第五单元 平行四边形和梯形（知识梳理+导图+14个考点讲练+真题演练+难度分层练 共53题）-2025-2026学年人教版数学四年级上册单元复习举一反三培优精讲练

这份小学数学讲义以“平行四边形和梯形”为单元，通过思维导图系统梳理知识体系，按“平行与垂直-平行四边形-梯形-四边形关系”逻辑分层，用知识框架图呈现概念、特征及内在联系，突出“同一平面内平行与垂直的区别”“平行四边形与梯形的特征辨析”等重难点，并附易错点拨强化理解。 讲义亮点在于14个高频考点讲练，每个考点设典例精讲与变式训练，如“画平行四边形高”“梯形分割成平行四边形和三角形”，结合几何直观与空间观念培养。配套小升初真题及分层练习（基础夯实20题、创新拓展20题），帮助不同层次学生提升，教师可据此实施精准复习教学，支持学生自主构建知识网络。

第五单元 平行四边形和梯形 （知识梳理+14个考点讲练+真题演练+难度分层练 共53题） 【原卷版】 资料简介 内容梳理 2 梳理脉络 导图指引 2 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：平行与垂直 3 知识点梳理02：平行四边形 4 知识点梳理03：梯形 5 知识点梳理04：四边形之间的关系 5 重点难点 考点讲练 6 高频考点讲练1：平行的特征及性质 6 高频考点讲练2：画平行线 6 高频考点讲练3：垂直的特征 7 高频考点讲练4：画垂线 8 高频考点讲练5：点到直线的距离 8 高频考点讲练6：平行四边形的概念及特点 9 高频考点讲练7：平行四边形的高及画法 10 高频考点讲练8：平行四边形的不稳定性及应用 10 高频考点讲练9：画平行四边形 11 高频考点讲练10：梯形的概念及特点 12 高频考点讲练11：梯形的高及画法 12 高频考点讲练12：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 13 高频考点讲练13：画梯形 14 高频考点讲练14：数图形 14 升学真题 实战演练 15 优选题型 培优强化 16 基础夯实 能力提升 16 创新拓展 拔尖冲刺 19 同学你好，该份讲义用于人教版四年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：平行与垂直 1、在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2、平行 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）如图：直线a平行于直线b， 可记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。 3、垂直 （1）两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 （2）这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 （3）如图：直线a与b互相垂直 记作a⊥b，读作a垂直于b。 4、画垂线 （1）边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； （2）平移找点：平移三角尺找到直线上的点； （3）画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 5、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 【易错点拨】 （1）“同一平面内”是平行的前提：若两条直线不在同一平面，即使不相交也不是平行线，不能忽略“同一平面”这一关键条件。 （2）区分“相交”与“垂直”的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角），但相交不一定垂直，避免将“相交”等同于“垂直”。 （3）画垂线时“直角边对齐”：用三角板画垂线，必须确保三角板的一条直角边与已知直线完全重合，否则画出的直线与已知直线夹角不是直角，不满足垂直定义。 （4）画平行线时，平移三角板要保持平稳，确保两条直线之间的距离处处相等，防止因平移偏移导致两条直线不平行。 知识点梳理02：平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 2、特征： （1）两组对边分别平行且相等； （2）两组对角分别相等； （3）对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； （4）具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 3、特殊平行四边形： 长方形：四个角都是直角的平行四边形，对边相等，对角线相等； 正方形：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形。 【易错点拨】 （1）“两组对边分别平行”是核心判定条件：仅一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，必须满“两组对边都平行”。 （2）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做底。一个平行四边形有无数条高，且对应不同的底，高的长度与底的长度需匹配（如对应底边的高垂直于该底边），不能混淆高与底的对应关系。 （3）正方形具备长方形“四个角是直角、对边相等”的所有特征，同时多了“四条边相等”的特征，因此正方形是特殊的长方形，不能将两者完全割裂，认为“正方形不是长方形”。 （4）平行四边形的不稳定性是特性而非缺点，需结合生活场景（如伸缩门、升降架）理解其应用价值，避免单纯认为“不稳定就是不好”。 知识点梳理03：梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2、各部分名称： （1）平行的两组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； （2）不平行的两组对边叫做梯形的腰； （3）从梯形一条底边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高（梯形有无数条高，且所有高长度相等）。 3、特殊梯形： （1）等腰梯形：两腰相等的梯形，两底角相等，对角线相等； （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形，有一条腰与两底垂直（这条腰就是梯形的高）。 【易错点拨】 （1）“只有一组对边平行”是关键：“只有一组”意味着另一组对边不平行，若两组对边都平行则是平行四边形，不是梯形。 （2）虽然通常用“长短”区分上底和下底，但本质是根据位置（如梯形摆放时，上方的底叫上底，下方的叫下底），不能绝对认为“短的一定是上底，长的一定是下底”（如倒置的梯形，原“下底”可能在上方）。 （3）等腰梯形的两腰相等是核心特征，由此可推出两底角相等，但不能反过来“仅看底角相等就判定是等腰梯形”（需结合“梯形”定义，先确认只有一组对边平行），避免忽略梯形的基本定义。 （4）直角梯形的直角腰同时也是梯形的高，计算面积时可直接用这条腰的长度作为高，无需额外画高，但需确认“直角腰是否垂直于两底”，避免将非直角腰当作高。 知识点梳理04：四边形之间的关系 1、四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； 2、平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； 3、长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； 4、正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 【易错点拨】 （1）不混淆“平行四边形”与“梯形”的并列关系：平行四边形和梯形都是四边形的特殊类型，但两者没有从属关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组，特征互斥），不能说“平行四边形是特殊的梯形”或“梯形是特殊的平行四边形”。 （2）避免“四边形仅包含平行四边形和梯形”的误区：除了平行四边形和梯形，还有“两组对边都不平行的四边形”（如不规则四边形），它们也是四边形的一部分，不能将四边形的范围缩小为“平行四边形+梯形”。 高频考点讲练1：平行的特征及性质 【典例精讲】（24-25四年级上·河南南阳·期末）如图，与直线a垂直的直线是 ，与直线a平行的直线是 。 【变式训练】（24-25四年级上·河南信阳·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．把一条线段向一端延长10米，就得到一条射线。 B．福州西湖公园的面积大约是42.51平方千米。 C．同一平面内两条直线不是平行就是垂直。 D．已知每个笔袋的价钱和买的个数，求总价，要用笔袋的单价乘个数。 高频考点讲练2：画平行线 【典例精讲】（25-26四年级上·山东临沂·阶段练习）按要求画一画。 （1）以点A为端点，画一条射线AB； （2）过点C，画一条与射线AB平行的直线。 （注：A、B、C三点按常规分散排列，确保操作可实现） 【变式训练】（24-25四年级上·辽宁鞍山·期中）过点A分别画BC的平行线和垂线         高频考点讲练3：垂直的特征 【典例精讲】（25-26四年级上·广东中山·期中）下列每组直线，是平行的画“√”，是垂直的画“○”，既不平行也不垂直的画“×”。 ( )          ( )             ( ) ( )         ( )           ( ) 【变式训练】．（23-24四年级上·山东济宁·期中）下图中，已知直线a与直线b互相垂直，∠1＝45°，那么∠2＝( )，∠3＝( )。 高频考点讲练4：画垂线 【典例精讲】（24-25四年级上·河南信阳·期中）画出直线AB、射线BD、线段CD，过点C画直线AB的垂线。 【变式训练】（24-25四年级上·广西河池·期中）为了实现“村村通有线电视”的承诺，县政府决定分别为希望村和平安村接通有线电视信号。从哪里接入主干线最省材料呢？请画出来。 高频考点讲练5：点到直线的距离 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·课后作业）小鸭在岸上走路比较吃力，却擅长游泳，它想到小鸡家玩，怎样走最省力？请在下图中把路线画出来。 【变式训练】（24-25四年级上·广西柳州·期末）某小区有一块长方形的花园，内有一座凉亭（如图）。 （1）小玲的前面有两条小路到达凉亭，分别长18米、12米。其中一条小路与花园长边是垂直的，这条小路长（    ）米，在图中画出这条小路。 （2）小区物业计划从凉亭位置再修一条到达花园短边的小路，怎么修最短呢？请在图中画下来。 高频考点讲练6：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级上·四川绵阳·期中）下图中有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【变式训练】（25-26四年级上·全国·单元测试）“七巧板”也叫“唐图”，是一种古老的中国传统益智玩具。用下面这副七巧板中的任意几块图形，拼出一个平行四边形和一个等腰梯形，画在下面的虚线框内，并写上对应的序号。（每块只能使用一次） 高频考点讲练7：平行四边形的高及画法 【典例精讲】（24-25四年级上·河南信阳·期中）在下面方格图中画一个底为8厘米，高为5厘米，且一组邻边的夹角是45°的平行四边形，并画出它的高。（每个方格的边长是1厘米） 【变式训练】（24-25四年级上·河北保定·期末）一个梯形，上底是3厘米，如果将上底延长1厘米，则该梯形可以变成一个正方形。（点子图横竖两个点之间距离为1厘米） （1）这个梯形的下底是（    ）厘米，高是（    ）厘米。 （2）在下面的点子图上画出原梯形，并注明它的高。 （3）再画一个与原梯形高相等的平行四边形，并画出它的一条高。 高频考点讲练8：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级上·河南南阳·期末）图①中升降机应用了平行四边形（     ）的特点；祥祥在游泳池（图②）的A点，现在先去茶饮区喝水，然后游向MN边上岸，请你帮他设计这两条路线，使这两条路线均最短，并说明理由： 。 【变式训练】（24-25四年级上·福建龙岩·期末）王师傅要设计一台升降机（如图），中间升降部分有以下4种设计方案，最合适的方案是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点讲练9：画平行四边形 【典例精讲】（24-25四年级上·陕西安康·期中）画一个平行四边形，一组对边长5厘米，高是3厘米。 【变式训练】（24-25四年级上·贵州安顺·期末）按要求在下面的方格纸上画一画。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）画一个底是5厘米、高是3厘米的平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 （2）画一个上底是3厘米、下底是6厘米、高是3厘米的直角梯形。 高频考点讲练10：梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级上·青海果洛·月考）在下面的梯形中画一条线段，可以把梯形分成一个三角形和一个（    ）。 A．三角形或梯形 B．平行四边形或三角形 C．梯形或三角形或平行四边形 【变式训练】（25-26四年级上·全国·单元测试）如图是正方形点子图，请再选一个D点，使四边形ABCD成为一个梯形，点D有（    ）种选法。 A．3 B．4 C．7 D．8 高频考点讲练11：梯形的高及画法 【典例精讲】（24-25四年级上·新疆乌鲁木齐·期末）先在方格中画出一个高为3厘米的等腰梯形，再把它分成一个平行四边形和一个三角形。（注：每个小正方形的边长为1cm） 【变式训练】（24-25四年级上·河北保定·期末）（1）在图中找一个点D并连线。使得到的四边形ABCD是一个梯形，请你画出这个梯形。 （2）画出这个梯形的一条高。 高频考点讲练12：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）长安花卉博览会又要开始了，这次郁金香展区被设计成平行四边形。 （1）已知平行四边形ABCD的点A、点B、点C（如图），请你从下图中选一个点记作D，并画出这个平行四边形。 （2）请你量一量∠ABC＝（    ）°。 （3）从点E出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 （4）设计师将这个平行四边形分割成一个等腰梯形和一个三角形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是怎么分割的，请你在图中画出来。 【变式训练】（24-25四年级上·山东济南·期末）如图，将两个完全一样的等腰梯形拼成了一个平行四边形，周长比原来两个梯形的周长和减少了30cm，拼成的平行四边形的周长为96cm，则等腰梯形的上下底的和是( )cm。 高频考点讲练13：画梯形 【典例精讲】（24-25四年级上·福建福州·期末）充分利用下面方格图画一画。 （1）画一个上底2厘米，下底5厘米，高3厘米的直角梯形； （2）画一个底和高都是4厘米，并且其中一组相对的两个角都是的平行四边形。 【变式训练】（24-25四年级上·河南郑州·期末）同学们玩猜图游戏，以下是他们给出的信息： 小东：它一共有四条边，只有一组对边互相平行。 小郑：它一共有四个角，其中有2个角是锐角，2个角是钝角。 小新：这个图形沿中间对折后左右两边可以完全重合。 根据这些信息可以判断这个平面图形是（    ），请你在点子图中画出这个平面图形。 高频考点讲练14：数图形 【典例精讲】（2024四年级上·全国·专题练习）数一数，有几个平行四边形？ 【变式训练】（24-25四年级上·全国·单元测试）数一数，填一填。    ( )组垂线         ( )组平行线                  ( )个平行四边形，( )个梯形 【演练1】（2023·河北石家庄·小升初真题）过P点分别做OA的垂线和OB的平行线。 【演练2】（2024·浙江杭州·小升初真题）如图，在正方形的点子图上，找一点D，使ABCD是一个梯形。D点共有（    ）种不同的选法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【演练3】（2024·重庆彭水·小升初真题）量出∠A的角度，过C点分别作AC边的垂线和AB边的平行线。 【演练4】（2024·四川绵阳·小升初真题）用两个完全一样的三角形，拼成平行四边形，三角形的边长分别为6厘米，5厘米，8厘米，这个平行四边形的周长最大是（    ）厘米。 A．22 B．26 C．28 D．38 【演练5】（2021·宁夏吴忠·小升初真题）下图是平行四边形的两条边。 （1）量出下面∠ABC的度数。 （2）把这个平行四边形画完整。 （3）过C点画出平行四边形的一条高。 基础夯实 能力提升 1．（24-25四年级上·山西忻州·期中）要把水渠中的水引到点A处浇灌农田，李伯伯设计了4条引水沟，分别是AB、AC、AD、AE（如图），其中最短的引水沟是（    ）。 A．AB B．AC C．AE D．AD 2．（24-25四年级上·福建厦门·期中）2024年，哈尔滨市计划建设500公里农村公路，不仅方便百姓出行，还助力乡村旅游发展。例如，修建从A村通往省道的公路，将让游客更方便地前往，体验当地的自然风光和文化魅力。如图，线路（    ）最短。 A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25四年级上·广东湛江·期中）下图中从点A到线段BE的线段中，最短的一条是（    ）。 A．AB B．AD C．AE 4．（24-25四年级上·青海果洛·月考）如图，平行四边形相邻两边的和是15厘米。如果捏住平行四边形的一组对角把它拉成长方形后，长方形的周长是( )厘米。 5．（24-25四年级上·四川绵阳·期中）下图中，平行四边形的高是28厘米，它的底是( )厘米。 6．（24-25四年级上·青海果洛·月考）画一画，填一填。 （1）把点子图中的图形补充成一个完整的平行四边形，并画出BC底边上的一条高。 （2）如果每相邻两点的距离是2厘米，那么平行四边形BC边上的高是（    ）厘米。 7．（24-25四年级上·青海果洛·月考）用12厘米长的一根铁丝正好围成一个平行四边形，这个平行四边形的一条边为4厘米，拉动平行四边形使其变成长方形，长方形的面积是多少平方厘米？ 8．（23-24四年级上·山东济宁·期中）下图中，直线a和直线b互相平行。 （1）测量∠1和∠2的度数，并比较这两个角的大小。 ∠1＝（     ）°，∠2＝（     ）°，∠1○∠2。 （2）观察∠1和∠2的位置关系，你还能在图中找到这样关系的角吗？ 写一写吧！ 9．（24-25四年级上·青海海东·期中）过O点画线段的平行线和的垂线。 10．（25-26四年级上·黑龙江佳木斯·期中）画出下面平行四边形指定底边上的高。 创新拓展 拔尖冲刺 11．（24-25四年级上·河南郑州·期中）两个完全一样的直角梯形可以拼成一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．长方形或平行四边形 12．（24-25四年级上·山东菏泽·期中）观察下面6组直线的位置关系，按一定标准分类可以得到右面的两类。下列选项中，你不赞成（    ）的分类标准。 A．小红：两条直线是否互相平行 B．小亮：两条直线是否互相垂直 C．小明：两条直线是否相交 13．（21-22四年级下·浙江金华·期末）在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（    ）种不同的选法。 A．4 B．5 C．6 D．7 14．（24-25四年级上·青海果洛·月考）一块等腰梯形的广告牌，上底长12分米，下底长15分米，腰长13分米，在这块广告牌的四周围上彩灯，则彩灯最短长( )分米。 15．（24-25四年级上·山东菏泽·期中）如图所示，直线( )与( )互相垂直，直线( )与( )互相平行。 16．（25-26四年级上·全国·单元测试）球小将在绿茵场上畅意竞技。如图所示，在足球场的四个角分别标上A、B、C、D，线段AD与BC互相平行。 （1）在球场之间拉一条横幅EF，已知足球场两长边中点的连线MN为68米，如图，则横幅EF的最短长度为多少米？ （2）球场上的Q处掉落一个水瓶，志愿者在P处，现志愿者需要将水瓶带离球场，请你设计出志愿者的最短路线图，在图中画出来。 17．（25-26四年级上·全国·单元测试）要给小区步梯更换不锈钢扶手栏杆，一层楼梯扶手有15个相同的小平行四边形（缺一条边），突出一个尾端，则施工队为每层楼梯准备20米钢材，够用吗？（接口处忽略不计） 18．（25-26四年级上·全国·单元测试）小区有一个近似梯形的健身区，下底与腰等长，且是上底的2倍，米豆和小麦两个小朋友绕健身区四周玩滑滑车，已知米豆以60米/分钟的速度从A点经过B点到C点，共花了5分钟；小麦从A点经过D点到C点只用了3分钟。 （1）小麦每分钟滑多少米？ （2）若米豆和小麦都按照A→B→C→D的方向玩滑滑车，18分钟时，小麦能再次遇见米豆吗？ 19．（20-21四年级上·全国·单元测试）下图中等腰梯形的上底与腰长相等，下底长度是上底的2倍。请你将这个等腰梯形分别割成形状、大小都相同的4个部分。 20．（25-26四年级上·全国·单元测试）如图，每个小方格边长都为1厘米，按要求完成下面各题。 （1）∠B是（   ）角。 （2）以AB、BC作为梯形的两条边，找到点D，在方格图中画一个等腰梯形ABCD。 （3）过点B画梯形CD边上的高BE，并标出垂足E。 （4）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分成一个平行四边形和一个三角形。这个平行四边形的一条高是（    ）厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 平行四边形和梯形 （知识梳理+14个考点讲练+真题演练+难度分层练 共53题） 【解析版】 资料简介 内容梳理 2 梳理脉络 导图指引 2 知识梳理 技巧点拨 3 知识点梳理01：平行与垂直 3 知识点梳理02：平行四边形 4 知识点梳理03：梯形 5 知识点梳理04：四边形之间的关系 5 重点难点 考点讲练 6 高频考点讲练1：平行的特征及性质 6 高频考点讲练2：画平行线 7 高频考点讲练3：垂直的特征 8 高频考点讲练4：画垂线 10 高频考点讲练5：点到直线的距离 11 高频考点讲练6：平行四边形的概念及特点 13 高频考点讲练7：平行四边形的高及画法 14 高频考点讲练8：平行四边形的不稳定性及应用 16 高频考点讲练9：画平行四边形 17 高频考点讲练10：梯形的概念及特点 18 高频考点讲练11：梯形的高及画法 20 高频考点讲练12：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 21 高频考点讲练13：画梯形 23 高频考点讲练14：数图形 25 升学真题 实战演练 26 优选题型 培优强化 29 基础夯实 能力提升 29 创新拓展 拔尖冲刺 34 同学你好，该份讲义用于人教版四年级上册内容的学习和复习，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 知识梳理，技巧点拨：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 2. 重点难点，考点讲练：优选高频考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 3. 升学真题，实战演练：精选5道小升初真题，检验专题内容掌握水平； 4. 难度分层，培优强化：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 知识点梳理01：平行与垂直 1、在同一个平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。 2、平行 （1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 （2）如图：直线a平行于直线b， 可记作：a∥b，读作：a平行于b。 （3）两条平行线之间的垂直线段有无数条，长度都相等。 3、垂直 （1）两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 （2）这两条直线的交点叫做垂足，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 （3）如图：直线a与b互相垂直 记作a⊥b，读作a垂直于b。 4、画垂线 （1）边线重合：把三角尺的一条直角边与直线重合； （2）平移找点：平移三角尺找到直线上的点； （3）画线标号：用笔沿另一条直角边画垂线，在垂足处标出直角符号。 5、点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。 【易错点拨】 （1）“同一平面内”是平行的前提：若两条直线不在同一平面，即使不相交也不是平行线，不能忽略“同一平面”这一关键条件。 （2）区分“相交”与“垂直”的关系：垂直是相交的特殊情况（相交成直角），但相交不一定垂直，避免将“相交”等同于“垂直”。 （3）画垂线时“直角边对齐”：用三角板画垂线，必须确保三角板的一条直角边与已知直线完全重合，否则画出的直线与已知直线夹角不是直角，不满足垂直定义。 （4）画平行线时，平移三角板要保持平稳，确保两条直线之间的距离处处相等，防止因平移偏移导致两条直线不平行。 知识点梳理02：平行四边形 1、定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 2、特征： （1）两组对边分别平行且相等； （2）两组对角分别相等； （3）对角线互相平分（对角线是连接平行四边形不相邻两个顶点的线段）； （4）具有不稳定性（容易变形，可用于制作伸缩结构）。 3、特殊平行四边形： 长方形：四个角都是直角的平行四边形，对边相等，对角线相等； 正方形：四条边都相等，四个角都是直角的平行四边形，是特殊的长方形。 【易错点拨】 （1）“两组对边分别平行”是核心判定条件：仅一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，必须满“两组对边都平行”。 （2）从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做底。一个平行四边形有无数条高，且对应不同的底，高的长度与底的长度需匹配（如对应底边的高垂直于该底边），不能混淆高与底的对应关系。 （3）正方形具备长方形“四个角是直角、对边相等”的所有特征，同时多了“四条边相等”的特征，因此正方形是特殊的长方形，不能将两者完全割裂，认为“正方形不是长方形”。 （4）平行四边形的不稳定性是特性而非缺点，需结合生活场景（如伸缩门、升降架）理解其应用价值，避免单纯认为“不稳定就是不好”。 知识点梳理03：梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2、各部分名称： （1）平行的两组对边分别叫做梯形的上底和下底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底，也可根据位置区分）； （2）不平行的两组对边叫做梯形的腰； （3）从梯形一条底边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高（梯形有无数条高，且所有高长度相等）。 3、特殊梯形： （1）等腰梯形：两腰相等的梯形，两底角相等，对角线相等； （2）直角梯形：有一个角是直角的梯形，有一条腰与两底垂直（这条腰就是梯形的高）。 【易错点拨】 （1）“只有一组对边平行”是关键：“只有一组”意味着另一组对边不平行，若两组对边都平行则是平行四边形，不是梯形。 （2）虽然通常用“长短”区分上底和下底，但本质是根据位置（如梯形摆放时，上方的底叫上底，下方的叫下底），不能绝对认为“短的一定是上底，长的一定是下底”（如倒置的梯形，原“下底”可能在上方）。 （3）等腰梯形的两腰相等是核心特征，由此可推出两底角相等，但不能反过来“仅看底角相等就判定是等腰梯形”（需结合“梯形”定义，先确认只有一组对边平行），避免忽略梯形的基本定义。 （4）直角梯形的直角腰同时也是梯形的高，计算面积时可直接用这条腰的长度作为高，无需额外画高，但需确认“直角腰是否垂直于两底”，避免将非直角腰当作高。 知识点梳理04：四边形之间的关系 1、四边形是统称，所有由四条线段围成的封闭图形都是四边形； 2、平行四边形和梯形是特殊的四边形（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组对边平行）； 3、长方形是特殊的平行四边形（四个角是直角）； 4、正方形是特殊的长方形（四条边相等）。 【易错点拨】 （1）不混淆“平行四边形”与“梯形”的并列关系：平行四边形和梯形都是四边形的特殊类型，但两者没有从属关系（平行四边形两组对边平行，梯形只有一组，特征互斥），不能说“平行四边形是特殊的梯形”或“梯形是特殊的平行四边形”。 （2）避免“四边形仅包含平行四边形和梯形”的误区：除了平行四边形和梯形，还有“两组对边都不平行的四边形”（如不规则四边形），它们也是四边形的一部分，不能将四边形的范围缩小为“平行四边形+梯形”。 高频考点讲练1：平行的特征及性质 【典例精讲】（24-25四年级上·河南南阳·期末）如图，与直线a垂直的直线是 ，与直线a平行的直线是 。 【答案】 c b 【思路引导】在同一平面内，两条直线的位置关系有平行和垂直两种特殊情况。当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。当两条直线不相交且方向相同，这两条直线互相平行。垂直于同一直线的两条直线互相平行。据此结合图中的信息进行解答即可。 【规范解答】观察图中的三条直线，可以知道直线a与直线c相交并且相交处有直角符号，所以直线a与直线c互相垂直，直线b与直线c相交并且相交处有直角符号，所以直线b与直线c互相垂直，故直线b与直线a互相平行。 【变式训练】（24-25四年级上·河南信阳·期末）下面说法正确的是（    ）。 A．把一条线段向一端延长10米，就得到一条射线。 B．福州西湖公园的面积大约是42.51平方千米。 C．同一平面内两条直线不是平行就是垂直。 D．已知每个笔袋的价钱和买的个数，求总价，要用笔袋的单价乘个数。 【答案】D 【思路引导】（1）射线有一个端点，一端可以无限延长，不可度量，延长的100米是线段，原图是线段，新图形还是一条线段； （2）公顷适合计量稍大的土地面积，边长是100米的正方形的面积是1公顷，400米跑道围起来的部分的面积大约是1公顷，所以计量福州西湖公园的面积应用“公顷”作单位比较合适； （3）同一平面内的两条直线的位置关系只有两种：平行和相交，垂直是特殊的相交； （4）在经济问题中三者之间的关系：单价×数量＝总价；据此解答。 【规范解答】由分析可知： A．把一条线段向一端延长10米，还是线段，原说法错误； B．福州西湖公园的面积大约是42.51公顷，原说法错误； C．同一平面内的两条直线不是平行就是相交，原说法错误； D．已知每个笔袋的价钱和买的个数，求总价，要用笔袋的单价乘个数，原说法正确。 故答案为：D 高频考点讲练2：画平行线 【典例精讲】（25-26四年级上·山东临沂·阶段练习）按要求画一画。 （1）以点A为端点，画一条射线AB； （2）过点C，画一条与射线AB平行的直线。 （注：A、B、C三点按常规分散排列，确保操作可实现） 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）射线有一个端点，向另一端无限延长，据此以点A为端点，画一条射线AB。 （2）直线没有端点无限长，把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板原来和已知直线重合的直角边与点C重合，过点C沿三角板的直角边画直线即可。 【规范解答】 （1）（2）如图：（画法不唯一） 【变式训练】（24-25四年级上·辽宁鞍山·期中）过点A分别画BC的平行线和垂线         【答案】见详解 【思路引导】把三角板的一条直角边与BC重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，固定直尺，然后平移三角尺，使点A位于该直角边上，沿着这条直角边再画出另一条直线即可； 把三角板的一条直角边与BC重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边过点A，沿三角板的直角边向BC画直线即可。 【规范解答】根据分析作图如下： 高频考点讲练3：垂直的特征 【典例精讲】（25-26四年级上·广东中山·期中）下列每组直线，是平行的画“√”，是垂直的画“○”，既不平行也不垂直的画“×”。 ( )               ( )                 ( ) ( )         ( )           ( ) 【答案】 × × √ ○ √ ○ 【思路引导】在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；在同一平面内，两条直线不平行，那么它们一定会相交；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 （1）由图可知，两条直线相交但夹角不是直角，所以两条直线既不平行也不垂直。 （2）由图可知，两条直线延长后会相交但夹角不是直角，所以两条直线既不平行也不垂直。 （3）由图可知，两条直线不相交，所以这两条直线互相平行。 （4）由图可知，两条直线相交成直角，所以这两条直线互相垂直。 （5）由图可知，两条直线不相交，所以这两条直线互相平行。 （6）由图可知，两条直线相交成直角，所以这两条直线互相垂直。 【规范解答】 【变式训练】．（23-24四年级上·山东济宁·期中）下图中，已知直线a与直线b互相垂直，∠1＝45°，那么∠2＝( )，∠3＝( )。 【答案】 45°/45度 90°/90度 【思路引导】已知直线a与直线b互相垂直，那么∠1和∠2组成直角，∠3为直角，直角为90°，用90°减去∠1，即可求出∠2。 【规范解答】由分析可知， 90°－45°＝45° 所以∠2＝45°，∠3＝90°。 高频考点讲练4：画垂线 【典例精讲】（24-25四年级上·河南信阳·期中）画出直线AB、射线BD、线段CD，过点C画直线AB的垂线。 【答案】见详解 【思路引导】直线没有端点，两边可无限延长；射线有一端有端点，另一端可无限延长；线段，有两个端点，而两个端点间的距离就是这条线段的长度。利用直角三角板的一条直角边与直线AB重合，让另一条直角边与C点重合，沿另一条直角边画直线即可，注意标垂足。 【规范解答】根据分析画图如下： 【变式训练】（24-25四年级上·广西河池·期中）为了实现“村村通有线电视”的承诺，县政府决定分别为希望村和平安村接通有线电视信号。从哪里接入主干线最省材料呢？请画出来。 【答案】见详解 【思路引导】把主干线看作一条直线，希望村（点A）和平安村（点B）看作直线外的两个点。根据“直线外一点到直线的垂线段最短”，分别过希望村（点A）、平安村（点B）向主干线作垂线段。这两条垂线段就是从希望村、平安村接入主干线最省材料的线路。据此作图即可解答。 【规范解答】分别过希望村（点A）、平安村（点B）向主干线作垂线段，沿垂线段接入主干线最省材料，如图所示： 高频考点讲练5：点到直线的距离 【典例精讲】（25-26四年级上·全国·课后作业）小鸭在岸上走路比较吃力，却擅长游泳，它想到小鸡家玩，怎样走最省力？请在下图中把路线画出来。 【答案】 【思路引导】要解决小鸭到小鸡家怎样走最省力的问题，需结合小鸭的特点（岸上走路吃力、擅长游泳 ），利用几何中 “垂线段最短” 的原理。 【规范解答】 原理依据：因为小鸭在岸上走路吃力，所以要让小鸭在岸上走的路程尽可能短。在平面几何里，从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂线段最短 。 确定路线：把河的两岸看作两条直线，小鸭家看作直线（靠近小鸭家的河岸）外一点。从小鸭家向靠近它的河岸作垂线段，这是小鸭在岸上走的最短路程；然后小鸭游泳过河（沿垂直河岸方向，保证游泳路程相对合理，因题目未限制过河路径，利用擅长游泳的特点，走垂直河岸的直线段即可 ），上岸后，再从河岸（靠近小鸡家一侧）到小鸡家走直线（两点之间线段最短 ）。简单来说，就是从小鸭家作到靠近它的河岸的垂线段，过河后，再连接上岸点与小鸡家的线段，这样的路线能让小鸭岸上行走路程最短，结合擅长游泳，整体最省力。 【变式训练】（24-25四年级上·广西柳州·期末）某小区有一块长方形的花园，内有一座凉亭（如图）。 （1）小玲的前面有两条小路到达凉亭，分别长18米、12米。其中一条小路与花园长边是垂直的，这条小路长（    ）米，在图中画出这条小路。 （2）小区物业计划从凉亭位置再修一条到达花园短边的小路，怎么修最短呢？请在图中画下来。 【答案】（1）图见详解；12；（2）图见详解 【思路引导】（1）根据点到直线的所有线段中垂线段最短，那条与花园长边垂直的小路是 12 米。因为长方形的长边与此小路成直角，直接量得的较短距离就是 12 米；另一条 18 米的小路则是斜向通往凉亭的。 （2）要从凉亭到花园的短边走最短路，应画出从凉亭垂直于短边的路径。这条垂直线段就是所需的新小路。 【规范解答】（1）（2）如图： （1）12＜18 小玲的前面有两条小路到达凉亭，分别长18米、12米。其中一条小路与花园长边是垂直的，这条小路长（12）米。 高频考点讲练6：平行四边形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级上·四川绵阳·期中）下图中有( )个平行四边形，有( )个梯形。 【答案】 9 7 【思路引导】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，只有一组对边平行的四边形叫做梯形。由图可知，单个的小平行四边形有4个，由两个平行四边形拼起来的大平行四边形有4个，由四个平行四边形拼起来的大平行四边形有1个，直接把它们全部加起来可以算出平行四边形的个数；单个的小梯形有5个，由两个梯形拼起来的大梯形有2个，直接把它们全部加起来可以算出梯形的个数。 【规范解答】4＋4＋1＝8＋1＝9（个） 5＋2＝7（个） 故图中有9个平行四边形，有7个梯形。 【变式训练】（25-26四年级上·全国·单元测试）“七巧板”也叫“唐图”，是一种古老的中国传统益智玩具。用下面这副七巧板中的任意几块图形，拼出一个平行四边形和一个等腰梯形，画在下面的虚线框内，并写上对应的序号。（每块只能使用一次） 【答案】见详解 【思路引导】两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，可以选择七巧板中的①②这两块图形进行拼接，可拼成平行四边形；两腰相等的梯形是等腰梯形，可以选择七巧板中的④⑤⑥这几块图形进行拼接。将④和⑥分别放在两侧，⑤放在中间，可拼成等腰梯形。 【规范解答】如图所示： （答案不唯一） 高频考点讲练7：平行四边形的高及画法 【典例精讲】（24-25四年级上·河南信阳·期中）在下面方格图中画一个底为8厘米，高为5厘米，且一组邻边的夹角是45°的平行四边形，并画出它的高。（每个方格的边长是1厘米） 【答案】见详解 【思路引导】两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。用量角器画角步骤如下：先画角的顶点和一条边；再将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合；根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以角的顶点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图形就是要画的角。从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。由题意得，可以先画一条长8厘米的线段作为平行四边形的底，然后以这条线段为角的一条边，画一个45°的角，接着在角的另一条边上截取一点画平行四边形的底的平行线段（线段的长度是8厘米）且两条线段之间的距离是5厘米。最后再画平行四边形的另一条边即可。 【规范解答】 【变式训练】（24-25四年级上·河北保定·期末）一个梯形，上底是3厘米，如果将上底延长1厘米，则该梯形可以变成一个正方形。（点子图横竖两个点之间距离为1厘米） （1）这个梯形的下底是（    ）厘米，高是（    ）厘米。 （2）在下面的点子图上画出原梯形，并注明它的高。 （3）再画一个与原梯形高相等的平行四边形，并画出它的一条高。 【答案】（1）4；4 （2）（3）见详解 【思路引导】（1）已知梯形上底是3厘米，将上底延长1厘米可变成正方形，那么下底和高的长度就等于上底加上延长的长度。 （2）结合（1）可知，根据梯形的上底、下底和高的长度，先确定上底4个点，也就是3厘米，下底5个点，也就是4厘米，使它们之间的距离符合要求，然后连接各点形成梯形，高为5个点，并标注4厘米。（因为题目没说是向一边延长1厘米，还是两边同时延长加起来是1厘米，所以梯形画法不唯一） （3）画一个与原梯形高相等的平行四边形，平行四边形的高与梯形的高相同。画平行四边形时，先画一条底边（长度任意），然后在对边位置画一条与原梯形高相等（4厘米）的边，再连接各点形成平行四边形，并画出一条高，从梯形的一边任意一点作另一条边的垂线段，标注为4厘米。（答案不唯一） 【规范解答】（1）因为将梯形上底延长1厘米变成正方形，所以下底是：3＋1＝4厘米，高也是4厘米。 （2）（3）如图所示： 高频考点讲练8：平行四边形的不稳定性及应用 【典例精讲】（24-25四年级上·河南南阳·期末）图①中升降机应用了平行四边形（     ）的特点；祥祥在游泳池（图②）的A点，现在先去茶饮区喝水，然后游向MN边上岸，请你帮他设计这两条路线，使这两条路线均最短，并说明理由： 。 【答案】不稳定性； 图见详解； 点到直线的垂线段最短 【思路引导】升降机要方便升降，因此升降机在升降过程中，应用了平行四边形的不稳定性的特点； 从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使路线最短，则从A点先向茶饮区作垂线，再从茶饮区向MN边作垂线，即为所求。 【规范解答】如图： 图①中升降机应用了平行四边形不稳定性的特点；祥祥在游泳池（图②）的A点，现在先去茶饮区喝水，然后游向MN边上岸，则从A点先向茶饮区作垂线，再从茶饮区向MN边作垂线，从而使这两条路线均最短，理由：因为点到直线的垂线段最短。 【变式训练】（24-25四年级上·福建龙岩·期末）王师傅要设计一台升降机（如图），中间升降部分有以下4种设计方案，最合适的方案是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】升降机需要上升和下降，平行四边形具有不稳定性，利用平行四边形易变形的特性可以制作伸缩门、升降机等；据此解答。 【规范解答】 根据分析：平行四边形最合适的方案是。 故答案为：D 高频考点讲练9：画平行四边形 【典例精讲】（24-25四年级上·陕西安康·期中）画一个平行四边形，一组对边长5厘米，高是3厘米。 【答案】见详解 【思路引导】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底；由此可先画一条长5厘米的线段作为平行四边形的底，然后在距离底边3厘米处的位置画一条与底边平行的线段，长度为5厘米，并且向右稍微移动一点，最后用直尺分别将两条线段左边、右边的两个端点连接起来，即可得到一个底是5厘米，高是3厘米的平行四边形，依此画图。 【规范解答】根据分析画图如下： （答案不唯一） 【变式训练】（24-25四年级上·贵州安顺·期末）按要求在下面的方格纸上画一画。（每个小方格的边长表示1厘米） （1）画一个底是5厘米、高是3厘米的平行四边形，并画出平行四边形的一条高。 （2）画一个上底是3厘米、下底是6厘米、高是3厘米的直角梯形。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）平行四边形对边平行且相等，从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，据此画出一个底是5厘米、高是3厘米的平行四边形，并画出其中一条高即可。 （2）梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，直角梯形有两个角是直角，据此画出上底是3厘米、下底是6厘米、高是3厘米的直角梯形即可。 【规范解答】（1）（2）如图： （画法不唯一） 高频考点讲练10：梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级上·青海果洛·月考）在下面的梯形中画一条线段，可以把梯形分成一个三角形和一个（    ）。 A．三角形或梯形 B．平行四边形或三角形 C．梯形或三角形或平行四边形 【答案】C 【思路引导】只有一组对边分别平行的四边形是梯形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。过梯形左上角的顶点向底边画一条线段，使得这条线段与梯形右边的边平行，那么可以将这个梯形分成一个三角形与一个平行四边形。过梯形左上角的顶点向底边画一条线段，使得这条线段与梯形右边的边不平行，那么得到的两个图形是三角形与梯形。也可以将梯形正对的两个顶点相连，可以将梯形分为2个三角形，据此解答。 【规范解答】 可以把梯形分成一个三角形和一个梯形或者平行四边形、三角形。 故答案为：C 【变式训练】（25-26四年级上·全国·单元测试）如图是正方形点子图，请再选一个D点，使四边形ABCD成为一个梯形，点D有（    ）种选法。 A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】C 【思路引导】梯形是指只有一组对边平行的四边形，因此要使四边形ABCD成为一个梯形，则需要考虑两种情况：BC∥AD或者AB∥CD。当BC∥AD时，所有符合条件的D点有4种；当AB∥CD时，所有符合条件的D点有3种；相加即可求出点D有多少种选法。 【规范解答】如图： 当BC∥AD时，所有符合条件的D点有4种； 当AB∥CD时，所有符合条件的D点有3种； 4＋3＝7（种） 故答案为：C 高频考点讲练11：梯形的高及画法 【典例精讲】（24-25四年级上·新疆乌鲁木齐·期末）先在方格中画出一个高为3厘米的等腰梯形，再把它分成一个平行四边形和一个三角形。（注：每个小正方形的边长为1cm） 【答案】见详解 【思路引导】等腰梯形的一组对边平行，它的两条腰相等。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。画出的等腰梯形的高是3厘米即可。平行四边形的两组对边平行且相等。从梯形的上底的一个顶点，作它腰的平行线，这样就把等腰梯形分成一个平行四边形和一个三角形。 【规范解答】等腰梯形画法如下所示：（画法不唯一），分成一个平行四边形和一个三角形如图所示： 【变式训练】（24-25四年级上·河北保定·期末）（1）在图中找一个点D并连线。使得到的四边形ABCD是一个梯形，请你画出这个梯形。 （2）画出这个梯形的一条高。 【答案】（1）（2）见详解 【思路引导】（1）只有一组对边平行的四边形叫作梯形。由题意得，可以找一点D使得AD边与BC边平行，CD边与AB边不平行即可。 （2）从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，这条对边叫做梯形的底。据此作图。 【规范解答】（1）（2） 高频考点讲练12：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【典例精讲】（24-25四年级上·浙江嘉兴·期末）长安花卉博览会又要开始了，这次郁金香展区被设计成平行四边形。 （1）已知平行四边形ABCD的点A、点B、点C（如图），请你从下图中选一个点记作D，并画出这个平行四边形。 （2）请你量一量∠ABC＝（    ）°。 （3）从点E出发设计一条小路通往这个展区，怎么设计距离最近？请你画出来。 （4）设计师将这个平行四边形分割成一个等腰梯形和一个三角形，分别种上不同颜色的郁金香，猜一猜他是怎么分割的，请你在图中画出来。 【答案】（1）见详解 （2）75 （3）见详解 （4）见详解 【思路引导】（1）以AC、AB为相邻边，取一点D，使CD平行于AB，BD平行于AC，然后顺次连接各点即可得到一个平行四边形；据此在方格纸中画图。 （2）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此解答。 （3）从直线外一点到已知直线画的垂直线段和斜线，垂线段最短； 过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；据此把展区靠近点E这条边看作一条直线，由点E向直线画垂直线段即可。 （4）只有一组对边平行的四边形叫做梯形；如果梯形的两腰相等，这样的梯形叫做等腰梯形；据此从平行四边形的一个顶点向对边画线段把它分成一个三角形和一个等腰梯形。据此画图。 【规范解答】（2）通过量一量可知，∠ABC＝75°。 （1）（3）（4）如下图： 【变式训练】（24-25四年级上·山东济南·期末）如图，将两个完全一样的等腰梯形拼成了一个平行四边形，周长比原来两个梯形的周长和减少了30cm，拼成的平行四边形的周长为96cm，则等腰梯形的上下底的和是( )cm。 【答案】33 【思路引导】等腰梯形的特征是两腰相等，它们拼成平行四边形后，共用的那两条腰不再计入外部周长，故平行四边形的周长比原周长和少了两腰的长是30cm，拼成平行四边形的周长＝2×（上底＋下底）＋两腰长，所以上底＋下底＝（平行四边形的周长－两腰长的和）÷2。 【规范解答】（96－30）÷2 ＝66÷2 ＝33（cm） 等腰梯形的上下底的和是33cm。 高频考点讲练13：画梯形 【典例精讲】（24-25四年级上·福建福州·期末）充分利用下面方格图画一画。 （1）画一个上底2厘米，下底5厘米，高3厘米的直角梯形； （2）画一个底和高都是4厘米，并且其中一组相对的两个角都是的平行四边形。 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【思路引导】（1）先画一条线段占2格，即这个线段的长度是2厘米，再在距离这条线段下方4格的位置，画一条5厘米（占5格）的线段，且这两条线段左边的端点在同一条竖直的直线上，最后将这两条线段左边的两个端点相连，把这两条线段右边的两个端点相连，即可得到满足要求的直角梯形。 （2）先画一条水平的长度是4厘米的线段，借助量角器，把量角器的中心点与这条线段左边的端点重合，量角器的零刻度线与这条线段重合，找到45°的位置，画出角的另一边，使得这一条的另一个端点与4厘米长的线段间隔4格，那么平行四边形的高就是4厘米，平行四边形的两组对边是互相平行的，据此在方格图中画出这个平行四边形的另外两条边。 【规范解答】（1）（2） 【变式训练】（24-25四年级上·河南郑州·期末）同学们玩猜图游戏，以下是他们给出的信息： 小东：它一共有四条边，只有一组对边互相平行。 小郑：它一共有四个角，其中有2个角是锐角，2个角是钝角。 小新：这个图形沿中间对折后左右两边可以完全重合。 根据这些信息可以判断这个平面图形是（    ），请你在点子图中画出这个平面图形。 【答案】等腰梯形；图见详解 【思路引导】根据边的特征判断：小东说它一共有四条边，只有一组对边互相平行，符合梯形的特征，梯形是四边形，且只有一组对边平行 。 根据角的特征判断：小郑说有四个角，其中 2 个角是锐角，2 个角是钝角，梯形中通常存在这样的角的组合情况（非直角梯形）。 根据对称性判断：小新说这个图形沿中间对折后左右两边可以完全重合，等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点所在的直线，沿此直线对折左右两边能完全重合。所以综合三人信息，这个平面图形是等腰梯形。 先在点子图上确定四个点作为等腰梯形的四个顶点。连接上下底，使上底和下底平行，且上底和下底的长度不同（满足梯形特征）。连接两腰，保证两腰长度相等（满足等腰梯形特征）。 【规范解答】根据这些信息可以判断这个平面图形是等腰梯形，作图如下： （答案不唯一） 高频考点讲练14：数图形 【典例精讲】（2024四年级上·全国·专题练习）数一数，有几个平行四边形？ 【答案】6个 【思路引导】两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。单独的平行四边形没有，两个三角形组成的平行四边形有4个，三个三角形组成的平行四边形没有，四个三角形组成的平行四边形有2个，五个三角形组成的平行四边形没有；然后把个数相加即可解答。 【规范解答】根据分析可知： 4＋2＝6（个） 答：有6个平行四边形。 【变式训练】（24-25四年级上·全国·单元测试）数一数，填一填。   ( )组垂线         ( )组平行线                 ( )个平行四边形，( )个梯形 【答案】 5 3 1 4 【思路引导】（1）两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。正方形的四条边两两垂直，并且两条对角线相互垂直，所以该图形中有5组垂线。 （2）首先将图形中的各线段标上数字，即  ，在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。观察所给图形可以发现，线段1与线段2平形，线段4与线段5平形，线段1与线段3平形，所以该图形中有3组平行线。 （3）两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 观察图可以发现，平行四边形只有1个。单个的梯形有2个，由1个小梯形和1个平行四边形组成的大梯形有2个，所以梯形有4个。 【规范解答】（1）由分析可知，第一个图中有5组垂线。 （2）由分析可知，第二个图中有3组平行线。 （3）由分析可知，第三个图中有1个平行四边形，4个梯形。 【演练1】（2023·河北石家庄·小升初真题）过P点分别做OA的垂线和OB的平行线。 【答案】见详解 【思路引导】用三角板的一条直角边与已知直线OA重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边和P点重合，过P沿直角边向已知直线画直线即可。 把三角板的一条直角边与已知直线OB重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和P点重合，过P点沿三角板的直角边画直线即可。 【规范解答】过点P画出OA的垂线、OB的平行线如下： 【演练2】（2024·浙江杭州·小升初真题）如图，在正方形的点子图上，找一点D，使ABCD是一个梯形。D点共有（    ）种不同的选法。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【思路引导】根据梯形的特征，梯形中有两边平行。以BC为底，即与BC平行的底有3种情况，以AB为底，即与AB平行的也有2种情况，这样一共有5种情况。 【规范解答】如图： D点共有5种不同的选法。 故答案为：D 【演练3】（2024·重庆彭水·小升初真题）量出∠A的角度，过C点分别作AC边的垂线和AB边的平行线。 【答案】见详解 【思路引导】用量角器量出∠A的角度是20°，经过点C与AC成90°量出角度得到AC的垂线；经过点C作AB的垂线，量出距离，再从AB的另外一点作垂线量出相同的距离，连接两个点可得到平行线。 【规范解答】作图如下： 【演练4】（2024·四川绵阳·小升初真题）用两个完全一样的三角形，拼成平行四边形，三角形的边长分别为6厘米，5厘米，8厘米，这个平行四边形的周长最大是（    ）厘米。 A．22 B．26 C．28 D．38 【答案】C 【思路引导】要使两个三角形拼成的平行四边形周长最大，那么要把这两个三角形最短的边拼在一起，使较长的两条边作为平行四边形的一组邻边。三角形的边长分别为6厘米，5厘米，8厘米，则拼成的平行四边形相邻的两条边最大是6厘米和8厘米。平行四边形的对边相等，则用一组相邻边的和乘2，可得周长。 【规范解答】通过分析可得： （6＋8）×2 ＝14×2 ＝28（厘米） 则这个平行四边形的周长最大是28厘米。 故答案为：C 【演练5】（2021·宁夏吴忠·小升初真题）下图是平行四边形的两条边。 （1）量出下面∠ABC的度数。 （2）把这个平行四边形画完整。 （3）过C点画出平行四边形的一条高。 【答案】（1）65° （2）（3）见详解 【思路引导】（1）用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合， 0°刻度线与角的一条边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （2）平行四边形：对边平行且相等，根据平行四边形的特征，分别画出过A点和过C点，BC和AB的平行线，围起来的就是平行四边形。 （3）从C点向对边作垂直线段，即是平行四边形的高。 【规范解答】（1）∠ABC的度数是65°。 （2）（3） 【考点剖析】平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。平行四边形一般用图形名称加四个顶点依次命名。 基础夯实 能力提升 1．（24-25四年级上·山西忻州·期中）要把水渠中的水引到点A处浇灌农田，李伯伯设计了4条引水沟，分别是AB、AC、AD、AE（如图），其中最短的引水沟是（    ）。 A．AB B．AC C．AE D．AD 【答案】B 【思路引导】直线外一点到直线上各点的连线段中，垂线段最短，判断哪条线段是垂线段即可。 【规范解答】A．AB不是垂线段； B．AC与水沟垂直，是垂线段； C．AE不是垂线段； D．AD不是垂线段。 即最短的引水沟是AC。 故答案为：B 2．（24-25四年级上·福建厦门·期中）2024年，哈尔滨市计划建设500公里农村公路，不仅方便百姓出行，还助力乡村旅游发展。例如，修建从A村通往省道的公路，将让游客更方便地前往，体验当地的自然风光和文化魅力。如图，线路（    ）最短。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【思路引导】根据从直线外一点到已知直线所画的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫作这一点到直线的距离；图中四条线路中，只有线路③与省道互相垂直，所以线路③最短。据此解答。 【规范解答】根据分析可知： 线路③与省道互相垂直，所以线路③最短。 故答案为：C 3．（24-25四年级上·广东湛江·期中）下图中从点A到线段BE的线段中，最短的一条是（    ）。 A．AB B．AD C．AE 【答案】B 【思路引导】根据垂直的性质：从直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短，据此解答即可。 【规范解答】据分析可得： 上图中从点A到线段BE的线段中，最短的一条是AD。 故答案为：B 4．（24-25四年级上·青海果洛·月考）如图，平行四边形相邻两边的和是15厘米。如果捏住平行四边形的一组对角把它拉成长方形后，长方形的周长是( )厘米。 【答案】30 【思路引导】根据题意，平行四边形的对边平行且相等。捏住平行四边形的一组对角把它拉成长方形后，长方形的长和宽就是10厘米和5厘米。长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入即可计算出周长。 【规范解答】（10＋5）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 所以，长方形的周长是30厘米。 5．（24-25四年级上·四川绵阳·期中）下图中，平行四边形的高是28厘米，它的底是( )厘米。 【答案】25 【思路引导】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。据此解答。 【规范解答】由图可知，平行四边形有两组底和高。一组底为35厘米，高为20厘米。另一组底为25厘米，高为28厘米。 故平行四边形的高是28厘米，它的底是25厘米。 6．（24-25四年级上·青海果洛·月考）画一画，填一填。 （1）把点子图中的图形补充成一个完整的平行四边形，并画出BC底边上的一条高。 （2）如果每相邻两点的距离是2厘米，那么平行四边形BC边上的高是（    ）厘米。 【答案】（1）见详解；（2）4 【思路引导】（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。平行四边形的底边BC占2格，所以从点A向右水平画线段，使得这条线段上有3个点子，此时上底与下底不仅相等，且平行，再把所画线段右边的端点与点C相连，即可得到平行四边形。把直角三角尺的直角边与底边BC重合，移动三角尺，使得平行四边形右上角的顶点在三角尺的另一条直角边上，固定三角尺，过这一点沿着这条直角边向线段BC画线段，即为BC底边上的一条高。 （2）由（1）中所画的图可知，这条高上共有3个点，每相邻两点的距离是2厘米，所以高是2个2厘米，即为4厘米。 【规范解答】 （1） （2）2×2＝4（厘米） 如果每相邻两点的距离是2厘米，那么平行四边形BC边上的高是4厘米。 7．（24-25四年级上·青海果洛·月考）用12厘米长的一根铁丝正好围成一个平行四边形，这个平行四边形的一条边为4厘米，拉动平行四边形使其变成长方形，长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】8平方厘米 【思路引导】根据平行四边形的特征，它的两组对边平行且相等。用铁丝的长度减去2个4厘米的长度，就是平行四边形一组对边的长度和。再除以2就是平行四边形一条边的长度。拉动平行四边形使其变成长方形，平行四边形的两条相邻的边就变成长方形的长和宽。长方形的面积＝长×宽，代入计算即可。 【规范解答】（12－4×2）÷2 ＝（12－8）÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 2×4＝8（平方厘米） 答：长方形的面积是8平方厘米。 8．（23-24四年级上·山东济宁·期中）下图中，直线a和直线b互相平行。 （1）测量∠1和∠2的度数，并比较这两个角的大小。 ∠1＝（     ）°，∠2＝（     ）°，∠1○∠2。 （2）观察∠1和∠2的位置关系，你还能在图中找到这样关系的角吗？ 写一写吧！ 【答案】（1）∠1＝30°，∠2＝30°，∠1＝∠2 （2）∠3＝∠4，∠5＝∠6（答案不唯一） 【思路引导】（1）用量角器量角：将量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的边重合，另一条边所对应的刻度即为该角的度数，据此量出∠1和∠2的度数并比较即可。 （2）观察∠1和∠2的位置关系可以发现，直线a和直线b互相平行，∠1在直线a的上方，∠2在直线b的上方，并且都在分割线的右边，据此找到∠3和∠4、∠5和∠6也是类似的位置。 【规范解答】（1）通过测量∠1＝30°，∠2＝30° ∠1＝∠2 （2）根据分析： ∠3＝∠4，∠5＝∠6（答案不唯一） 9．（24-25四年级上·青海海东·期中）过O点画线段的平行线和的垂线。 【答案】见详解 【思路引导】（1）过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 （2）过直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的点落在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【规范解答】根据分析画图如下： 10．（25-26四年级上·黑龙江佳木斯·期中）画出下面平行四边形指定底边上的高。 【答案】见详解 【思路引导】从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。据此作图。 【规范解答】 创新拓展 拔尖冲刺 11．（24-25四年级上·河南郑州·期中）两个完全一样的直角梯形可以拼成一个（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．平行四边形 D．长方形或平行四边形 【答案】D 【思路引导】直角梯形特征：只有一组对边平行，有两个角是直角；那么两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形，可以动手操作一下，据此即可解答。 【规范解答】根据题干分析可得： 所以两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形或平行四边形。 故答案为：D 12．（24-25四年级上·山东菏泽·期中）观察下面6组直线的位置关系，按一定标准分类可以得到右面的两类。下列选项中，你不赞成（    ）的分类标准。 A．小红：两条直线是否互相平行 B．小亮：两条直线是否互相垂直 C．小明：两条直线是否相交 【答案】B 【思路引导】同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。由图可知①和③是两组互相平行的线。而②④⑤中的线是相交的关系，⑥中的两条线延长后也会相交。借助直角三角尺的直角，比较发现②④⑤中的两条线是互相垂直的，而垂直是相交的一种特殊情况。 【规范解答】互相平行的有：①和③。 两线相交的有：②④⑤⑥。 A．小红：两条直线是否互相平行，赞成。 B．小亮：两条直线是否互相垂直，不赞成。 C．小明：两条直线是否相交，赞成。 故答案为：B 13．（21-22四年级下·浙江金华·期末）在图中找一个点，使它和点A、B、C顺次连接成为一个梯形，一共有（    ）种不同的选法。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形的两组对边分别平行；过C点作AB边的平行线，此时有4个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；过A点作BC边的平行线，此时有2个点可与点A、B、C依次连接成为一个梯形；依此选择。 【规范解答】 4＋2＝6（种） 故答案为：C 【考点剖析】此题考查的是搭配问题的计算，熟练掌握梯形和平行四边形的特点是解答此题的关键。 14．（24-25四年级上·青海果洛·月考）一块等腰梯形的广告牌，上底长12分米，下底长15分米，腰长13分米，在这块广告牌的四周围上彩灯，则彩灯最短长( )分米。 【答案】53 【思路引导】两腰相等的梯形叫等腰梯形，在广告牌的四周围上彩灯，彩灯的长度即为这个梯形的周长，把其4条边的长度相加即可。 【规范解答】12＋15＋13×2 ＝12＋15＋26 ＝27＋26 ＝53（分米） 彩灯最短长53分米。 15．（24-25四年级上·山东菏泽·期中）如图所示，直线( )与( )互相垂直，直线( )与( )互相平行。 【答案】 a c a b 【思路引导】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；据此进行解答。 【规范解答】如图所示，直线a与c互相垂直，直线a与b互相平行。（答案不唯一） 16．（25-26四年级上·全国·单元测试）球小将在绿茵场上畅意竞技。如图所示，在足球场的四个角分别标上A、B、C、D，线段AD与BC互相平行。 （1）在球场之间拉一条横幅EF，已知足球场两长边中点的连线MN为68米，如图，则横幅EF的最短长度为多少米？ （2）球场上的Q处掉落一个水瓶，志愿者在P处，现志愿者需要将水瓶带离球场，请你设计出志愿者的最短路线图，在图中画出来。 【答案】（1）68米； （2）图见详解； 【思路引导】（1）端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等，所以EF＝MN＝68米； （2）两点之间线段最短，直线外一点到直线上的所有线段中，垂线段最短。所以志愿者先直走到点Q处，再从Q点向最近的球场边界作垂线段走出球场，最短路线为P到Q再到该垂线段的垂足。 【规范解答】根据分析可得： （1）两条平行线之间垂线段最短，已知MN是足球场两长边中点的连线，所以当EF与MN平行时，EF最短， 端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等，故EF＝MN＝68（米）； 答：横幅EF的最短长度为68米。 （2）最短路线图如下图： 17．（25-26四年级上·全国·单元测试）要给小区步梯更换不锈钢扶手栏杆，一层楼梯扶手有15个相同的小平行四边形（缺一条边），突出一个尾端，则施工队为每层楼梯准备20米钢材，够用吗？（接口处忽略不计） 【答案】够 【思路引导】如图，平行四边形的对边平行且相等。15个相同的小平行四边形，就需要15个3分米，用15×3算出3分米的需要多少钢材。因为缺一条边，需要（15＋1）个9分米，用16×9算出9分米的需要多少钢材。两个长度和再加上尾端的2分米，就是需要的钢材的长度。1米＝10分米，20米就是20个10分米。转换成分米之后，再比较。据此解答。 【规范解答】15＋1＝16（个） 15×3＝45（分米） 16×9＝144（分米） 45＋144＋2 ＝189＋2 ＝191（分米） 20米＝200分米 200＞191 答：够用。 18．（25-26四年级上·全国·单元测试）小区有一个近似梯形的健身区，下底与腰等长，且是上底的2倍，米豆和小麦两个小朋友绕健身区四周玩滑滑车，已知米豆以60米/分钟的速度从A点经过B点到C点，共花了5分钟；小麦从A点经过D点到C点只用了3分钟。 （1）小麦每分钟滑多少米？ （2）若米豆和小麦都按照A→B→C→D的方向玩滑滑车，18分钟时，小麦能再次遇见米豆吗？ 【答案】（1）75； （2）不能 【思路引导】（1）米豆以60米/分钟的速度从A点经过B点到C点，共花了5分钟，根据“路程＝速度×时间”即可求出AB与BC的长度之和为：60×5＝300（米）。再根据下底与腰等长，即可求出AB与BC的长度均为：300÷2＝150（米），AD的长度也是150米。下底是上底的2倍，因此可以求出DC的长度为：150÷2＝75（米）。因此小麦从A点经过D点到C点的路程为：150＋75＝225（米）。最后再根据“速度＝路程÷时间”即可求出小麦每分钟滑多少米。 （2）先求出小麦18分钟滑的路程，再求出米豆18分钟滑的路程，相减即可求出两人18分钟滑的路程之差。如果这个路程之差等于健身区一周的长度，则说明18分钟时小麦能再次遇见米豆；如果这个路程之差不等于健身区一周的长度，则说明18分钟时小麦不能再次遇见米豆。据此即可解决。 【规范解答】（1）AB与BC的长度均为： 60×5÷2 ＝300÷2 ＝150（米） DC的长度：150÷2＝75（米） 小麦的速度：（150＋75）÷3 ＝225÷3 ＝75（米/分钟） 答：小麦每分钟滑75米。 （2）健身区一周的长度：75＋150×3 ＝75＋450 ＝525（米） 米豆滑的路程：60×18＝1080（米） 小麦滑的路程：75×18＝1350（米） 1350－1080＝270（米） 270≠525 答：18分钟时，小麦不能再次遇见米豆。 【考点剖析】（1）熟练运用速度公式，明确梯形的特点，是此题解题的关键； （2）明确两人相遇时，两个共同的总路程与梯形周长之间的关系，是此题解题的关键。 19．（20-21四年级上·全国·单元测试）下图中等腰梯形的上底与腰长相等，下底长度是上底的2倍。请你将这个等腰梯形分别割成形状、大小都相同的4个部分。 【答案】见详解 【思路引导】依据等腰梯形的上底和腰长相等，可将上底、腰作为分成的梯形的下底；又因为下底长度是上底的2倍，可以在大梯形的下底中间截取一条和原梯形上底相等的线段，作为分成的梯形的下底，然后分割即可。 【规范解答】根据分析，分割梯形如下： 【考点剖析】本题考查了图形的切拼，熟练掌握梯形的特征是解题的关键。 20．（25-26四年级上·全国·单元测试）如图，每个小方格边长都为1厘米，按要求完成下面各题。 （1）∠B是（   ）角。 （2）以AB、BC作为梯形的两条边，找到点D，在方格图中画一个等腰梯形ABCD。 （3）过点B画梯形CD边上的高BE，并标出垂足E。 （4）在梯形ABCD中画一条线段，使得梯形被分成一个平行四边形和一个三角形。这个平行四边形的一条高是（    ）厘米。 【答案】（1）钝 （2）（3）（4）见详解 （4）3 【思路引导】（1）钝角的度数大于90°。由图可知，∠B的度数肯定大于90°，所以∠B是一个钝角。 （2）等腰梯形的两条腰长度相等。由题意得，可以根据等腰梯形“两腰相等”的特点先找到点D，然后再连接AD和CD即可。 （3）从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高，这条对边叫做梯形的底。 （4）由题意得，要想把梯形分成一个平行四边形和一个三角形，平行四边形的两组对边分别平行，那么所画的线段应该与梯形ABCD 其中的一条腰AD（或者BC）平行且相等；从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，这条线段是平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底。据此解答。 【规范解答】（1）∠B是钝角。 （2）（3）（4） （答案不唯一） （4）由图可知，平行四边形的高和梯形的高一样长，它的长度等于3个格子的边长，所以这个平行四边形的一条高是3厘米。 故这个平行四边形的一条高是3厘米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $