精品解析：2026届四川省成都市郫都区高三二模数学试题

成都市郫都区高2023级阶段性检测（二） 数学 说明：1．本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟． 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的概念求解. 【详解】集合，则. 故选：A. 2. 某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据70%分位数为（ ） A 26 B. 32 C. 35 D. 38 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算公式即可求解. 【详解】由于,这组数据的70%分位数为第5个数38， 故选：D 3. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程的公式即可得到答案. 【详解】由题意得，则其渐近线方程为. 故选：B. 4. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】观察法求出数列的通项公式，令，解方程求出结果即可. 【详解】由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 5. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 【答案】B 【解析】 【分析】结合给定的函数模型利用对数的运算性质化简求解. 【详解】设训练及个单位的数据量所需时间分别为，， ， 所以训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的3倍. 故选：B 6. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，则（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象变换以及奇函数性质，可得函数的图象关于中心对称，得到，进而求得即可得答案. 【详解】由的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，可得函数的图象， 因为函数是奇函数， 即该函数图象关于中心对称， 所以函数的图象关于中心对称， 所以， 因此，，， 所以， 故选：A. 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知含的项是由的6项中取5个x，取1个常数，即可得解. 【详解】因为含项是由的6项中取5个x，取1个常数， 所以的系数为. 故选：B． 8. 一封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个半径为的小球在该容器底面运动，则小球与侧面接触部分的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，球在圆锥底面运动且与侧面接触时的轨迹为圆，求出圆的直径即可得解. 【详解】由题意，轴截面示意图如下，当球与圆锥轴截面两条边都相切时，球心在角平分线上， 由，，则，可得， 故， 如上图都是球与圆锥内壁的切点， 所以小球与圆锥侧面接触部分的轨迹为以为直径的圆， 故小球在该容器底面运动时，小球与侧面接触部分的轨迹长为. 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 用平面截一个几何体，如果所得截面是矩形，那么该几何体可能是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 四棱锥 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆柱、圆锥、棱柱、棱锥的几何性质逐一验证即可得出结论. 【详解】对于A，过圆柱旋转轴的截面截圆柱所得截面为矩形，因此A正确； 对于B，截圆锥所得平面可以是三角形和曲边图形，不可能是矩形，即B错误； 对于C，在直三棱柱中，用平行于某一侧面的截面截三棱柱所得的截面可以为矩形，即C正确； 对于D，在正四棱锥中，用平行于底面截面截四棱锥可以得到矩形截面，即D正确. 故选：ACD 10. 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（ ） A. 面积的最小值为6 B. 面积的最大值为12 C. 切线长的最小值是4 D. 切线长的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得坐标，由直线与圆的位置关系即可得到点到距离的最小值，从而判断AB，再由勾股定理代入计算，即可判断CD. 【详解】根据题意，直线分别与轴、轴交于，两点，则，，故， 圆的圆心到直线的距离， 圆的半径为，则点到距离的最小值为，最大值为， 故面积的最小值，所以A项正确； 面积的最大值，所以选项B正确； 圆心到直线的距离，所以切线长的最小值，所以C项正确. 故选：ABC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上恰有3个零点 D. 若在上单调递增，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】先根据角的象限分类得出分段函数，应用周期定义计算判断A，根据对称性定义计算判断B，应用函数图象得出零点个数判断C，根据函数图象判断D. 【详解】①当时， ， ②当时，， ③当时， ④当时，， 因此，， 所以函数的图象，如图所示： A选项：因为 ，故A不正确； B选项：因为 ， 所以的图象关于对称，故B正确； C选项：由的函数解析式以及函数图像可知： 当时，，当时，，当时，， 所以在上有无数个零点，故C错误； D选项：由，，得， 因为在上单调递增，所以由的图象可知，解得， 则的最大值为，故D正确； 故选：BD． 第II卷（非选择题共92分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，，，则_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据等比数列性质利用整体的比值求出公比满足，即可计算出结果. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，即得； 因此. 故答案为： 13. 若直线是曲线的切线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合给定切线列式求解. 【详解】设切点为，由求导得，由直线是曲线的切线， 得，则，所以. 故答案为： 14. 已知满足，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据切弦互化得，进而整理得，再根据展开整理得，最后利用展开求解即可. 【详解】解：由得，即， 所以， 因为，所以， 因为， 所以， 所以 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． （1）求C的方程； （2）若为以为底边的等腰三角形，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，由化简整理可得的方程； （2）由题意可知，以为底边的等腰三角形的顶点在直线上，联立直线与的方程，可求得，从而得，求出，进而由三角形面积公式求出答案． 【小问1详解】 点关于坐标原点的对称点为， 设，则，且， ∵，且， ∴整理得. ∴的方程为． 【小问2详解】 ∵点关于坐标原点的对称点为，， ∴的垂直平分线过原点且斜率为，故的垂直平分线的方程为. ∴以为底边的等腰三角形的顶点在直线上， 联立，解得． 故， 又. ∴ 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，若平面，求. （3）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作，垂足为，连接.在中，根据题设证得，进而得到平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先在（1）的基础上证得平面，再结合平面得到平面平面.再根据面面平行的性质，利用线段成比例即可得解；. （3）利用题意建立空间直角坐标系，结合平面的法向量可得二面角的余弦值进而得答案． 【小问1详解】 作，垂足为，连接. 在中，. ，. 所以，四边形是正方形. 所以. 因为，所以平面. 因为平面，所以. 【小问2详解】 因为四边形是正方形，所以. 因为平面，所以平面. 若平面，因为，所以平面平面. 因为平面平面，平面平面，所以， 所以.因为，所以. 【小问3详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，，. 设平面的法向量为， 则取. 设平面的法向量为， 则取. ， ， 即二面角的正弦值为. 17. 2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. （1）九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； （2）九龙坡区队在9月13日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 【答案】（1），具有很强的正线性相关关系； （2）. 【解析】 【分析】（1）借助相关系数的计算公式计算即可得； （2）分析所有可能情况并计算对应概率即可得. 【小问1详解】 ，， 则， ，， 则， 因为，且接近于， 故说明场均观众人数与小组赛积分之间具有很强的正线性相关关系； 【小问2详解】 九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分， 则设剩余场比赛中九龙坡区队比赛情况有以下几种： 一：场比赛全胜，概率为：； 二：胜场，平或负场，概率为：； 三：胜场，平场，概率为：； 故九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率为： . 18. 在中，角的对边分别是，且，且． （1）求角的大小； （2）D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． （3）若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 【答案】（1）； （2）选①②，答案均为； （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到，为锐角三角形，求出，从而得到，设边上的高为，由三角形面积公式求出. 【小问1详解】 在中，， 结合正弦定理可得：． 由得， ， ∴， ∴， ， 又，，又，所以； 【小问2详解】 若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． 【小问3详解】 由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 因此， 设边上的高为，， 所以. 19. 定义：函数图像上不同的三点，，．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数． （1）讨论函数的极值； （2）若函数是其定义域上的“等差偏移”函数，求实数的取值范围； （3）当时，数列满足，．其前项和为，试证明：． 【答案】（1）若，函数无极值；若，函数的极小值为，无极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，分，两种情况讨论函数的单调性，从而得出相应的极值； （2）根据题给定义列出关于和点的斜率表达式，进而列出不等式，构造函数并求导，判断函数单调性，最后利用函数单调性解不等式求出实数的取值范围； （3）根据题给条件得出与的关系式，构造函数，根据函数单调性得出的取值范围，再次构造函数，利用函数单调性得出缩放关系，最后结合等比数列前项和公式计算． 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得：， 当时，恒成立，函数在上单调递增，无极值； 当时，令，解得，，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 函数在处取得极小值，极小值为：，且函数无极大值． 综上，若，函数无极值；若，函数的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 设三点的横坐标成等差数列，且满足， 则，，， 函数在点处的切线斜率恒小于直线的斜率， ，化简得，即， 令，则，代入可得，即 令，求导得恒成立， 在内单调递减，，即， ，解得， 实数的取值范围为： 【小问3详解】 当时，，， 设，求导得， 当时，，则在内单调递增， ， ，符合题意， 构造函数，求导得， 在内单调递增，则， 当时，， ，即， ， ，即， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市郫都区高2023级阶段性检测（二） 数学 说明：1．本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟． 2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某同学统计了自2000年以来，中国代表队在历届奥运会获得金牌数如下（不含中国香港、中国台湾）：26，28，32，38，38，40，48，则这组数据70%分位数为（ ） A. 26 B. 32 C. 35 D. 38 3. 双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（ ）项 A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位数据量所需时间（单位：小时），其中为常数.在此条件下，训练个单位的数据量所需时间是训练个单位的数据量所需时间的（ ） A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍 6. 已知函数的定义域为，函数是奇函数，则（ ） A B. C. 5 D. 10 7. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 3 D. 8 8. 一封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个半径为的小球在该容器底面运动，则小球与侧面接触部分的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分） 9. 用平面截一个几何体，如果所得截面是矩形，那么该几何体可能是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 三棱柱 D. 四棱锥 10. 直线分别与轴、轴交于，两点，点在圆上，过直线上的一点作圆的切线，则（ ） A. 面积的最小值为6 B. 面积的最大值为12 C. 切线长的最小值是4 D. 切线长的最小值是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的周期为 B. 的图象关于对称 C. 在上恰有3个零点 D. 若在上单调递增，则最大值为 第II卷（非选择题共92分） 注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等比数列中，，，则_____． 13. 若直线是曲线的切线，则___________． 14. 已知满足，则的值为_____． 四、解答题（本大题共5小题共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知点关于坐标原点的对称点为，动点满足直线的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线． （1）求C的方程； （2）若为以为底边的等腰三角形，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，若平面，求. （3）求二面角的正弦值. 17. 2025年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积分规则为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有11支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立. （1）九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在5种不同观众人数(单位：千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下： 场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9 小组赛积分 10 16 8 18 13 请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分的样本相关系数 (精确到0.01)，并说明两者之间的线性相关程度； （2）九龙坡区队在9月13日揭幕赛中以失利于渝中区队，积0分.根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得23分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得23分的概率. 附：相关系数， 18. 在中，角的对边分别是，且，且． （1）求角的大小； （2）D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． （3）若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 19. 定义：函数图像上不同的三点，，．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数． （1）讨论函数的极值； （2）若函数是其定义域上的“等差偏移”函数，求实数的取值范围； （3）当时，数列满足，．其前项和为，试证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $