3.3一元一次方程的应用（基础篇）讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级上册

本初中数学一元一次方程应用复习讲义通过思维导图构建知识体系，系统梳理列方程解应用题的“审题-设元-列方程-解方程-检验-答”六步流程，并以分类框架呈现和差倍分、行程、利润等七类应用题型的等量关系，清晰展现知识脉络与重难点分布。 该讲义特色在于分层练习设计，涵盖配套问题、工程问题等10类题型，如古代算学“良马追驽马”题培养模型意识，方案选择问题提升应用意识。方法指导注重推理步骤与实际检验，助力中等生掌握解题逻辑，为教师实施精准分层教学提供系统资源。

3.3一元一次方程的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、列一元一次方程解应用题的一般步骤 1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量和未知量，找出题目中的等量关系。 2. 设元：选择一个适当的未知量设为未知数，通常用字母(x)表示。设元时要写明单位，并且使后续计算简便。可以直接设未知数（问什么设什么），也可以间接设未知数（当直接设未知数不易列出方程时）。 3. 列方程：根据题目中找到的等量关系，用含有未知数的代数式表示相关的量，列出一元一次方程。方程两边的代数式所表示的意义必须相同，单位要统一。 4. 解方程：运用等式的性质或移项、合并同类项等方法，求出所设未知数的值。 5. 检验：检验所求的解是否符合原方程，同时要检验解是否符合实际问题的意义，确保答案的合理性。 6. 答：写出答案，包括单位名称。回答要完整、简洁，符合题目要求。 二、常见的一元一次方程应用类型及等量关系 1. 和、差、倍、分问题 · 基本等量关系：较大量 = 较小量 + 多余量；总量 = 各部分量的和；倍数关系：(A)是(B)的(n)倍，则；分率关系：(A)是(B)的，则。 2. 行程问题 · 相遇问题：两者所走路程之和 = 总路程，即(v_甲t + v_乙t = S)（(t)为相遇时间，(S)为总路程）。 · 追及问题：快者所走路程 - 慢者所走路程 = 两者初始距离，即(v_快t - v_慢t = S_0)（(t)为追及时间，为初始距离）。 · 航行问题：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；逆水速度 = 静水速度 - 水流速度。 3. 利润问题 · 基本等量关系：利润 = 售价 - 成本（进价）；利润率；售价 = 成本×（1 + 利润率）；打折销售时，售价 = 标价×折扣率（折扣率如九折即(0.9)）。 4. 数字问题 · 一个两位数，十位数字为(a)，个位数字为(b)，则这个两位数表示为(10a + b)；一个三位数，百位数字为(a)，十位数字为(b)，个位数字为(c)，则表示为(100a + 10b + c)。根据数字间的关系或新数与原数的关系列方程。 5. 调配问题 · 从甲处调(x)个单位到乙处，则甲处减少(x)，乙处增加(x)，根据调配后两者的数量关系列方程。 6. 储蓄问题 · 利息 = 本金×利率×时间；本息和 = 本金 + 利息；利息税 = 利息×税率（若考虑利息税）。 7. 几何图形问题 · 利用图形的周长、面积、体积公式作为等量关系。如长方形周长 = (2×(长 + 宽))，面积 = 长×宽；正方体体积 = 棱长×棱长×棱长等，根据图形变化前后的等量关系列方程。 型 习 练 题 配套问题 1．有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【答案】应该用15块木料生产桌子，用24块木料生产椅子 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示生产桌子的数量和生产椅子的数量是解题的关键．设用x块木料生产桌子，则用块木料生产椅子，生产桌子张，生产椅子把，根据椅子的数量是桌子数量的4倍列方程得，解方程求出x的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：设用x块木料生产桌子，则用块木料生产椅子， 根据题意得， 解得， ∴， 答：应该用15块木料生产桌子，用24块木料生产椅子． 2．某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？ 【答案】应安排人生产螺母 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设应安排人生产螺母，则安排人生产螺杆，利用生产螺母的总数量是生产螺杆总数量的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设应安排人生产螺母，则安排人生产螺杆， 根据题意得：， 解得：． 答：应安排人生产螺母． 3．某车间有20个工人生产甲、乙两种零件，每2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 【答案】应分配12人生产甲种零件，8人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，可列方程求解． 【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产乙种零件， 由题意得：， 解得， （人． 答：应分配12人生产甲种零件，8人生产乙种零件，才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套． 4．冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套， (1)应安排生产口罩面和口罩耳绳的工人各多少名？ (2)在（1）的条件下每天共生产了多少个口罩？ 【答案】(1)安排10人生产口罩面，16人生产口罩耳绳； (2)4000个 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程． （1）设安排人生产口罩面，则有人生产口罩耳绳，根据题意，列出方程，解出方程，即可． （2）根据（1）中求出的生产口罩面的工人数，计算出每天生产口罩面的数量，也就是每天生产口罩的数量． 【详解】（1）解：设安排人生产口罩面，则有人生产口罩耳绳，由题意则有： 解得：． 答：安排10人生产口罩面，16人生产口罩耳绳； （2）解：由（1）知，生产口罩面的工人有10名，每人每天生产400个口罩面，那么每天生产口罩面的数量为个， 因为一个口罩面对应一个口罩， 所以每天共生产4000个口罩． 答：在（1）的条件下每天共生产了4000个口罩． 5．某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有90名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或80个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】安排40人制作盒身，50人制作盒底才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套 【分析】本题考查了一元一次方程在配套问题中的应用，解题的关键是根据＂一个盒身配两个盒底＂这一配套关系列出方程 设制作盒身的工人数为，则制作盒底的工人数为，根据盒底数量是盒身数量的2倍列出方程求解． 【详解】解：设安排人制作盒身，人制作盒底 才能使每小时制作的盒身与盒底恰如配套． ． 答：安排40人制作盒身，50人制作盒底才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 工程问题 6．列方程解决问题：故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿，文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物，需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 【答案】还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程求解是解决问题的关键． 设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作，根据每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，把完成某件文物的修复工作看作“1”，列出一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设还需要增加名文物修复师才能按时完成修复工作， 由题意得：， 解得：， 答：还需要增加12名文物修复师才能按时完成修复工作． 7．整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 【答案】人 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设应增加人，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设应增加人， 由题意得，， 解得， 答：应增加人． 8．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 【答案】(1)甲乙再合作10天才能把该工程完成 (2)完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元 【分析】此题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设甲乙再合作x天才能把该工程完成，根据甲队完成的工作量乙队完成的工作量总工作量（单位1），即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据总施工费用甲队每天的施工费用甲队工作的时间乙队每天的施工费用乙队工作的时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设甲乙再合作x天才能把该工程完成， 依题意，得：， 解得：． 答：甲乙再合作10天才能把该工程完成． （2）解：（元）． 答：完成此项工程需付给甲、乙两队共100000元． 9．整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划有一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时后才完成这项工作．若这些人的工作效率相同，那么先安排多少人工作4小时？ 【答案】先安排2人工作4小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用． 设先安排x人工作，把这份工作看作“1”，由题意易知一个人完成这份工作的工作效率为，然后根据题意可列方程求解即可． 【详解】解：设先安排x人工作，把这份工作看作单位“1”，由题意得： ， 解得：. 答：先安排2人工作4小时． 10．工程队修一段公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的850米，第三天修了全长的，三天正好修完．这段公路全长多少米？ 【答案】这段公路全长米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设这段公路全长米，根据第一天修了全长的，第三天修了全长的，得出第一天修了全长的，第三天修了全长的，又因为三天正好修完，故列式，再进行计算，即可作答． 【详解】解：设这段公路全长米， 则第一天修了全长的，第三天修了全长的， 依题意，， 解得， ∴这段公路全长米． 销售盈亏 11．某种商品的进价为800元，价标为1000元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，求商店可打多少折． 【答案】商店可打折． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设商店打折，根据商店打折销售，但要保证利润率为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设商店打折， 由题意，得：， 解得：； ∴商店可打折． 12．综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 【答案】(1)甲40件，乙60件 (2)乙种商品每件售价84元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解． （1）设甲种商品的数量为，列方程求出甲商品的数量，再求出乙商品的数量即可； （2）先算出100件商品的总进价，根据利润率求出总售价，再用总售价减去甲商品总售价，最后除以乙商品数量得到乙商品每件售价． 【详解】（1）解：设甲商品件，则乙商品件， 则乙商品数量为（件） 答：甲商品40件，乙商品60件． （2）解：总进价元 总售价元 甲总售价元 乙每件售价元 答：乙种商品每件售价84元． 13．吉祥服装店某天卖出了两件服装，售价均为元，其中一件盈利，一件亏损，求该服装店卖出这两件服装的盈利情况 【答案】亏损5元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据题意，正确列方程求出两件衣服的进价，进而求出总盈亏．即可作答． 【详解】解：设第一件衣服的进价为元， 依题意得：， 解这个方程得：， 设第二件衣服的进价为元， 依题意得：， 解这个方程得：， ∴（元） ∴亏损元． 14．某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 【答案】商店打了八折 【分析】本题考查了折扣问题． 设商店打了x折，利用销售价减进价等于利润列方程求解即可． 【详解】设商店打了x折， 根据题意得：， 解得：． 答：商店打了八折． 15．某商品按定价出售，每个可获得利润40元，如果按定价的出售10件与按定价每个减15元出售8件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 【答案】100元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据按定价的出售10件，与按定价每个减价15元出售8件所获得的利润一样多，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这种商品每件定价x元，则成本价为元，根据题意得： ， 解得：， 答：这种商品每件定价100元． 方案选择 16．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【分析】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 17．“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． (1)某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ (2)如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)x为36时购票费用刚好相同 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元）， 方案二的花费为：（元）， ∵， 答：该团队应该选择方案一； （2）解：根据题意得：， 解得， 答：x为36时购票费用刚好相同． 18．“中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有人可以免票，剩下的人员打九折． (1)若某团队有人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)该团队共有人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）设团队有人，根据题意，可以列出方程，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 方案一的花费为：（元） 方案二的花费为：（元） ∵， ∴该团队应该选择方案一． （2）解：该团队共有人． 根据题意，得， 解得 答：该团队共有人． 19．已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 【答案】(1)（1）班有48名学生，（2）班有56名学生 (2)可以节省304元钱 (3)购买51张票比较省钱 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用： （1）设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生，分两种情况：根据题意，列出方程，即可求解； （2）求出作为一个团体购票，应付的费用，即可求解； （3）求出买48张13元的票以及 买51张11元的票花费的钱数，即可求解． 【详解】（1）解：设（1）班有x名学生，则（2）班有名学生， 若，此时，根据题意得： ， 解得：，不符合题意； 若，此时，根据题意得： ， 解得：， 此时， 答：（1）班有48名学生，（2）班有56名学生； （2）解：∵， ∴作为一个团体购票，应付元， 元， 答：可以节省304元钱； （3）解：若买48张13元的票，则花费的钱数为元， 若买51张11元的票，则花费的钱数为元， 因为， 所以购买51张票比较省钱． 20．“五一”期间，甲、乙两个商场以同样价格出售相同的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过250元后，超出部分打八五折；在乙商场累计购物超过100元后，超出部分打九五折． (1)购买多少元商品时（大于250元），两个商场的实际花费相同？ (2)张阿姨要选定一个商场购买500元的商品，通过计算说明她选哪个商场购物实际花费会少些． 【答案】(1)当购买325元商品时，两个商场的实际花费相同； (2)选甲商场的实际花费会少些，过程见解析． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据甲商场和乙商场的优惠方案以及设购买x元商品时，两个商场的实际花费相同，列出一元一次方程，再解得，即可作答． （2）根据购买500元的商品，分别算出在甲商场和乙商场的优惠方案下的实际花费费用，再比较大小，即可作答． 【详解】（1）解：设购买x元商品时，两个商场的实际花费相同． 由题意得． 解得，． 答：当购买325元商品时，两个商场的实际花费相同． （2）解：在甲商场实际花费为（元）． 在乙商场实际花费为（元）． ∵， ∴选甲商场的实际花费会少些． 和差倍问题 21．列方程解答下面的问题． 某校组织师生去郊外进行植树活动，共有28人参加．为了减少碳排放，大家可以选择乘坐电动巴士或步行．已知步行的人数比乘坐电动巴士人数的3倍少4人．请问有多少人选择乘坐电动巴士？ 【答案】8 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设选择乘坐电动巴士的有人，则步行的人数为人，根据共有28人参加列出一元一次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【详解】解：设选择乘坐电动巴士的有人，则步行的人数为人， 由题意可得：， 解得：， 故有人选择乘坐电动巴士． 22．一套运动服元，其中裤子价钱是上衣的，上衣和裤子的价钱分别是多少？ 【答案】上衣的价钱为元，裤子的价钱为元 【分析】本题考查了和差倍分问题(一元一次方程的应用)，解题的关键是确定单位“1”，并根据数量关系列方程求解． 将上衣的价钱看作单位“1”，则设上衣的价钱为 元，则裤子的价钱为元，列出方程计算求出上衣价钱，再求裤子价钱． 【详解】解：设上衣的价钱为 元，则裤子的价钱为元,由题意得 ， 解得：， 所以裤子的价钱为元． 答：上衣的价钱为元，裤子的价钱为元． 23．根据所设未知数列方程： (1)小华去超市买文具，单价为1.5元的圆珠笔买了4支，笔记本买了5本，共用了18元，求笔记本每本多少元？（设笔记本每本元） (2)小明今年的年龄是13岁，小华今年年龄的3倍比小明年龄的2倍多10岁，求小华今年的年龄是多少岁？（设小华今年的年龄是岁） (3)在“情系灾区”捐款活动中，甲、乙两人共捐500元，已知甲比乙多90元，问两人各捐款多少元？（设乙捐款元） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确找到题目中的数量关系是解题的关键． （1）根据圆珠笔的总价与笔记本总价等于18元，即可列出方程； （2）根据3倍的小华今年的年龄等于2倍的小明今年的年龄加10岁，即可列出方程； （3）根据甲、乙两人的捐款总和500元，即可列出方程． 【详解】（1）解：设笔记本每本元， 由题意得，； （2）解：设小华今年的年龄是岁， 由题意得，； （3）解：设乙捐款元， 由题意得，． 24．六（1）班女生比男生少，男生比女生多3人．六（1）班共有学生多少人？ 【答案】45人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，正确理解一个数的几分之几，找准单位“1”是解题的关键． 女生比男生少，男生比女生多3人，因此男生人数的等于3人，从而可求出男生人数，再求女生人数和总人数． 【详解】解：女生比男生少，且男生比女生多3人， 则男生人数为：（人）， 女生人数为：（人）， 因此，总人数为：（人）． 答：六（1）班共有学生45人． 25．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中乙班植树棵数比甲班植树棵数的2倍多1，求两班各植树多少棵（用方程求解）． 【答案】甲班植树棵数为，乙班植树棵数为 【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键． 设甲班植树棵数为，则乙班植树棵数为，由甲班和乙班共植树31棵，列一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设甲班植树棵数为，则乙班植树棵数为， ， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 则乙班植树棵数为， 答：甲班植树棵数为，乙班植树棵数为． 电水费问题 26．为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 【答案】用电121千瓦时 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，用电100千瓦时，应该付电费元，付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时；设用电x千瓦时，不超过100千瓦时部分，电费为52元，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程：，解答即可． 【详解】解：用电100千瓦时，应该付电费元， 付电费64.6元，超过52元，说明用电超过了100千瓦时， 设小明家用电x千瓦时，由于小明家用电超过了100千瓦时，超过100千瓦时部分电费为元；根据题意，列方程为：， 解得：， 答：用电121千瓦时． 27．出租车行驶5公里收费10元，超过部分每公里2元．若小明付费18元，他乘坐了多少公里？ 【答案】小明乘坐了9公里 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设出相应的未知数并列出方程是解决本题的关键． 设总路程为公里，根据题意可设出总费用的一元一次方程进行求解即可． 【详解】解：设总路程为公里，则 ， ， ， ， ， 解得， 答：小明乘坐了9公里． 28．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据水费标准进行计算即可； （2）判断出10月份的用水量超过，根据水费的收费办法列方程求解即可． 本题考查一元一次方程的应用，理解题目中“收费办法”是解决问题的关键． 【详解】（1）由题意得，， 解得， 答：； （2）， 该居民用户10月份的用水量超过， 设该居民用户10月份的用水量为，由题意得， ， 解得， 答：该用户10月份用水． 29．为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水量在15吨以内（含15吨）按每吨元收费，超过15吨的部分按每吨元收费．小明家上个月交水费28元，他家上个月的用水量是多少吨？ 【答案】他家上个月的用水量是吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先结合在15吨以内（含15吨）按每吨元收费，算出，故小明家上个月用水量超过15吨，再设他家上个月的用水量是吨，然后列出方程，再解出，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴小明家上个月用水量超过15吨， 设他家上个月的用水量是吨， ∴， 解得， 即他家上个月的用水量是吨． 30．某地实行阶梯电价，第一档电量为每月不超过200度，每度电0.5元；第二档电量为每月超过200度但不超过400度的部分，每度电0.6元；第三档电量为每月超过400度的部分，每度电0.8元．若某用户一个月缴电费260元，求该用户这个月的用电量． 【答案】该用户这个月用了450度电 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、根据档次标准写出函数关系式和列方程是解题的关键．分别计算第一档、第二档电费的上限并与260相比较，从而确定该用户这个月用电量所在的档次；设该用户这个月用了a度电（），根据第三档的标准列方程并求解即可． 【详解】解：当用电量为200度时，电费为（元），； 当用电量为400度时，电费为，； ∴该用户这个月用电量在第三档． 设该用户这个月用了a度电（）． 根据题意，得， 解得， ∴该用户这个月用了450度电． 古代问题 31．我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 【答案】20天 【分析】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，列方程解决问题． 设良马天可以追上劣马，根据等量关系：劣马每天跑的里数（良马跑的天数劣马先走的天数）良马每天跑的里数良马跑的天数，列方程即可． 【详解】解：设良马天可以追上劣马，则可列方程为 ． 解得：， 答：良马20天可以追上劣马． 32．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 33．古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？ 【答案】天 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设快马需要天可以追上慢马，则慢马走了天，根据“快马追上慢马时，两匹马所走的路程相同”列出方程求解即可．正确找到等量关系列出方程是解题关键． 【详解】解：设快马需要天可以追上慢马，则慢马走了天， 依题意得：， 解得：， 答：快马天可以追上慢马． 34．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 【答案】长木长尺 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用． 设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；列方程求解可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 答：长木长尺． 35．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 【答案】大船有3只，小船有5只 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设大船有只，则小船有只，根据38人刚好坐满8只船，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出大船的只数，再将其代入中，即可求出小船的只数． 【详解】解：设大船有只，则小船有只， 根据题意得：， 解得：， （只）， 答：大船有3只，小船有5只． 其它问题 36．小青的体重是千克，刚好是爸爸体重的，爸爸的体重是多少千克？ 【答案】千克 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，解题关键是找准等量关系． 设爸爸的体重是千克，再根据“小青的体重是千克，刚好是爸爸体重的”，列出方程求解． 【详解】解：设爸爸的体重是千克， 则， 解得：， 答：爸爸的体重是千克． 37．科学研究表明，人的血压与年龄有关．如果用a表示一个人的年龄（岁），用p表示正常情况下这个人的收缩压（毫米汞柱），那么 (1)正常情况下，一个50岁的人的收缩压是_______毫米汞柱 (2)一位65岁的老人测量得收缩压为142毫米汞柱，医生告诉他略高于正常值．他的收缩压比正常值高了多少？ (3)如果某人的收缩压测量值为148毫米汞柱，根据公式计算，他的正常年龄应该是多少岁？ 【答案】(1)130 (2)3毫米汞柱 (3)80岁 【分析】本题考查了代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）将代入求解即可； （2）将代入求出此时的，再用测得的收缩压减去正常值即可； （3）将毫米汞柱代入，得到，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴毫米汞柱， 故答案为：； （2）解：当时， ∵实际测量值为142毫米汞柱 ∴毫米汞柱， 答：他的收缩压比正常值高了毫米汞柱； （3）解：由题意得毫米汞柱 ∴， 解得， 答：他的正常年龄应该是岁． 38．中国和世界上大部分国家都采用摄氏温度（°C）为标准预报天气，也有一些国家采用华氏温度（°F）标准．已知华氏温度转摄氏温度的公式为，其中°C表示华氏温度，°F表示摄氏温度． (1)当华氏温度值为77°F时，摄氏温度值是多少？ (2)请你将摄氏温度20°C转换成华氏度． 【答案】(1)25°C (2)68°F 【分析】本题考查了函数值的计算及方程的求解． （1）根据已知条件将华氏温度值代入到公式中计算即可得到摄氏温度值； （2）根据已知条件将摄氏温度值代入到公式中计算即可得到华氏温度值． 【详解】（1）解：∵华氏温度值为77°F，华氏温度转摄氏温度的公式为， ∴当时，， ∴摄氏温度值为25°C． （2）解：∵摄氏温度值为20°C，摄氏温度转华氏温度的公式为， ∴当时，，解得， ∴华氏温度值为68°F． 39．某校买一批桌子和椅子，共花4020元．已知桌子每张80元，椅子每把30元，并且桌子的数量比椅子少24，问桌子和椅子各买了多少？ 【答案】桌子30张，椅子54把 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程；桌子买了x张，根据桌子和椅子共花4020元列方程即可． 【详解】解：设桌子买了x张，椅子买了把， 由题意，得， 解得， 桌子30张，椅子把． 40．去年小张到银行存了一笔年利率为的普通储蓄，今年存满一年后，利息的正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？（结果保留整数） 【答案】一年前小张存了大约28278元钱 【分析】本题考查利率问题，一元一次方程解决实际问题．设一年前小张存了x元钱，利息的等于随身听的价格，列出方程求解即可． 【详解】解：设一年前小张存了x元钱，由题意得， ， 解得， 答：一年前小张存了大约28278元钱． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3一元一次方程的应用 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 一、列一元一次方程解应用题的一般步骤 1. 审题：仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知量和未知量，找出题目中的等量关系。 2. 设元：选择一个适当的未知量设为未知数，通常用字母(x)表示。设元时要写明单位，并且使后续计算简便。可以直接设未知数（问什么设什么），也可以间接设未知数（当直接设未知数不易列出方程时）。 3. 列方程：根据题目中找到的等量关系，用含有未知数的代数式表示相关的量，列出一元一次方程。方程两边的代数式所表示的意义必须相同，单位要统一。 4. 解方程：运用等式的性质或移项、合并同类项等方法，求出所设未知数的值。 5. 检验：检验所求的解是否符合原方程，同时要检验解是否符合实际问题的意义，确保答案的合理性。 6. 答：写出答案，包括单位名称。回答要完整、简洁，符合题目要求。 二、常见的一元一次方程应用类型及等量关系 1. 和、差、倍、分问题 · 基本等量关系：较大量 = 较小量 + 多余量；总量 = 各部分量的和；倍数关系：(A)是(B)的(n)倍，则；分率关系：(A)是(B)的，则。 2. 行程问题 · 相遇问题：两者所走路程之和 = 总路程，即(v_甲t + v_乙t = S)（(t)为相遇时间，(S)为总路程）。 · 追及问题：快者所走路程 - 慢者所走路程 = 两者初始距离，即(v_快t - v_慢t = S_0)（(t)为追及时间，为初始距离）。 · 航行问题：顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；逆水速度 = 静水速度 - 水流速度。 3. 利润问题 · 基本等量关系：利润 = 售价 - 成本（进价）；利润率；售价 = 成本×（1 + 利润率）；打折销售时，售价 = 标价×折扣率（折扣率如九折即(0.9)）。 4. 数字问题 · 一个两位数，十位数字为(a)，个位数字为(b)，则这个两位数表示为(10a + b)；一个三位数，百位数字为(a)，十位数字为(b)，个位数字为(c)，则表示为(100a + 10b + c)。根据数字间的关系或新数与原数的关系列方程。 5. 调配问题 · 从甲处调(x)个单位到乙处，则甲处减少(x)，乙处增加(x)，根据调配后两者的数量关系列方程。 6. 储蓄问题 · 利息 = 本金×利率×时间；本息和 = 本金 + 利息；利息税 = 利息×税率（若考虑利息税）。 7. 几何图形问题 · 利用图形的周长、面积、体积公式作为等量关系。如长方形周长 = (2×(长 + 宽))，面积 = 长×宽；正方体体积 = 棱长×棱长×棱长等，根据图形变化前后的等量关系列方程。 型 习 练 题 配套问题 1．有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 2．某车间有工人人，每人每天可生产个螺母或个螺杆，已知一个螺杆和两个螺母配套为了使生产出来的螺母、螺杆刚好配套，应安排多少人生产螺母？ 3．某车间有20个工人生产甲、乙两种零件，每2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件8个或乙种零件6个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？ 4．冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套， (1)应安排生产口罩面和口罩耳绳的工人各多少名？ (2)在（1）的条件下每天共生产了多少个口罩？ 5．某工厂要制作一批糖果盒，已知该工厂共有90名工人，每名工人平均每小时可以制作50个盒身或80个盒底，现要求一个盒身配两个盒底，则如何安排工人才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 工程问题 6．列方程解决问题：故宫文物医院（故宫博物院文保科技部）传承了历史悠久的传统文物修复技艺，半个多世纪以来，许多国宝在这里得以延年益寿，文物修复师们计划用30个月完成某件文物的修复工作．如果让一名文物修复师单独修复该文物，需要720个月完成．假设每名文物修复师的工作效率相同，先由16名文物修复师一起修复了10个月，还需要增加多少名文物修复师才能按时完成修复工作？ 7．整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由人先做，然后增加一些人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应增加多少人？ 8．一项工程，甲队单独完成需20天，乙队单独完成需25天． (1)若甲队单独做2天后两队再合作，求：甲乙两队再合作多少天才能把该工程完成； (2)在（1）的条件下，甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为4000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队共多少元？ 9．整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现在计划有一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时后才完成这项工作．若这些人的工作效率相同，那么先安排多少人工作4小时？ 10．工程队修一段公路，第一天修了全长的，第二天修了全长的850米，第三天修了全长的，三天正好修完．这段公路全长多少米？ 销售盈亏 11．某种商品的进价为800元，价标为1000元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率为，求商店可打多少折． 12．综合应用：某商场计划购进甲、乙两种商品共100件，甲种商品每件进价50元，售价80元；乙种商品每件进价70元，售价110元． (1)若全部售出后获利3600元，求甲、乙两种商品分别有多少件？ (2)在第（1）题结论的条件下，该商场开展让利促销活动，若甲种商品每件售价60元，要使得这100件商品利润率为，乙种商品每件售价多少元？（商品销售总价商品总进价（利润率） 13．吉祥服装店某天卖出了两件服装，售价均为元，其中一件盈利，一件亏损，求该服装店卖出这两件服装的盈利情况 14．某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 15．某商品按定价出售，每个可获得利润40元，如果按定价的出售10件与按定价每个减15元出售8件所获得的利润一样多，这种商品每件定价多少元？ 方案选择 16．某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 17．“华南最大的人工湖”——万绿湖风景名胜区，碧波万顷，生态优美，是国家5A级旅游景区，暑假期间，景区门票定价35元/张，团队票可享受两种优惠方案： 方案一：全体人员享受门票8折优惠． 方案二：团队中4人可免票，其余成员享受门票9折优惠． (1)某团队共有40人，为节省购票费用，应选择哪种购票方案？ (2)如果该团队人数为x人（），当x为多少时，购票费用刚好相同？ 18．“中国最美的五大沙漠之一”—鸣沙山月牙泉风景名胜区，是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格为50元/张，团队票可选择两种购票优惠方案： 方案一：全体人员打八折． 方案二：有人可以免票，剩下的人员打九折． (1)若某团队有人，为节省购票费用，则该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，则该团队共有多少人？ 19．已知公园门票价格规定如下表： 购票张数 1~50张 51~100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人去该公园游玩，其中（1）班人数较少，不足50人．经计算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元，问： (1)两班各有多少名学生？ (2)如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可以节省多少钱？ (3)如果七（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？ 20．“五一”期间，甲、乙两个商场以同样价格出售相同的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过250元后，超出部分打八五折；在乙商场累计购物超过100元后，超出部分打九五折． (1)购买多少元商品时（大于250元），两个商场的实际花费相同？ (2)张阿姨要选定一个商场购买500元的商品，通过计算说明她选哪个商场购物实际花费会少些． 和差倍问题 21．列方程解答下面的问题． 某校组织师生去郊外进行植树活动，共有28人参加．为了减少碳排放，大家可以选择乘坐电动巴士或步行．已知步行的人数比乘坐电动巴士人数的3倍少4人．请问有多少人选择乘坐电动巴士？ 22．一套运动服元，其中裤子价钱是上衣的，上衣和裤子的价钱分别是多少？ 23．根据所设未知数列方程： (1)小华去超市买文具，单价为1.5元的圆珠笔买了4支，笔记本买了5本，共用了18元，求笔记本每本多少元？（设笔记本每本元） (2)小明今年的年龄是13岁，小华今年年龄的3倍比小明年龄的2倍多10岁，求小华今年的年龄是多少岁？（设小华今年的年龄是岁） (3)在“情系灾区”捐款活动中，甲、乙两人共捐500元，已知甲比乙多90元，问两人各捐款多少元？（设乙捐款元） 24．六（1）班女生比男生少，男生比女生多3人．六（1）班共有学生多少人？ 25．学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中乙班植树棵数比甲班植树棵数的2倍多1，求两班各植树多少棵（用方程求解）． 电水费问题 26．为了鼓励节约用电，某市电力公司规定了以下的电费计算方法：每月的用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费；每月用电超过100千瓦时，超过的部分按每千瓦时0.6元收费．小明家十月份的电费是64.6元，用电多少千瓦时？ 27．出租车行驶5公里收费10元，超过部分每公里2元．若小明付费18元，他乘坐了多少公里？ 28．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，株洲市采用分段收费，规定每月每户居民生活用水标准量为，每月生活用水的收费标准（单位：元）及单价说明如表所示： 用水量 单价（元） 费用说明 免收污水处理费 超出的部分 超出的部分加收污水处理费元 某居民某月用水，共缴纳水费23元． (1)求a的值； (2)该居民用户10月份缴纳水费71元，求该用户10月份的用水量． 29．为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水量在15吨以内（含15吨）按每吨元收费，超过15吨的部分按每吨元收费．小明家上个月交水费28元，他家上个月的用水量是多少吨？ 30．某地实行阶梯电价，第一档电量为每月不超过200度，每度电0.5元；第二档电量为每月超过200度但不超过400度的部分，每度电0.6元；第三档电量为每月超过400度的部分，每度电0.8元．若某用户一个月缴电费260元，求该用户这个月的用电量． 古代问题 31．我国古代数学著作《算学启蒙》一书记载：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里；驽马先行一十二日，问良马几何追及之．其大意是：良马每天走240里，劣马每天走150里；劣马先走12天．问良马几天可以追上劣马？（列方程求解） 32．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 33．古代名著《算术启蒙》中有一题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天跑里，慢马先走天，那么快马几天可以追上慢马？ 34．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短；引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是：现有一根长木，不知道其长短，用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺，问长木长多少？ 35．《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 其它问题 36．小青的体重是千克，刚好是爸爸体重的，爸爸的体重是多少千克？ 37．科学研究表明，人的血压与年龄有关．如果用a表示一个人的年龄（岁），用p表示正常情况下这个人的收缩压（毫米汞柱），那么 (1)正常情况下，一个50岁的人的收缩压是_______毫米汞柱 (2)一位65岁的老人测量得收缩压为142毫米汞柱，医生告诉他略高于正常值．他的收缩压比正常值高了多少？ (3)如果某人的收缩压测量值为148毫米汞柱，根据公式计算，他的正常年龄应该是多少岁？ 38．中国和世界上大部分国家都采用摄氏温度（°C）为标准预报天气，也有一些国家采用华氏温度（°F）标准．已知华氏温度转摄氏温度的公式为，其中°C表示华氏温度，°F表示摄氏温度． (1)当华氏温度值为77°F时，摄氏温度值是多少？ (2)请你将摄氏温度20°C转换成华氏度． 39．某校买一批桌子和椅子，共花4020元．已知桌子每张80元，椅子每把30元，并且桌子的数量比椅子少24，问桌子和椅子各买了多少？ 40．去年小张到银行存了一笔年利率为的普通储蓄，今年存满一年后，利息的正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？（结果保留整数） 学科网（北京）股份有限公司 $