第六单元 除数是两位数的除法（知识梳理+导图+14个考点讲练+真题演练+难度分层练 共53题）-2025-2026学年人教版数学四年级上册单元复习举一反三培优精讲练

该小学数学讲义通过思维导图系统梳理人教版四年级上册“除数是两位数的除法”知识体系，按口算除法、笔算除法（含试商调商）、商的变化规律及解决问题模块呈现，用步骤分解图和对比表格突出试商方法、商的位数判断等重难点，清晰展现知识内在逻辑。 讲义亮点在于“高频考点讲练+分层实战”设计，14个考点含典例与变式训练，如“归总问题”“火车过桥问题”培养运算能力与应用意识，5道小升初真题及基础、创新分层练习，助力不同学生提升，教师可据此实施精准复习教学。

第六单元 除数是两位数的除法 （知识梳理+14个考点讲练+真题演练+难度分层练 共53题） 【原卷版】 资料简介 内容梳理 2 梳理脉络 导图指引 2 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：口算除法 3 知识点梳理02：笔算除法（一）——商是一位数（用“四舍五入”法试商） 3 知识点梳理03：笔算除法（二）——商是两位数 4 知识点梳理04：商的变化规律 4 知识点梳理05：解决实际问题 5 重点难点 考点讲练 5 高频考点讲练1：除数是整十数的口算除法 5 高频考点讲练2：除数是两位数的估算 6 高频考点讲练3：除数是整十数的笔算除法 7 高频考点讲练4：除数是两位数的笔算除法 7 高频考点讲练5：多位数除以两位数的试商 8 高频考点讲练6：判断商是几位数（除数是两位数） 8 高频考点讲练7：单归一问题 8 高频考点讲练8：双归一问题 9 高频考点讲练9：归总问题 9 高频考点讲练10：商的变化规律及应用 10 高频考点讲练11：商不变的规律及应用 10 高频考点讲练12：相遇问题 11 高频考点讲练13：追及问题 11 高频考点讲练14：火车过桥问题 12 升学真题 实战演练 12 优选题型 培优强化 14 基础夯实 能力提升 14 创新拓展 拔尖冲刺 16 同学你好，该份讲义用于人教版四年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：口算除法 1.整十数除整十数的口算： （1）方法1（想乘法算除法）： 例如，80 ÷ 20 = ？ 想：20 × (4) = 80，所以 80 ÷ 20 = 4。 （2）方法2（利用表内除法）： 例如，80 ÷ 20 = ？ 把80看作8个十，20看作2个十，8个十 ÷ 2个十 = 4，所以 80 ÷ 20 = 4。 2.整十数除几百几十数的口算： （1）方法类似： 例如，150 ÷ 30 = ？ 想：30 × (5) = 150，所以 150 ÷ 30 = 5。 或 15个十 ÷ 3个十 = 5。 3.两位数除两位数（能整除，且商是一位数）的估算： （1）方法： 把被除数和除数都看作与它们接近的整十数，再口算出结果。 （2）例如，83 ÷ 20 ≈ ？ 83 ≈ 80，80 ÷ 20 = 4，所以 83 ÷ 20 ≈ 4。 （3）又如，80 ÷ 19 ≈ ？ 19 ≈ 20，80 ÷ 20 = 4，所以 80 ÷ 19 ≈ 4。 4.两位数除几百几十数（能整除，且商是一位数）的估算： （1）例如，122 ÷ 30 ≈ ？ 122 ≈ 120，120 ÷ 30 = 4，所以 122 ÷ 30 ≈ 4。 （2）又如，120 ÷ 28 ≈ ？ 28 ≈ 30，120 ÷ 30 = 4，所以 120 ÷ 28 ≈ 4。 知识点梳理02：笔算除法（一）——商是一位数（用“四舍五入”法试商） 1.计算法则核心步骤： “四舍五入”法试商、调商、除的顺序、商的书写位置、余数处理。 2.用“四舍”法试商（除数的个位是1、2、3、4）： （1）步骤： ①把除数看作和它接近的整十数。 ②用口算除法的方法试商。 ③用试得的商和原来的除数相乘，看够不够减，余数是否比除数小。 ④如果商大了（乘积大于被除数），就把商调小1再试；如果商正好或余数小于除数，就确定商。 （2）例如：84 ÷ 21 = ？ 把21看作20试商，84 ÷ 20想商4。21 × 4 = 84，正好，所以商4。 （3）例如：197 ÷ 39 = ？ 把39看作40试商，197 ÷ 40想商4。39 × 4 = 156，197 - 156 = 41。余数41比除数39大，说明商小了，改商5。39 × 5 = 195，197 - 195 = 2，余数2 < 39，所以商5。 3.用“五入”法试商（除数的个位是5、6、7、8、9）： （1）步骤： 同上。 （2）例如：178 ÷ 36 = ？ 把36看作40试商，178 ÷ 40想商4。36 × 4 = 144，178 - 144 = 34。余数34 < 36，商4合适。 （3）例如：270 ÷ 38 = ？ 把38看作40试商，270 ÷ 40想商6。38 × 6 = 228，270 - 228 = 42。余数42 > 38，商小了，改商7。38 × 7 = 266，270 - 266 = 4，余数4 < 38，所以商7。 知识点梳理03：笔算除法（二）——商是两位数 1.商是两位数的判断： 被除数的前两位大于或等于除数，商是两位数。 2.计算步骤： （1）除： 先用除数去除被除数的前两位。 （2）商： 商写在被除数的十位上面。 （3）乘： 商和除数相乘，积写在被除数前两位的下面。 （4）减： 从被除数的前两位中减去乘积，看余数是否比除数小。 （5）比： 比较余数和除数的大小。 （6）落： 把被除数个位上的数落下来，和十位上的余数合在一起，再继续除。 （7）重复： 重复以上步骤，商写在被除数的个位上面。 （8）注意： 每次除得的余数必须比除数小。 知识点梳理04：商的变化规律 1.规律一： 除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。 （1）例如：16 ÷ 8 = 2 ①160 ÷ 8 = 20 （被除数×10，除数不变，商×10） ②16 ÷ 8 = 2 ③8 ÷ 8 = 1 （被除数÷2，除数不变，商÷2） 2.规律二： 被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。 （1）例如：160 ÷ 8 = 20 ①160 ÷ 16 = 10 （除数×2，被除数不变，商÷2） ②160 ÷ 8 = 20 ③160 ÷ 4 = 40 （除数÷2，被除数不变，商×2） 3.规律三（商不变的性质）： 被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。 （1）例如：80 ÷ 20 = 4 ①(80 × 2) ÷ (20 × 2) = 160 ÷ 40 = 4 ②(80 ÷ 10) ÷ (20 ÷ 10) = 8 ÷ 2 = 4 （2）应用： 可以利用商不变的性质进行简便计算（主要是被除数和除数末尾都有0的情况）。 ①例如：630 ÷ 70 = (630 ÷ 10) ÷ (70 ÷ 10) = 63 ÷ 7 = 9 知识点梳理05：解决实际问题 1.常见数量关系： （1）总价 ÷ 单价 = 数量 （2）路程 ÷ 速度 = 时间 （3）工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 （4）总产量 ÷ 单产量 = 数量 （5）（这些关系在具体问题中灵活运用，有时会需要乘法） 2.“进一法”和“去尾法”的应用： （1）进一法： 在解决实际问题时，即使剩下的不多，不够一份，也要向前一位进一。 （2）去尾法： 在解决实际问题时，即使剩下的部分够一份，也不能算一份，要舍去。 3.估算解决问题： （1）题目中出现“大约”、“估一估”等词语时，或不需要精确结果时，可以用估算。 （2）估算时要根据实际情况选择合适的估算方法（往大估、往小估或四舍五入）。 高频考点讲练1：除数是整十数的口算除法 【典例精讲】（24-25四年级上·广东潮州·期中）哥哥是物流公司的司机，一天早上8：00他从公司出发去某县城送货，去时的速度是60千米/时，中午12：00到达目的地；原路返回时每小时多行20千米，哥哥返回时用了多少小时？ 【变式训练】（25-26四年级上·甘肃武威·期中）一个长方形的草莓园长90米，面积是360平方米，现在宽不变，把长缩小到30米，缩小后的草莓园的面积是多少平方米？ 高频考点讲练2：除数是两位数的估算 【典例精讲】（23-24三年级下·浙江湖州·期末）一本书共102页，每天看18页，5天能全部看完吗？ （1）明明和林林用了以下两种方法解答，你认为正确的是（    ）。 明明的方法： 18≈20，102≈100 100÷20＝5（天） 5天＝5天 答：5天能全部看完。 林林的方法： 18≈20 20×5＝100（页） 100页＜102页 答：5天不能全部看完。 （2）你还有不同的方法吗？请列式解答。 【变式训练】（24-25四年级上·福建厦门·期末）2025国际工业自动化及机器人展将在上海举行，吸引全球各大自动化品牌参展。李叔叔从厦门开小轿车到上海参展，厦门到上海的距离约为1100千米。 （1）李叔叔以100千米/小时的速度行了3小时后，到达某服务区。如图所示，该服务区的位置大约在（    ）号。 （2）休息后，李叔叔从该服务区继续出发，在不违反交通规则的情况下，李叔叔最快再过7小时可以到达上海吗？请说明你的理由。 高频考点讲练3：除数是整十数的笔算除法 【典例精讲】（24-25四年级上·河南许昌·期末）2024年5月28日，神舟十八号航天员乘组圆满完成大约8小时30分钟的首次出舱任务。空间站绕地球一周大约90分钟，首次出舱任务期间，空间站能绕地球飞行几圈？ 【变式训练】（24-25四年级上·浙江绍兴·期末）滨海小学四年级去“农事服务中心”研学，男生200名，女生208名，研学基地中其中一个研学课程为“农作物连连看”智能游戏活动，___________，至少分成几组参加游戏活动？ A．有10名老师带队    B．最多10名同学一组玩游戏    C．四年级共有10个班级 （1）为解决“至少分成几组参加游戏活动”，横线上应补充的信息是（    ） （2）列式解决问题。 高频考点讲练4：除数是两位数的笔算除法 【典例精讲】（24-25四年级上·湖北武汉·期中）403×（    ）＞2400，括号里最小填（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练】（24-25四年级上·青海果洛·月考）共享单车可以帮助人们短距离出行，减少拥堵。通过骑单车，人们可以享受健康、环保、经济实惠的出行体验。下图是张叔叔一天骑行的详情。 骑行：25分（共计6千米） 减少碳排放量：750克 （1）张叔叔平均每分钟骑行多少米？ （2）照这样计算，张叔叔每天坚持骑行30分钟，能减少碳排放量多少克？ 高频考点讲练5：多位数除以两位数的试商 【典例精讲】（24-25四年级上·贵州黔东南·期末）计算357÷52时，把52看成( )来试商，商是( )，商偏( )（填“大”或“小”），调商( )，余数是( )。 【变式训练】（24-25四年级上·贵州黔西·期末）322÷42的商是( )位数，试商时将42看作( )来试商，初商偏( )，要调( )。 高频考点讲练6：判断商是几位数（除数是两位数） 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）已知□62÷46的商是一位数，□中最大填( )；已知□48÷33的商是两位数，□中最小填( )。 【变式训练】（24-25四年级上·河北保定·期末）汐汐在计算时，要使商是两位数，那么中最小可以填( )。 高频考点讲练7：单归一问题 【典例精讲】（24-25四年级上·安徽安庆·期末）读四年级的小林用电脑打一篇文章，他12分钟能打字336个。 （1）照这样的打字速度，小林打一篇1456个字的文章要用多少分钟？ （2）如果用算式“336÷12×25”解决问题，那么这个问题是： 【变式训练】（24-25四年级上·山东临沂·期末）学校举行“成语大赛”，参赛过程中，兰兰和同学们遇到了一系列数学问题，我们一起来解决吧！ （1）初选进入复赛的共有15人，为了更好的复习，学校出资1000元给每位复赛的同学买一本《成语大词典》，到书店付款后，找回了70元。请问这种词典每本多少钱？ （2）兰兰也进入了复赛，为了取得好成绩，她每天都很认真地读记一些成语。经过统计，前3天她熟记了105个成语。照这样计算，她12天能记住多少个成语？ （3）决赛中，兰兰和她的好朋友青青取得了良好的成绩。她们决定用比赛获得的奖金为山区的小朋友买一些书作为新年礼物。书店有一种《少儿百科全书》可以这样买：①买一套的价钱是25元；②两套一组合计是45元。兰兰她们花了295元买这种书，最多可以买多少套？ 高频考点讲练8：双归一问题 【典例精讲】．（24-25四年级上·河南洛阳·期中）有4组同学去植树，每组12人，一共植树144棵，平均每人植树多少棵？（用两种方法解） 【变式训练】（23-24四年级上·辽宁鞍山·期末）废弃的中性笔芯属于垃圾，新华路小学四年级学生决定集中收集。四年级有4个班，每个班有42个学生，四年级全体学生一共收集废笔芯672根，平均每个学生收集废笔芯多少根？ 高频考点讲练9：归总问题 【典例精讲】（24-25四年级上·河北保定·期末）在学校开展的“大阅读”活动中，王丽读了一本《中国寓言故事》，如果她每天读36页，12天读完。如果她每天读48页，几天可以读完这本故事书？ 【变式训练】（24-25四年级上·河南南阳·期末）小芳从图书馆借了一本故事书，计划平均每天看12页，35天可以看完。如果想在免费借阅时间内看完，那么平均每天至少需要看多少页？ 图书馆逾期费用收取标准 每本图书免费借阅时间为三周（21天），超时按每本0.1元/天收取逾期费用。 高频考点讲练10：商的变化规律及应用 【典例精讲】（24-25四年级上·安徽淮南·期末）两个数相除的商是35，若除数不变，被除数除以5，则商是( )。 【变式训练】（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）已知A÷B＝12，请在横线上填上合适的数。 （A×2）÷（B×2）＝     A÷（B÷ ）＝36 高频考点讲练11：商不变的规律及应用 【典例精讲】（25-26四年级上·云南文山·阶段练习）小明在用计算器计算时，他依次按了“”后，发现前面的操作中被除数少按了一个“0”，如果还想要继续计算下去，可以得到正确结果的操作方法是（    ）。 A．接着按1个“0”，再按“＝” B．接着按2个“0”，再按“＝” C．直接按“＝” 【变式训练】（25-26四年级上·全国·单元测试）结合商的变化规律，探索规律。 （1）利用商不变的规律可以帮助我们进行简便计算。 （2）利用商的变化规律可以帮助我们根据给定算式快速得到结果。 根据2424÷101＝24，直接写出下面算式的得数。 2424÷202＝ 4848÷202＝ 9696÷101＝ （3）如果被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（0除外），那么商怎么变化呢？请你探索规律，并填空。 如果：被除数÷除数＝商 那么：（被除数×2）÷（除数÷2）＝ 高频考点讲练12：相遇问题 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江·期中）小林和小蔡同时从家出发相向而行，小林每分钟走68米，小蔡每分钟走75米。他们在距离中点21米处相遇。他们从出发到相遇，经过多少时间？ （1）画出分析。 （2）列式解答。 【变式训练】（2025四年级上·全国·专题练习）大雪过后，工人师傅开着除雪车清除马路上的积雪。甲、乙两辆除雪车分别从马路两端同时出发，相对而行，甲车每分钟行180米，乙车每分钟行220米。5分钟后相遇，这条马路长多少米？ 高频考点讲练13：追及问题 【典例精讲】（2024六年级下·全国·专题练习）小明和小刚沿大龙湖环湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是160米/分，小刚的速度是140米/分，25分钟后两人第一次相遇。如果相遇后两人改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相距400米？ 【变式训练】．（22-23四年级上·福建厦门·期末）10月1日，聪聪全家要跟旅行团到广州旅游，聪聪要先到学校参加升旗仪式后才能出发。爷爷奶奶先乘坐大巴车以平均每小时76千米的速度从厦门出发，沿着沈海高速公路开往广州，2小时后，爸爸载着聪聪以平均每小时114千米的速度从厦门出发，沿着同一路线追赶，几小时后能追上？（两车均未到达广州） 高频考点讲练14：火车过桥问题 【典例精讲】（24-25四年级上·河南南阳·期中）一列长300米的火车，以1000米/分的速度从车头进入到车尾离开一条长8700米的隧道，需要用( )分钟。 【变式训练】（24-25四年级上·山东菏泽·期中）暑假，王颖和妈妈一起乘坐火车外出游玩，看到指示牌，前面是一条长5500米的铁路隧道，已知火车30分钟行驶60千米，火车完全通过这个隧道用了3分钟，你能帮王颖算算这辆火车的长度吗？ 【演练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）下面竖式“”的计算结果是（    ）。 A． B． C． D． 【演练2】（2025·重庆北碚·小升初真题）小明、小红同时从城沿相反方向出发，两人速度相同。上午9：00，小红迎面与一列长1200米的小火车相遇，错开时间为30秒；上午9：30，火车追上小明，并在40秒后超过小明，那么火车每秒行多少米？小明和小红出发时间是几点？ 【演练3】（2025·河北衡水·小升初真题）文文暑假期间养成了阅读的好习惯。她在图书馆借阅了一本《名人传记》，如果每天看20页，18天能全部看完。如果要在规定期限内准时归还，而不必交延时服务费，那么文文每天至少看多少页？ 图书馆借阅规定 1.借阅期限：15天 2.超过15天的，从第16天起，每天收取0.5元延时服务费。 【演练4】（2025·北京西城·小升初真题）张阿姨用原地慢跑的方式锻炼身体，10分钟跑了1800步。照这样计算，她每天原地慢跑45分钟，每天共跑多少步？ 【演练5】（2024·北京房山·小升初真题）甲乙两地之间的公路全长957千米，一辆货车以平均每小时87千米的速度行驶，求货车从甲地行驶到乙地需要多少小时，计算过程如图。箭头所指的数表示的是（    ）。 A．货车1小时行驶的路程 B．货车10小时行驶的路程 C．货车11小时行驶的路程 D．货车行驶10小时后剩余的路程 基础夯实 能力提升 1．（24-25四年级上·广西柳州·期中）100粒大米约重2克，照这样计算，1亿粒大米约重（    ）。 A．20千克 B．200千克 C．2000千克 2．（25-26四年级上·河南周口·阶段练习）根据下面的试商情况，可知除法竖式中的除数是（    ）。 A．32 B．36 C．40 3．（24-25四年级上·浙江台州·期末）明明在解决“有183本故事书，每个班分13本，可以分给几个班？”时列了图的竖式，竖式中箭头所指的数表示的是（    ）。 A．1个班分掉13本 B．10个班分掉13本 C．1个班分掉130本 D．10个班分掉130本 4．（25-26四年级上·福建福州·期中）8平方千米＝( )公顷＝( )平方米    14000000平方米＝( )平方千米 5．（25-26四年级上·湖北襄阳·期中）10枚一元的硬币摞在一起的高度大约是2厘米。照这样计算，100枚1元的硬币摞在一起的高度大约是( )厘米，1万枚1元的硬币摞在一起的高度大约是( )米。 6．（24-25四年级上·广东潮州·期中）在160×20＝3200中，其中一个因数乘10，另一个因数除以10，则积不变。( )（判断对错） 7．（25-26四年级上·黑龙江鹤岗·期中）脱式计算。 （280＋160）×15                         45×32÷18 8．（24-25四年级上·广西柳州·期中）10平方米的草坪每天吸收约8千克的二氧化碳，释放约9千克的氧气。 （1）1公顷的草坪每天吸收约多少千克的二氧化碳？ （2）1平方千米的草坪每天释放约多少千克的氧气？ 9．（25-26四年级上·山西晋中·期中）王师傅：“李师傅，我听说你接到一批零件加工任务，原计划每小时加工240个，12小时完成，对吗？”李师傅：“是的，但现在时间紧急，要求8小时完成。我在想每小时应加工零件多少个？” 10．（24-25四年级上·福建厦门·期中）我国提出二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和。已知每100平方米的草坪每天约吸收9千克的二氧化碳，释放6千克的氧气。 （1）1公顷的草坪每天约吸收多少千克的二氧化碳？ （2）1平方千米的草坪每天约释放多少千克的氧气？ 创新拓展 拔尖冲刺 11．（25-26四年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，妈妈在此时开始烧水，并告诉丽丽：“分针走60°，水就开了。”丽丽应该在（    ）提醒妈妈水开了。 A．9时5分 B．9时10分 C．9时50分 12．（25-26四年级上·湖南永州·期中）声音在空气中每秒传播约340米，它的速度可以写作（    ）。 A．340米/秒 B．340米/分 C．340米 D．340千米/秒 13．（22-23四年级上·河北廊坊·期末）工厂有552千克消毒液，每天使用12千克，这批消毒液可以使用多少天？小米用图中笔算的方法计算了552÷12的结果，下图方框中的“48”表示的是（    ）。 A．4天使用了48千克消毒液 B．40天使用了48千克消毒液 C．40天使用了480千克消毒液 14．（25-26四年级上·福建厦门·期中）梦梦买7个笔记本花了30元，聪聪买14个这样的笔记本需要( )元；林老师用120元可以买( )个这样的笔记本。 15．（25-26四年级上·福建莆田·期中）小星上午8时出发，到家发现时针转动了90°，分针位置不变，她到家的时间是上午( )，时针与分针形成的角是( )角，再过20分钟，分针转动的角度是( )度。 16．（24-25四年级上·江西赣州·期中）列竖式计算。（带☆的要验算）                       ☆                       ☆ 17．（25-26四年级上·福建厦门·期中）一天王叔叔去厦门运输货物，顺便买了厦门特产伴手礼黄则和馅饼，不同包装价格不同。王叔叔要买16盒馅饼，怎么买最省钱？最少需要多少钱？ 18．（25-26四年级上·湖南永州·期中）甲乙两地相距285千米，一辆货车从甲地开往乙地，前3小时行驶了165千米，因为要赶时间，以后每小时提速5千米。货车还要行驶多少小时才能到达乙地？ 19．（25-26四年级上·全国·单元测试）延安是中国革命的摇篮。延安某纪念馆工作人员为满足游客的需求，定制了一批革命纪念品。 定制优惠方案 ①不满30件，不予优惠； ②满30件，但不超过80件，超过30件的部分，每满300减30元； ③超过80件，80件按第2条方案优惠，超过80件的部分每件减3元。 （1）定制这些纪念品一共花了3150元，该纪念馆一共定制了多少件革命纪念品？ （2）由于进购数量多，该纪念馆直接以15元/件的价格进购了300件纪念品。按标价卖出的定制纪念品件数比剩下的多42件，此时降价出售，卖完后共获利3939元，剩下的降价了多少元售卖？ 20．（23-24四年级上·全国·课后作业）玲玲从家出发步行去电影院看电影，每分钟走60米，走了10分钟后，妈妈从家骑自行车去追玲玲，结果在距家900米的地方遇到玲玲。妈妈每分钟行驶多少米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 除数是两位数的除法 （知识梳理+14个考点讲练+真题演练+难度分层练 共53题） 【解析版】 资料简介 内容梳理 2 梳理脉络 导图指引 3 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：口算除法 3 知识点梳理02：笔算除法（一）——商是一位数（用“四舍五入”法试商） 4 知识点梳理03：笔算除法（二）——商是两位数 4 知识点梳理04：商的变化规律 5 知识点梳理05：解决实际问题 5 重点难点 考点讲练 6 高频考点讲练1：除数是整十数的口算除法 6 高频考点讲练2：除数是两位数的估算 7 高频考点讲练3：除数是整十数的笔算除法 9 高频考点讲练4：除数是两位数的笔算除法 10 高频考点讲练5：多位数除以两位数的试商 11 高频考点讲练6：判断商是几位数（除数是两位数） 11 高频考点讲练7：单归一问题 12 高频考点讲练8：双归一问题 14 高频考点讲练9：归总问题 15 高频考点讲练10：商的变化规律及应用 15 高频考点讲练11：商不变的规律及应用 16 高频考点讲练12：相遇问题 18 高频考点讲练13：追及问题 19 高频考点讲练14：火车过桥问题 20 升学真题 实战演练 20 优选题型 培优强化 23 基础夯实 能力提升 23 创新拓展 拔尖冲刺 28 同学你好，该份讲义用于人教版四年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：口算除法 1.整十数除整十数的口算： （1）方法1（想乘法算除法）： 例如，80 ÷ 20 = ？ 想：20 × (4) = 80，所以 80 ÷ 20 = 4。 （2）方法2（利用表内除法）： 例如，80 ÷ 20 = ？ 把80看作8个十，20看作2个十，8个十 ÷ 2个十 = 4，所以 80 ÷ 20 = 4。 2.整十数除几百几十数的口算： （1）方法类似： 例如，150 ÷ 30 = ？ 想：30 × (5) = 150，所以 150 ÷ 30 = 5。 或 15个十 ÷ 3个十 = 5。 3.两位数除两位数（能整除，且商是一位数）的估算： （1）方法： 把被除数和除数都看作与它们接近的整十数，再口算出结果。 （2）例如，83 ÷ 20 ≈ ？ 83 ≈ 80，80 ÷ 20 = 4，所以 83 ÷ 20 ≈ 4。 （3）又如，80 ÷ 19 ≈ ？ 19 ≈ 20，80 ÷ 20 = 4，所以 80 ÷ 19 ≈ 4。 4.两位数除几百几十数（能整除，且商是一位数）的估算： （1）例如，122 ÷ 30 ≈ ？ 122 ≈ 120，120 ÷ 30 = 4，所以 122 ÷ 30 ≈ 4。 （2）又如，120 ÷ 28 ≈ ？ 28 ≈ 30，120 ÷ 30 = 4，所以 120 ÷ 28 ≈ 4。 知识点梳理02：笔算除法（一）——商是一位数（用“四舍五入”法试商） 1.计算法则核心步骤： “四舍五入”法试商、调商、除的顺序、商的书写位置、余数处理。 2.用“四舍”法试商（除数的个位是1、2、3、4）： （1）步骤： ①把除数看作和它接近的整十数。 ②用口算除法的方法试商。 ③用试得的商和原来的除数相乘，看够不够减，余数是否比除数小。 ④如果商大了（乘积大于被除数），就把商调小1再试；如果商正好或余数小于除数，就确定商。 （2）例如：84 ÷ 21 = ？ 把21看作20试商，84 ÷ 20想商4。21 × 4 = 84，正好，所以商4。 （3）例如：197 ÷ 39 = ？ 把39看作40试商，197 ÷ 40想商4。39 × 4 = 156，197 - 156 = 41。余数41比除数39大，说明商小了，改商5。39 × 5 = 195，197 - 195 = 2，余数2 < 39，所以商5。 3.用“五入”法试商（除数的个位是5、6、7、8、9）： （1）步骤： 同上。 （2）例如：178 ÷ 36 = ？ 把36看作40试商，178 ÷ 40想商4。36 × 4 = 144，178 - 144 = 34。余数34 < 36，商4合适。 （3）例如：270 ÷ 38 = ？ 把38看作40试商，270 ÷ 40想商6。38 × 6 = 228，270 - 228 = 42。余数42 > 38，商小了，改商7。38 × 7 = 266，270 - 266 = 4，余数4 < 38，所以商7。 知识点梳理03：笔算除法（二）——商是两位数 1.商是两位数的判断： 被除数的前两位大于或等于除数，商是两位数。 2.计算步骤： （1）除： 先用除数去除被除数的前两位。 （2）商： 商写在被除数的十位上面。 （3）乘： 商和除数相乘，积写在被除数前两位的下面。 （4）减： 从被除数的前两位中减去乘积，看余数是否比除数小。 （5）比： 比较余数和除数的大小。 （6）落： 把被除数个位上的数落下来，和十位上的余数合在一起，再继续除。 （7）重复： 重复以上步骤，商写在被除数的个位上面。 （8）注意： 每次除得的余数必须比除数小。 知识点梳理04：商的变化规律 1.规律一： 除数不变，被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或除以）几。 （1）例如：16 ÷ 8 = 2 ①160 ÷ 8 = 20 （被除数×10，除数不变，商×10） ②16 ÷ 8 = 2 ③8 ÷ 8 = 1 （被除数÷2，除数不变，商÷2） 2.规律二： 被除数不变，除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或乘）几。 （1）例如：160 ÷ 8 = 20 ①160 ÷ 16 = 10 （除数×2，被除数不变，商÷2） ②160 ÷ 8 = 20 ③160 ÷ 4 = 40 （除数÷2，被除数不变，商×2） 3.规律三（商不变的性质）： 被除数和除数同时乘（或除以）相同的数（0除外），商不变。 （1）例如：80 ÷ 20 = 4 ①(80 × 2) ÷ (20 × 2) = 160 ÷ 40 = 4 ②(80 ÷ 10) ÷ (20 ÷ 10) = 8 ÷ 2 = 4 （2）应用： 可以利用商不变的性质进行简便计算（主要是被除数和除数末尾都有0的情况）。 ①例如：630 ÷ 70 = (630 ÷ 10) ÷ (70 ÷ 10) = 63 ÷ 7 = 9 知识点梳理05：解决实际问题 1.常见数量关系： （1）总价 ÷ 单价 = 数量 （2）路程 ÷ 速度 = 时间 （3）工作总量 ÷ 工作效率 = 工作时间 （4）总产量 ÷ 单产量 = 数量 （5）（这些关系在具体问题中灵活运用，有时会需要乘法） 2.“进一法”和“去尾法”的应用： （1）进一法： 在解决实际问题时，即使剩下的不多，不够一份，也要向前一位进一。 （2）去尾法： 在解决实际问题时，即使剩下的部分够一份，也不能算一份，要舍去。 3.估算解决问题： （1）题目中出现“大约”、“估一估”等词语时，或不需要精确结果时，可以用估算。 （2）估算时要根据实际情况选择合适的估算方法（往大估、往小估或四舍五入）。 高频考点讲练1：除数是整十数的口算除法 【典例精讲】（24-25四年级上·广东潮州·期中）哥哥是物流公司的司机，一天早上8：00他从公司出发去某县城送货，去时的速度是60千米/时，中午12：00到达目的地；原路返回时每小时多行20千米，哥哥返回时用了多少小时？ 【答案】3小时 【思路引导】根据题意，先用到达的时间减去出发的时间，求出一共行驶了多少小时，根据路程＝速度×时间，用去时的速度乘行驶的时间，即可求出从公司到县城的距离，用原来的速度加上返回时每小时多行的距离，求出返回时的速度，用从公司到县城的距离除以返回时的速度，即可求出哥哥返回时用了多少小时。 【规范解答】早上8：00＝8：00 中午12：00＝12：00 12：00－8：00＝4（小时） 60×4＝240（千米） 240÷（60＋20） 240÷80 ＝3（小时） 答：哥哥返回时用了3小时。 【变式训练】（25-26四年级上·甘肃武威·期中）一个长方形的草莓园长90米，面积是360平方米，现在宽不变，把长缩小到30米，缩小后的草莓园的面积是多少平方米？ 【答案】120平方米 【思路引导】根据积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几（0除外），积也乘（或除以）相同的数。原来的长除以缩小后的长，求出原来的长除以几等于缩小后的长，再用原来的面积除以相同的数即等于缩小后的草莓园的面积，据此即可解答。 【规范解答】90÷30＝3 360÷3＝120（平方米） 答：缩小后的草莓园的面积是120平方米。 高频考点讲练2：除数是两位数的估算 【典例精讲】（23-24三年级下·浙江湖州·期末）一本书共102页，每天看18页，5天能全部看完吗？ （1）明明和林林用了以下两种方法解答，你认为正确的是（    ）。 明明的方法： 18≈20，102≈100 100÷20＝5（天） 5天＝5天 答：5天能全部看完。 林林的方法： 18≈20 20×5＝100（页） 100页＜102页 答：5天不能全部看完。 （2）你还有不同的方法吗？请列式解答。 【答案】（1）林林     （2）18×5＝90（页）     102＞90，5天不能全部看完。（答案不唯一） 【思路引导】（1）明明的方法：再用这本书的总页数除以每天看书页数，求出可以看书天数。将18估成20，102估成100， 再进行计算。被除数估小了，除数估大了，得到的商应变小。实际需要看书天数应大于5天，所以不能看完，明明的方法错误。 林林的方法：用每天看书页数乘5，求出5天看书页数，再与这本书的总页数比较大小。将18估成20，乘数变大，实际5天看书页数应小于100页，所以不能看完，林林的方法正确。 （2）还可以准确计算出5天看书页数，再与这本书的总页数比较大小。 【规范解答】（1）由分析得： 因为明明的方法中，被除数估小了，除数估大了，得到的商应变小。实际需要看书天数应大于5天，所以不能看完，明明的方法错误。 林林的方法中，求出5天看书页数小于100页，也就小于102页 ，所以不能看完。方法正确。 我认为正确的是（林林）。 （2）18×5＝90（页）     102＞90 答：5天不能全部看完。 （答案不唯一） 【变式训练】（24-25四年级上·福建厦门·期末）2025国际工业自动化及机器人展将在上海举行，吸引全球各大自动化品牌参展。李叔叔从厦门开小轿车到上海参展，厦门到上海的距离约为1100千米。 （1）李叔叔以100千米/小时的速度行了3小时后，到达某服务区。如图所示，该服务区的位置大约在（    ）号。 （2）休息后，李叔叔从该服务区继续出发，在不违反交通规则的情况下，李叔叔最快再过7小时可以到达上海吗？请说明你的理由。 【答案】（1）② （2）可以到达；理由见详解 【思路引导】（1）由题意得，李叔叔以100千米/小时的速度行了3小时，路程＝速度×时间，那么直接用100乘3算出李叔叔3小时行驶的路程。然后再用1100除以3小时行驶的路程算出1100里面大约有几个这样的路程，据此推算出服务区大概的位置。 （2）由题意得，高速上的最快限速为120千米/小时。可以先用1100减去3小时行驶的路程算出剩下的路程，然后再用120乘上7算出李叔叔7小时最多可以行驶的路程。最后把两者作比较即可解答。 再根据时间＝路程÷最大速度，即可解答。 【规范解答】（1）100×3＝300（千米） 1100÷300≈4 答：该服务区的位置大约在②号。 （2）1100－300＝800（千米） 7×120＝840（千米） 840＞800 答：李叔叔最快再过7小时可以到达上海。 高频考点讲练3：除数是整十数的笔算除法 【典例精讲】（24-25四年级上·河南许昌·期末）2024年5月28日，神舟十八号航天员乘组圆满完成大约8小时30分钟的首次出舱任务。空间站绕地球一周大约90分钟，首次出舱任务期间，空间站能绕地球飞行几圈？ 【答案】5圈 【思路引导】由题意可知，神舟十八号航天员乘组首次出舱任务时长为8小时30分钟，根据1小时＝60分钟，将8小时30分钟换算成以分钟作单位的数，又知空间站绕地球一周大约90分钟，用出仓总时长除以绕地球一周的时长，即可计算出空间站能绕地球飞行几圈，据此即可解答。 【规范解答】60×8＋30 ＝480＋30 ＝510（分钟） 510÷90＝5（圈）……60（分钟） 答：空间站能绕地球飞行5圈。 【变式训练】（24-25四年级上·浙江绍兴·期末）滨海小学四年级去“农事服务中心”研学，男生200名，女生208名，研学基地中其中一个研学课程为“农作物连连看”智能游戏活动，___________，至少分成几组参加游戏活动？ A．有10名老师带队    B．最多10名同学一组玩游戏    C．四年级共有10个班级 （1）为解决“至少分成几组参加游戏活动”，横线上应补充的信息是（    ） （2）列式解决问题。 【答案】（1）B （2）41组 【思路引导】（1）要想解决“至少分成几组参加游戏活动”，需要知道参加游戏活动的人数和玩游戏的每组人数。 （2）已知男生200名，女生208名，可以算出一共有（200＋208）名学生参加研学活动。参加研学活动总人数除以每组游戏人数，算出商和余数，再将商加1即可。 【规范解答】（1）为解决“至少分成几组参加游戏活动”，横线上应补充的信息是B。 （2）（200＋208）÷10 ＝408÷10 ＝40（组）……8（名） 40＋1＝41（组） 答：至少分成41组参加游戏活动。 高频考点讲练4：除数是两位数的笔算除法 【典例精讲】（24-25四年级上·湖北武汉·期中）403×（    ）＞2400，括号里最小填（    ）。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【思路引导】用2400除以403，即2400÷403＝5……385，要使403×（）＞2400，所以取商的整数部分加1，即5＋1＝6，据此解答即可。 【规范解答】2400÷403＝5……385 5＋1＝6 所以最小填6。 故答案为：B 【变式训练】（24-25四年级上·青海果洛·月考）共享单车可以帮助人们短距离出行，减少拥堵。通过骑单车，人们可以享受健康、环保、经济实惠的出行体验。下图是张叔叔一天骑行的详情。 骑行：25分（共计6千米） 减少碳排放量：750克 （1）张叔叔平均每分钟骑行多少米？ （2）照这样计算，张叔叔每天坚持骑行30分钟，能减少碳排放量多少克？ 【答案】 （1）240米 （2）900克 【思路引导】（1）根据题意，已知骑行距离为6千米，骑行时间为25分钟。先把6千米＝6000米，用6000除以25，求出张叔叔平均每分钟骑行多少米，列式计算即可。 （2）骑行25分钟减少碳排放量750克。用750除以25，求出每分钟减少碳排放量，再乘30，就是骑行30分钟减少的排放量，列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： （1）6千米＝6000米      6000÷25＝240（米）   答：张叔叔平均每分钟骑行240米。 （2）750÷25×30 ＝30×30 ＝900（克） 答：能减少碳排放量900克。 高频考点讲练5：多位数除以两位数的试商 【典例精讲】（24-25四年级上·贵州黔东南·期末）计算357÷52时，把52看成( )来试商，商是( )，商偏( )（填“大”或“小”），调商( )，余数是( )。 【答案】 50 7 大 6 45 【思路引导】除数是两位数的除法，一般按照“四舍五入”法，把除数看作和它接近的整十数来试商。根据被除数÷除数＝商，被除数不变，除数变小，则商会偏大，试算后把商调小。 【规范解答】357÷52＝6……45 计算357÷52时，把52看成（50）来试商，商是（7），商偏（大）（填“大”或“小”），调商（6），余数是（45）。 【变式训练】（24-25四年级上·贵州黔西·期末）322÷42的商是( )位数，试商时将42看作( )来试商，初商偏( )，要调( )。 【答案】 一 40 大 小1 【思路引导】三位数除以两位数，比较被除数前两位的数字和除数的大小，如果被除数前两位的数字大于等于除数，则商是两位数，如果小于除数商是一位数； 三位数除以两位数：把除数看作和它接近的整十数试商，先用被除数的前两位除以除数，如果被除数前两位比除数小，就用前三位除以除数，初商偏大要调小，初商偏小要调大。 【规范解答】322÷42中32＜42，商是一位数；试商时将42看作40来试商，初商偏大，要调小1，因为除数看小了，那么商就偏大。 即322÷42的商是一位数，试商时将42看作40来试商，初商偏大，要调小1。 高频考点讲练6：判断商是几位数（除数是两位数） 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）已知□62÷46的商是一位数，□中最大填( )；已知□48÷33的商是两位数，□中最小填( )。 【答案】 3 3 【思路引导】三位数除以两位数，如果被除数前两位上的数小于除数，则商是一位数；如果被除数前两位上的数大于或等于除数，则商是两位数。 【规范解答】已知□62÷46的商是一位数，则□6＜46，所以□中可以填1、2、3，最大填3； 已知□48÷33的商是两位数，则□4＞33，所以□中可以填3、4、5、6、7、8、9，最小填3。 【变式训练】（24-25四年级上·河北保定·期末）汐汐在计算时，要使商是两位数，那么中最小可以填( )。 【答案】5 【思路引导】三位数除以两位数，比较被除数前两位的数字和除数的大小，如果被除数前两位的数字大于等于除数，则商是两位数，如果小于除数商是一位数；据此作答。 【规范解答】汐汐在计算时，要使商是两位数，□7＞56，那么中最小可以填5。 高频考点讲练7：单归一问题 【典例精讲】（24-25四年级上·安徽安庆·期末）读四年级的小林用电脑打一篇文章，他12分钟能打字336个。 （1）照这样的打字速度，小林打一篇1456个字的文章要用多少分钟？ （2）如果用算式“336÷12×25”解决问题，那么这个问题是： 【答案】 （1）52分钟 （2）照这样的打字速度，小林25分钟能打多少个字？ 【思路引导】（1）用336除以12求出他每分钟打的字数，再用这篇文章的总字数除以他每分钟打的字数即可； （2）336是他12分钟能打的字数，336÷12是求他每分钟打的字数，再乘25是求出他25分钟能打的字数。这个问题数：照这样的打字速度，小林25分钟能打多少个字？ 【规范解答】（1）336÷12＝28（个） 1456÷28＝52（分钟） 答：照这样的打字速度，小林打一篇1456个字的文章要用52分钟。 （2）如果用算式“336÷12×25”解决问题，那么这个问题是：照这样的打字速度，小林25分钟能打多少个字？ 336÷12×25 ＝28×25 ＝700（个） 答：照这样的打字速度，小林25分钟能打700个字。 【变式训练】（24-25四年级上·山东临沂·期末）学校举行“成语大赛”，参赛过程中，兰兰和同学们遇到了一系列数学问题，我们一起来解决吧！ （1）初选进入复赛的共有15人，为了更好的复习，学校出资1000元给每位复赛的同学买一本《成语大词典》，到书店付款后，找回了70元。请问这种词典每本多少钱？ （2）兰兰也进入了复赛，为了取得好成绩，她每天都很认真地读记一些成语。经过统计，前3天她熟记了105个成语。照这样计算，她12天能记住多少个成语？ （3）决赛中，兰兰和她的好朋友青青取得了良好的成绩。她们决定用比赛获得的奖金为山区的小朋友买一些书作为新年礼物。书店有一种《少儿百科全书》可以这样买：①买一套的价钱是25元；②两套一组合计是45元。兰兰她们花了295元买这种书，最多可以买多少套？ 【答案】（1）62元 （2）420个 （3）13套 【思路引导】（1）用1000元减去找回的钱数，求出购买15本《成语大词典》所花的钱数，即1000－70＝930（元），用购买15本《成语大词典》所花的钱数除以15，即可求出这种词典每本多少钱。 （2）用前3天熟记的成语数除以3，求出1天熟记的成语数，即105÷3＝35（个），用1天熟记的成语数乘12，即可求出她12天能记住多少个成语。 （3）用两套一组的价格除以2，求出此方案中一套《少儿百科全书》的价格，即45÷2＝22（元）……1（元），22＜25，所以优先选择按两套一组的方式购买更划算。用总金额295元除以组合的价格45元，295÷45＝6（组）……25（元），即可以买6组，还剩下25元，剩下的25元还可以按照方式①再买一套，用6组乘2，再加上1，即可求出最多可以买多少套。 【规范解答】（1）1000－70＝930（元） 930÷15＝62（元） 答：这种词典每本62元。 （2）105÷3＝35（个） 35×12＝420（个） 答：她12天能记住420个成语。 （3）45÷2＝22（元）……1（元） 22＜25 295÷45＝6（组）……25（元） 6×2＋1 ＝12＋1 ＝13（套） 答：最多可以买13套。 高频考点讲练8：双归一问题 【典例精讲】．（24-25四年级上·河南洛阳·期中）有4组同学去植树，每组12人，一共植树144棵，平均每人植树多少棵？（用两种方法解） 【答案】3棵 【思路引导】方法一：植树的总棵树除以组数，求出平均每组植树的棵树，再用每个小组植树的棵树除以每组的人数，即可求出平均每人植树的棵数； 方法二：先用每组的人数乘组数求出植树的总人数，再用植树的总棵数除以植树的总人数，即可求出平均每人植树的棵数；据此解答。 【规范解答】方法一：144÷4÷12 ＝36÷12 ＝3（棵） 方法二：144÷（12×4） ＝144÷48 ＝3（棵） 答：平均每人植树3棵。 【变式训练】（23-24四年级上·辽宁鞍山·期末）废弃的中性笔芯属于垃圾，新华路小学四年级学生决定集中收集。四年级有4个班，每个班有42个学生，四年级全体学生一共收集废笔芯672根，平均每个学生收集废笔芯多少根？ 【答案】4根 【思路引导】4个班收集了废笔芯672根，672除以4可以求出每个班学生收集废笔芯的数量，每个班有42人，再用这个商除以42即可解答。 【规范解答】672÷4÷42 ＝168÷42 ＝4（根） 答：平均每个学生收集废笔芯4根。 高频考点讲练9：归总问题 【典例精讲】（24-25四年级上·河北保定·期末）在学校开展的“大阅读”活动中，王丽读了一本《中国寓言故事》，如果她每天读36页，12天读完。如果她每天读48页，几天可以读完这本故事书？ 【答案】9天 【思路引导】先用每天读的页数乘上读的天数求出《中国寓言故事》的总页数，再除以48即可求解。 【规范解答】36×12÷48 ＝432÷48 ＝9（天） 答：如果她每天读48页，9天可以读完这本故事书。 【变式训练】（24-25四年级上·河南南阳·期末）小芳从图书馆借了一本故事书，计划平均每天看12页，35天可以看完。如果想在免费借阅时间内看完，那么平均每天至少需要看多少页？ 图书馆逾期费用收取标准 每本图书免费借阅时间为三周（21天），超时按每本0.1元/天收取逾期费用。 【答案】20页 【思路引导】先用计划每天看的页数12页乘上看完需要的天数35天，求出故事书的总页数，再除以免费借阅的最多天数21天即可。 【规范解答】12×35÷21 ＝420÷21 ＝20（页） 答：平均每天至少需要看20页。 高频考点讲练10：商的变化规律及应用 【典例精讲】（24-25四年级上·安徽淮南·期末）两个数相除的商是35，若除数不变，被除数除以5，则商是( )。 【答案】7 【思路引导】商的变化规律：除数不变，被除数乘几或者除以几（0除外），商也乘或者除以相同的数。据此解答。 【规范解答】两个数相除的商是35，若除数不变，被除数除以5，那么商也除以5。35÷5＝7，则商是7。 【变式训练】（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）已知A÷B＝12，请在横线上填上合适的数。 （A×2）÷（B×2）＝     A÷（B÷ ）＝36 【答案】 12 3 【思路引导】商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变；商的变化规律：被除数不变，除数除以几，商反而乘上几。 【规范解答】由题意得，A÷B＝12，被除数和除数都乘上2，商不变，所以（A×2）÷（B×2）＝12；对比算式A÷B＝12和算式A÷（B÷____）＝36可知，12×3＝36，即商乘3，被除数不变，所以商应该除以3。 （A×2）÷（B×2）＝12    A÷（B÷3）＝36 高频考点讲练11：商不变的规律及应用 【典例精讲】（25-26四年级上·云南文山·阶段练习）小明在用计算器计算时，他依次按了“”后，发现前面的操作中被除数少按了一个“0”，如果还想要继续计算下去，可以得到正确结果的操作方法是（    ）。 A．接着按1个“0”，再按“＝” B．接着按2个“0”，再按“＝” C．直接按“＝” 【答案】A 【思路引导】被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变，根据商不变性质，即可进行解答。 【规范解答】要计算180000÷1200，依次按了“18000÷12”，对比两个算式发现，被除数除以10，要使商不变，除数也要除以10，算式变为18000÷120。所以如果要继续操作下去，只需要再按一个“0”，接着按“＝”，就可以计算出正确结果。选项A符合题意。 故答案为：A 【变式训练】（25-26四年级上·全国·单元测试）结合商的变化规律，探索规律。 （1）利用商不变的规律可以帮助我们进行简便计算。 （2）利用商的变化规律可以帮助我们根据给定算式快速得到结果。 根据2424÷101＝24，直接写出下面算式的得数。 2424÷202＝ 4848÷202＝ 9696÷101＝ （3）如果被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（0除外），那么商怎么变化呢？请你探索规律，并填空。 如果：被除数÷除数＝商 那么：（被除数×2）÷（除数÷2）＝ 【答案】（1）12 （2）12；24；96 （3）商×4 【思路引导】（1）观察除数可知，除数是35，可以乘2变成整百整十数，要使商不变，被除数也乘2，据此计算简便； （2）被除数不变，除数乘几，商反而除以几；被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；被除数乘几，除数不变，商也乘几； （3）如果：被除数÷除数＝商，那么：（被除数×2）÷（除数÷2）＝商×4。 【规范解答】（1）420÷35 ＝（420×2）÷（35×2） ＝840÷70 ＝12 （2）2424÷202＝12 4848÷202＝24 9696÷101＝96 （3）（被除数×2）÷（除数÷2）＝商×4 高频考点讲练12：相遇问题 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江·期中）小林和小蔡同时从家出发相向而行，小林每分钟走68米，小蔡每分钟走75米。他们在距离中点21米处相遇。他们从出发到相遇，经过多少时间？ （1）画出分析。 （2）列式解答。 【答案】（1）图见详解； （2）6分钟 【思路引导】（1）画一条线段表示两人家相距的路程，因为小林每分钟走68米，小蔡每分钟走75米，68＜75，所以相同的时间，小蔡走的更多，再从两端分别画一条线段，表示小蔡和小林相向走的路程，且两条线段总长等于总路程，因为小蔡比小林快，所以表示小蔡的路程的线段更长，且过总路程的中点；据此画图。 （2）由图可知，小蔡走的路程比一半多21米，小林走的路程比总路程的一半少21米，所以小蔡比小林多走了2个21米，然后再根据路程差÷速度差＝相遇时间；据此解答。 【规范解答】（1）如图： （2）21×2＝42（米） 42÷（75－68） ＝42÷7 ＝6（分钟） 答：他们从出发到相遇，经过6分钟。 【变式训练】（2025四年级上·全国·专题练习）大雪过后，工人师傅开着除雪车清除马路上的积雪。甲、乙两辆除雪车分别从马路两端同时出发，相对而行，甲车每分钟行180米，乙车每分钟行220米。5分钟后相遇，这条马路长多少米？ 【答案】 2000米 【思路引导】根据题意，已知甲、乙两辆除雪车分别从马路两个尽头同时出发，相对而行，甲车每分钟行180米，乙车每分钟行220米。5分钟后相遇。根据相遇问题中“总路程＝速度和×相遇时间”的公式，将甲车和乙车的速度相加得到速度和，再乘相遇时间5分钟，即可求出这条马路的长度。列式计算即可。 【规范解答】根据分析可知： （180＋220）×5 ＝400×5 ＝2000（米） 答：这条马路长2000米。 高频考点讲练13：追及问题 【典例精讲】（2024六年级下·全国·专题练习）小明和小刚沿大龙湖环湖跑道练习跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行，小明的速度是160米/分，小刚的速度是140米/分，25分钟后两人第一次相遇。如果相遇后两人改为同向而行，那么多少分钟后小刚和小明相距400米？ 【答案】20分钟 【思路引导】因为两人在环形跑道上同向而行，根据路程差÷速度差＝时间，据此求出多少分钟后小刚和小明相距400米。 【规范解答】400÷（160－140） ＝400÷20 ＝20（分钟） 答：20分钟后小刚和小明相距400米。 【变式训练】．（22-23四年级上·福建厦门·期末）10月1日，聪聪全家要跟旅行团到广州旅游，聪聪要先到学校参加升旗仪式后才能出发。爷爷奶奶先乘坐大巴车以平均每小时76千米的速度从厦门出发，沿着沈海高速公路开往广州，2小时后，爸爸载着聪聪以平均每小时114千米的速度从厦门出发，沿着同一路线追赶，几小时后能追上？（两车均未到达广州） 【答案】4小时 【思路引导】每小时76千米的速度乘2小时计算出路程差，再用每小时114千米减去每小时76千米求出两种车的速度差，再计算出追赶的时间：路程差÷速度差＝追及时间；据此解答。 【规范解答】76×2÷（114－76） ＝152÷38 ＝4（小时） 答：4小时后能追上。 【考点剖析】本题考查的是追及问题的计算方法，以及除数是两位数的除法计算的实际应用。 高频考点讲练14：火车过桥问题 【典例精讲】（24-25四年级上·河南南阳·期中）一列长300米的火车，以1000米/分的速度从车头进入到车尾离开一条长8700米的隧道，需要用( )分钟。 【答案】9 【思路引导】根据题意可知，从火车车头进入隧道到车尾离开隧道，则火车行驶的总路程＝隧道长＋火车的车身长；再根据“路程＝速度×时间”，可知“路程÷速度＝时间”，用火车行驶的总路程除以火车的速度，即可求出这列火车通过隧道所需要的时间。据此解答。 【规范解答】300＋8700＝9000（米） 9000÷1000＝9（分钟） 则需要用9分钟。 【变式训练】（24-25四年级上·山东菏泽·期中）暑假，王颖和妈妈一起乘坐火车外出游玩，看到指示牌，前面是一条长5500米的铁路隧道，已知火车30分钟行驶60千米，火车完全通过这个隧道用了3分钟，你能帮王颖算算这辆火车的长度吗？ 【答案】500米 【思路引导】依据30分钟行驶60千米，可以算出火车的速度。火车从车头进入隧道到车尾完全离开隧道行驶的路程等于隧道长加火车长，火车行驶的路程可以用火车的速度乘时间。最后用火车行驶的路程减去隧道长等于火车长。据此即可解答。 【规范解答】60千米＝60000米 60000÷30＝2000（米/分） 2000×3＝6000（米） 6000－5500＝500（米） 答：这辆火车的长度是500米。 【演练1】（2025·浙江宁波·小升初真题）下面竖式“”的计算结果是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据商不变性质可知，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，同时余数也乘或除以相同的数。在计算890÷70时，可将被除数和除数同时除以10，即变成89÷7来计算商，此时余数也是除以10的结果，要求原来的余数，则应乘10。据此解答。 【规范解答】890÷70 ＝89÷7 ＝12……5 5×10＝50 即890÷70＝12……50。 “890÷70”的计算结果是12……50。 故答案为：B 【演练2】（2025·重庆北碚·小升初真题）小明、小红同时从城沿相反方向出发，两人速度相同。上午9：00，小红迎面与一列长1200米的小火车相遇，错开时间为30秒；上午9：30，火车追上小明，并在40秒后超过小明，那么火车每秒行多少米？小明和小红出发时间是几点？ 【答案】35米；7：30 【思路引导】用小火车长分别除以30秒和40秒，可求得小火车和两人的速度之和与速度之差，利用和差问题，可求得火车的速度和两人的速度。30分＝1800秒，利用火车与小明的速度差乘1800秒，可求得9：00时，小红和小明相距的路程。用相距的路程÷二人的速度和，可求得两人出发了多少秒，单位换算成分。用9：00减去二人所走的时间，即可二人的出发时间。 【规范解答】（米） （米） ＝70÷2 ＝35（米） 35－30＝5（米） 30分＝1800秒 ＝30×1800 （米） ＝54000÷10 ＝5400（秒） 5400秒＝90分＝1时30分 9：00－1时30分＝7：30 答：火车每秒行35米，小明和小红出发时间是7：30。 【考点剖析】本题关键在于用和差问题，相加除以2求得火车的速度，再求得二人的速度。用火车与二人的速度差乘30分单位换算成的秒，可求得9：00时，小红和小明相距的路程。用相距的路程÷二人的速度和，可求得出发了多长时间，单位换算成分，再用9：00减去二人所走的时间，即可二人的出发时间。 【演练3】（2025·河北衡水·小升初真题）文文暑假期间养成了阅读的好习惯。她在图书馆借阅了一本《名人传记》，如果每天看20页，18天能全部看完。如果要在规定期限内准时归还，而不必交延时服务费，那么文文每天至少看多少页？ 图书馆借阅规定 1.借阅期限：15天 2.超过15天的，从第16天起，每天收取0.5元延时服务费。 【答案】24页 【思路引导】用每天看的页数乘看的天数即可计算出《名人传记》的总页数，由于图书馆的借阅期限为15天，为了不延期则用总页数除以规定期限天数即可求出文文每天至少看页数。 【规范解答】 （页） 答：那么文文每天至少看24页。 【演练4】（2025·北京西城·小升初真题）张阿姨用原地慢跑的方式锻炼身体，10分钟跑了1800步。照这样计算，她每天原地慢跑45分钟，每天共跑多少步？ 【答案】8100步 【思路引导】已知张阿姨10分钟跑1800步，要求45分钟跑的步数。首先计算每分钟跑的步数，再乘总时间45分钟即可。 【规范解答】（步） （步） 答：张阿姨每天共跑8100步。 【演练5】（2024·北京房山·小升初真题）甲乙两地之间的公路全长957千米，一辆货车以平均每小时87千米的速度行驶，求货车从甲地行驶到乙地需要多少小时，计算过程如图。箭头所指的数表示的是（    ）。 A．货车1小时行驶的路程 B．货车10小时行驶的路程 C．货车11小时行驶的路程 D．货车行驶10小时后剩余的路程 【答案】B 【思路引导】先用被除数的前两位95除以87，商1写在十位上，这里的1表示1个十，即10；然后用10乘除数87，得到87×10＝870，这个870就是箭头所指的数；因为速度是87千米/小时，870＝87×10，根据“路程＝速度×时间”可知，87×10表示货车以每小时87千米的速度行驶10小时的路程。 【规范解答】观察竖式可知：用95个十除以87，商1，1写在十位上表示1个十，即10小时，即10小时行驶了870千米。所以箭头所指的数表示的是货车10小时行驶的路程。 故答案为：B 基础夯实 能力提升 1．（24-25四年级上·广西柳州·期中）100粒大米约重2克，照这样计算，1亿粒大米约重（    ）。 A．20千克 B．200千克 C．2000千克 【答案】C 【思路引导】先用1亿＝100000000，除以100，求出1亿里有多少个100，然后再乘2克，再除以1000，将克换算为千克，即可解答。 【规范解答】1亿＝100000000 100000000÷100＝1000000 1000000×2＝2000000（克） 2000000克＝2000千克 1亿粒大米重2000千克。 故答案为：C 2．（25-26四年级上·河南周口·阶段练习）根据下面的试商情况，可知除法竖式中的除数是（    ）。 A．32 B．36 C．40 【答案】A 【思路引导】根据除法算式中，余数一定比除数小可知，当商5时，此时余数是36，已知商5小了，所以除数要小于36；当商6时，余数是4，则除数大于4；所以除数比4大，且比36小；结合选项可知，除数是32；据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 竖式中的除数是32。 故答案为：A 3．（24-25四年级上·浙江台州·期末）明明在解决“有183本故事书，每个班分13本，可以分给几个班？”时列了图的竖式，竖式中箭头所指的数表示的是（    ）。 A．1个班分掉13本 B．10个班分掉13本 C．1个班分掉130本 D．10个班分掉130本 【答案】D 【思路引导】根据题意，竖式中商“1”在十位上，表示1个十，即10个班级，除数13表示的是每份的数量，箭头所指处是13与10的乘积，即表示10个班级分走故事书数量，据此解答。 【规范解答】根据分析可得： 10个班级分走的故事书数量是：13×10＝130（本） 因此，箭头所指的数表示的是10个班分掉130本。 故答案为：D 4．（25-26四年级上·福建福州·期中）8平方千米＝( )公顷＝( )平方米    14000000平方米＝( )平方千米 【答案】 800 8000000 14 【思路引导】1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，高级单位名数换算成低级单位名数乘进率，低级单位名数换算成高级单位名数除以进率。 【规范解答】8平方千米＝（8×100）公顷＝800公顷＝（800×10000）平方米＝8000000平方米 14000000平方米＝（14000000÷1000000）平方千米＝14平方千米 5．（25-26四年级上·湖北襄阳·期中）10枚一元的硬币摞在一起的高度大约是2厘米。照这样计算，100枚1元的硬币摞在一起的高度大约是( )厘米，1万枚1元的硬币摞在一起的高度大约是( )米。 【答案】 20 20 【思路引导】根据题意，先求出100里面有几个10，高度就有几个2厘米，因此，列式为100÷10×2，求出结果即可解答；1万枚就是10000枚，列式为10000÷10×2，求出结果，再根据1米＝100厘米换算单位。 【规范解答】100÷10×2 ＝10×2 ＝20（厘米） 10000÷10×2 ＝1000×2 ＝2000（厘米） 2000厘米＝20米 10枚一元的硬币摞在一起的高度大约是2厘米。照这样计算，100枚1元的硬币摞在一起的高度大约是20厘米，1万枚1元的硬币摞在一起的高度大约是20米。 6．（24-25四年级上·广东潮州·期中）在160×20＝3200中，其中一个因数乘10，另一个因数除以10，则积不变。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据积的变化规律：一个因数乘一个数，另一个因数除以相同的数（0除外），积不变。 【规范解答】原式为160×20＝3200。当一个因数乘10，另一个因数除以10时，计算如下： （160×10）×（20÷10） ＝1600×2 ＝3200 此时积仍为3200，与原式结果相同，积不变。 因此，在160×20＝3200中，其中一个因数乘10，另一个因数除以10，则积不变的说法正确。 故答案为：√ 7．（25-26四年级上·黑龙江鹤岗·期中）脱式计算。 （280＋160）×15                         45×32÷18 【答案】6600；80 【思路引导】第1题，先算小括号里的加法，再算小括号外的乘法。 第2题，按照从左到右的运算顺序进行计算。 【规范解答】（280＋160）×15 ＝440×15 ＝6600 45×32÷18 ＝1440÷18 ＝80 8．（24-25四年级上·广西柳州·期中）10平方米的草坪每天吸收约8千克的二氧化碳，释放约9千克的氧气。 （1）1公顷的草坪每天吸收约多少千克的二氧化碳？ （2）1平方千米的草坪每天释放约多少千克的氧气？ 【答案】（1）8000千克 （2）900000千克 【思路引导】（1）1公顷＝10000平方米，用10000平方米除以10平方米计算有几个10平方米，再乘10平方米草坪每天吸收的二氧化碳量。 （2）1平方千米＝1000000平方米，用1000000平方米除以10平方米计算有几个10平方米，再乘10平方米草坪每天释放的氧气量。 【规范解答】由分析可得： （1）1公顷＝10000平方米 10000÷10×8＝8000（千克） 答：1公顷的草坪每天吸收约8000千克的二氧化碳。 （2）1平方千米＝1000000平方米 1000000÷10×9＝900000（千克） 答：1平方千米的草坪每天释放约900000千克的氧气。 9．（25-26四年级上·山西晋中·期中）王师傅：“李师傅，我听说你接到一批零件加工任务，原计划每小时加工240个，12小时完成，对吗？”李师傅：“是的，但现在时间紧急，要求8小时完成。我在想每小时应加工零件多少个？” 【答案】 360个 【思路引导】根据题意，总零件数不变，原计划每小时加工240个，12小时完成，用240×12求出需要加工的总零件个数；现在要求8小时完成，则每小时需要加工的零件数＝总零件数÷8即可解答。。 【规范解答】240×12÷8 ＝2880÷8 ＝360（个） 答：每小时应加工零件360个。 10．（24-25四年级上·福建厦门·期中）我国提出二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值，努力争取2060年前实现碳中和。已知每100平方米的草坪每天约吸收9千克的二氧化碳，释放6千克的氧气。 （1）1公顷的草坪每天约吸收多少千克的二氧化碳？ （2）1平方千米的草坪每天约释放多少千克的氧气？ 【答案】（1）900千克 （2）60000千克 【思路引导】（1）由题意得，每100平方米的草坪每天约吸收9千克的二氧化碳。求1公顷的草坪每天约吸收多少千克的二氧化碳，1公顷＝10000平方米，可以先用10000除以100算出10000平方米里面有多少个100平方米，然后再乘上9即可算出1公顷的草坪每天约吸收多少千克的二氧化碳。 （2）由题意得，每100平方米的草坪每天释放6千克的氧气。求1平方千米的草坪每天约释放多少千克的氧气，1平方千米＝1000000平方米，可以先用1000000除以100算出1000000平方米里面有多少个100平方米，然后再乘上6即可算出1平方千米的草坪每天约释放多少千克的氧气。 【规范解答】（1）1公顷＝10000平方米 10000÷100×9 ＝100×9 ＝900（千克） 答：1公顷的草坪每天约吸收900千克的二氧化碳。 （2）1平方千米＝1000000平方米 1000000÷100×6 ＝10000×6 ＝60000（千克） 答：1平方千米的草坪每天约释放60000千克的氧气。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（25-26四年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，妈妈在此时开始烧水，并告诉丽丽：“分针走60°，水就开了。”丽丽应该在（    ）提醒妈妈水开了。 A．9时5分 B．9时10分 C．9时50分 【答案】B 【思路引导】根据对钟面的了解，一共有12大格，走一圈是360°，先用360°÷12求出走一格是多少度，根据分针走的度数判断分针走了多少格，分针走一格代表5分钟，据此判断水开的时间即可。 【规范解答】360°÷12＝30° 30°×2＝60° 2×5＝10（分钟） 9时＋10分钟＝9时10分 在9时10分提醒妈妈水开了。 故答案为：B 12．（25-26四年级上·湖南永州·期中）声音在空气中每秒传播约340米，它的速度可以写作（    ）。 A．340米/秒 B．340米/分 C．340米 D．340千米/秒 【答案】A 【思路引导】物体在单位时间（1秒、1分钟或1小时）内通过的路程的多少，叫做速度，速度的简写形式，先写路程，再画一条斜线，然后写上时间单位即可。 【规范解答】根据分析声音在空气中每秒传播约340米，它的速度可以写作340米/秒。 故答案为：A 13．（22-23四年级上·河北廊坊·期末）工厂有552千克消毒液，每天使用12千克，这批消毒液可以使用多少天？小米用图中笔算的方法计算了552÷12的结果，下图方框中的“48”表示的是（    ）。 A．4天使用了48千克消毒液 B．40天使用了48千克消毒液 C．40天使用了480千克消毒液 【答案】C 【思路引导】除数是两位数，先用被除数的前两位除以除数，那么可以看作是550÷12，商4在十位，表示40天；12是一天使用的千克数，方框中的“48”表示480，是12×40的结果；据此解答。 【规范解答】根据分析：商4表示40天，12×40＝480（千克），表示40天一共使用了480千克消毒液。 故答案为：C 【考点剖析】掌握除数是两位数的计算方法是解答本题的关键。 14．（25-26四年级上·福建厦门·期中）梦梦买7个笔记本花了30元，聪聪买14个这样的笔记本需要( )元；林老师用120元可以买( )个这样的笔记本。 【答案】 60 28 【思路引导】因为14是7的2倍，所以花费的钱也是30的2倍；120是30的4倍，所以笔记本的个数也是7的4倍； 【规范解答】14÷7＝2 30×2＝60（元） 120÷30＝4 4×7＝28（个） 梦梦买7个笔记本花了30元，聪聪买14个这样的笔记本需要60元；林老师用120元可以买28个这样的笔记本。 15．（25-26四年级上·福建莆田·期中）小星上午8时出发，到家发现时针转动了90°，分针位置不变，她到家的时间是上午( )，时针与分针形成的角是( )角，再过20分钟，分针转动的角度是( )度。 【答案】 11时/11:00 锐 120 【思路引导】（1）钟面共12个大格，一圈360°，故每个大格对应角度为360°÷12＝30°。时针转90°，对应大格数为90°÷30°＝3（个），即经过3小时，8时出发则到家时间为8＋3＝11（时）。（2）11时，时针在11，分针在12，间隔1个大格，夹角为30°（锐角）。（3）分针每分钟转360°÷60＝6°，20分钟转6°×20＝120°。 【规范解答】（1）360°÷12＝30° 90°÷30°＝3（个） 8＋3＝11（时） （2）12－11＝1（个） 30°×1＝30° （3）360°÷60＝6° 6°×20＝120° 所以小星上午8时出发，到家发现时针转动了90°，分针位置不变，她到家的时间是上午11时，时针与分针形成的角是锐角，再过20分钟，分针转动的角度是120度。 16．（24-25四年级上·江西赣州·期中）列竖式计算。（带☆的要验算）                       ☆                       ☆ 【答案】4464；12200；15156 16920；21600；13838 【思路引导】三位数乘两位数，把两位数的个位数字分别与三位数的个位、十位、百位数字相乘，并将乘得结果的末位数字与这个三位数的个位数字对齐，再把两位数的十位数字分别与三位数的个位、十位、百位数字相乘，并将乘得结果的末位数字与这个三位数的十位数字对齐，满10时向前一位进1，最后将两次乘得的结果相加即可。验算时，用积除以两位数的乘数即可。 【规范解答】4464       12200      ☆15156          验算：16920           21600           ☆13838          验算： 17．（25-26四年级上·福建厦门·期中）一天王叔叔去厦门运输货物，顺便买了厦门特产伴手礼黄则和馅饼，不同包装价格不同。王叔叔要买16盒馅饼，怎么买最省钱？最少需要多少钱？ 【答案】1箱装的和2个3盒装的；246元 【思路引导】根据题意，已知三种包装分别是1箱10盒要150元，3盒装的要48元，1盒装的20元，用除法计算出前两种的单价，选择最便宜的多买，合理搭配，再根据价格计算出至少需要的钱数，以此答题即可。 【规范解答】根据分析可知： 150÷10＝15（元） 48÷3＝16（元） 15＜16＜20 16－10＝6（盒） 6÷3＝2（个） 150×1＋2×48 ＝150＋96 ＝246（元） 答：买1箱装的和2个3盒装的最省钱，最少需要246元钱。 18．（25-26四年级上·湖南永州·期中）甲乙两地相距285千米，一辆货车从甲地开往乙地，前3小时行驶了165千米，因为要赶时间，以后每小时提速5千米。货车还要行驶多少小时才能到达乙地？ 【答案】2小时 【思路引导】先用前3小时行驶的千米数÷3计算出速度，即165÷3，以后每小时提速5千米，就用165÷3＋5计算出以后每小时的速度，然后用总千米数减去165千米计算出剩余的千米数后再除以提速后的速度即可解题。 【规范解答】165÷3＝55（千米） 55＋5＝60（千米） （285－165）÷60 ＝120÷60 ＝2（小时） 答：货车还要行驶2小时才能到达乙地。 19．（25-26四年级上·全国·单元测试）延安是中国革命的摇篮。延安某纪念馆工作人员为满足游客的需求，定制了一批革命纪念品。 定制优惠方案 ①不满30件，不予优惠； ②满30件，但不超过80件，超过30件的部分，每满300减30元； ③超过80件，80件按第2条方案优惠，超过80件的部分每件减3元。 （1）定制这些纪念品一共花了3150元，该纪念馆一共定制了多少件革命纪念品？ （2）由于进购数量多，该纪念馆直接以15元/件的价格进购了300件纪念品。按标价卖出的定制纪念品件数比剩下的多42件，此时降价出售，卖完后共获利3939元，剩下的降价了多少元售卖？ 【答案】（1）200件 （2）9元 【思路引导】（1）先求出定制30件纪念品需要的钱数；用30乘18即可。再求出定制30件至80件的部分需要的钱数，用件数（80－30）乘18，然后满足每满300元的要减去30元。超过80件的部分花的钱数＝花的总钱数－定制30件纪念品需要的钱数－定制30件至80件的部分需要的钱数。定制的件数＝超过80件的部分花的钱数÷超过80件的部分每件的钱数。定制的总件数＝80件＋超过80件的件数。 （2）用总数加上多的42件，算出结果在除以2，就是按标价卖出的件数。用总件数300减去按标价卖出的件数就是降价卖出的件数。按标价卖出的纪念品获利的钱数＝卖出的件数×（标价－定制价格）。降价卖出的纪念品共获利的钱数＝卖完后共获利的钱数－按标价卖出的纪念品获利的钱数，降价后每件获利的钱数＝按标价卖出的纪念品获利的钱数÷降价的件数，降价的钱数＝标价－（定制价格＋降价后获利）。 【规范解答】（1）30×18＝540（元） （80－30）×18 ＝50×18 ＝900（元） 30×3＝90（元） 900－90＝810（元） 3150－540－810 ＝2610－810 ＝1800（元） 1800÷（18－3） ＝1800÷15 ＝120（件） 80＋120＝200（件） 答：该纪念馆一共定制了200件革命纪念品。 （2）（300＋42）÷2 ＝342÷2 ＝171（件） 171×（32－15） ＝171×17 ＝2907（元） 3939－2907＝1032（元） 1032÷（300－171） ＝1032÷129 ＝8（元） 32－（15＋8） ＝32－23 ＝9（元） 答：剩下的降价了9元售卖。 【考点剖析】解决此类问题的关键是按照分段的要求算出满足前两段的最多的价钱。计算时注意每一段的满减条件。然后再根据单价、数量、总价之间的关系求解。 20．（23-24四年级上·全国·课后作业）玲玲从家出发步行去电影院看电影，每分钟走60米，走了10分钟后，妈妈从家骑自行车去追玲玲，结果在距家900米的地方遇到玲玲。妈妈每分钟行驶多少米？ 【答案】180米 【思路引导】由题目可知，速度×时间＝路程，路程÷速度＝时间，玲玲每分钟走60米，走了10分钟距家60×10＝600（米）。妈妈骑车追玲玲，在距家900米处与玲玲相遇，也就是玲玲后来又走了900－600＝300（米），用了300÷60＝5（分钟），这也是妈妈骑车所用的时间。所以妈妈骑车每分钟行驶900÷5＝180（米），即可解题。 【规范解答】由分析可知： 60×10＝600（米） 900－600＝300（米） 300÷60＝5（分钟） 900÷5＝180（米） 答：妈妈每分钟行驶180米。 【考点剖析】本题关键是明确从妈妈开始追到追上玲玲，玲玲走了300米，进而明确妈妈骑车时间。再根据路程、速度和时间之间的关系解答。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $