方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．北偏东方向上 【答案】A 【分析】本题考查了仰角与方向角；过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，；由此可求得，从而可确定点位于点的方向． 【详解】解：过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，； 则， ∴点位于点的方向为南偏西方向上． 故选：A． 17．一架飞机从某机场向北偏东方向飞行了千米，原路返回时要向（   ）方向飞行千米． A．南偏西 B．西偏南 C．东偏北 D．北偏东 【答案】B 【分析】本题考查了方向角，根据方向的相对性，原路返回的方向与去时的方向相反，即北偏东的相反方向为南偏西，但需注意角度的转换，北偏东的相反方向可转换为西偏南，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：飞机从机场向北偏东方向飞行，返回时方向相反，北偏东的相反方向为南偏西，即西偏南， 因此，原路返回时应向西偏南方向飞行千米， 故选：． 18．如图，书店在超市的（   ）方向上． A．西偏北 B．北偏西 C．东偏南 D．南偏东 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角，熟练掌握方向角度的定义，采用数形结合的思想解题，是解决问题的关键． 根据方向角的定义即可直接解答． 【详解】解：书店在超市的西偏北方向上， 故选：A． 19．如图，在一次活动中，位于处的七年级一班准备前往相距的处与七年级二班会合，若用方向和距离描述七年级二班相对于七年级一班的位置，可以描述为（　　） A．北偏东，与二班相距处 B．北偏东，与二班相距处 C．南偏西，与一班相距处 D．南偏东，与一班相距处 【答案】C 【分析】本题考查方向角，解题的关键是掌握：方向角是表示方向的角，以正北、正南方向为基准，来描述物体所处的方向．根据方位角的概念，可得答案． 【详解】解；用方向和距离描述七年级二班相对于七年级一班的位置，可以描述为：南偏西，与一班相距处． 故选：C． 20．以学校为观测点，广场在北偏西方向上的是（   ） A． B． C． 【答案】B 【分析】本题考查了方向角的定义，理解定义是本题的关键． 根据方向角的定义即可得出答案． 【详解】解：以学校为观测点，广场在北偏西的方向上， 则图中正确的是B选项． 故选：B． 角平分线的有关计算 21．如图，直线交于点O，射线平分，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义．根据角平分线的定义求出的度数，然后根据平角等于列式计算即可得解． 【详解】解：，射线平分， ， ． 故选：C． 22．如图，已知，平分，平分．则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，掌握角的和差计算，角平分线的定义是解题的关键．根据角平分线的定义求出，，再根据求出结果即可． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 故选：B． 23．以下说法正确的个数为（   ） ①半圆是弧；②三角形的角平分线是射线；③在一个三角形中至少有一个角不大于； ④过圆内一点可以画无数条弦；⑤所有角的度数都相等的多边形是正多边形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查圆的基本认识，角平分线，三角形的内角和定理，正多边形的概念，命题等知识；根据以上知识及定义逐一判断即可． 【详解】解：圆的任意一条直径的端点将圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆，故①正确； 根据三角形角平分线的定义可知，三角形的角平分线是一条线段，故②错误； 假设三角形三个内角都大于，则其内角和将大于，与三角形内角和定理矛盾，故在一个三角形中至少有一个角不大于，③正确； 过圆内一点可以作无数条直线，这些直线与圆的两个交点连接成的线段即为弦，故可以画无数条弦，故④正确； 长方形的四个角都相等，都等于90°，而长方形不是正四边形，故⑤错误． 正确的个数为3个， 故选：C． 24．如图是直角，平分，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的定义及角的度数计算，解题的关键是根据角平分线的性质逐步求出相关角的度数，进而得到的度数．​ 先根据直角的定义确定的度数；再依据平分求出的度数；接着根据平分求出的度数；最后用减去得到的度数，再与选项对比．​ 【详解】解：∵是直角，​ ∴．​ ∵平分，​ ∴．​ ∵平分，​ ∴．​ ∴．​ 故选：D．​ 25．如图，已知：平分，，且，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角的和差关系、角平分线的定义．熟练掌握角的和差关系、角平分线的定义是解决本题的关键． 由已知求出，根据角平分线的定义即得． 【详解】解：∵，且， ∴． ∵平分， ∴． 故选：B． 与余角、补角有关的计算 26．若的余角为，的补角为，，则有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的单位与角度制，与余角、补角有关的计算．通过计算每个角的度数，并转换为度分秒形式，然后比较大小，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵的余角为， ∴， ∵的补角为， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：A． 27．下列关于的结论中，正确的有（　　） ①若，则的余角数为； ②若，则的补角度数为； ③若与互余，与互补，则． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查余角和补角的概念及计算．根据余角（和为）和补角（和为）的定义，直接计算或推导即可判断各结论的正确性． 【详解】①若∵，则的余角为，该选项不正确； ②若，则的补角为，正确； ③若与互余， ∴； ∵与互补， ∴； ∴，代入得：， ∴，正确． 故选：B． 28．一个角的余角和这个角的补角也互为补角，这个角的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角和补角，设这个角的度数为，则它的余角度数为，补角度数为，根据题意列出方程解答即可求解，掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的余角度数为，补角度数为， 由题意得，， 解得， 故选：． 29．已知，与互补，则的余角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角与补角，解题的关键是熟记概念，余角：如果两个角的和等于（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． 根据与互补求出，再计算的余角即可． 【详解】解：∵，与互补， ∴， ∴的余角为． 故选：B． 30．如图，将两副直角三角板按照如图方式摆放，其中与互余，则∠ABD 的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两角互余的概念以及角度的和差计算，两角互余则这两个角的和为，熟知这个内容是解题的关键． 根据与互余，求得的度数，再根据求解即可． 【详解】解：根据题意，得，，， 因为与互余， 所以， 所以． 故选：B． 学科网（北京）股份有限公司 $