第17章 因式分解单元测试·培优卷 -2025-2026学年人教版 八年级数学上册

2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷 第17章 因式分解 单元测试·培优卷 （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C A D B C B C C A 1．D 本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键． 根据因式分解的定义，判断等式是否满足左边是多项式，右边是几个整式的积，且左右相等即可． 解：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式； 对于A：右边为，未分解彻底，不符合题意； 对于B：右边为，是整式乘法展开，不是因式分解，不符合题意； 对于C：右边为，含有加法运算，不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 对于D：右边为，是积的形式，且左右相等，符合因式分解定义，符合题意； ∴故选：D． 2．C 本题考查了多项式的因式分解，将多项式因式分解后代入计算各因式的值，按从小到大排列得到加密数据，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 解：， 当时，，， ∴将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：， 故选：． 3．A 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可． 解：A、，故此选项正确； B、，故此选项错误； C、，原式漏项，故此选项错误； D、，不是因式分解，是整式的乘法，故此选项错误； 故选：A． 4．D 本题考查了公因式求解，准确的计算是解决本题的关键． 通过因式分解发现其含有因式，且能整除自身，则可判断． 解：∵，且， ∴是公因式． 故选D． 5．B 本题考查了多项式乘多项式，将因式分解后的形式展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程，求解即可． 解： ， 由一次项系数得，， 解得； 由常数项得，， 解得； ∴ ． 故选：B． 6．C 本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 7．B 本题考查了因式分解，乘法公式． 根据平方差公式和完全平方公式逐一计算各式左、右两边的式子，比较即可． 解：①：右边展开为：，与左边不符，故①错误； ②：左边展开为：， 右边展开为：，与左边相等，故②正确； ③：右边展开为：，与左边不符，故③错误； ④：右边展开为：，与左边相等，故④正确； 综上，正确的有②和④，共2个， 故选B． 8．C 本题考查了完全平方公式的应用，完全平方公式为 ，正确运用完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式的结构进行分析判断即可求解． 解：对于 ： ∵ ， ∴ 能用完全平方公式分解； 对于 ： ∵ 该多项式含负号项 ，不符合 的形式， ∴ 不能用完全平方公式分解； 对于 ： 设 ，则原式为 ， ∵ ， ∴ 能用完全平方公式分解； 综上，有两个多项式能用完全平方公式分解， 故选：C． 9．C 根据乘法公式：分别进行判断即可． 解：A、，故该选项不合题意； B、不能进行因式分解，故该选项不合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不合题意； 故选：C． 本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式． 10．A 此题考查因式分解的应用，根据题意得到，代入所求代数式因式分解后的因式中计算即可 解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴， ∴， 故选：A 11．16 本题考查因式分解的定义，熟练掌握因式分解是解题的关键． 由于多项式有一个因式，根据因式定理，当时，多项式的值为零，据此进行求解即可． 解：将代入多项式，得，解得 故答案为：． 12． 本题主要考查了平方差公式和因式分解，掌握平方差公式的结构是解题的关键． 根据平方差公式和因式分解的定义即可解答． 解：式子叫做a、b的平方差，它分解因式是． 故答案为：，． 13． 本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由可变形为，然后根据为整数，进而得出a、b的值，最后问题可求解． 解： ， ∵为整数， ∴和也为整数， ∴当，时，则有（不符合题意，舍去）； 当，时，则有， ∴； 故答案为． 14． 本题考查因式分解，先分组，再运用完全平方公式与平方差公式相结合求解即可． 解： ． 故答案为：． 15． 本题主要考查多项式除以单项式、因式分解等知识点，熟练掌握运算提取公因式进行因式分解是解题的关键． 根据题意可知：，然后再运用因式分解和多项式除以单项式即可解答． 解：∵， ∴ ． 故答案为：． 16． 本题考查新定义、有理数的混合运算、因式分解，根据定义可得2为1的倍数，千位不能为0，则千位为2，十位为1，各个位上数字均不相同，则个位为3，百位为6，即可求解；根据题意求得，根据整除求得或5或8，再根据，分类求得a、b的值，结合定义，分类讨论求解即可． 解：2为1的倍数，千位不能为0，则千位为2，十位为1， ∵各个位上数字均不相同， 则个位为3，百位为6， ∴最小的“间倍数”是， 故答案为：； ∵ ∵无论两位数是什么数，“间倍数”N都能被3整除， ∴能被3整除， ∴或5或8， ∵， 当时，， 则， ∴两位数、32、43、54、65、76、87、98， ∵N为四位数， ∴两位数、32、43， 当时，、6432、8643，其中4221中的数字2重复，不是“间倍数”， 当时，两位数，不是四位数， 当时，不存在“间倍数” 当时，， 则， ∴两位数、23、24， 当时，、4623、6834，其中2412中数字2重复，不是“间倍数”， 当时，两位数，，存在0，不是“间倍数”， 当时，两位数，此时，非数字为倍数关系故舍去， 综上所述，所以符合题意的“间倍数”N为， ∴符合题意的最小“间倍数”N为， 故答案为：． 17．(1)； (2)； (3)； (4)． 本题考查了提公因式法因式分解，正确确定公因式是解题的关键． （1）提取公因式，分解因式即可； （2）提取公因式，分解因式即可； （3）提取公因式，分解因式即可； （4）提取公因式，分解因式即可． （1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 18．(1) (2) 本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键． （1）先提取公因式将所求式子因式分解为，再将已知式子的值代入即可得； （2）利用完全平方公式进行变形求值即可得． （1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 19．(1) (2) (3)12 本题考查因式分解的应用． （1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可； （2）配方后原式，因为，则，即可得出多项式的最值； （3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出各条边长，再求周长即可． （1）解： ； （2）解： ∵ ∴ ∴ 多项式的最大值是； （3）解：， 即， ， ， ，，， ∴的周长为． 20．(1)C (2) (3) 本题考查了因式分解-换元法，公式法，理解阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用平方差公式将结果分解到不能分解为止； （3）仿照材料中求解方法，用换元法进行分解因式． （1）解：由可知，小涵运用了完全平方公式法进行因式分解， 故选：C； （2）解：由得该因式分解的最后结果为， 故答案为：； （3）解：依题意，设， ． 21．(1) (2)10 本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、运用完全平方公式进行分解． （1）将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，得到，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． （1）解： ， 故答案为：； （2）解：， ∴， ∴， ，，， ，，， ∴，，， ， 故的周长为：10． 22．(1) (2) 本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． （1）根据题意利用十字相乘解题即可； （2）根据题意利用十字相乘解题即可． （1）解：： 二次项系数，常数项． 验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以； （2）解：： 二次项系数， 常数项，验算交叉相乘之和：，不符合； 再尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；继续尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；最后尝试常数项，验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以． 23． (1) (2) 等腰三角形，理由见解析 本题主要考查了分解因式，熟练掌握分组分解因式的方法是解题的关键． (1) 对多项式进行分组，提取公因式后因式分解； (2) 将等式变形为因式乘积形式，利用三角形三边关系判断其形状. （1）解： 原式 （2）∵ ∴ ∵三角形的三边长分别是，， ∴ ∴即 ∴这个三角形是等腰三角形. 24．(1)是等腰三角形，见解析 (2)的周长为 (3)①；②时，的值最大，最大值是 （1）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从得到是等腰三角形； （2）首先应用分组分解法，把分解因式，然后得到，从而得到，，由三角形三边的不等关系得，由为整数得，即可求得的周长； （3）①由题意得，，，，由三角形面积公式即可求解； ②把①中函数解析式配成顶点式，由二次函数性质即可求解． （1）解：∵的三边长，，满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵ ∴ ∴， ∴，， ∵ ∴， ∵，，为整数， ∴ ∴的周长为； （3）解：①∵，， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴的面积为；． ②由①知， ∵， ∴当时，的值最大，最大值是． 本题考查了因式分解，二次函数性质等，熟练掌握因式分解的方法及二次函数性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年八年级数学上学期单元测试卷 第17章 因式分解 单元测试·培优卷 （ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．为保证数据安全，通常会将数据经过加密的方式进行保存，例加：将一个多项式因式分解为，当时，，，将得到的三个数字按照从小到大的顺序排列得到加密数据：，根据上述方法．当时，多项式分解因式后形成的加密数据是（   ） A． B． C． D． 3．下列因式分解正确的是（　） A． B． C． D． 4．多项式和的公因式是（    ） A． B． C． D． 5．若将多项式因式分解，得，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 7．下列各式：①，②，③，④分解因式正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．多项式中，能用完全平方公式分解因式的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．若关于x的多项式有一个因式是，则m的值为 ． 12．式子 叫做a、b的平方差，它分解因式是 ． 13．已知整数满足，则的值是 ． 14．分解因式： ． 15．若，则M等于 ． 16．一个四位正整数，其各个位上数字均不相同且不为零．若其千位数字是十位数字的整数倍，百位数字是个位数字的整数倍，那么称这个四位正整数叫“间倍数”，例如4621满足，则4621是“间倍数”．最小的“间倍数”是 ；已知“间倍数”且均为整数，若无论两位数ab是什么数，“间倍数”都能被3整除，当时，符合题意的最小“间倍数”为 ． 三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分） 17．分解因式： (1) ； (2) ； (3) ； (4)． 18．已知，． (1)求的值： (2)求的值： 19．【阅读材料】 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，例如． 【解决问题】 (1)分解因式利用公式法：； (2)求多项式的最大值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 20．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”，下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的：______； A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：______； (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． 21．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法等，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．例如，分组分解法：． 仔细阅读以上内容，解决下面问题： (1)因式分解：_____． (2)已知：、、为的三条边，，求的周长． 22．阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： (1) (2) 23．综合与实践 【阅读材料，掌握知识】 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式不能直接用上述两种方法进行分解.某数学学习小组对分解因式题目进行了如下探究： 分解因式： 解法一： 解法二： 小结：对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法． 【理解知识，尝试应用】 （1）因式分解：； 【提炼思想，拓展应用】 （2）已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 24．材料一：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用． 例如若，利用配方法求的最小值； ； ，， 当时，有最小值． 材料二：分解因式时，细心观察这个式子就会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程为： 这种分解因式的方法叫做分组分解法． 利用以上材料解决下列问题： (1)已知的三边长，，，满足，试判断的形状，并说明理由． (2)已知，，是的三边长，，，为整数且满足，求的周长． (3)如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中任何一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为，的面积为． ①用含有的代数式表示． ②当为何值时，的值最大，最大值是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $