第十六章 整式的乘法单元测试·培优卷 -2025-2026学年人教版 八年级数学上册

2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷 第十六章 整式的乘法 单元测试·培优卷 （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D C C A B C D 1．A 本题考查了整式的混合运算，熟练计算是解题的关键． 利用单项式乘以多项式，同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项，逐一判断即可解答． 解：A、，故该选项正确，符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、无法合并，故该选项错误，不符合题意． 故选：A． 2．C 题目主要考查单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． 计算两个单项式的乘积，需将系数相乘，同底数幂相乘指数相加． 解：， 故选：C． 3．A 本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，即可得到答案． 解：依题意，， ∴需要类卡片的张数为6， 故选：A． 4．D 本题考查了多项式乘多项式，已知式子的值求代数式的值．通过展开表达式，并利用已知条件和代入进行计算，即可作答． 解：依题意，， 又∵，， ∴， 故选：D． 5．C 本题考查平方差公式的几何背景，利用两种方法表示出图形的面积，即可得解． 解：在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形， ∴第一个图形中剩余的面积为：， 由第一个图形可知，大平行四边形的高为：, ∴第二个图形的大平行四边形的面积为， ∴； 故选：C． 6．C 本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，合并同类项法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、与不是同类项，不能合并，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 7．A 本题考查的是幂的乘方，灵活运用幂的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方公式，将、、的指数化为相同，进而比较底数大小得出三者的大小关系． ，，， 且， ． 故选：． 8．B 本题考查了同底数幂的乘法运算性质，解题的关键是利用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则，将已知条件转化为、、的数量关系，再逐一验证关系式． 根据已知条件，利用同底数幂乘法法则推导、、的关系：由得；由得，即；将上述关系代入四个关系式，验证等式是否成立． 解：∵，， ∴． 又∵， ∴． 验证①：，，故，①正确； 验证②：，②错误； 验证③：，③错误； 验证④：，，故，④正确； 正确的关系式为①④， 故选：B． 9．C 本题主要考查了逆用幂的乘方法则、同底数幂的除法法则等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 将27和9分别表示为3的幂，利用同底数幂的运算法则简化表达式，再代入已知条件求值即可． 解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选C． 10．D 本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键． 设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得． 解：如图，设正方形的边长为， 则， ， ， ∵长方形纸片的周长为，面积为， ∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意； 图中①的面积为， ②的面积为， ∴①和②的面积差为， ∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意； ∵长方形纸片和②的面积差为， ∴若知道长方形纸片和②的面积差，不能求出，即选项D符合题意； 故选：D． 11．12 本题考查了同底数幂的运算法则，掌握“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”是解题的关键． 先逆用同底数幂的运算法则，将 分解为 再利用已知条件即可解答． 解：可知， 又， ． 故答案为：12． 12． 本题考查了整式的除法，根据题意列出除法算式，掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键． 根据题意列出除法算式，利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案． 解：由题意得： ， 故答案为：． 13．90 本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积． 解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得： 的长为：，宽为：，故 的长为：，宽为：，故； 的长为：，宽为：，故． ∵， 解得 故答案为：90． 14． 本题考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式进行计算即可． 解： 故答案为：． 15．32 本题考查同底数幂的乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，掌握知识点是解题的关键． 利用指数运算法则，将分解为，再代入已知条件计算． 解：由已知，，则 ， 所以． 故答案为：32． 16．或 本题主要考查了完全平方公式和新定义的理解和运用，正确理解新定义并熟练运用时解答本题的关键； 根据新定义可得，，然后求得，然后结合m、x、y均为正整数，，然后即可求解； 解：由题意得：，， ∴， ∴， ∵m、x、y均为正整数， ∴， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴或， ∴当时，； 当时，； 故答案为：或； 17．原式，当，时，原式 本题考查了二次根式的非负性、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次根式的非负性可求出和，进而解题即可． 解：∵，， 而， ∴，， 解得：，； ， 当，时，原式． 18．(1)2 (2)1 本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． （1）将全部写成底数为2的幂的形式，得到关于的方程，解方程求出即可； （2）先把等式写成，提取公因式，得到关于的方程，解方程求出即可． （1）解：， , 解得， 故的值为2． （2）， 即， ， ， ， ， 解得， 故的值为1． 19．(1) (2) 本题主要考查了利用整式解决实际问题，整式的混合运算，代数求值等，解题的关键是掌握整式的各运算法则． （1）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可； （2）根据题意列出代数式，利用多项式乘多项式进行化简即可． （1）解： ； （2）解： ． 20．(1) (2) (3) 本题主要考查了幂的乘方的逆用，同底数幂相乘， （1）逆用幂的乘方将原式整理为，再根据指数相等求出答案； （2）逆用同底数幂相乘法则得，再提出公因式，并根据指数相等得出答案； （3）逆用幂的乘方整理，再代入计算． （1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴， ∴． 21．(1)i； 5 (2) (3) 本题考查整式的运算、解二元一次方程组、代数式求值，理解题中虚数定义和复数的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似并灵活运用是解答的关键． （1）根据题中虚数定义和整式中的同底数幂的乘法运算法则以及整式的平方差公式求解即可； （2）利用整式的完全平方公式和题中虚数定义求解即可； （3）根据复数相等列二元一次方程组求得x、y值，再代值求解即可． （1）解：； ； 故答案为：i；5 （2）解：； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 22．(1)28 (2)32不是神秘数 (3)小明的说法正确 本题考查新定义“神秘数”的应用及整式的运算，解题的关键是根据连续偶数的表示方法推导神秘数的代数形式． （1）根据“神秘数”的定义，找大于20的最小连续偶数的平方差； （2）假设32是神秘数，列方程判断是否存在整数解； （3）用代数形式表示神秘数，分析其与4.8的倍数关系． （1）解：设两个连续偶数为和（为整数），则神秘数为： ， 已知20对应的， 下一个神秘数为：， 故大于20的最小神秘数是28， 故答案为：28； （2）解：假设32是神秘数，则存在非负整数，使得： 化简得：，， 为不是整数， 32不是神秘数； （3）解：用和（为非负整数）表示两个连续偶数，神秘数为： ， 含因数4， 神秘数一定是的倍数， 又是奇数， 不能被8整除（8的倍数需含因数8，即同时含4和2的倍数，但是奇数）， 因此，小明的说法正确，小华的说法错误． 23．(1) (2)加工该零件的总费用为：元． 本题考查的是多项式的乘法与图形面积，求解代数式的值． （1）根据直角梯形的面积减去正方形的面积即可得到答案． （2）把代入（1）中的代数式计算面积，再进一步求解费用即可． （1）解：由题意可得： 零件的加工面积为： ． （2）解：当时， ， ∴加工该零件的总费用为：（元）． 24．(1)的最大值为25 (2)长方形面积的最大值为 (3)有最小值，最小值为 本题主要考查了配方法，完全平方公式，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （2）设长方形的一边长为，则它的邻边长为，利用配方法整理代数式，然后求出最值即可； （3）对原式进行变形得出，利用配方法整理代数式，得出最值即可． （1）解： ， ， ， 当时，的值最大为25， 的最大值为25； （2）解：设长方形的一边长为，则它的邻边长为， 长方形的面积 ， ， ， 当时，的值最大为100， 长方形面积的最大值为； （3）解：有最小值，最小值为，理由如下： ， ， ， ， 当时，式子有最小值， 有最小值， 当时，， 的最小值为， 有最小值，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷 第十六章 整式的乘法 单元测试·培优卷 （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．如图，若用正方形卡片A类（边长为a）、B类（边长为b）和长方形卡片C类（长为a、宽为b）拼长为、宽为的长方形，需要C类卡片的张数为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．已知 ，，则的值为（   ） A．0 B．1 C．3 D．4 5．如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（   ） A． B． C． D． 6．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 9．已知（均为正整数），则的值为（   ） A．3 B．9 C．27 D．81 10．如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置在正方形内部，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图6和图7中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求的值的是（   ） A．①和②的面积差 B．长方形纸片长和宽的差 C．长方形纸片的周长和面积 D．长方形纸片和②的面积差 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．已知，求的值是 ． 12．如图是一个运算程序，若输入的m为，输出的x为，则p为 ． 13．如图，在长方形中放入一个边长为8的正方形和两个边长为6的正方形．若阴影部分的面积满足，则长方形的面积为 ． 14．计算： ． 15．已知，，则 ． 16．已知m、x、y均为正整数，且，当时，我们称正整数m为“可媲美勾股数”，把x与y的积称为m的“勾股值”，用表示，即．例如：，，就是一个“可媲美勾股数”，6是的勾股值．已知正整数m为“可媲美勾股数”，且满足，m的勾股值为，则m的值为 ． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分） 17．已知，先化简，后求值：． 18．若（且，，是正整数），则． (1)如果，求的值； (2)已知满足，求的值． 19．如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含、的代数式表示花园的面积； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路上都铺上地砖，用含的代数式表示铺设地砖的面积． 20．若（且，m，n是正有理数数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 21．阅读理解： 定义：如果一个数的平方等于，记为，则这个数i叫做虚数单位，形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．复数的加、减、乘法、乘方运算可以延用整式的运算法则． 例如：； ； ． (1)填空：______，______； (2)计算：； (3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等．完成下列问题：已知，x，y为实数，求． 22．人们通过数字了解世界，制定礼法，也给数字增添了神秘的色彩．数学上的数字也有神秘色彩，如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么我们把它称为“神秘数”．如：，因此4，12，20都是“神秘数”． 请根据以上材料，解答下列问题： (1)直接写出大于20的最小神秘数___________； (2)32是神秘数吗？为什么？ (3)小明说：任何一个神秘数一定是4的倍数但不可能是8的倍数．小华说：有的神秘数不仅是4的倍数，而且是8的倍数．我们用和表示两个连续偶数（其中取非负整数），请你通过推理，判断小明和小华谁的说法是正确的． 23．长春某机械厂要加工一个直角梯形零件，上底为厘米，下底为厘米，高为厘米（下底上底）．加工时需要在零件上挖去一个边长为厘米的正方形小孔． (1)求零件的面积； (2)若，且每平方厘米的加工费为元，求加工该零件的总费用． 24．观察下列等式： ，，，，… 我们发现，两个数的和为60，这两个数差的绝对值越小，积越大，当这两个数相等时，这两个数的积最大为900．即，当时，的最大值为900． 利用我们学过的完全平方公式证明如下：因为，所以，则，因为，所以，所以当时，式子的值最大为900，此时，． 根据以上材料，解决下面问题： (1)求的最大值； (2)一个长方形的周长为40，求这个长方形面积的最大值； (3)已知，请判断有最大值还是有最小值，并求出的最大（小）值． 学科网（北京）股份有限公司 $